2023年人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊綜合檢測試卷及答案

本冊綜合檢測

考試時間120分鐘，滿分150分.

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的

四個選項中，只有一項是符合題目要求的)

1.若集合A={x∣-2<r<l},B={x∣x<-1或x>3},則A∩8=(A)

A.{x?-2<x<-1}B.{x∣-2<Λ<3}

C.{A∣-l<x<l}D.{Λ∣1<T<3}

［解析］在數(shù)軸上表示出集合A,B,如圖所示.

-β-a［B~

-2-10123X

由圖知ACB={x∣-2<x<-l}.

2.已知p：X為自然數(shù)，q：X為整數(shù)，則P是q的(A)

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

［解析］若X為自然數(shù)，則它必為整數(shù)，即Pnd但X為整數(shù)不一定是自然數(shù),

如尤=一2,即.故P是q的充分不必要條件.

3.sin1,cos1,tan1的大小關(guān)系為(A)

A.tanl>sinl>cos1B.sinl>tanl>cos1

C.sinl>cosl>tan1D.tanl>cosl>sin1

兀*\/2兀?/271

［角華析］Vsinl>sin4=2?CoSl<cos［=苛，tanl>tan4=l,

/.tanl>sinl>cos1.

4.Ig2—Igeln2-'+N(—2)2的值為(A)

1

A-

B.2

C.3D.-5

［解析］原式=Ig2+lg5—2—2+2=Ig10—2=1—2=—1.故選A.

5.已知X,y∈R,則x>y>0,則（C）

?-X^70b-SinLSin)，>°

C.(∣}-(∣)v?θD.lnx+lny>O

［解析］?.?χ,γ∈R,且尤>y〉O,則Sin尤與Siny的大小關(guān)系不確定，(g)

x<S)v,即一住)<0,lnx+lny與O的大小關(guān)系不確定.故選C.

6.已知尤>0,y>0,且x+2y=2,貝U孫(C)

A.有最大值為1B.有最小值為1

C.有最大值為TD.有最小值為T

［解析］因為x>0,y>0,x+2y=2,所以x+2y^2?∣x?2y,即222正四，,孫W/,

當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,即X=1,V=/時，等號成立.所以孫有最大值，且最大值為去

7.定義在R上的偶函數(shù)Kr)在［0,+8)上單調(diào)遞增，且yθ?)=0,則滿足川Og工

8

尤)>0的光的取值范圍是(B)

A.(0,+∞)B.(0,加(2,+∞)

C.(0,W)￠,2)D.(0,2)

［解析］由題意知yω=Λ-幻=AIM),所以川IOglXl)X?j.因為/U)在［o,+∞)

8

上單調(diào)遞增，所以∣log］X∣>g,又x>0,解得0令<；或x>2.

8

8.已知函數(shù)於)=ASin(S;+s)(A〉O,ω>0,ISl<去XG可在一個周期內(nèi)的圖

象如圖所示，則要得到y(tǒng)=∕(x)的圖象可由函數(shù)y=cosx的圖象(縱坐標(biāo)不變)(B)

I兀

?-先把各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的5,再向左平曾個單位長度

B.先把各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的1看再向右平移盍jr個單位長度

C.先把各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向左平移看個單位長度

D.先把各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向右平移盍個單位長度

［解析］由函數(shù)段)=Asin(cox+0)(A>O,ω>0,?φ?<^,XWR)在一個周期內(nèi)的

圖象可得A=1,T7,=2?77=?+7,解得①=2.把點倍，1)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解

44COIZO?1Z)

析式可得I=Sin(2X至+Q|,

即sin(^+S)=L

再由ISI與可得夕=與，

故函數(shù)?=sin(2x+§.

把函數(shù)y=cos光的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的今

可得y=cos2x的圖象，再向右平移自個單位長度可得y=cos2^-?j=

COS(2x—5)=Sin>(2x一聿)=Sin停一2x)=Sin兀一住+2x)］=sin(2x+1)=/(x)的

圖象.故選B.

二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的

四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，

部分選對的得2分)

9.下列函數(shù)是偶函數(shù)且值域為［0,+8)的是(AD)

A.y=?x?B.y=%3

C.γ=2wD.y=x2+?x?

［解析］y=∣χ∣是偶函數(shù)，且值域為［0,+∞);y=χ3是奇函數(shù)；y=2lx∣是偶函

數(shù)，但值域為口，+∞);y=f+∣無I是偶函數(shù)，且值域為［0,+∞),所以符合題意

的有AD.

10.下列命題是真命題的是(BD)

A.若基函數(shù)/U)=ΛΛ過點］；，4),則a=—g

B.3x∈(0,l),［；｝>log］X

2

o

C.Vx∈(0,÷°),log1x>log1x

23

D.命題3x∈R,sinx÷cosx<lv的否定是uVx∈R,sinx÷cosx≥Γ?

［解析］τQ)=(3>=%所以。=-2,故A錯誤；

在同一平面直角坐標(biāo)系上畫出y=Q｝與V=IogF兩函數(shù)圖象，如圖1所示.

2

y

4

3

2

-3-2-IOIK23-3-2-?Oh>234×

-ιr、-r

孫-2-

-3[-3-

圖1圖2

由圖可知mx∈(0,l),(g>>log]X,故B正確；在同一平面直角坐標(biāo)系上畫出

2

y=k>g]X與y=logrr兩函數(shù)圖象，如圖2所示.

32

由圖可知，當(dāng)XW(0,1)時,log1x>log1x,當(dāng)x=l時，log1x=log1x,當(dāng)X￡(1,

2323

十8)時，log1x<log1x,故C錯誤；根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題可知,

23

命題u3Λ∈R,sinx+cosx<l,,的否定是“?∕χCR,SinX+cos，故D正

確.

11.函數(shù)y(x)=sin2x—??∕5(cos2χ-sin?尤)的圖象為C,如下結(jié)論正確的是(ABC)

A."r)的最小正周期為兀

B.對任意的x∈R,都有/%+凱楣-X)=O

C../U)在(一言，言上是增函數(shù)

D.由y=2sin2%的圖象向右平移微個單位長度可以得到圖象C

y?

［解析］√(x)=sin2%—小COS2x=2Sin(2x—鼻)，/(X)的最小正周期為π,故A正

確；周=2sin(2X蓑—2=0,故圖象關(guān)于仁’0)對稱，B正確；當(dāng)x∈(-專制

時，2χ-g∈(-宏?，所以於)在(一今制上是增函數(shù)，C正確；由y=2sin2x

向右平移1個單位長度得到y(tǒng)=2sin2(x一目=2sin(2x一用的圖象，故D錯誤.故

選ABC.

12.已知函數(shù)yU)=e}-log2χ,OVaVbVc,人。次份/(c)V0,實數(shù)d是函數(shù)人犬)

的一個零點.給出下列四個判斷，其中可能成立的是(ABD)

A.Q<d<aB.d>b

C.d>cD.d<c

［解析］由>=(；)在(0,+8)上單調(diào)遞減，y=log2Λ在(0,+8)上單調(diào)遞增，

可得-IogM在定義域(0,+8)上是減函數(shù)，當(dāng)0Vα<bVc時,穴0>五公

>Λc),又因為HGΛ3Λc)VO,T(J)=O,所以①A”)，火份，犬。都為負(fù)值，貝Uα,b,

C都大于乩②Ao)>O,人份>0,Λc)<O,則α,方都小于d,C大于d?綜合①②可

得d>c不可能成立.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.化簡、"+cos20°—sir^lO。=小COS10。.

［解析］√2+cos20o-sin210°=

^∕2÷2COS210O-1-sin210o=Λ∕3COS210O=√3COS10°.

X-11

14.函數(shù)Tu)=H在區(qū)間［2,3］上的最大值為己1.

XI1r4

Y—12

［解析］?.∕χ)=干=1—不看在區(qū)間［2,3］上單調(diào)遞增，

X—?3—11

函數(shù)/(x)=χ+［在區(qū)間［2,3］上的最大值為,3)=3+］='.

TTJT

15.設(shè)。>0,若函數(shù)火x)=2sintυX在?,］上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是((Ml

且Q-

JTTT

［解析］令2&兀-ZW<υx<2Z兀+］(&￡Z),

..2κπ兀1^2kπ.兀八

斛r何zθ京一五JWXWu十五J(A∈Z),

TTTT

當(dāng)2°時，一五;一W五;,

ππ

由題意可得，20^5'即0<oWl,

,ω>0,

當(dāng)Z=I時，罵WXWI

ZCoLS

由題意可得

9

即券（υW5?

故答案為（0,l]u[∣,5.

1

3r則-=

16.設(shè)函數(shù)“r）=H卷的最大值是α,若對于任意的χC[0,2）,a>r

-2

-x+b恒成立，則b的取值范圍是（一8,一^

[解析]當(dāng)XWo時，./U）W0；

.3尤3一331

當(dāng)l、>。時rll'yw=討=星、定=麗=5'

Q

當(dāng)且僅當(dāng)X=?即％=3時取等號，

綜上可得，?∕U）max=g,即O=3.

由題意知x2—x+h<g在X∈[0,2）上恒成立,

即X2—x+Z?—y<0在x≡[0,2）上恒成立.

令S(x)=Λ2-χ+O-x∈[0,2),

I3

則9(X)<8(2),則4-2+匕一]WO,即ZJW一5

四'解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或

演算步驟）

17.（本小題滿分10分）在①{尤|a一1≤r≤α},②{x∣α≤x≤α+2},③{小。

WxW√^+3}這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中.若問題中的α存在，

求α的值；若。不存在，請說明理由.

已知集合A=,B={X∣Λ2-4X+3≤0}.若"x∈A"是"x∈8"的充

分不必要條件，求實數(shù)α的取值范圍.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

［解析］由題意，知A不為空集，B={Λ∣X2-4X+3≤0}={Λ∣1≤X≤3}.

因為"x∈A"是"χGB'’的充分不必要條件，所以AB.

當(dāng)選條件①時，晨a—3121,,或［a—右1>1,,解得"W3.

所以實數(shù)α的取值范圍是［2,3］.

1,a>l,

當(dāng)選條件②時，《或〈

、。+2<3[α+2W3,

不等式組無解，所以不存在。的值滿足題意.

當(dāng)選條件③時，,或j

Λ∕^+3<3Λ∕^+3W3,

不等式組無解，所以不存在。的值滿足題意.

x+2,x≤0,

18.（本小題滿分12分）已知函數(shù)∕U）=J且點（4,2）在函數(shù)/U）

JOg6/X,x>0,

的圖象上.

（1）求函數(shù)y（x）的解析式，并在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)/U）的圖

象;

y

(2)求不等式兒r)<l的解集；

(3)若方程/U)-2m=0有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍.

［解析］(1)：點(4,2)在函數(shù)的圖象上*4)=IOg“4=2,解得α=2.

x+2,x≤0,

?√ω=.Iogzx,Λ>0.

函數(shù)的圖象如圖所示.

fx>O,∣x≤O,

(2)不等式y(tǒng)u)<ι等價于∣I或I

ll0g2x<llx÷2<l,

解得0<r<2或x<—1,

二原不等式的解集為{x∣0<r<2或x<—1}.

(3)：方程“r)-2加=0有兩個不相等的實數(shù)根，

二函數(shù)曠=2m的圖象與函數(shù)y=次幻的圖象有兩個不同的交點.

結(jié)合圖象可得2m≤2,解得"2≤1.

實數(shù)加的取值范圍為(-8,I］.

19.(本小題滿分12分)已知函數(shù)危)=cos(W+x)cosA—x),g(x)=gsin2x—

(1)求函數(shù)IAX)的最小正周期；

(2)求函數(shù)%(x)=*X)—g(x)的最大值，并求使∕2(x)取得最大值時X的集合.

13

［解析］=ιCOS2Λ—Wsin2%=

1+cos2x3(1—cos2x)1?1

8.8=2C0S2X~4,

.?J(x)的最小正周期為T=^=π.

(2)h(x)=βx)-g(x)

=11cos2Cx-]1S?InC2x

=2cosl2x÷4√,

TT

當(dāng)2χ-?-~^=2kτι(k≡Z),

即X=E—京AeZ)時，%(x)有最大值卓.

此時X的集合為卜IX=際1一1，?∈Z∣.

20.(本小題滿分12分)某工廠現(xiàn)有職工320人，平均每人每年可創(chuàng)利20萬

元，該工廠打算購進(jìn)一批智能機(jī)器人(每購進(jìn)一臺機(jī)器人，將有一名職工下崗).據(jù)

測算，如果購進(jìn)智能機(jī)器人不超過100臺，每購進(jìn)一臺機(jī)器人，所有留崗職工(機(jī)

器人視為機(jī)器，不作為職工看待)在機(jī)器人的幫助下，每人每年多創(chuàng)利2千元，每

臺機(jī)器人購置費及日常維護(hù)費用折合后平均每年2萬元，工廠為體現(xiàn)對職工的關(guān)

心，給予下崗職工每人每年4萬元補貼；如果購進(jìn)智能機(jī)器人數(shù)量超過100臺，

則工廠的年利潤y=8202+lgX萬元(x為機(jī)器人臺數(shù)且x<320).

(1)寫出工廠的年利潤y與購進(jìn)智能機(jī)器人臺數(shù)X的函數(shù)關(guān)系；

(2)為獲得最大經(jīng)濟(jì)效益，工廠應(yīng)購進(jìn)多少臺智能機(jī)器人？此時工廠的最大年

利潤是多少？(參考數(shù)據(jù)：Ig220.3010)

［解析］(1)當(dāng)購進(jìn)智能機(jī)器人臺數(shù)XWlOO時，

工廠的年利潤y=(320—x)(20+0?2x)—4χ-2x

=-0.2X2+38Λ+6400,

二)=

--0.2Λ2+38X+6400,0≤X≤100,X∈N,

8202+lgX,100<x<320,x∈N.

⑵由⑴知,當(dāng)OWXWIoO時,y=-0.2(x—95)2+8205,

當(dāng)x=95時，>aχ=8205;

當(dāng)QlOO時，y=8202+lgx為增函數(shù)，

8202+lgx<8202+Ig320=8202+1+51g2^8204.505<8205.

綜上可得，工廠購進(jìn)95臺智能機(jī)器人時獲得最大經(jīng)濟(jì)效益，此時的最大年利

潤為8205萬元.

21.(本小題滿分12分)已知於)=sin(2x+1)+sin(2x—^)+2cos2χ,x∈R.

(1)求火x)的最小正周期；

(2)求的單調(diào)減區(qū)間；

JTTT

(3)若函數(shù)g(x)=/㈤一"2在區(qū)間［—4，不上沒有零點，求m的取值范圍.

［解析］(I)XX)=TSin2x+坐CoS2x÷^sin2x一坐COS2x÷2cos2x=sin2%÷cos

2x+1=√2sin(2x+ξ∣÷1.

?①=2,??T=TL

Ji兀3兀

(2)由1+2EW2x+1W~^^+2E,^∈Z,

得］+kπ,?∈Z,

Tr5τt

.?JU)的單調(diào)減區(qū)間為［E+g,?π+γj,z∈z.

ππ

(3)作出函數(shù)尸危)在［譚刃上的圖象如圖所示.

函數(shù)g(x)無零點，即方程√(x)-■機(jī)=0無解，

亦即函數(shù)尸危)與y=加的圖象在χ∈［一今JT小TT上無交點，從圖象可看出外)

在一去4上的值域為［°，λ∕2÷l］,則eS+1或機(jī)<0.所以m的取值范圍為

{m?m>y[2+1或m<0}.