數(shù)學(xué)分析(二)試題及答案

（十六）數(shù)學(xué)分析2考試題

一、單項選擇題（從給出的四個答案中，選出一個最恰當(dāng)?shù)拇鸢柑钊肜ㄌ杻?nèi)，每小題2

分，共20分）

1、函數(shù)/（X）在［a,6］上可積的必要條件是（）

A連續(xù)B有界C無間斷點D有原函數(shù)

2、函數(shù);'（X）是奇函數(shù)，且在卜2旬上可積，貝I］（）

A[f(x)dx=2，f(x)dxBff(x)dx=0

J-aJ。J-a

(

?af(x)dx=-2*1af(x)dxDpa[f(x)dx=2/(〃)

J-aJOJ-a

3、下列廣義積分中，收斂的積分是（）

pl1p+co]p+oo.pl]

A—^dxB—f=dxCsinxJxD—7dx

J。4J'GJ°J」/

0000

4、級數(shù)￡?！笆諗渴恰阛n部分和有界且lim%=0的()

A充分條件B必要條件C充分必要條件D無關(guān)條件

5、下列說法正確的是（）

000000000000

A和收斂，也也收斂B2>“和?”發(fā)散，?“+勿)發(fā)散

n=ln=ln=\n=\n=\n=\

0000000000

c收斂和“發(fā)散，￡（?！?2）發(fā)散收斂和發(fā)散，

n=\n=ln-1n=ln=l

00

2發(fā)散

n=l

00

6、2。及（％）在［］，句收斂于3（x）,且a（x）可導(dǎo)則（）

n=\

00

AZ%(x)=a(x)Ba(x)可導(dǎo)

n=l

co人boo

cWjan=ja(x)dxDZ%(x)一致收斂，則a(x)必連續(xù)

n=ln=l

7、下列命題正確的是（)

00

在［a，6］絕對收斂必一致收斂

n=\

co

BZ%(x)在b,b\一致收斂必絕對收斂

n=l

00

C若limI。“(尤)1=0,則￡a“(x)在［a,C必絕對收斂

ns

n=l

co

D￡a“(x)在［a,b\條件收斂必收斂

n=l

001

8、y(-i)n——"+i的和函數(shù)為

士2〃+l

KexBsinxCln(l+%)Dcosx

9、函數(shù)2=ln(x+y)的定義域是()

A{(x,y)|x>0,y>0}B{(x,y)|y>-x}

c{(x,y)||x+，>0}D{(x,y)|x+ywO}

10、函數(shù)Hx,y)在(刈,，為)偏可導(dǎo)與可微的關(guān)系()

A可導(dǎo)必可可導(dǎo)必不可微

C可微必可導(dǎo)D可微不一定可導(dǎo)

二、計算題：(每小題6分，共30分)

1、jf（x）dx=4,求L#（2，+1）辦:

1

2、計昇dx

b2+2x+x2

ooioo/_i\n

3、計算Z—x"的和函數(shù)并求Z匚人

n=l〃n=\〃

4、設(shè)/一2%z+y=O,求一

&（i,i,i）

求㈣吃

5、

y-0

三、討論與驗證題：(每小題10分，共20分)

x—y

1、討論/Uy）=孫/+/（尤,y）H（0。）在（0,0）點的二階混合偏導(dǎo)數(shù)

0（x,y）=（0,0）

007nOn2nY

2、討論y（-i）n+i的斂散性

n=2n

四、證明題：（每小題10分，共30分）

1、設(shè)/i(x)在［a,6］上Riemann可積,

/+I(x)=［E,(x)dx("=L2,…)，證明函數(shù)列｛/“(x)｝在［a,6］上一致收斂于0

Ja

3、設(shè)/(X)在［石，6］連續(xù)，證明j/(sinx)tZx=~^/(sinx)Jx,并求

產(chǎn)xsinx.

----------^—ax

J01+cos%

參考答案

一、1、B2、B3、A4、c5、C6、D7、D8、C9、C10、C

二、1、￡V(2x2+V)dx=f(2x2+l)J(2x2+1)(3分)令〃=2/+1,

￡xf(2x2+l)t&=1￡f(u)du=2(3分)

產(chǎn)1rAiA

2、--------dx=lim-----------d(l+x)=limarctan(l+x)

b2+2x+x2-----a"。1+(1+%)25o4"分)

CO1

3、解：令/(x)=y-xn,由于級數(shù)的收斂域［-1,1)(2分)，

〃=in

1I戶1

f(x)=y=----,/(%)=［-----dt=ln(l-x)(2分)，令x=-l,得

Zi1-xJQ1-t

尸二皿2

〃=1H

2z

2

4、解：兩邊對x求導(dǎo)3ZZX-2z-2xzx=0(3分)z=--------(2分)

%3Z2-2X

&(i,i,i)

5、解：。9三$區(qū)一5分）叫"=。（1分）

yf0

由于產(chǎn)-2,產(chǎn)2時，級數(shù)均不收斂，所以收斂域為（-2,2）（3分）

x4+4x2y2-y2

22

,-,22、，x+y^0

三、1、解、￡（x,y）=<(x+y)-(2分)

0x2+y2=0

x-4xy--y-

x----------；廠+廠2w20“公、

人（x，丁）=<(x2+y2)2(4分)

0%2+/=0

丸(。,。)=11m=

dydx與一。Ay

2

azr//Ax,o)-/v(o,o)

-----(0,0)=lim------------------=1(6分)

dxdy醺―°Ax

I2-sin2〃丫

2、解：由于limqK—l嚴(yán)--------|=2sin2x(3分)，即Zsh?%<1級數(shù)絕對收

Vn

斂2sin2x=l條件收斂，2sin2x>i級數(shù)發(fā)散（7分）

所以原級數(shù)發(fā)散（2分）

四、證明題（每小題10分，共20分）

1、證明：因為力0）在［a,6］上可積，故在［a,6］上有界，即三加>0,使得

|/；（x）|<M（Vxe［a,M）,（3分）從而優(yōu)（刈（］］力⑺|川VM（x—a）一般來

說，若對〃有i/（x）K"胃口（5分）則上（小所

以｛<（%）｝在［石，句上一致收斂于0（2分）

（*a+Tpata

￡f（x）dxx=T+/［f?+T）d（t+T）=「f（M（2）（4分）

將式（2）代入（1）得證（2分）

2、/叫，〉一。分）則啜+焉=%”-浮$=。（3

分)

3、證明：令x=7l—t

J。xf(sinx)dx=-J(?-%)/(sin(?-%))力=〃])f(sint)dt-"(sin/)力得證(7

八、yxsr?nx,7isi?nx,2.八、

分)-------dx=—\------^—dx=—(3分)

Jo1+cos2x2Jo1+cos'x8

(十七)數(shù)學(xué)分析2考試題

二、單項選擇題(從給出的四個答案中，選出一個最恰當(dāng)?shù)拇鸢柑钊肜ㄌ杻?nèi)，每小題2

分，共20分)

1、函數(shù)/(x)在［a,b\上可積的充要條件是()

A>0,>0和>0使得對任一分法，當(dāng)()<時，對應(yīng)于?的

那些區(qū)間必長度之和Z

B>0,>0,>0使得對某一分法，當(dāng)()<時，對應(yīng)于i的那些

區(qū)間X長度之和工Xi<

C>0,>0使得對任一分法，當(dāng)()<時，對應(yīng)于i的那些區(qū)間

Xi長度之和工Xi<

D>0,>0,>0使得對任一分法，當(dāng)()<時，對應(yīng)于的

那些區(qū)間不長度之和工x,<

d

2、函數(shù)/(%)連續(xù),則在［a,6］上;f(t)dt=()

dx"

A/(2x)B2/(2%)C2/(%)D2/(2%)-/(x)

葉公=

4、()

A-2B2C0D發(fā)散

00

則z%(

4、limanw0,)

00n=l

A必收斂B必發(fā)散C必條件收斂D斂散性不定

5、若級數(shù)是￡*更序級數(shù)，則)

n=ln=l

000000

A>4和，6“同斂散B可以發(fā)散到+8

n=ln=ln=l

QO000000

c若z%絕對收斂，￡么也收斂D若條件收斂，￡包也條件收斂

n=ln=ln=ln=l

00

6、X。,。）在1句一致收斂，且d（x）可導(dǎo)（方1,2…），那么（）

n=l

00

A尸（x）在［a,6］可導(dǎo)，且/'（%）=X。"（》）

n=l

00

Bf（x）在［a,6］可導(dǎo)，但/‘（X）不一定等于Za〃（x）

n=l

00

cZa“（x）點點收斂，但不一定一致收斂

n=l

00

DZan（x）不一定點點收斂

n=l

00

7、函數(shù)項級數(shù)Z%（x）在。上一致收斂的充要條件是（）

n=l

A>0,N（>>0,使m>〃>N有|%+i（x）+…區(qū)〃（刈<￡

B>0,N>0,使ni>n>NW|??+1（x）+---am（X）|<E

C>0,N（）>0,使N有L+］（x）+…區(qū)〃（刈<￡

D>0,N（>>0,使N有L+］（x）+…%（刈<￡

001

8、—1）"的收斂域為（）

n=l〃

A（-1,1）B（0,2］C［0,2）D［-1,1）

9、重極限存在是累次極限存在的（）

A充分條件B必要條件C充分必要條件D無關(guān)條件

3f（x,y）

10、（兩加一'）

dx

Alim+&，%+A,）-/（/，%）BlimA/+醍%）-/（/，%）

ArfOA%-Ax

（

Clim于X。+■%+NO-/Qo+—，%）D11m/（Xo+-，%）

A%-Ax

三、計算題：（每小題6分，共30分）

risinxcosx+1,

1、--------；----ax

L1+X2

2、計算由曲線y=x+l,y=0,孫=2和x=e?圍成的面積

3、求邛一的幕級數(shù)展開

5、已知z=/(尤+y,孫)J(〃,v)可微，求丁】

oxoy

6、求/(x,y)=土二］在(0,0)的累次極限

x+y

三、判斷題(每小題10分，共20分)

1、討論XIncos工的斂散性

n=3幾

8Yn

2、判斷Z—^7的絕對和條件收斂性

四、證明題(每小題10分，共30分)

1、設(shè)尸(x)是［-a,a］上的奇函數(shù)，證明J：f(x)dx=0

co4n

2、證明級數(shù)y=V——滿足方程丫⑷=丁

M(4初

3、證明6為閉集的充分必要條件是￡是開集。

參考答案

一、1、D2、B3、D4、B5、C6、D7、A8、C9、D10、B

,r1sinxcosx+1,psinxcosx,p1,，八、______sinxcosx

二、1、解：--------；——dx=----------dx+--------dx（2分）由于-------

L1+x2L1+x2^l+x21+x2

為奇函數(shù)J：疝AC；s,x=0（2分）—二dx=arctanx|\=工（2分）所以積分值為

?1+尤1+x2

-（1分）

2

2、解：兩曲線的交點為（1,2）（2分）

田2

所求的面積為：1/222+［-dx=6（4分）

Jix

Yx

3、解：由于e'=l+%+—+-----+…（3分）

2!nl

4

2X（一1）"必"

€—1-XH-----F,?---------F???（3分）

2!nl

JzJ2z

4、解：—=fi+f2y=fi+f2x（3分）——=fn+f2+（x+y）fn+xyf22

oxoyoxoy

（3分）

「九一y「九1—八、

5、解:lrim-九-一--丁-=lrim-一--V-=-1,1（3分）lim-----=lim—=l（3分）

%-oy-ox+yy-。yy-oxfox+yy-。x

Jl兀281

三、1、解:由于lncos3~J（6分），又X和收斂（2分）

n2n2n-1"

所以原級數(shù)收斂（2分）

n

2、解：當(dāng)|x|<l時，有一x一