2021年湖南省高三高考數(shù)學聯(lián)考試卷3

2021年湖南省高考數(shù)學聯(lián)考試卷（3月份）

一、選擇題（每小題5分）.

1.已知集合4={加爐-3V0},B={x|x>a},若4nB={x[a<x<“+l},則“=（）

A.2B.1C.0D.-1

2.若（z+1）（1+Z）—i,則z=（）

3.“a,b,c成等比數(shù)列”是aa2,b2,3成等比數(shù)列”的（)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.2019年底，武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎疫情，并快速席卷我國其他地區(qū)，口罩成了重要的

防疫物資.某口罩生產(chǎn)廠不斷加大投入，提高產(chǎn)量.現(xiàn)對其在2020年2月1日?2月9日

連續(xù)9天的日生產(chǎn)量％（單位：十萬只，i=l,2,…，9）數(shù)據(jù)做了初步處理，得到如圖所

示的散點圖.那么不可能作為y關于，的回歸方程類型的是（）

A.y—a+by/-iB.y—a+blntC.y—a+be'1D.y=a+ht2

JT

5.若曲線y=sin（3x+<p）（<p<2it）關于直線》=彳萬對稱，則年的最大值為（）

A冗口5?！?兀n5冗

A.——B.------C.------D.------

4433

6.用1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，若從這些五位數(shù)中隨機選取1個，則該五

位數(shù)滿足2,3相鄰且1位于萬位或千位的概率為（）

A.——B.——C.—D.—

151056

7.趙州橋始建于隋代，是一座位于河北省石家莊市趙縣城南汶河之上的石拱橋，由匠師李春

設計建造，距今已有1400余年的歷史.趙州橋的橋拱的跨度為37.7米，拱矢（拱頂至石

拱兩腳連線的高度）為7.23米.設拱弧（假設橋拱的曲線是圓?。┑陌霃綖镽米，r為R

v22

精確到整數(shù)部分的近似值.己知雙曲線C：與一了=數(shù)心0）的焦距為r,則比407.6）

a2192

A.5B.6C,7D.8

8.在菱形A3CQ中，NB4Q=60°,將△A3D沿8。折起，使A到達H的位置，且二面角M

-BD-C為60",則A'。與平面8CQ所成角的正切值為（)

c?平吟

二、選擇題(每小題5分).

9.若ae(0,IT),則()

23

A?

A.cosa=一1B.sinac=-2

33

廠./aJT76+273.z_5_兀、2^3-V6

D.

246246

2+x)

10.設函數(shù)/a)=/g(Vx+l，則()

79

A.于(七)>f(log85)B.(-旨</(logs5)

y3

727

c.f(10g85)D.-/<-§>f(字

11.設函數(shù)—mx2ex+l,若對任意a,b,c€[-3,1],/(a),fCb),/(c)都可以作

為一個三角形的三邊長，則m的取值可能為()

A.--B.--C.—D.—

2e3ee2e

12.已知三棱錐P-ABC的每個頂點都在球0的球面上，AB=BC=2,PA=PC=^A8J_

BC,過8作平面ABC的垂線BQ,且BQ=AB,PQ=3,尸與。都在平面ABC的同側(cè)，則

()

A.三棱錐P-A8C的體積為1

B.PALAB

C.PC//BQ

D.球。的表面積為9n

三、填空題(每小題5分).

13.已知4(0,4),B(-4,0),C(1,2),-H-GA+GB+GC—"6'則點G的坐標為.

14.某公司有職工800人，其中不到30歲的有120人，30歲到40歲的有400人，40歲以上

的有280人.為了了解該公司職工與身體狀況有關的某項指標，要從中抽取200名職工作

為樣本，職工年齡與這項指標有關，則應該選擇的抽樣方法是,40歲以上的職工

應抽取名.

15.寫出一個關于a與b的等式，使二令是一個變量，且它的最小值為16,則該等式

ab

為.

16.己知48為拋物線/=4)，的一條長度為8的弦，當弦A8的中點離x軸最近時，直線AB

的斜率為.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知數(shù)列｛〃而｝的前n項和為2"-1.

(1)求數(shù)列｛m｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛"2"”｝的前n項和S".

18.在某工廠年度技術工人團體技能大賽中，有甲、乙兩個團體進行比賽，比賽分兩輪，每

輪比賽必有勝負，沒有平局.第一輪比賽甲團體獲勝的概率為0.6,第二輪比賽乙團體獲勝

的概率為0.7,第一輪獲勝團體有獎金5000元，第二輪獲勝團體有獎金8000元，未獲勝團

體每輪有1000元鼓勵獎金.

(1)求甲團體至少勝一輪的概率；

(2)記乙團體兩輪比賽獲得的獎金總額為X元，求X的分布列及其數(shù)學期望.

19.為了測出圖中草坪邊緣A,8兩點間的距離，找到草坪邊緣的另外兩個點C與。(A,B,

C,。四點共面)，測得ACm,CD=2m,BDm,已知cosNB￡>C=-且，lan/ACD=3行.

4

(1)求△AC。的面積；

(2)求4,8兩點間的距離.

20.如圖，在四棱錐E-ABC。中，四邊形ABCD為平行四邊形，ABCE為等邊三角形，點。

為BE的中點，且AC=BC=2OA=2.

(1)證明：平面ABE_L平面8CE.

(2)若AB=AE,求二面角B-CE-。的正弦值.

2222

21.已知橢圓C：(a>b>\)長軸的頂點與雙曲線。：2一-二=1實軸的頂點

22

ab4b2

相同，且C的右焦點F到D的漸近線的距離為叵.

7

(1)求C與力的方程；

(2)若直線/的傾斜角是直線y=(旄-2)x的傾斜角的2倍，且/經(jīng)過點八/與C交

|AB|

于A,B兩點，與。交于M,N兩點，求

|MN|

22.已知函數(shù)f(x)=3-旦(a+—)N+3X(a>0).

2a

(1)討論/(x)的單調(diào)性.

(2)若。＞1,且VxE(―,+°°),f(X)＞親3,求Q的取值范圍.

a2

(3)是否存在正數(shù)〃，使得f(x)＞2x-1對底(2,3)恒成立？若存在，求。的取值范

圍；若不存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知集合A={/C2-2X-3V0},B={x\x>a}f若4GB={x|aVxV〃+l},則()

A.2B.1C.0D.-1

解：\'A={x\-l<x<3},B={x\x>a},AAB={x|67<x<n+l},

，a+l=3,解得〃=2.

故選：A.

2.若(z+1)(1+z)=i,則z=()

AC.HiD.

iB-2^

-蔣福2222

i(1-i)_1i2+i_11.

解：(z+l)(1+i)=i,...z+U-

(l+i)(l-i)=]2+]2=5或1，

則z=,亭，故z=—蔣i.

故選：C.

3.“a,b,c成等比數(shù)列”是“〃2,心,Q成等比數(shù)列”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解：若a,b,c成等比數(shù)列，則從=%，

此時岸/=(ac)2=鞏則明從，〃成等比數(shù)列，即充分性成立，

反之當4=1,b=l,。=-1時滿足浮，h2,C2成等比數(shù)列，但a,h,C不成等比數(shù)列，即

必要性不成立，

即“a,b,c成等比數(shù)列”是“加，抉，c、2成等比數(shù)列”的充分不必要條件，

故選：A.

4.2019年底，武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎疫情，并快速席卷我國其他地區(qū)，口罩成了重要的

防疫物資.某口罩生產(chǎn)廠不斷加大投入，提高產(chǎn)量.現(xiàn)對其在2020年2月1日?2月9日

連續(xù)9天的日生產(chǎn)量力(單位：十萬只，i=l,2,9)數(shù)據(jù)做了初步處理，得到如圖所

示的散點圖.那么不可能作為y關于1的回歸方程類型的是（)

A.y=a+byfiB.y=a+blntC.y=a+be1D.y=a+bt2

解：由導數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)的導數(shù)表示該點處切線的斜率,

對于A,y=a+b近,則/b

礪’若函數(shù)為增函數(shù)，則b>3隨著/的增大，y減小,

故滿足條件;

對于8,y=a+blnt,則，若函數(shù)為增函數(shù)，則匕>0,隨著f的增大，y'減小,故滿

足條件；

對于C,y=a+be',則y'=-be\若函數(shù)為增函數(shù)，則〃<0,隨著f的增大，y'減小，

故滿足條件；

對于D,y^a+bfl,則y，=2從，若函數(shù)為增函數(shù)，則人>0,隨著，的增大，V增大，不滿足

條件.

故選：D.

7T

5.若曲線y=sin（3x+cp）（cp<2n）關于直線萬對稱，則<p的最大值為（）

.K口5兀_2K05兀

4433

解：,.jusin（3x+（p）圖象關于直線■對稱，

.".<p=----+/nr,keZ,

4

Vcp<2n,.*.<p的最大值為

故選：B.

6.用1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，若從這些五位數(shù)中隨機選取1個，則該五

位數(shù)滿足2,3相鄰且1位于萬位或千位的概率為（）

A.---B.---C.---D.1

151056

解：用1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，

從這些五位數(shù)中隨機選取1個,

基本事件總數(shù)”=A^=120,

該五位數(shù)滿足2,3相鄰且1位于萬位或千位包含的基本事件個數(shù):

m=A：A,+A豺;A?=20,

...該五位數(shù)滿足2,3相鄰且1位于萬位或千位的概率為2=處=魯=告.

n1206

故選：D.

7.趙州橋始建于隋代，是一座位于河北省石家莊市趙縣城南汶河之上的石拱橋，由匠師李春

設計建造，距今已有1400余年的歷史.趙州橋的橋拱的跨度為37.7米，拱矢（拱頂至石

拱兩腳連線的高度）為7.23米.設拱弧（假設橋拱的曲線是圓?。┑陌霃綖镽米，，?為R

/2

精確到整數(shù)部分的近似值.已知雙曲線C：與一^=1（4>0）的焦距為r,則?%407.6）

a2192

A.5B.6C.7D.8

解：由題意知，R2=（3L_C）2+（R-7.23）2,

'2'

-222407.6,

.?.”28.19,

/.r=28,

Va2+192=（.1-）2=142=196,

.,.a—2,

—14

離心率e=2=詈=7.

a

故選：C.

8.在菱形ABC。中，/84。=60°,將△AB。沿8。折起，使A到達4的位置，且二面角4'

-BD-C為60：則A'。與平面8CO所成角的正切值為（）

A.—B.且C.-^5-D.—

4472

解：設AC于8。交于點O,設菱形的邊長為2,

在△AB。中，因為N4=60°,AB=2,所以A0=J§,

過點A'作HE,平面BCO,垂足為E,連結(jié)EO,

因為O為BQ的中點，且所以4O_LBQ,故EO_LBO,

所以/AOE即為二面角A'-2。-C的平面角，

故/A，OE=60°,

連結(jié)ED,則/WOE即為A'力與平面BCO所成的角，

在Rt"OE中，A'E=A'0-sin60°m亨=!，

在RtzMEZ)中，A'D=2,A'E=|,所以DE』'D?W》2=￥，

乙/

3_

故tan/A'DE/1唬號.

T

故選：c.

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.若sin_2-=^^,ae(0,TT),貝!I<

)

23

9

A.cosa=—B.sinQ=—

3__3

「.，anV6+2V3aJT)

D.sin(_273-^6

246"2r"I-

解：Vsin-^-^^-,ae(0,TT),

23

cos*=Jl-si-甘.

9a

則cosa=1_2sin亍=]-2X故A正確;

sina=2sin-Jcos&-=上返■，故B錯誤;

22333

.,a兀、aKan

sm=sirr^-cos-^-+cos—sirr^

=返乂返也義返星返，故C正確；

32326

./a兀、,ana.K

sin(-------)-sin---cos-----cos---sin---

242424

=xX=」6；y''^>,,故。錯誤.

32326

故選：AC.

10.設函數(shù)/(%)=lg(Jx^+l+x)，則()

79

A.f(方)>f(log85)B.-/(-母)<fdogs5)

797

C./(log85)>/(^)D.-爭>/(5)

解：函數(shù)/(x)=lg(Jx2+l+x)'定義域為R，

f（-X）=lg（7x2+l-x）=呵=^=—=-lg（“+1+X）=-f（X），

X2+1+XV

所以f(X)為奇函數(shù)，所以-F(-爭=/得)，

OO

當xe[O,+8)時，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知/(x)=lg(Vx2+1+^)單調(diào)遞增，

因為沙…月翁黑lg125Ug27_7

lg29lg299

所以f(V)</(bg85)(鼻),

39

結(jié)合選項可知A,B正確.

故選：AB.

11.設函數(shù)/(x)=機/^+1,若對任意小b,ce[-3,1],/(“)，/"),f(c)都可以作

為一個三角形的三邊長，則m的取值可能為()

A.―—―B.―—―C.-D.—―

2e3ee2e

解：設函數(shù)g(x)=x2eS-3,1],則g'(x)=x(x+2)可得函數(shù)g(x)在[-3,

-2),(0,1]上單調(diào)遞增，在(-2,0)上單調(diào)遞減.

94

又g(-3)g(-2),g(0)=0,g(1)=e,可得函數(shù)g(x)的值域為[0,

ee

e\.

根據(jù)f(a),f(b),fQc)都可以作為一個三角形的三邊長，

當機20時，y(0)>/(1),即2*1>神+1,解得OWnzV上；

e

當機<0時，2f(A)>/(0),即2(we+1)>1,解得

2e

綜上可得：--Lv/xV』_.

2ee

故選：BD.

12.已知三棱錐P-ABC的每個頂點都在球。的球面上，AB=BC=2,PA=PC=^,ABA.

BC,過8作平面ABC的垂線3。，且8Q=A&PQ=3,尸與。都在平面ABC的同側(cè)，則

（）

A.三棱錐P-4BC的體積為1

B.PALAB

C.PC//BQ

D.球。的表面積為9n

解：如圖，

長方體的高為1,底面是邊長為2的正方形，滿足AB=BC=2,PA=PC=疾,AB1BC,

三棱錐P-ABC的體積為《X《X2X2X故A正確；

323

PB=7PD2+BD2=VPD2+AB2+AD2=V22+22+l2=3-

滿足PA2+4B2=Pf,可得PA_LA8,故8正確；

BQ_L平面ABC,PO_L平面ABC,則BQ〃P。，

假設PC〃BQ,則PC〃PQ,與PQ與PC相交于「矛盾，故C錯誤；

三棱錐P-ABC的外接球即長方體DG的外接球，設其半徑為R,

則2/?=丘可廬3=3,即夫=尚，可得球0的表面積為4冗X既)2=9兀，故。正確.

故選：ABD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13.已知A(0,4),B(-4,0),C(1,2),且以+溫+無=弓則點G的坐標為(-

1,2).

解：設G(x,y),因為A(0,4),B(-4,0),C(1,2),

則欣:(-x,4-y),GB=(-4-X,-y),GC=(l-x,2-y),

又麻+族+玩=d

KCHIf-x-4-x+l-x=0小小(x=-l

所以《，解得《，

I4-y-y+2-y=0\y=2

所以點G的坐標為(-1,2).

故答案為：(-1,2).

14.某公司有職工800人，其中不到30歲的有120人，30歲到40歲的有400人，40歲以上

的有280人.為了了解該公司職工與身體狀況有關的某項指標，要從中抽取200名職工作

為樣本，職工年齡與這項指標有關，則應該選擇的抽樣方法是分層抽樣，40歲以上的

職工應抽取70名.

解：為了了解該公司職工與身體狀況有關的某項指標，

要從中抽取200名職工作為樣本，職工年齡與這項指標有關，

則應該選擇的抽樣方法是分層抽樣，

40歲以上的職工應抽?。?00x2獨=70名.

800

故答案為：分層抽樣，70.

19

15.寫出一個關于a與b的等式，使一5+一亍是一個變量，且它的最小值為16,則該等式為

ab

〃2+。2=|.

解：該等式為。2+分=1,下面證明該等式符合條件.

19199a2b2、lo22

~+~2^<—+―7)I/+從)=i+9+^-+^〉io+2ja^_?、h=i6，

ababbaVb'a"

當且僅當按=3”時取等號，

所以段是一個變量，且它的最小值為16.

ab

故答案為：“2+按=1.

16.已知48為拋物線N=4)‘的一條長度為8的弦，當弦AB的中點離x軸最近時，直線AB

的斜率為土1.

解：由題意得拋物線的準線方程為/：y=-\,過4作AAi，/于4,過B作于

設弦4B的中點為M,過M作于M,則21MMi|=|A4|+|BBi|,

設拋物線的焦點為F,則Hfl+|BF|2|A8|,即|A4i|+|5Bi|=|Afl+|BF]28(當且僅當A,B,F

三點共線時等號成立)，

所以|A4i|+|B8i|=2|MMi|28,解得

即弦4B的中點到x軸的最短距離為：4-1=3.

22

所以點M的縱坐標為(xo,3),A(xi,%),B(及，J2),F(0,1),Xj=4yi,x2

=4”，

...所以直線AB的斜率仁丫[一]2=

x「X242XQ-O

.'.xo—+2,此時上=±1,

當弦AB的中點離x軸最近時，直線AB的斜率為±1,

故答案為：±1.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知數(shù)列｛"小｝的前〃項和為2"-I.

(1)求數(shù)列｛m｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛〃2飆｝的前n項和Sn.

解：(1)設數(shù)列｛砌,｝的前〃項和為刀”則北=2"-1,

當n—1時，at—Ti—\,

當〃》2時，7kl=2"7-1,

所以7ki=2"-1-(2"-1-1)=2"'',

"=1時，m=l滿足上式，

gn-1

所以---,“6N*.

n

2nl

(2)nan—n*2,

所以S?=lX20+2X2l+3X22+-+w2n-1,①

2S?=1X21+2X22+3X23+???+n?2?,②

02

①-②得-S,,=2+2'+2+—+2"''-"2=1-2“_n，2"=(1-n)?2"-1,

1-2

所以SK=(/?-1)?2?+1.

18.在某工廠年度技術工人團體技能大賽中，有甲、乙兩個團體進行比賽，比賽分兩輪，每

輪比賽必有勝負，沒有平局.第一輪比賽甲團體獲勝的概率為0.6,第二輪比賽乙團體獲勝

的概率為0.7,第一輪獲勝團體有獎金5000元，第二輪獲勝團體有獎金8000元，未獲勝團

體每輪有1000元鼓勵獎金.

(1)求甲團體至少勝一輪的概率；

(2)記乙團體兩輪比賽獲得的獎金總額為X元，求X的分布列及其數(shù)學期望.

解：(1)第一輪甲勝第二輪乙勝的概率為尸X0.7=0.42,

第一輪乙勝第二輪甲勝的概率為PX0.3=0.12,

第一輪甲勝第二輪甲勝的概率尸X0.3=0.18,

故甲團體至少勝一輪的概率為0.42+0.12+0.18=0.72；

(2)由已知可得X的可能取值為2000,6000,9000,13000,

貝I]P(XX0.3=0.18,P(XX0.3=0.12,

P(XX0.7=0.42,P(XX0.7=0.28,

所以X的分布列如下：

X20006000900013000

p

E(X)=2000X0.18+6000X0.12+9000X0.42+13000X0.28=8500.

19.為了測出圖中草坪邊緣A,B兩點間的距離，找到草坪邊緣的另外兩個點C與。(A,B,

C,。四點共面)，測得AGn,CD=2m,BDm,已知cosN8￡)C=-YZ,tan/AC￡)=3行.

4

(1)求△AC￡＞的面積；

(2)求A,8兩點間的距離.

解：(1)因為tanNACQ=3j7，可得sin/ACQn^*,

所以SAACO=—/AC*CD*sinZACD=m2.

25

(2)因為tan/AC￡＞=3赤，所以cos/ACC=1,

所以AD22+22-2XL6X2X—=5.76,則40=2.4,

8

因為COSNA￡)C=.AD_AC-=3,所以sin/AQC=Y^,

2AD-CD44

又cos/BDC=-

4

TT

所以NADB=—,

2

所以AB=VAD2+BD2^72.42+l.82=3/M-

20.如圖，在四棱錐E-ABC。中，四邊形ABC￡＞為平行四邊形，△BCE為等邊三角形，點0

為2E的中點，且AC=BC=2OA=2.

(1)證明：平面ABE_L平面BCE.

(2)若AB=AE,求二面角8-CE-O的正弦值.

【解答】(1)證明：連接。C,因為△BCE為等邊三角形，所以。CJ_B￡,

因為AC=2,0A=\,0C=2?返=/,所以AC2iAOZ+OG,所以OCJ_OA,

2

又因為OAABE=。，所以OC_L平面A8E,

又因為OCu平面8CE,所以平面BCEJ_平面ABE,

故平面4BE_L平面BCE.

(2)解：因為AB=AE,所以OA_LBE,所以OE、0C、04兩兩垂直，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

E(1,0,0),B(-1,0,0),A(0,0,1),C(0,如,0),

箴=(-1，?，。)，CD~BA~(1,0,1),設平面EC。的法向量為7=(x,y,z),

EC-m-x+V3y-0^令彳=退,'=（正，1,-?）,

CD*m=x+z=O

平面BEC的法向量為：=（0,0,1）,

設二面角B-CE-D的大小為6,

則|cos0|=1m-nj=睿］=洛,sinO=JjZ?=空2,

Iml-lnl同1V7V77

所以二面角B-CE-D的正弦值為2近.

7

222

21.已知橢圓C：%三=1（?>/,>!）長軸的頂點與雙曲線。：二2_三=1實軸的頂點

a"b‘4b"

相同，且C的右焦點F到。的漸近線的距離為返I

7

（1）求C與。的方程；

（2）若直線/的傾斜角是直線），=（遙-2）x的傾斜角的2倍，且/經(jīng)過點F,/與C交

于A,8兩點，與。交于M,N兩點，求膜

IMN

解：（1）因為橢圓C長軸的頂點與雙曲線。實軸的頂點相同，

所以4=2,①

雙曲線。的漸近線為y—+^x,即bx±2y—0,

所以右焦點尸（c,0）到漸近線云±2），=0的距離為相L=運，（2）

Vb"+47

又。2="+/,③

由①②③解得"=3,〃=],

2222

所以橢圓的方程為“+==1,雙曲線的方程為三--工_=1.

4343

（2）設直線y=（遙-2）x傾斜角為0,則tan9=J^-2,

-…2tan02G/^-2）]

所以tan20=y-

1-tan9l-（V^-2）22

所以直線/的方程為尸微（X-1）,

設A（xi,yi）,B（松，72）,M（%3,券）,N（弘，>4）,

y節(jié)(x-1)

聯(lián)立422，得4/-2x-11=0?

xV1

143，

所以X]+X2=-tX\X2=~,

24

所以1+k司xi72|=,l+k2，(X[+X2)2-4X]X2=一15

y51(,x-1)

聯(lián)立-,得2%2+2x-13=0,

正0上9=1

I431

13

所以X3+R4=-1,XU4="-,

2