2023-2024學(xué)年湖北省黃岡實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題含解析

2023-2024學(xué)年湖北省黃岡實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知等比數(shù)列｛%｝中，“2020”2023二2。2022，出=2，則%=()

1

A.—B.1

2

C.y/2D.4

2.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且%=4詼)，貝！|芒=()

d6

916

A.—B.—

1017

178

C.—D.—

1617

3.在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做“等和數(shù)列”，這個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的

公和.已知等和數(shù)列｛斯｝中，4=2,公和為5,則68二()

A.2B.-2

D.-3

4.設(shè)集合A={x|xW2或x23},3={乂尤>1},則AB=()

A.[1,3]B.(l,2]u[3,y)

C.(2,3)D.(-co,2]O[3,+00)

2x2

5.已知命題p：Vx>2,x>2,命題q：3x0eR,In(x0+l)<0,則下列命題是真命題的是()

A.pA(—>4)B.pV(—iq)

C.p/\qD.pVq

6.已知拋物線y=a/過(guò)點(diǎn)(1,2),則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為。

A?加

7.在ABC中，3=60°,C=45°，AB=\,則AC邊的長(zhǎng)等于（）

A.,/2B正

2

C巫D.-

22

8.“橢圓旦+^^=1的離心率為也”是“〃z=6”的()

8m-22

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

9.已知數(shù)列｛/｝為等比數(shù)列，貝！4>1”是“｛?！保秊檫f減數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

10.在單調(diào)遞減的等比數(shù)列｛%｝中，若%=1，%+%=/，則/=（）

A.9B.3

11

C.—D.一

39

11.某大學(xué)數(shù)學(xué)系共有本科生1500人，其中一、二、三、四年級(jí)的人數(shù)比為4:3:2:1,要用分層隨機(jī)抽樣的方法從

中抽取一個(gè)容量為300的樣本，則應(yīng)抽取的三年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為（）

A.20B.40

C.60D.80

1

12.命題pH%>0,玉)+—=2,貝()一^為()

%

A.\/x>0,xH—=2B.Vx>09xH—w2

xx

C.\/x<0,xH—=2D.3x<0,xH—w2

xx

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在（工-x］的展開式中一項(xiàng)的系數(shù)為.（結(jié)果用數(shù)值表示）

14.螺旋線這個(gè)名詞來(lái)源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個(gè)固定點(diǎn)開始向外逐圈旋繞而形

成的曲線，如下圖（1）所示.如圖（2）所示陰影部分也是一個(gè)美麗的螺旋線型的圖案，它的畫法是這樣的：正方形

ABC。的邊長(zhǎng)為4,取正方形各邊的四等分點(diǎn)E,F,G,H,作第2個(gè)正方形EVGH,然后再取正方形E尸GH

各邊的四等分點(diǎn)“，N,P,Q,作第3個(gè)正方形MNPQ,依此方法一直繼續(xù)下去，就可以得到陰影部分的圖案.如圖（2）

陰影部分，設(shè)直角三角形面積為偽，直角三角形EMQ面積為優(yōu)，后續(xù)各直角三角形面積依次為4,…，bn,

若數(shù)列｛〃｝的前n項(xiàng)和S?<22-32恒成立，則實(shí)數(shù)2的取值范圍為.

圖(1)圖(2)

15.在單位正方體A5CD-A'5'C'。'中，點(diǎn)E為40的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)3,E,。，的平面截該正方體所得的截面面積為.

16.等差數(shù)列｛4｝的公差d/0,S”是其前"項(xiàng)和，給出下列命題：①若d<0,且S3=$8,則S5和S6都是｛S“｝中

的最大項(xiàng)；②給定"，對(duì)于一些左eN*（左<〃），都有區(qū),出+“3=24；③存在kwN*使4一久+1和W同號(hào)；

④S2021=3（兀50-S679）.其中正確命題的序號(hào)為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）在復(fù)數(shù)集。內(nèi)方程必一1=0有六個(gè)根分別為例，。2，。3，0，。5，。6

（1）解出這六個(gè)根；

（2）在復(fù)平面內(nèi)，這六個(gè)根對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,D,E,F；求多邊形A5C0EF的面積

18.（12分）已知圓C的方程為（x—l）2+y2=4.

（1）直線/1過(guò)點(diǎn)P（3,1）,傾斜角為45。，且與圓C交于A,8兩點(diǎn)，求A8的長(zhǎng)；

（2）求過(guò)點(diǎn)P（3,1）且與圓C相切的直線b的方程.

19.（12分）已知數(shù)列｛為｝的前"項(xiàng)和S“，滿足4+35屋"-1=0（〃22）,

（1）求證：數(shù)列?是等差數(shù)列；

⑵令g=不，求數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和T,.

20.（12分）從某居民區(qū)隨機(jī)抽取2021年的10個(gè)家庭，獲得第i個(gè)家庭的月收入玉（單位：千元）與月儲(chǔ)蓄/（單位：千

10101010

元）的數(shù)據(jù)資料，計(jì)算得?=8。，?，=2°，2＞/=184,W＞；=720

z=lz=lz=li=l

（i）求家庭的月儲(chǔ)蓄y對(duì)月收入x的線性回歸方程§=隊(duì)+%；

（2）判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；

（3）利用（1）中的回歸方程，分析2021年該地區(qū)居民月收入與月儲(chǔ)蓄之間的變化情況，并預(yù)測(cè)當(dāng)該居民區(qū)某家庭月

收入為7千元，該家庭的月儲(chǔ)蓄額.附：線性回歸方程系數(shù)公式

_n___

^x^-nxy___

y=+a中'b=母,a=y—bx＞其中％，y為樣本平均值

^xj-nx

Z=1

21.（12分）設(shè)橢圓】+《=l（a〉6〉0）的左焦點(diǎn)為R,上頂點(diǎn)為3.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4,離心率為個(gè)

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)M為直線PB與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)N（0,-1）且（。為

原點(diǎn)），求直線總的斜率

22.（10分）已知數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S“，且2s“=3%-3（nGN*）

（1）求數(shù)列｛。“｝的通項(xiàng)公式

（2）若b“=（n+1）an,求數(shù)列｛么｝的前〃項(xiàng)和北

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】設(shè)公比為4,然后由已知條件結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程求出心從而可求出%,

【詳解】設(shè)公比為彘因?yàn)榈缺葦?shù)列｛麗｝中，々2020々2023=2a2022，%=2,

所以％才。18.〃2/。21=2（/夕2。20）2,

所以4/。39=8/04。，解得g=

所以54=2,得％=4

故選：D

2、C

【解析】根據(jù)給定條件求出等比數(shù)列｛%｝公比g的關(guān)系，再利用前”項(xiàng)和公式計(jì)算得解.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的的公比為q,由%=4%得：%=4。7“3,解得/=；,

(1-產(chǎn))

所以'=1-q=]+.=1+(與=—,

S6一(1-力”416

i-q

故選：c

3、C

[2,〃為奇數(shù)

【解析】利用已知即可求得。，=3,再利用已知可得：a=4/田珈，問(wèn)題得解

n、3,〃為偶數(shù)

【詳解】解：根據(jù)題意，等和數(shù)列｛飆｝中，4=2,公和為5,則為+2=5,即可得出=3,

[2,〃為奇數(shù)

又由小-1+斯=5,則a”4/田朋，

[3,〃為偶數(shù)

則%8=3；

故選C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了新概念知識(shí)，考查理解能力及轉(zhuǎn)化能力，還考查了數(shù)列的周期性，屬于中檔題

4、B

【解析】根據(jù)交集的概念和運(yùn)算直接得出結(jié)果.

【詳解】由題意知，

AIB=(1,2]?[3,?).

故選:B.

5、B

【解析】取x=4,得出命題p是假命題，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算得出命題夕是假命題，再判斷選項(xiàng).

【詳解】命題p：Vx>2,x2>2x,是假命題，例如取x=4,則42=2%

命題g：SxoER,In(xo2+l)<0,是假命題，WxGR,In(x2+l)20.

則下列命題是真命題的是PV（「4）.

故選：B.

6、D

【解析】把點(diǎn)（L2）代入拋物線方程求出“，再化成標(biāo)準(zhǔn)方程可得解.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€y=過(guò)點(diǎn)（1,2）,

所以2=。，所以拋物線方程為y=2一,

,1

方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為#=5〉,

故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

故選：D.

7、B

【解析】根據(jù)正弦定理直接計(jì)算可得答案.

，得7,

【詳解】由正弦定理丁三二「A/?；AC_1_

smBsmCsin60sin45

故選:B.

8、C

【解析】討論橢圓焦點(diǎn)的位置，根據(jù)離心率分別求出參數(shù)加，由充分必要性的定義判斷條件間的充分、必要關(guān)系.

【詳解】當(dāng)橢圓片+上=1的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，,得加=6；

8m-2812J

當(dāng)橢圓二+上二=1的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，（"L2卜8」受],得加=]8

8m-2m-2[2）

故“橢圓上+_2_=1的離心率為叵，，是“m=6”的必要不充分條件

8m-22

故選：C.

9、A

【解析】本題可依次判斷"q<0,q>l”是否是“｛4｝為遞減數(shù)列”的充分條件以及必要條件，即可得出結(jié)果.

【詳解】若等比數(shù)列｛4｝滿足卬<0、q>l,則數(shù)列｛/｝為遞減數(shù)列，

故"％<0,q>1”是“｛a“｝為遞減數(shù)歹！J”的充分條件，

因?yàn)槿舻缺葦?shù)列｛4｝滿足4〉0、。<4<1,則數(shù)列｛為｝也是遞減數(shù)列，

所以“弓<0,q>1"不是“｛為｝為遞減數(shù)列”的必要條件，

綜上所述，“4<0,“>1”是“｛??｝為遞減數(shù)列”的充分不必要條件，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查充分條件以及必要條件的判定，考查等比數(shù)列以及遞減數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性和綜合性,

考查推理能力，是簡(jiǎn)單題.

10、A

110

【解析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得4+—=丁，結(jié)合條件即求.

q3

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,貝！J

10田

由/=1，/+。4=9得

1101

q+-=_7，解得q=_或q=3,

q33

又｛4｝單調(diào)遞減，

故q=La=g=9.

3q，

故選：A.

11、C

【解析】根據(jù)給定條件利用分層抽樣的抽樣比直接計(jì)算作答.

【詳解】依題意，三年級(jí)學(xué)生的總?cè)藬?shù)為——-——X1500=300,

4+3+2+1

從1500人中用分層隨機(jī)抽樣抽取容量為300的樣本的抽樣比為理9=

15005

所以應(yīng)抽取的三年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為gx300=60.

故選：C

12、B

【解析】直接利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結(jié)果即可.

【詳解】命題P：三%>°，/+'*=2為特稱命題，而特稱命題的否定是全稱命題，

所以命題。：*0>0,xo+-=2,則一9為：Vx>0,x+—7i2.

xox

故選：B

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、-120

【解析】先求解出該二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，然后求解出滿足題意的項(xiàng)數(shù)值，帶入通項(xiàng)即可求解出展開式的系數(shù).

【詳解】(--x］展開式通項(xiàng)為(+i=￡od)m"(r)'=，(T)'x2i°,由題意，令2-10=4,解得，r=7,

)X

所以一項(xiàng)的系數(shù)為品)(—1)7=—120.

故答案為：-120.

14、2<-1^2>4

【解析】先求正方形邊長(zhǎng)的規(guī)律，再求三角形面積的規(guī)律，從而就可以求和了,再解不等式即可求解.

【詳解】由題意，由外到內(nèi)依次各正方形的邊長(zhǎng)分別為%,%，。3，4,則

.1V(3YM

%=4嗎=,匕。11+匕"J=~4~ai'

%］］產(chǎn)］+［4出］4%14卜……，

%='》+(，，)=哈"含普，

于是數(shù)列｛4｝是以4為首項(xiàng)，乎為公比的等比數(shù)列，則a“=4；乎j.

22

由題意可得：即4JJ也=出J'……，2_4+1

—4'

2一4.28

5

5

<4>故萬(wàn)一3%24,解得44一1或224.

故答案為：4V—1或224

【解析】根據(jù)題意，取*C'的中點(diǎn)R,連接形、ED、D'F、BF，分析可得四邊形班D'F為平行四邊形，則

要求的截面就是四邊形正DF,進(jìn)而可得BEUF為菱形,連接BD'、EF,求出BD'、E/的長(zhǎng)，計(jì)算可得答案

【詳解】根據(jù)題意，取3C’的中點(diǎn)e，連接班、ED、D'F、BF，

易得BE//D'F,BF//D'E,則四邊形班D'F為平行四邊形，

過(guò)點(diǎn)3,E，OC的截面就是BEDF，

又由正方體ABCD-AB'C'D'為單位正方體，則BE=DD'=D'F=BF=.

V14=—2

則,BED'F為菱形,連接BD'、EF,

易得BD=6,EF=叵，

則SBEDT=LBD、EF=&,即要求截面的面積為限，

BEDF222

故答案為：旦

16、①②

【解析】對(duì)①，根據(jù)數(shù)列｛與｝的單調(diào)性和4=0可判斷；對(duì)②和③，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可直接推導(dǎo)；對(duì)④，利

用等差數(shù)列的前“項(xiàng)和可直接推導(dǎo).

【詳解】不妨設(shè)等差數(shù)列｛qJ的首項(xiàng)為火

對(duì)①，S3=S89可得：3〃]+3d=8〃[+28d,解得：〃i+5d=0,即/=。

又d<0,則｛4｝是遞減的，則｛q,｝中的前5項(xiàng)均為正數(shù)，S5=S6

所以S5和S6都是｛S“｝中的最大項(xiàng)，故①正確；

對(duì)②，an_k+an+k=al+^n-k-l)d+al+(^n+k-l)d=2%+2(〃-l)d

2an=2al+2(n-l)d,故有：an_k+an+k=2an,故②正確；

對(duì)③，(%—以%又GwO,則(%一以.)(歿—%_J=—屋<0,說(shuō)明不存在左eN*使一為+1和

同號(hào)，故③錯(cuò)誤；

對(duì)④，有：

S2021-3($1350-$679)=

2021%+1010x20216?-3(1350(?!+675x1349d-679%—339x679J)

—8q+28d

故S2021=3(S1350-S679)并不是恒成立的，故④錯(cuò)誤

故答案為：①②

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17小111V3.16.1V3.1V3.

17、(1)(o1=l,(o2=-l,co3=--+—i,(oi=---1,<O5=-+—I,?y6=---1

乙乙乙乙乙乙乙乙

⑵9

2

【解析】(1)原式可因式分解為(*一1)(*+1)(*2+*+1)(*2-*+1)=0,令爐+%+1=0,設(shè)x=a+》i,a,AeR

可求解出爐+%+1=0的兩個(gè)虛根，同理可求解爐一*+1=0的兩個(gè)虛根，即得解；

(2)六個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的圖形為正六邊形，邊長(zhǎng)為1,計(jì)算即可

【小問(wèn)1詳解】

由題意，x6-l=0

/.(x-l)(x+l)(x2+x+l)(x2-X+1)=0

當(dāng)/+x+l=o時(shí)，設(shè)x=a+

故（。+慶）2+。+〃+1=。2一〃2+。+1+（2?！?8）j=o,

所以“2—力2+〃+i=2ab+b=0

解得：a=——.b-±^-BPx=-—±^-i

2222

當(dāng)/-x+l=O時(shí)，設(shè)"=。+小,。,〃￡A

故（c+di/—c-di+l=c2-d2-c+l+（2cd—d）i=O

所以c?—rf2—c+\=2cd—rf=O

解得：c=Ld=±3~，BPx=—±——i

2222

痂111161A/3.16.

故：4=Iq=T，°3=-7+—=-+—=--------------1

乙乙乙乙乙乙22

【小問(wèn)2詳解】

六個(gè)根對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,D,E,F,

其中41,。)向T,O),C(W，

，.與E與與，吟.號(hào)

222222

在復(fù)平面中描出這六個(gè)點(diǎn)如圖所示:

故S=6乂儲(chǔ)/=巫

42

18、（1）714

(2)x=3或3x+4y-13=0

【解析】(1)首先利用點(diǎn)斜式求出直線4的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，最后利用垂直

定理、勾股定理計(jì)算可得；

(2)依題意可得點(diǎn)P在圓外，分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)直線的斜率不存在直線得到直線方程，但

直線的斜率存在時(shí)設(shè)直線方程為y-l=Hx-3),利用點(diǎn)到直線的距離公式得到方程，解得左，即可得解；

【小問(wèn)1詳解】

解：根據(jù)題意，直線4的方程為y—l=lx(x—3),即x-y—2=0,

則圓心(i,o)到直線4的距離為d=?總=—

V1+12

故|=2-\/22—d2=214—g=y/14；

【小問(wèn)2詳解】

解：根據(jù)題意，點(diǎn)P在圓外，分兩種情況討論：

當(dāng)直線4的斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)P(3,l)的直線方程是％=3,

此時(shí)4與圓C：(x—l『+y2=4相切，滿足題意；

當(dāng)直線4的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y-1=左(％-3),

即立_y_3A+l=0,

,、|-2左+1|

直線與圓相切時(shí)，圓心(L0)到直線的距離為亍*=2

3

解得上=_：

4

此時(shí)，直線4的方程為3x+4y—13=0,

所以滿足條件的直線12的方程是％=3或3x+4y-13=0.

19、(1)證明見解析

(2)7；=(3n-3)x2"+1+6

【解析】(1)先將冊(cè)變?yōu)镾“-S〃T，然后等式兩邊同除即可得答案；

(2)求出S“,再用錯(cuò)位相減求和

【小問(wèn)1詳解】

證明：?.?見+3S“ST=05N2)

S,I+3S〃ST=0

由已知易得S,產(chǎn)0,

9―。=3(九22)

11。

???數(shù)列丁是首項(xiàng)三=3,公差為1=3的等差數(shù)列;

AS"%

【小問(wèn)2詳解】

由(1)可知，］=!+(〃_l)xd=3〃

c,=-=3n-T

3〃

7；=3x2+6x22+9x23++3(“-1)x2"T+3"x2”①

27；,=3X22+6X23+9X24++3(”—1)x2"+3八2.②

①一②有-。=3x2+3x22+3x23++3x2"-3nx2,!+1

2x(1-2")

=3x—-----人—3nx2'+i=—6+3x2,i+1-3zix2,!+1

1-2

7；,=(3n-3)x2"+1+6

20、(1)y=0.3x-0.4

（2）正相關(guān)（3）1.7千元

【解析】（1）由題意得到"=10,求得H進(jìn)而求得"6,寫出回歸方程；.

（2）由6=0.3〉0判斷;

（3）將x=7代入回歸方程求解.

【小問(wèn)1詳解】

由題意知

?=10,還，產(chǎn)辿=8；=L￡x=型=2,

io￡;ioio￡io

〃__

則b二T----------二0.3,d=y-bx--0.4,

_〃(x)2

Z=1

所以所求回歸方程為y=0.3x-0.4.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)?=0.3〉0，

所以變量J的值隨x的值增加而增加，故x與y之間是正相關(guān).

【小問(wèn)3詳解】

將x=7代入回歸方程可以預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄為y=0.3X7—0.4=1.7(千元).

22

21、(1)—+^=1

54

⑵獨(dú)^或_2-

55

【解析】(1)根據(jù)已知條件求得。，仇。，由此求得