高等數(shù)學(xué)-習(xí)題及答案 孫忠民 第2章 導(dǎo)數(shù)與微分及其應(yīng)用

第2章導(dǎo)數(shù)與微分及其應(yīng)用

【能力訓(xùn)練2.1】

(基礎(chǔ)題)

一'根據(jù)定義求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

⑴y=3x+2;(2)f(x尸dx

答案：(1)3

(2)l/2(x)A(-l/2)2

二'求雙曲段上在點(diǎn)J,2)處的切線(xiàn)方程

所r以切線(xiàn)方程為：y-2=-4(x-l/2)

即4x+y-4=0法線(xiàn)方程為：y-2=l/4(x-l/2)

即2x-8y+15=0

三'在拋物線(xiàn)y=x2上哪一點(diǎn)處的切線(xiàn)分別有如下性質(zhì)：

⑴平行于x軸;

(2)平行于直線(xiàn)y=4x;

(3)平行于拋物線(xiàn)上兩點(diǎn)(x?y,).(x2,y2)的連線(xiàn)

答案：

(1)..切線(xiàn)平行于。，軸，

(均)=2工0=0

(?R)=0

「?/=0

.,?切點(diǎn)為(0.0)

綜上所述，結(jié)論是：點(diǎn)(0.。)的切線(xiàn)具有性質(zhì)平行于

。，軸.

(2)略

(3)略

(應(yīng)用題)

一'求曲線(xiàn)y=ln(1+x)在(0,0)處的切線(xiàn)方程，把兩者的圖像畫(huà)在同一坐標(biāo)系上,

并觀察圖形之間的關(guān)系。

f(x)=ln(x+l)

則：

f(x)=l/(x+l)

切線(xiàn)斜率是：k=f(0)=I

切點(diǎn)是(0,0)

則切線(xiàn)方程是：

X—y=0

二'以初速度V。豎直上拋的物體，其上升高度S與時(shí)間的關(guān)系是：s=

求⑴該物體運(yùn)動(dòng)的速度；

⑵該物體達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)刻。

答案：

解⑴乂。=(。=冷/

(2)令v(0=0,即e-gt=0,得［二竺，這就是物體達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)刻.

g

三'郭晶晶是我國(guó)著名跳水運(yùn)動(dòng)員，當(dāng)她從10m跳臺(tái)跳下后，入水時(shí)的速度有多

大？

［喀解:顆同g12得:t=律下梁=V2s,

到達(dá)水面是的速度v=gt=10V^m/s

故答案為:退10逅m/s

【能力訓(xùn)練2.2】

(基礎(chǔ)題)

一'求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

100-5

(l)y=A：;⑵y=V?;(3)y=x;(4)y=

答案：略

二'求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(i)y=(2)y=exsinx

x—1

(3)y=xlnx+loge;?)y=m

心1nx

(5)y=xsinxhu;(6)y=--

答案：略

三'求下列函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值:

(l)y=6ex-3tanx+5,求川廣。;

(2)/(%)=仁),求廣(4).

答案：略

四、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

⑴y=(2x+5)4;(2)y=V1+ln2x

(3)y=arccos(ex);(4)y=sinzx;

(5)y=Inlnx;(6)y=(arcsinx)2.

答案：略

五、求下列初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

⑴y=Vl+x;(2)y=sin2x?sin(，);

1+x

(3)y=arctan-----;(4)y=arcsinV1+x.

I-x

答案：略

(應(yīng)用題)

一、求曲線(xiàn)y=cosx在點(diǎn)P(0,1)處的切線(xiàn)方程

y'(0)=0,故法線(xiàn)方程為x=0

二'將一只球從橋上拋向空中，秒后球相對(duì)于地面的高度為y(單位:

2

m),y=f(4)=-5t+15t+12o

求⑴橋距地面的高度；

⑵球在［0,1］秒內(nèi)的平均速度；

⑶球在t=1秒時(shí)的瞬時(shí)速度；

⑷在什么時(shí)刻，球達(dá)到最大高度？

⑴12米;(2)10米/秒；(3)5米/秒；⑷苧米,潛

【解析】

⑴因?yàn)楫?dāng)，。時(shí)，"0)=12,

所以橋的高度為12米；

(2)小球在0到I秒這段時(shí)間的平均速度是

⑼=22-12=10(米/秒)；

1-U

(3)求導(dǎo)得*(t)=-10t+15,

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，小球在，I秒時(shí)的瞬時(shí)速

度是⑴=-10+15=5(米/秒)；

(4)因?yàn)榘?,)=—5產(chǎn)+15,+12=—5,

93

+T

所以當(dāng)仁理，h⑴有最大值為苧，

所以當(dāng)，，秒時(shí)，小球達(dá)到最大高度是苧米.

三'［疾病傳播］某城市正在遭受一場(chǎng)瘟疫，通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，第t天感染該疾病的

人數(shù)為p(t)=120t2丑3(的單位：天；0WtW40).試求該疾病在t=10天，t=20

天，t=40天時(shí)的傳播速度。

答案：略

四'［游戲銷(xiāo)售］當(dāng)推出一種新的電子游戲程序時(shí)，短期內(nèi)其銷(xiāo)售量會(huì)迅速增加，

然后開(kāi)始下降，銷(xiāo)售量s與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系：t的單位為月。

n?luu

⑴求s'⑴；

⑵求s(5)和sY5),并解釋其意義。

,(/)=2002+100)-200/.2/=20000-200/?

答案:⑴02+ioo)?。+1()0/

5(5)==8

(2)52+100(個(gè))，

20000-200-5215000

.v(5)=-7--------r：—=--------=0.96

(52+時(shí)15625(個(gè)/天)

s(5)表示第5月末的銷(xiāo)售量；、'(5)表示第5月末的銷(xiāo)售速度。

五、［水流速度］設(shè)一圓柱形水箱內(nèi)裝有1000L水，它可以在底端將水抽干，分時(shí)

水箱中剩余水的體積為

v<ri1000U-W60,

求水箱中水流出的速度，它的單位是什么？

答案：略

六'［電壓的變化率］一個(gè)固定電阻為32,可變電阻為R的電路中的電壓由下式給

出一竺V

a

求在R=7Q時(shí)電壓關(guān)于可變電阻R的變化率。

P，=6（/?+3）-（6H+25）=-Jr（7）=--=-0.07

答案：伊+3）2（A+3）20+3）

七、［利潤(rùn)］—U盤(pán)生產(chǎn)商發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)x百個(gè)U盤(pán)的利潤(rùn)為P(x)=400(15-x)(x-2)

兀。

⑴求P’(X)。

⑵求使P(x)=o時(shí)的x值，并說(shuō)明此時(shí)企業(yè)利潤(rùn)的意義。

答案：略

八、［拋錨船只的運(yùn)動(dòng)］一艘拋錨的船只在海中隨海浪上、下擺動(dòng)，它與海平面的

距離y(單位：米)與時(shí)間：(單位：分)的函數(shù)關(guān)系為y=5+sin(2nt)。

⑴楙表示什么意思？

⑵求t=5分時(shí)船體上下擺動(dòng)的速度；

⑶船只的運(yùn)動(dòng)有何規(guī)律？

答案：略

九、［彈簧的運(yùn)動(dòng)］彈簧在振動(dòng)時(shí)受到摩擦力和阻力的影響，其運(yùn)動(dòng)方程可以用指

數(shù)函數(shù)和正弦函數(shù)的乘積來(lái)表示，設(shè)這個(gè)彈簧上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為

5代)=26飛汨2口1：(5的單位：厘米，的單位:秒)，求tS時(shí)彈簧的振動(dòng)速度。

較空?略

“,【能力訓(xùn)練2.3】

(基礎(chǔ)題)

一'求由下列方程所確定的隱函數(shù)y=y(x)的導(dǎo)數(shù)也。

dr

(l)y3-+2x=5;(2)到一Iny=3;

(3)y=xy2,+xe\(4)xcosy=sin(x+y).

答案：略

二、利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

G(2x-1)2y/x+1

⑴>叱(2)j=---------,“--------

(x+2)3^n

答案：略

三、求由下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

X=1-Z2,x=3e-r

⑴⑵

y="巴y=2er.

答案：略

四、求橢圓，=3°8°1>0加>0,0為參數(shù))在0=；處的切線(xiàn)與法線(xiàn)方程。

y.tnmff

答案：略

五、設(shè)質(zhì)點(diǎn)做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，勺水):為常數(shù))，求質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t=1

時(shí)的速度和加速度°

【解析】V=7T.4/6。=[(-，3),4”42]/18

(應(yīng)用題)

一'一質(zhì)點(diǎn)以每秒50m的發(fā)射速度垂直射向空中，t秒后達(dá)到的高度為s=50t-5t

2(m),假設(shè)在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中重力為唯一的作用力，試求：

⑴該質(zhì)點(diǎn)能達(dá)到的最大高度；

⑵該質(zhì)點(diǎn)離地面120m時(shí)的速度是多少？

⑶何時(shí)質(zhì)點(diǎn)重新落回地面？

答案：略

二、求函數(shù)(x2+y2)3=64x2y2在指定點(diǎn)(2,3.07)和(2,0.56)處的切線(xiàn)斜率。

答案：略

【能力訓(xùn)練2.4】

(基礎(chǔ)題)

一、利用洛必達(dá)法則求下列函數(shù)極限:

.....sin5x

⑴聶丁;⑵理M

“、，?1-COSJC2W+--y/a-x

(4)hm---------------------(a>0);

x-*ox

心..Inx

(5)hm——;⑹鄴白-二1)?

XT+8x

答案：略

二'求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

(l)y=xex;(2)y=1(x3-3x).

答案：(D

解y,c'=<」(I+i)?

令y>0?得_r>—】s

華》」V0,杼*V-】.

因此.3=7/的色調(diào)遂埔區(qū)間為(一l.+s).

單調(diào)遞或區(qū)間為(一“,一】).

(2)略

三'求下列函數(shù)的極值：

(1)y=x2+2xT;(2)y=x-ex

答案：(1)1(2)-1

(應(yīng)用題)

一、［人口增長(zhǎng)］中國(guó)的人口總數(shù)P(以10億為單位)在1993-1995年間可近似地

用方程P=1.15X(1.014)，來(lái)計(jì)算，其中年(從1993年計(jì))，根據(jù)這一方程，說(shuō)明

中國(guó)人口總數(shù)在這段時(shí)間是增長(zhǎng)還是減少？

答案：增加

二、［最小淋雨量］人在雨中行走，速度不同可能導(dǎo)致淋雨量有很大不同，即淋雨

量是人行走速度的函數(shù)，記淋雨量為y,行走速度為x,并設(shè)它們之間有以下函數(shù)

關(guān)系y=x3-6x2+9x+4,求淋雨量最小時(shí)的行走速度。

答案：增加

三'［快餐店的最大利潤(rùn)］某快餐店每月銷(xiāo)售漢堡包的單位價(jià)格P與需求量x的關(guān)

系由p(x)=嘿薩確定，又設(shè)生產(chǎn)x個(gè)漢堡包的成本為

乙UUUU

C(x)=5000+0.56x(0WxW50000),

問(wèn)當(dāng)產(chǎn)量是多少時(shí)，快餐店獲得最大利潤(rùn)？

答案：增加

四'［廣告策略］某一新產(chǎn)品問(wèn)世后，公司會(huì)為推銷(xiāo)這一新產(chǎn)品而花費(fèi)大量的廣告

費(fèi)，但隨產(chǎn)品在市場(chǎng)上被認(rèn)可，廣告的作用會(huì)越來(lái)越小，何時(shí)減小甚至取消廣告

產(chǎn)品的銷(xiāo)售高峰一最暢銷(xiāo)時(shí)間，設(shè)某產(chǎn)品在時(shí)刻t的銷(xiāo)量由

1+1Qg-3t

給出，試問(wèn)該產(chǎn)品何時(shí)最為暢銷(xiāo)？

答案：增加

五'［廠(chǎng)房設(shè)計(jì)］某車(chē)間靠墻壁要蓋一間長(zhǎng)方形小屋，現(xiàn)有存磚只夠砌20m長(zhǎng)的墻

壁，問(wèn)應(yīng)圍成怎樣的長(zhǎng)方形才能使這間小屋的面積最大？

答案：設(shè)一邊為X,一邊為YX+2Y=20求XY最大植即(20-2Y)Y的最大植當(dāng)Y=5時(shí)

有最大植所以長(zhǎng)10米，寬5米可修最大面積的小屋。

六'［運(yùn)輸路線(xiàn)的選擇］鐵路線(xiàn)上AB的距離為100km,工廠(chǎng)C距A處為20km,AC垂

直于AB,現(xiàn)要在AB線(xiàn)上選定一點(diǎn)D向工廠(chǎng)修筑一條公路，已知鐵路與公路每千

米貨運(yùn)費(fèi)之比為3:5,問(wèn)D選在何處，才能使從B到C的運(yùn)費(fèi)最少？

設(shè)|DA|二x(千米),鐵路噸千米運(yùn)費(fèi)為3a,公路噸千米運(yùn)費(fèi)為5a,從B到C的總運(yùn)費(fèi)為y,則依題意,囪=3a(10。-工)+5a，400+3

x6(0,100).^y=at,則用+3工=5,400+72⑴?平方，眄得16;?-6tH+10000-t2=o由

A=36產(chǎn)-4x16(10000-t2)》0.司t|>8O.-.t>0.t>80.將t=80代入方程(1),解幅X=15,這曲最小，y最小.即當(dāng)D

點(diǎn)選在距A點(diǎn)15千米處時(shí)，茗運(yùn)費(fèi)最省.

據(jù)題設(shè)知,單位距離的公路運(yùn)費(fèi)大于鐵路運(yùn)費(fèi)，又知+\DC\W\BA\+\AC\.因此只苞點(diǎn)D選在線(xiàn)段BA上某一適當(dāng)位置,才能使總運(yùn)

費(fèi)最省若iSD點(diǎn)距A點(diǎn)x千米,從B到C的總運(yùn)費(fèi)為y,建立y與頒函數(shù),則通過(guò)用趣/=/(工)的最小值，可確定點(diǎn)D的位H.

七、［成本最低］某廠(chǎng)商每天生產(chǎn)X單位產(chǎn)品，其每天的成本包括：

(1)固定成本12000元；

⑵單位產(chǎn)品的成本12元；

⑶訂貨成本竽元

請(qǐng)寫(xiě)出每天生Fx單位產(chǎn)品的總成本，并求每天產(chǎn)量為多少時(shí)總成本最低。

答案：略

八'［最大利潤(rùn)］某淘寶店主以每條100元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批牛仔褲，設(shè)此牛仔褲的

需求函數(shù)為Q=400-p,其中p為售，問(wèn)銷(xiāo)售價(jià)定為多少時(shí)，才能獲得最大利潤(rùn)？

由題意，每件商品的銷(xiāo)售利潤(rùn)為(pT00)元，

那么Q件的銷(xiāo)售利潤(rùn)為

y=Q(p-l00)=(400-2p)(p-100),

即y=-2p2+600p-40000,

對(duì)其右邊進(jìn)行配方得y=-2(p-150)2+5000,

...當(dāng)p=150時(shí)，y有最大值,最大值y=5000

.?.當(dāng)每件商品的銷(xiāo)售價(jià)定為150元時(shí)，

有最大利潤(rùn)為5000元。

九、［最大利潤(rùn)］某廠(chǎng)生產(chǎn)某種產(chǎn)品q個(gè)單位時(shí)，銷(xiāo)售收入為R(q)=8Jq,成本函

數(shù)為C(q)=O.25q2+1,求使利潤(rùn)達(dá)到最大時(shí)的產(chǎn)量q。

答案：略

【能力訓(xùn)練2.5】

(基礎(chǔ)題)

一、求函數(shù)y=2x?+lnx的二階導(dǎo)數(shù)

【解析】(l);y=2z2+inz,

1—1

/.y，=4一HH—,y=4---7.

X

二'求指數(shù)函數(shù)y=e'的n階導(dǎo)數(shù)

y=ex,則

y1=ex.

y"=e'，

嚴(yán))=巴

:.y=/的n階

x

/)=e-

由函數(shù)的解析式及整計(jì)算公式，求出函數(shù)的f.二階，三階贅，

再歸納得出的數(shù)的n階導(dǎo)數(shù).

三'求下列函數(shù)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)：

(1)7=3^-?;(2)y=~2~\⑶y=ln(l+/).

+1

答案：略

四'當(dāng)a,b為何值時(shí)，點(diǎn)(1,3)是曲線(xiàn)y=ax3+bx2的拐點(diǎn)？

點(diǎn)(1,3)在曲淺y=ax3+bx2上，故a+b=3.又y=3ax2+2bx,y"=6ax+2b,應(yīng)有y"|=6a+26=0.解得》=一素。=,，即

Il—1zZ

y-=-9x+9.顯然，當(dāng)x<1時(shí)，y->0;當(dāng)x>1時(shí)，y”<0.點(diǎn)(1,3)為曲線(xiàn)拐點(diǎn).

五、求曲線(xiàn)y=x2-4x+3在頂點(diǎn)處的曲率及曲率半徑.

答案：略

(應(yīng)用題)

一'［子彈的加速度］一子彈射向正上方，子彈與地面的距離s(單位：m)與時(shí)間

(單位：s)的關(guān)系為s=670t-4.9t2，求子彈的加速度。

V=s'(t)=670-9.8t=V(t)

a=v‘t=-9.8m/s2

所以子彈的加速度是-9.8m/s2

二'［物體運(yùn)動(dòng)的加速度］一個(gè)物體附在豎直彈簧的下面，已知它的位移為

y=Asir)3t,其中A為振動(dòng)的振幅，3為角頻率，求物體的速度和加速度。

物體的速度樂(lè)「學(xué)&則人

29aa?a

.加速度為“國(guó)裳U.上！*-

a?“a??a

It.J

三'［廣告效應(yīng)］IBM公司用二階導(dǎo)數(shù)來(lái)評(píng)估不同廣告戰(zhàn)的相關(guān)業(yè)績(jī).假設(shè)所有的

廣告都能提高銷(xiāo)量，如果在一次新的廣告戰(zhàn)中，銷(xiāo)售量關(guān)于時(shí)間的曲線(xiàn)為凹的，

這表明IBM公司的經(jīng)營(yíng)情況如何?為什么?若曲線(xiàn)為凸的呢？

答案：略

【能力訓(xùn)練2.6】

(基礎(chǔ)題)

一、求下列函數(shù)的微分：

(l)y=+2Vx;(2)y=xsin2x;

x

(3)y=InVx2-1;(4)y=表3t

答案：略

二、計(jì)算下列函數(shù)值的近似值(精確到0.0001):

(l)j=sin3O°30';(2)4997

答案：略

三'計(jì)算下列各式的近似值(精確到0.0001