2024年廣東省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第5章第5講：復(fù)數(shù)（附答案解析）

2024年廣東省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第5章第5講：復(fù)數(shù)

【考試要求】1.通過(guò)方程的解，認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù).2.理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)

相等的含義3掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的兒何意義.

?落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

(1)復(fù)數(shù)的定義：形如〃+加(。，人CR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中更是復(fù)數(shù)z的實(shí)部，殳是復(fù)數(shù)z的

虛部，i為虛數(shù)單位.

(2)復(fù)數(shù)的分類：

復(fù)數(shù)z=a+Z?i(a,ZJGR)

實(shí)數(shù)3三0),

.虛數(shù)(6差0)(當(dāng)a三0時(shí)為純虛數(shù)).

(3)復(fù)數(shù)相等:

a+bi—c+di^a=cH.b=d(a,b,c,deR).

(4)共枕復(fù)數(shù)：

a+6i與c+di互為共輾復(fù)數(shù)0a=c,b=—d(a,b,c,JeR).

⑸復(fù)數(shù)的模：

向量應(yīng)的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的?；蚪^對(duì)值，記作也土加或因,即|z|=|a+歷|=液層+層(小

Z?￡R).

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)復(fù)數(shù)z=a+5(a,6GR)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b).

—,_，，A

(2)復(fù)數(shù)z=o+例(a,Z?eR)」平面向量OZ.

3.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

⑴復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則:

設(shè)zi=〃+Z?i,Z2=c+di(a,b,c,d￡R),則

①加法：zi+z2=(a+bi)+(c+$)=(a+c)+(b+d)i；

②減法：z\-Z2=(a+〃i)—(c+H)=(〃-c)+(Z?—tZ)i；

③乘法：z]2=(〃+Z?i)?(c+di)=(ac—拉Z)+(ad+Z?c)i；

zia+5(a+bi)(c-di)ac+bdbc—ad.

④除法:Z2c+di(c+di)(c—di)c^+d2CX°)

(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行.

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z

Z\

如圖給出的平行四邊形。乙ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即龍=次+

。?2，Z|Z2=OZ2—0Z\.

【常用結(jié)論】

.,1+i.1-i

1.(l±i)~=±2i；,rr—i；,.---i.

l—ilt+i

2.+ai=i(a+歷)(“，bWR).

3.j4"=],j4"+l=i,j4"+2=_],i4"+3=_i(〃wN).

4.i4fl+i4n+l+i4n+2+i4n+3=0(?eN).

5.復(fù)數(shù)z的方程在復(fù)平面上表示的圖形

(l)aW|z|W〃表示以原點(diǎn)0為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；

(2)|z—(。+歷)|=可->0)表示以(。，Z?)為圓心，，,為半徑的圓.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打"J"或"X”)

(1)復(fù)數(shù)z=a一5(a,SGR)中，虛部為6.(X)

(2)復(fù)數(shù)可以比較大小.(X)

(3)已知z=a+bi(a，bWR),當(dāng)。=0時(shí)，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù).(X)

⑷復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的

模.(J)

【教材改編題】

1.已知復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=2+3i,則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案A

解析因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足z(l+i)=2+3i,

的12+3i(2+3i)(l-i)5+i5,1.

所以z-i+i-q+i)(]—0-2~2+21'

所以在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.

2.若z=(m2+m—6)+(m—2)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為.

答案一3

3.已知復(fù)數(shù)z滿足(3+4i>z=5(l-i),則z的虛部是.

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答案-5

解析因?yàn)?3+4i>z=5(l—i),

斫閔_5(l_i)_5(l_i)(3_4i)_5(3_7i+4i2)_5(_L7i)_L7.

加以.z—3+省一(3+4i)(3—4i)—32-(4i)2-25-551-

7

所以z的虛部為一亍

?探究核心題型

題型一復(fù)數(shù)的概念

例1（1）（多選）（2023?濰坊模擬）已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=|z-l|=l,且復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.復(fù)數(shù)z的虛部為坐

1=1-^

氏BZ221

C.z2=z+l

D.復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)為-3+乎i

答案AB

解析設(shè)復(fù)數(shù)z=〃+bi（〃，〃WR）.

因?yàn)閨z|=|z—l|=l,且復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，

cr+b2=\,[a=29

所以《（〃一1）2+戶=1,解得《

、〃>0,b>0,1b—2，

即z=/+半i.

對(duì)于A,復(fù)數(shù)z的虛部為坐，故A正確;

對(duì)于D,復(fù)數(shù)z的共柜復(fù)數(shù)為/一乎i,故D錯(cuò)誤.

⑵（2022?北京）若復(fù)數(shù)z滿足i-z=3—4i,則|z|等于（）

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A.1B.5C.7D.25

答案B

3—4i(3—4i)i/

解析方法一依題意可得2=丁=艮F工=一4一3。所以|Z|=M(-4)2+(_3)2=5,故

選B.

方法二依題意可得i2?z=(3—4i)i,所以z=-4—3i,則|z|=1(_4)2+(-3)2=5,故選B.

z+i—

(3)(2022?泰安模擬)已知復(fù)數(shù)z滿足丁=i,則z=.

答案|+1i

解析由W^=i,得z+i=zi,

.一i-i(l+i)Lil_i

?，Z=7^1=(1-i)(l+i)=^-=：2-2-

則z=1+|i.

思維升華解決復(fù)數(shù)概念問(wèn)題的方法及注意事項(xiàng)

(1)復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問(wèn)題，只

需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.

⑵解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a+6i(“，6GR)的形式，以確定實(shí)部和虛部.

O—1—;

跟蹤訓(xùn)練1(1)(2023?淄博模擬)若復(fù)數(shù)z=M的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)a的值為()

A.-3B.-1C.1D.3

答案A

物2+i(2+i)(〃-i)2a+l+(a-2)i

解析2="=伍+0伍_(kāi)0_-^+i'

因?yàn)閺?fù)數(shù)Z=|^1的實(shí)部與虛部相等，

所以2a+l=a—2,解得a=-3,

故實(shí)數(shù)a的值為-3.

⑵(2022?全國(guó)甲卷)若z=l+i,則|iz+3Tl等于()

A.44B.472C.2小D.2巾

答案D

解析因?yàn)閦=l+i,所以iz+3z=i(l+i)+3(l—i)=i-1+3—3i=2—2i,

所以|iz+3^|=|2—2”=、22+(—2)2=2限.故選D.

⑶(2022?新高考全國(guó)I)若i(l-z)=l,則z+T等于()

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A.-2B.-1C.1D.2

答案D

解析因?yàn)閕(l—z)=l,所以z=l—；=l+i,所以z=1—i,所以z+z=(1+i)+(l—i)=

2.故選D.

題型二復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

例2（1）（2022.全國(guó)甲卷）若2=-1+小力則T—等于（）

ZZ—1

A.—1B.-1—小i

?1,^3.n1近.

C.-3+^-1D.-3-V

答案C

z____________—1+小i________—1+小i_1

解析

zz—1(―1+小i)(一1一小i)—1333

⑵（多選）（2022?福州模擬）設(shè)復(fù)數(shù)Z1,Z2,Z3滿足Z3W0,且|Z1|=|Z2|,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.zi=±Z2B.z?=?

C.Z「Z3=Z2?Z3D.|Z|-Z3|=|Z2*Z3|

答案ABC

解析取Z|=l—i,Z2=l+i,顯然滿足同=比|=小，但Z1WZ2,Z1W—Z2,故A錯(cuò)誤；因?yàn)?/p>

zf=-2i,?=2i,故B錯(cuò)誤；再取Z3=l,顯然C錯(cuò)誤.

思維升華（1）復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算.（2）復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵

是分子分母同乘以分母的共機(jī)復(fù)數(shù).

跟蹤訓(xùn)練2（1）（2022?新高考全國(guó)H）（2+2i）（l—2i）等于（）

A.-2+4iB.-2-4i

C.6+2iD.6-2i

答案D

解析（2+2i）（l-2i）=2-4i+2i+4=6-2i,故選D.

（2）（2023?濟(jì)寧模擬）已知復(fù)數(shù)z滿足z/3=l-2i,則，的虛部為（）

A.IB.-1C.2D.-2

答案B

解析：z-i3=l—2i,

—zi=1—2i,

l—2i(l-2i)i

，z==2+i,

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z=2—i,

???z的虛部為一1.

題型三復(fù)數(shù)的幾何意義

例3(1)(2023?文昌模擬)棣莫弗公式(cosx+isinx)〃=cos〃x+isin其中i為虛數(shù)單位)是由

法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667—1754年)發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)(cos專+isi吟〉在復(fù)

平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案C

解析由已知得(cos|+isin*)77兀?.7Kcos(兀+5)+isin(兀+7君T=兀..兀

=cos丁十isin-cosisin7=

6~66,

近1.

22b

.??復(fù)數(shù)(cos耒+isin1)7在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(一坐，一0，位于第三象限.

⑵在復(fù)平面內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)zi=i(—4+3i),Z2=7+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Zi，Z2,則NZ1OZ2

的大小為()

，元c2兀一3兀一5兀

A-3BTC-TD~6

答案C

解析Vzi=i(—4+3i)=—3~4i,Z2=7+i,

/.OZi=(—3f—4),0^=(7,1),

.'.OZIOZ^=-21-4=-259

厲反一25

.*.COSZZIOZ：

'|西語(yǔ)5X5也2，

又NZIOZ2W[0,7t],.,.ZZiOZ2=y.

(3)設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為乙原點(diǎn)為0,i為虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是()

A.若|z|=l,貝ljz=±l或z=±i

B.若|z+l|=l,則點(diǎn)Z的集合為以(1,0)為圓心，1為半徑的圓

C.若IWIzlWg,則點(diǎn)Z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為兀

D.若|z-l|=|z+i|,則點(diǎn)Z的集合中有且只有兩個(gè)元素

答案c

解析若團(tuán)=1,則點(diǎn)Z的集合為以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，有無(wú)數(shù)個(gè)圓上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)z

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對(duì)應(yīng)，故A錯(cuò)誤；

若|z+l|=l,則點(diǎn)Z的集合為以(一1,0)為圓心，1為半徑的圓，故B錯(cuò)誤；

若lW|z|W啦，則點(diǎn)Z的集合為以原點(diǎn)為圓心，分別以1和也為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)，所

以點(diǎn)Z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為?tX(-\/2)2—nX12=7T,故C正確；

若|z-l|=|z+i|,則點(diǎn)Z的集合是以點(diǎn)(1,0),(0,-1)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線，集合中有

無(wú)數(shù)個(gè)元素，故D錯(cuò)誤.

思維升華由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾

何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問(wèn)題的解決更加直觀.

跟蹤訓(xùn)練3(1)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(l—i)z=2i,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案B

解析由z=&=(］或缶=T+i,故z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為

所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.

⑵設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-l|=2,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),貝心)

A.(x-l/+y2=4B.(x+l)2+y2：:=4

C.—1)2=4D.f+0+1產(chǎn)=4

答案A

解析z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,歷,則復(fù)數(shù)z=x+yi(x,ySR),則|z—l|=|(x—l)+yi|=2,

由復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可得(x-l)2+f=4.

⑶己知復(fù)數(shù)Z滿足Iz+i|=|z-i|,則|z+l+2i|的最小值為()

A.1B.2C.小D.小

答案B

解析設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,

因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足|z+i|=|z—i|,所以由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，點(diǎn)Z到點(diǎn)(0,-1)和(0,1)的距離

相等，

所以在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z的軌跡為x軸，

又|z+l+2i|表示點(diǎn)Z到點(diǎn)(一1,一2)的距離,

所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)軸上的動(dòng)點(diǎn)Z到定點(diǎn)(一1,—2)距離的最小值，

所以|z+l+2i|的最小值為2.

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課時(shí)精練

號(hào)基礎(chǔ)保分練

1.（2022?浙江）已知a,b￡R,a+3i=S+i）i（i為虛數(shù)單位），則（）

A.〃=Lh=-3B.a=—\,b=3

C.ci=-1,b—-3D.a=l,b=3

答案B

解析（4>+i）i=-l+6i,則由a+3i=—1+bi,得a=-1,b—3,故選B.

2

2.（2022.濟(jì)南模擬）復(fù)數(shù)z=n（i為虛數(shù)單位）的虛部是（）

A.-1B.1C.-iD.i

答案A

物垢田名__22(l-i)2(1-i)_

解析因?yàn)閆―什］—(什］)(］_。—2—11

所以復(fù)數(shù)z的虛部為一1.

3.(2023?煙臺(tái)模擬)若復(fù)數(shù)z滿足(l+2i)z=4+3i,則z等于()

A.-2+iB.-2-i

C.2+iD.2-i

答案C

-LLI.,4+3i(4+3i)(l-2i),心皿一

解析由(1+2i)z=4+3i=z=不7=2-i>所以z=2+i.

1十21(I十21)(1—21)

4.(2023?焦作模擬)復(fù)數(shù)z=k[—i5在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案C

..—i<—i(2—i)—1—2i17

解析因?yàn)閦=Tjy—i5=,---i=—

所以Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(一點(diǎn)一3,位于第三象限.

5.(2022?西安模擬)已知復(fù)數(shù)z滿足(l-i)2z=2—4i,其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)三的虛部為

（）

A.1B.-1C.iD.-i

答案B

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2-4i2-4i2i+4

解析由題意，化簡(jiǎn)得z=^T^=F=丁=2+1，則z=2-i,

所以復(fù)數(shù)z的虛部為一1.

6.（2022?臨沂模擬）已知復(fù)數(shù)z=^￥，i為虛數(shù)單位，則|z|等于（）

A.26B.2小C.2小D.2乖

答案C

(2+6i)(l+i)(2+6i)(l+i)r-nr-o丘

解析2—(1+31)(1+i)——2+41,|z|—^/4+16-2\5.

7.（2023?蚌埠模擬）非零復(fù)數(shù)z滿足z=-zi,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.實(shí)軸B.虛軸

C.第一或第三象限D(zhuǎn).第二或第四象限

答案C

解析由題意，設(shè)z=a+砥a,6GR）,

故z=—zi^a—bi=—（a+bi）i=-ai+b,

故a=b,—b——a,

即復(fù)數(shù)z=“+ai,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一或第三象限的角平分線上.

8.（2022?文昌模擬）已知復(fù)數(shù)z=f（“eR,i是虛數(shù)單位）的虛部是一3,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面

內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案D

解析由題意，2=一="泮=2一5的虛部是一3,

所以Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,—3）,在第四象限.

9.i是虛數(shù)單位，設(shè)（l+i）x=l+yi,其中x,y是實(shí)數(shù)，則孫=,氏+）4=.

答案1V2

fx=l,

解析因?yàn)椋╨+i）x=l+yi,所以x+xi=l+yi,即彳所以x=y=l,

所以孫=1,|x+yi|=|l+i|=-\/l2+l2=V2.

10.（2022?濰坊模擬）若復(fù)數(shù)z滿足z?i=2—i,則|z|=.

答案書(shū)

..../目2—i（2-i）（—i）

解析由z?i=2-i,付z=~?一=-2=-1-2i,

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.?.|z|=、(_1/+(_2)2=小.

w綜合提升練

11.歐拉公式e"'=cos9+isin0(其中e=2.718…，i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)

立，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽(yù)

為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式，下列結(jié)論中正確的是()

A.e譏的實(shí)部為0

B.€方在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限

C.|明=1

D.e加的共甄復(fù)數(shù)為1

答案C

解析對(duì)于A,e,,l=cosn+isinn=-1,則實(shí)部為-1,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,e2i=cos2+isin2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(cos2,sin2),

Vcos2<0,sin2>0,

.?.e"在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,|e1S|=|cos6+isin3\=yjcos26*+sin20=1,C正確；

對(duì)于D,ei"=cos兀+isin兀，則其共朝復(fù)數(shù)為cos兀一isin兀=—1,D錯(cuò)誤.

12.(多選)(2022?濟(jì)寧模擬)已知復(fù)數(shù)zi=-2+i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)Z2滿足0一1+2i|=2,z2

在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M(x,)，)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.復(fù)數(shù)zi在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

121.

D-

B.zi5571

C.(x+l)2+(y-2)2=4

D.|Z2—zil的最大值為3啦+2

答案ABD

解析對(duì)于A,復(fù)數(shù)zi在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,1),該點(diǎn)位于第二象限，故A正確；

[1—2—i21

===--

對(duì)于B,^■_2+i(—2+i)(-2-i)55'(故B正確；

對(duì)于C,Z2—l+2i=(x—l)+(y+2)i,

；|Z2—l+2i|=2,

；.(x—l)2+(y+2)2=4,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,zi—1+2i——3+3i,

則|ZL1+2i|=^/(-3)2+32=3y[2.

\z2—Zi|=|(z2—1+2i)—(zi—1+2i)|W|z2—1+2i|+|zi—1+2i|=2+3^2,故D正確.

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13.若復(fù)數(shù)(x—3)+yi(x,)，GR)的模為2,貝吐的最大值為()

C苴

D2.2.3LD*.2

答案A

解析因?yàn)閺?fù)數(shù)(x—3)+yi(x,y《R)的模為2,

所以(x—3)2+V=4,

表示以(3,0)為圓心，2為半徑的圓，如圖所示,

友表示過(guò)原點(diǎn)和圓上的點(diǎn)(無(wú)，y)的直線的斜率，由圖可知，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，(取得最值,