2021屆九師聯(lián)盟高三年級(jí)上冊(cè)12月聯(lián)考(新高考)數(shù)學(xué)試題

2021屆九師聯(lián)盟高三上學(xué)期12月聯(lián)考（新高考）數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.設(shè)集合={r|-2<x<o},則AB=().

A.[-1,0)B.(-2,1]C.J由D,[-2,1]

【答案】B

【分析】解不等式求出集合A,再利用集合的并運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)榧螦=（|—iVxVl｝,B=｛x\-2<x<C）｝,

所以Au6=2<xW1｝=（—2,11

故選：B.

2-i

2.已知i是虛數(shù)單位，則一=（）.

I

A.l+2iB.1—2iC.-1—2iD.-1+2z

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.

2_.（2

【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，可得一=

zz.xV；-zJ

故選：C.

3.甲、乙兩人下棋，和棋的概率為50%,甲不輸?shù)母怕蕿?0%,則乙不輸?shù)母怕蕿?/p>

().

A.60%B.50%C.40%D.30%

【答案】A

【分析】根據(jù)互斥事件的概率的加法公式，即可求解.

【詳解】設(shè)4=｛甲獲勝｝,3=｛甲不輸｝,C=｛甲乙和棋｝,

則A,C互斥，且B=A+C,則PG?）=P（A+C）=PC4）+P（C）,

所以P（A）=P（6）_P（C）=40%,乙獲勝的概率為10%,

則乙不輸?shù)母怕蕿?0%+10%=60%.

故選：A.

的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）

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A.-84B.-672C.84D.672

【答案】B

【分析】寫出二項(xiàng)展開式通項(xiàng)，令無的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，再代入通項(xiàng)即可得解.

【詳解】的展開式的通項(xiàng)為T=Cr-f--Y=（-2>Crx^,

\X）r+19IXJ9

令9—3r=0,得r=3,所以常數(shù)項(xiàng)為（—2）x。3=—8x84=—672.

9

故選：B.

5.國防部新聞發(fā)言人在9月24日舉行的例行記者會(huì)上指出：“臺(tái)灣是中國不可分割的

一部分，解放軍在臺(tái)海地區(qū)組織實(shí)兵演練，展現(xiàn)的是捍衛(wèi)國家主權(quán)和領(lǐng)土完整的決心和

能力”.如圖為我空軍戰(zhàn)機(jī)在海面上空繞臺(tái)巡航.已知海面上的大氣壓強(qiáng)是760mmHg,

大氣壓強(qiáng)P（單位：mmHg）和高度〃（單位：m）之間的關(guān)系為。=760e”（e是

自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，/是常數(shù)）.根據(jù)實(shí)驗(yàn)知500m高空處的大氣壓強(qiáng)是700mmHg,則

我戰(zhàn)機(jī)在1000m高空處的大氣壓強(qiáng)約是（）.（結(jié)果保留整數(shù)）

A.645mmHgB.646mmHgc.647mmHgD.648mmHg

【答案】A

35

【分析】由八=500時(shí)，。=700,得到e-5oo*=結(jié)合指數(shù)幕的運(yùn)算，即可求得1000加

高空處的大氣壓強(qiáng).

【詳解】由題意，海面上大氣壓強(qiáng)P（單位：mmHg）和高度（單位：m）之間的

關(guān)系為p=760e-hk,

35

當(dāng)人=500時(shí)，p=700,即6-500/：=一,

38

所以1000m高空處的大氣壓強(qiáng)約為

p=76Oe-wooA-=76oC-5oot)=760x35|212250

=--------a645

38119

故選：A.

6.如圖，在平行四邊形ABC。中，E,尸分別是BC,的中點(diǎn)，已知=

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AP=遮，則AdO=（）.

A.-6B.—4C.—J10D.

【答案】B

【分析】先設(shè)AD=a,AB=b,然后A尸，AE用基底表示，AC,8。也用基底表

示，最后運(yùn)用數(shù)量積的運(yùn)算計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)AD—a,」AB-=b廣則A廠三4+菱殳—AE=~(2+

兩式相加、相減易得a+5=qQp+AE):a-b=2（AF-AE）,

<+右）.Jb）=2（4萬+融）2（FX4E）

則AC5。

\3

42-AE2/=-4

3

故選：B.

【點(diǎn)睛4關(guān)鍵點(diǎn)fl青：向量的幾何運(yùn)算中，關(guān)鍵在于取好基底，其他的向量運(yùn)算基底表示.

7.在公差為1的等差數(shù)列1｝中，已知％=%b==丁，若對(duì)任意的正整數(shù)"，

n1〃Q+1

n

b〈々恒成立，則實(shí)數(shù)「的取值范圍是().

n9

A.可B.(-9,-8)C.1—18一D.(-10,-9)

【答案】D

【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得b=1--,進(jìn)而可得點(diǎn)(〃為)在函數(shù)

nn+t"

/(x)=l—」一的圖象上，由題意可知b為數(shù)列｛。｝的最大項(xiàng)，得出9<T<10即可

X+t9〃

求解.

1—II

［詳解］由題意知a=n+t-l,所以6=-----=1———,

n?n+tn+t

所以點(diǎn)Q,。)在函數(shù)/G)=i一—一的圖象上；

〃x+t

由b〈匕知，b為數(shù)列｛。｝的最大項(xiàng)，

n99n

所以9<—/<10,所以—10<f<—9.

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故選：D.

8.已知/G）=xk],對(duì)任意的xeR,/Czx2）+4/（3—x）N0恒成立，則實(shí)數(shù)”的

最小值是（）.

11

1

c1

A.2-B.6D.8-

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，把不等式的恒成立轉(zhuǎn)化為'對(duì)任意的xeR,

ax2-2x+620恒成立”，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由題意，函數(shù)/G）=X|X|=Q可得/G）為奇函數(shù)，且在（_8,+co）

X2,X>0

上單調(diào)遞增，

由f（ax2）+4/（3-x）20恒成立，即f（ax2）>-4/（3—x）恒成立，

又由丁（2x-6）=（2x-6）|2x-6|=4（x-3）|x-3|=-4（3-x）|3-x|=-4f（3-%）,

所以/Qx2）N/（2x—6）,即ax2?2x-6,

把不等式的恒成立轉(zhuǎn)化為“對(duì)任意的xeR，ax2-2x+6>0恒成立”.

當(dāng)a=0時(shí)顯然不成立，

當(dāng)aw。時(shí)，則滿足v）,,,解得

（-2尸-4xax640n6

故選C.

二、多選題

9.下列命題為真命題的是（）.

1g。.

A.若a>b,貝!）2。一6>2B.若a>b>0,則丁丁〉1

2坨b

C.若。>0,b>0,則^/Z^N，vD.若a>b,貝!|ac2>"c2

a+b

【答案】AC

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式，逐項(xiàng)判定，即可求解

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)閍>b,所以a—。>0,所以2〃功〉1〉；，故A正確；

1Iga.

對(duì)于8,取〃=10,b=—,此時(shí)「"二一1,所以B不正確；

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._f—r2ab、2ab

對(duì)于C,因?yàn)椤?gt;。，b>0所以〃+所以L〉—左，故C

f2yjaba+b

正確；

對(duì)于。，當(dāng)。。時(shí)，ac2=bc2,所以D不正確.

故選：AC.一

10.將函數(shù)/（X）的圖象向左平移g個(gè)單位長度，再將所得函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐

O

標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膢倍，得到函數(shù)8（%）=不抽（3%+中）€4>0,3〉0,利<兀）的圖象.已

知函數(shù)g（x）的部分圖象如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)/G）的說法正確的是（）.

A./（X）的最小正周期為gB.7（x）在區(qū)間/A上單調(diào)遞減

C./^^的圖象關(guān)于直線了二（對(duì)稱D.7"（X）的圖象關(guān)于點(diǎn)[^，0]成中心對(duì)

稱

【答案】BC

【分析】由函數(shù)圖象可得gG）=2sin12x+gf|,再根據(jù)函數(shù)圖象的變換知

/（x）=2sin3x+3,根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，逐一判斷，即可得出結(jié)果

【詳解】由圖象可得A=2,T=R,

所以0—2,——+①=—+2kji(k￡Z),

62

所以①=事+2%兀(％EZ),

由||〈兀，即甲=g,得g（x）=2sin[2x+1],

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將g（x）的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膢倍，

再向右平移孑個(gè)單位長度得到函數(shù)/（X）的圖象，即/（x）=2sin，x+t）,

所以/（X）的最小正周期為整，故A不正確；

當(dāng)x=￡時(shí)，/（X）取最大值，所以/（X）的圖象關(guān)于x=］對(duì)稱，故C正確，D不正

確；

兀71+,所以/(%)=25M(3%+?］單調(diào)遞減.故B正

當(dāng)無￡9,3時(shí)'

O20\07

確.

故選:BC.

11.已知雙曲線C：三一萬=1（4〉0）,若圓（x-21+山=1與雙曲線。的漸近線相

。2

切，則（）,

A.雙曲線C的實(shí)軸長為6

B.雙曲線C的離心率e=2'疔

C.點(diǎn)P為雙曲線。上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)P到。的兩條漸近線的距離分別為《，幺，則

dd=—

124

D.直線曠=午+加與C交于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)。為弦AB的中點(diǎn)，若OD（。為坐標(biāo)

,,1

原點(diǎn)）的斜率為與，則左左=-

2123

【答案】BCD

【分析】先求C的漸近線方程，由點(diǎn)到直線的距離可得圓心到漸近線的距離為半徑解得

a,進(jìn)而可判斷A；離心率定義可判斷B是否正確；設(shè)？（5,%）,求出即可

判斷C；利用點(diǎn)差法可判斷D.

【詳解】由題意知。的漸近線方程為》±0=0,

|2|_

所以一/一=1，解得a=,

Jl+a2

22J3

所以半焦距c=2,所以e=/=g_,故A錯(cuò)誤，B正確;

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x+#yI

設(shè)PQ，％),ool,

所以d=vAI，d二

1222

所以ddJ上底。小+電|上一3閘」故。正確;

122244

設(shè)A（x,y）,B（x,y）,

1122

Y2_Y*2

（x+x\x-x）

兩式相減，得—_丁_J-(y+y)(y-y)=o,

1212

x+x(.\y-ynx+x(A

所以=+y)-k7=0,

312X-X3121

12

廣…2x+x+y7

所以~-^x2k=0,

322i

2

所以彳兀一丁，？k=0,

30°i

所以不_"乂2勺=0,所以：.—k.2k=0,

3x1321

D

771

所以畢2=］，故D正確，

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）點(diǎn)在曲線上，進(jìn)而點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線方程，艮回；-3*=3；

（2）利用“點(diǎn)差法”解決中點(diǎn)弦問題.

12.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，在《九

章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵；陽馬指底面

為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐；鱉膈指四個(gè)面均為直角三角形的四面體.如圖,

在塹堵ABC—Agq中，AB1AC,QC=BC=2,則下列說法正確的是（）.

A.四棱錐8—Ajcq為陽馬

B.三棱錐ABC為鱉膈

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C.當(dāng)三棱錐q-ABC的體積最大時(shí)，AC3

D.記四棱錐的體積為匕，三棱錐A6C的體積為一則匕=3與

【答案】ABC

【分析】根據(jù)陽馬與鱉膈的定義，幾何體的性質(zhì)可以直接判斷.

【詳解】解：塹堵AB。-為直三棱柱，

其中側(cè)棱々A，平面ABC,因?yàn)?6平面ABC,所以AJ，AS,又ABJ_AC,

ACr>AA=A,AC,AJu面,所以BA,平面々ACQ

所以四棱錐B—qacq為陽馬；

三棱錐q—ABC中，qcj_平面ABC,54,平面acq,

則三棱錐q-ABC的四個(gè)面均為直角三角形，

所以三棱錐ABC為鱉席；

三棱錐ABC的體積最大時(shí)，由于高qC=2,則ABC的面積最大，

而5。=2,所以452+402=4,

A

AB2+AC^-

所以AB-ACW————1=2,當(dāng)且僅當(dāng)=AC=JI時(shí)，取等號(hào)，

即當(dāng)AC時(shí)，A5C面積取得最大值，三棱錐q-ABC的體積最大；

v=-xACxCCxAB,B=-x-xABxACxCC,則丫=2V

131232112

A

故選：ABC.

三、填空題

13.若，抽卜一看卜一；，貝！jsin12x+"=,

7

【答案】§

c兀C71

［分析］由21+工=2+—結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角余弦公式，即可求

o2

sinl2x+—的值.

,€

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c兀c71

【詳解】由2x+"=2+'知:

o

sin2x+—=sin

I6j

7

故答案為：—.

14.已知/為拋物線C：y2=x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A,3在拋物線上，且分別位于X軸的上、

下兩側(cè)，若ABE。的面積是:（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），且。408=12,則直線的斜

率是.

【答案】一；一一

【分析】設(shè)4（5））,3牝匕），由ABFO的面積可求得點(diǎn)B坐標(biāo),再由。4.08=12

可求得點(diǎn)A坐標(biāo)，即可求出斜率.

【詳解】設(shè)）,B（x,y）.1—

1122

由拋物線>2=%得/］；,0）,

xx

而s—~—y2,得y=—4,則x=16,

△BFO24222

由OA-OB=xx+yy=16x-4y=12,則4x一丁=3,

12121111

又V結(jié)合y>0,解得乙=1,X=1,

—一1-（-4）1

所以直線A3的斜率是二?=一,.

1—163

1

故答案為：

15.經(jīng)緯度是經(jīng)度與緯度的合稱，它們組成一個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)，稱為地理坐標(biāo)系統(tǒng)，它是一

種利用三度空間的球面來定義地球上的空間的球面坐標(biāo)系統(tǒng)，能夠標(biāo)示地球上的任何一

個(gè)位置.經(jīng)度是個(gè)二面角，是兩個(gè)經(jīng)線平面（經(jīng)線與地軸所成的半平面）的夾角，某一

點(diǎn)的經(jīng)度，就是該點(diǎn)所在的經(jīng)線平面與本初子午線平面間的夾角.緯度是個(gè)線面角，某

一點(diǎn)的緯度是指該點(diǎn)與地球球心的連線和地球赤道面所成的線面角.城市A位置東經(jīng)

120°,北緯48。，城市B位置為東經(jīng)120。，北緯18。，若地球的半徑為R,則過A,B

兩點(diǎn)和地心的平面截球所得的截面圓的劣弧A3的長為.

71R

【答案】—

O

【分析】由題意可求劣弧所對(duì)的圓心角NA03的值，進(jìn)而根據(jù)弧長公式即可求解.

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【詳解】設(shè)球心為。，由題意和劣弧所對(duì)的圓心角44。3=48。-18。=30。，即

71

ZAOB=-

6

丁nR

所以過A,B兩點(diǎn)和地心的平面截球所得的截面圓的劣弧A3的長L=z

o

、71R

故答案為：—?

6

16.若函數(shù)f（x）=eX-2x圖象在點(diǎn)（XQ,f（x°））處的切線方程為y=kx+b9貝!］左一8的

最小值為.

C1

【答案】—2-—

e

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得了（X）圖象在［。，/（二））處的切線方程，由此求得上—6的表達(dá)

式，利用導(dǎo)數(shù)求得左一匕的最小值.

［詳解］切點(diǎn)為、0，⑥0_2%），/'（x）=ex_2,

所以/'（%）=ep—2,則/（x）圖象在I。J（%））處的切線的斜率為k=*-2,

則所求切線的方程為曠=

Q。-2）（x-%o）+e%—2%Q,

即y=0%-2）x-e%x+e%,則左=e%—2,b=—e%x+e%,

000

則左一b=ex*-2,

o

對(duì)于函數(shù)丁=口工一2,yf=ex（x+l）,

當(dāng)x<—l時(shí)，y'<0；當(dāng)x>-i時(shí)，y'>0;

所以函數(shù)y=xex-2在尤=-1取得極小值，亦即最小值,

則左一人的最小值為-2-L

e

四、解答題

17.在①sin?A+sin2c—sin?3=sinAsinC,（2）sin^B+—=cosB+—,

③c-cosA+a-cosC=2Z?-cosB這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并給出

解答.

問題：在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,sinA=2sinC,b=2,

且_____.求ABC的面積.

A

A

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_,2\/3

【答7案?】7.

3

JT

【分析】若選擇條件①，利用正弦定理得。2+0—核=〃。，結(jié)合余弦定理可知5=§,

由已知得。=2c,結(jié)合余弦定理可得。=犯，a=&g,利用三角形面積公式即可

33

得解.

JT

若選擇條件②，利用三角恒等變換公式化簡得到8=5，由已知得。=2c,結(jié)合余弦定

理可得c=2遭，?=—,利用三角形面積公式即可得解.

33

若選擇條件③，利用止弦定理得：sinC-cosA+sinA-cosC=2sinBcosB,利用三

角恒等變換公式及誘導(dǎo)公式可得8=］，由已知得。=2c,結(jié)合余弦定理可得

c=4g,a=S,利用三角形面積公式即可得解.

33

【詳解】若選擇條件①sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC,

利用正弦定理，得Q2-拉=QC.

I人一一，「。2+。2—/72ac1

由余弦定理知cos6=——-----=--.

2ac2ac2

jr

由0<6<兀，得

由sinA=2sinC及正弦定理，得a=2c,

將。=2c和b=2代入+c2-6=ac,解得c2=：,c=^^,a=2c="B,

333

所以S=—QcsinB=-x---x----x—=.

223323

若選擇條件②sin16+gj=cos8+；,

/Ti[k]]

變形得以sinB+—cosB=cosB+—nsinS-—cosB二一，即

222222

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TT

由0<6<兀，得

由余弦定理，得。2+C2-匕2=ac.

由sinA=2sinC及正弦定理，得a=2c,

將。=2c和6=2代入+c2—枚=ac,解得。2=：,。,a=2c=,

333

福za1.?14>/32737325/3

所以S=—acsmB=-x-----x------x——=-----.

223323

若選擇條件③c，cosA+〃,cosC=2b-cosB,

利用正弦定理得：sinC-cosA+sinA-cosC=2sinBcosB,

?.sin（A+C）=2sinBcosB,即sin5=2sin5cos5,

由sin5wO,解得cos5=；.

TT

由0<5<兀，得3=§,

由余弦定理，得a?+c2-b?=ac.

由sinA=2sinC及正弦定理，得a=2c,

將a=2c和b=2代入42+02-/72=ac,解得。2=：,：.c=?造，a=2c="'一,

333

11473273273

所以S--acsmB--x-----x------x—=-----.

223323

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用

正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：

（1）若式子含有sinx的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；

（2）若式子含有Ac的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；

（3）若式子含有cosx的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；

（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；

（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；

（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到人+5+。=兀.

18.已知數(shù)列｛a｝滿足。+2。+3a++na=（〃-l）-2"+i+2。eN*）.

n123n

（1）求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；

n

（2）若匕=bg2,則在數(shù)列也｝中是否存在連續(xù)的兩項(xiàng)，使得它們與后面的某一

nann

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項(xiàng)依原來順序構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)將這樣的兩項(xiàng)都探究出來；若不存在，請(qǐng)說明

理由.

【答案】(1)。=2”；(2)存在；b,b和b,b適合條件.

n2334

【分析】(1)根據(jù)題意，當(dāng)〃22時(shí)，a+2a+3a++(〃—Da=(〃—2)2,+2,

123n-\

兩式相減求得a=2“,進(jìn)而求得數(shù)列%｝的通項(xiàng)公式；

nn

1…

(2)由8=log2=_,利用驗(yàn)證法進(jìn)行判定，即可求解.

nann

【詳解】(1)由題意，得。+2。+3。++na=("-1)2”+i+2,

123n

當(dāng)〃22時(shí)，a+2a+3。++(〃-1)〃=(〃-2)?2〃+2,

兩式相減，得"。=(n—1)-2n+i-(n—2)-2?,即a=2n

當(dāng)〃時(shí)，a=2,也滿足上式,

所以數(shù)列3｝的通項(xiàng)公式a=2“

n

a幾logalog2〃n

7171

因?yàn)椤?1，b=-,顯然不適合，

122

7171,171711

b=-,b適合，即b=-,b=工構(gòu)成公差為一萬的等差數(shù)列；

23b

2322336bo

71717171711

b=-,b=:適合，即8b=-,b=/構(gòu)成公差為一大的等差數(shù)列;

334433446612

當(dāng)〃24時(shí)，假設(shè)b,bb(女之2)成等差數(shù)列，則2b=b+b

nn+ln+k

n-1

而當(dāng)〃24時(shí)，—7gN*,所以b，不是數(shù)列G｝中的項(xiàng),

〃—]n+kn

所以當(dāng)時(shí)，不存在連續(xù)兩項(xiàng)，使之與數(shù)列后面某一項(xiàng)依原順序成等差數(shù)列.

綜上可得，蚱々和,，幺適合條件.

【點(diǎn)睛】與數(shù)列的新定義有關(guān)的問題的求解策略：

1、通過給出一個(gè)新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)新

問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法,

實(shí)心信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；

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2、遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義

的要求，“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使得問題得以解決.

19.電子郵件是一種用電子手段提供信息交換的通信方式，是互聯(lián)網(wǎng)應(yīng)用最廣的服務(wù).通

過網(wǎng)絡(luò)的電子郵件系統(tǒng)，用戶可以以非常低廉的價(jià)格（不管發(fā)送到哪里，都只需負(fù)擔(dān)網(wǎng)

費(fèi)）、非?？焖俚姆绞剑◣酌腌娭畠?nèi)可以發(fā)送到世界上任何指定的目的地），與世界上任

何一個(gè)角落的網(wǎng)絡(luò)用戶聯(lián)系.我們?cè)谟秒娮余]件時(shí)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象，中國人的郵

箱名稱里含有數(shù)字的比較多，而外國人郵箱名稱里含有數(shù)字的比較少.為了研究郵箱名

稱里含有數(shù)字是否與國籍有關(guān)，隨機(jī)調(diào)取40個(gè)郵箱名稱，其中中國人的20個(gè)，外國人

的20個(gè)，在20個(gè)中國人的郵箱名稱中有15個(gè)含數(shù)字，在20個(gè)外國人的郵箱名稱中有

5個(gè)含數(shù)字.

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫2x2列聯(lián)表:

中國人外國人總計(jì)

郵箱名稱里有數(shù)字

郵箱名稱里無數(shù)字

總計(jì)

（2）能否有99%的把握認(rèn)為“郵箱名稱里含有數(shù)字與國籍有關(guān)”？

（3）用樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率.在中國人郵箱名稱里和外國人郵箱名稱里各

隨機(jī)調(diào)取6個(gè)郵箱名稱，記“6個(gè)中國人郵箱名稱里恰有3個(gè)含數(shù)字”的概率為PI,“6

個(gè)外國人郵箱名稱里恰有3個(gè)含數(shù)字”的概率為與，試比較〈與1的大小.

附：臨界值參考表與參考公式

P（K2>K）

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

0

K2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

0

n（ad-be）

（K"C+b）G+d）G+c）（b+。）'其中〃="++

【答案】（1）2x2聯(lián)表見解析；（2）有99%的把握認(rèn)為“郵箱名稱里含有數(shù)字與國籍有

關(guān)”；（3）P「P,.

【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)即可填寫2x2列聯(lián)表；

（2）計(jì)算可得K2=10.000〉6.635,由此可得結(jié)論；

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⑶由二項(xiàng)分布概率公式可分別表示出空，由此可得結(jié)論.

【詳解】（1）由已知數(shù)據(jù)可填寫2x2列聯(lián)表如下:

中國人外國人總計(jì)

郵箱名稱里有數(shù)字15520

郵箱名稱里無數(shù)字51520

總計(jì)202040

n(ad-bc>40(15xl5-5x5>八

(2)Ki=-f----------------------v=----------------=10.000>6.635.

\a+b)\c+d)\a+c)\,b+d)20x20x20x20

有99%的把握認(rèn)為“郵箱名稱里含有數(shù)字與國籍有關(guān)”.

（3）用樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率，根據(jù)（1）中2*2列聯(lián)表可得：

153

中國人郵箱名稱里含數(shù)字的概率為為=外國人郵箱名稱里含數(shù)字的概率為

51

204,

設(shè)“6個(gè)中國人郵箱名稱里含數(shù)字”的人數(shù)為隨機(jī)變量&,6個(gè)外國人郵箱名稱里含數(shù)字”

的人數(shù)為隨機(jī)變量n”,

根據(jù)題意得：匕?616,|

033

貝

164

3,3

P=C3

261

:.P=P

12

20.在四棱錐尸-ABC。中，底面ABC。為矩形，PA1AD,平面平面

ABCD,AB=2,PA=AD=3.點(diǎn)E在線段PC上（端點(diǎn)除外），平面A8E交尸。

于點(diǎn)F.

BC

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(1)求證：四邊形ABEF為直角梯形；

(2)若AF/立,求直線PC與平面A3EF所成角的正弦值.

2

【答案】(1)證明見解析；(2)雨.

11

【分析】(1)利用線面平行的判定和性質(zhì)可證得。〃跖，知四邊形ABE歹為梯形；利

用線面垂直的判定和性質(zhì)可證得AB1AF,由此可得結(jié)論；

(2)解法一：由長度關(guān)系可證得AB,AD,AP兩兩垂直，則以A為坐標(biāo)原點(diǎn)可建

立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法可求得結(jié)果；

解法二：利用長度關(guān)系和等腰三角形三線合一性質(zhì)可證得A尸，P。，利用線面垂直的

性質(zhì)可知A8LP。，由線面垂直判定證得平面43石尸，由線面角定義知所求角

為4PEF,由平行關(guān)系可知NPE/=/尸。。，利用長度關(guān)系可求得結(jié)果.

【詳解】⑴AB//CD,AB平面ABE/,°二平面ABEb,

...CD〃平面A3所.

又CDu平面,戶CD,平面A8￡7「平面PCD=EF,CD//EF.

又所＜CO=A3,.?.四邊形A瓦仍為梯形.

AB1AD,平面PAD，平面ABC。，平面P4。平面45C￡)=4。，AB平

面ABC。.n

二A3,平面尸A。，又AFu平面PA。，/，

???四邊形ABM為直角梯形.

(2)解法一：在RtPA。中，PD=3y/2,AF=3&_,則尸。=2AF,

2

廠為尸。的中點(diǎn)，女CD//EF，:.E為PC的中點(diǎn).

PA1AD,由(1)知，48，平面尸4。，，48,AD,AP兩兩垂直.

以A為原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP的方向?yàn)閤軸，丫軸，z軸的正方向，建立空間

??

直角坐標(biāo)系A(chǔ)—DZ,

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則4（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,3,o）,P（0,0,3）,El,33]

2?2r

.?.6E=,l,|,|j,Afi=（2,0,0）,PC=（2,3,-3）,

設(shè)平面ABE歹的法向量為相=（a,b,c）,

m-AB=2。=0

則13,3一八，取b=L解得：?=0,c=-l,

m-BE=—a+—b+—c=0

I22

設(shè)直線PC與平面A3EF所成的角為e,

.'II|PC-W|63M

則sm。=cos<PC,m>=J-'=—=——==,

J11|PC|.|m|722x7211

即直線PC與平面ABEF所成角的正弦值為訴.

―,一11

解法二：PA±AD,PA=AD=3,：,PD=3近,

AF=：Y_,.?.Q￡>=2AF,為尸。的中點(diǎn)，，人尸工尸。.

'2

由（1）知：48,平面PA。，又PDu平面PA。，

又AFcAB=A,PDl^-^ABEF,

直線尸C與平面ABE/所成的角就是NPEb,

又EFHCD,:.ZPEF=ZPCD.

AB//CD,CD±PD,

PD_3?_37rl

sin/PCD=

PC/D2+CD2一往七—卞

即直線PC與平面ABEF所成角的正弦值為題.

11

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用空間向量法求解直線AB與平面a所成角的基本步驟為:

（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示出所需的點(diǎn)和向量；

\AB-n\

（2）求得平面a的法向量”，設(shè)所求角為。，則sinO=1-J

AB.卜

CC兀?--.1

（3）根據(jù)0?0,-可求得線面所成角的大小.

Z-

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21.已知橢圓E：上+==1Q〉"O）的左、右焦點(diǎn)分別為尸（T，。），々（1，。），過

Q2b212

4且斜率為石的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)在X軸上的射影恰好為

142

（1）求橢圓E的方程；

（2）如圖，下頂點(diǎn)為A,過點(diǎn)6（。，2）作一條與>軸不重合的直線，該直線交橢圓E于

c,D兩點(diǎn),直線A。，AC分別交X軸于點(diǎn)a,G.求證：A6G與△4?！钡?/p>

面積之積為定值，并求出該定值.

【答案】（1）千+尸=1；（2）證明見解析；該定值為;.A

【分析】（1）知道C,再算出過橢圓上的點(diǎn)，列方程即可；

（2）設(shè)而不求，直線與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得。，。橫縱坐標(biāo)的和

與積，分別寫出A。，AC的方程，寫出〃與G的坐標(biāo)，再寫出兩三角形面積的乘積，

再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.

【詳解】（1）過/（-1，0）且斜率為'"的直線方程為y=走Q+1）,

144

J2

令x=l,則>=

2

。2一拉=1

由題意可得I11解得。2=2,62=1,

——+——=1

、Q22b2

所以橢圓E的方程為藍(lán)+產(chǎn)=1.

（2）由題意知，直線BC的斜率存在，

設(shè)直線BC的方程為丁=區(qū)+2,

設(shè)。（x,y）,c（x,y）,

1122

將y=爪+2代入/+產(chǎn)=1,得（1+2公）底+8丘+6=0,

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-8k6

所以X+x=--------,XX=--------

>21+2左2121+2左2

由A=16k2-24>0,女2〉5,

所以乂+e3+0+4=總

yy=(kx+2)(京+2)=k^xx+2k(x+x)+4=--笠―

121212121+2左2

y+i1

直線A。的方程為y=T「x-i

?X

1

x

令y=o,解得》=4丁，

1

/\/\

尤X

則”--,0，同理可得G—^,0

U+乙)U+%)

1X1cx

所以S△椀—X14X——1—X—x3x——2—

21+y21+y

12

3xx

---------------------

4l+y+y+yy

1I212

6

31+2^2361

—X-----------------------------------------—X一二一

444—2左241+2左2+4+4—2左2492,

1+

1+2左21+2左2

所以ABG與△AO”的面積之積為定值，該定值為9