2024屆河南省信陽(yáng)市高三年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)一模試題及答案

河南省2023-2024學(xué)年高三上期11月一模

數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.若集合4={尤|%2}(6A”)

-5%三0,5-{尤|y-ln(%—7)},則B-(

A.(0,7]B.(0,5)C.(7#,)D.(5,i/)u

2.已知凡5是單位向量，若a一(a+36),則。在6上的投影向量為()

3.設(shè)R廁“2"二”是“/+120”的（)

4

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知tar{a+~1r52,則tan2a=（）

A.-，B._皂C.73D.9

33

5.函數(shù)/（x）的圖象如圖所示，則/（x）的解析式可能為()

>▲

/[\

__7/\?

/0x---x

5sinx5（e、e，）5cosx

D.-----

元2.2+1+2Xt1

2

6.尼知的數(shù)f（x）=sin2lsin（.）x-1（（>0）,xc

B【，若/(x)在區(qū)間阮，2九)內(nèi)沒有零點(diǎn)，則(，)的取值

范圍是（）

A」'0，：|B[0,：|JC[0,-|J-,1)D,卜春

Voko4oV

4j_8

7.在四棱雉PA3CD中，底面ABCD是直角梯形，AB'CD,.ABC-90。,A3-2,3C-2g.若

PA-PD,PCP3,且三棱雉尸-ABC的外接球的表面積為20n，則當(dāng)四棱雉PA3CD的體積最大值時(shí),

8長(zhǎng)為()

A.y/3B.2C.y/5D.y/10

2

8.已知a-4+^ln2力一2+212,。一22」貝|()

A..a-bcB.ba<cC.c~b、aD.a<c<b

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.己知復(fù)數(shù)4/2,下列命題正確的是()

A'1\-卜|2B.若|z|㈤，則Z-Z2Cj”“琲21D'||||||

11Zz-ZZ

1212

10.己知等比數(shù)列忸“｝的公比為q(q,0),前〃項(xiàng)積為T”,若T27,則()

7

A.0q1B.q1C.Tu>1T14D.7141T

15

n.如圖，直角梯形A3CD43cL中，AB//CD,ABBC,BCCDLAB2,E為A3中點(diǎn)，以DE為

2

折痕把△ADE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)尸的位置，且PC-2?.則下列說(shuō)法正確的有()

A.CD.平面EDPB.四棱雉尸-EBCD外接球的體積為4反

B.二面角PCD3的大小*D.PC與平面EDP所成角的正切值為血

|ln(2-x)|(0<x<2)

|十，)的函數(shù)/(x)滿足/(右6)/(%)=.二°、，F(xiàn)xc[0,3]都

12.定義在0,【sm"(2?x<3)

有/(6-x)+/(%)=0,若方程/(x)=a(a€R)的解構(gòu)成單調(diào)遞增數(shù)列；x”,則下列說(shuō)法中正確的是()

A./(2023)z0

B.若數(shù)列為等差數(shù)列，則公差為6

1n

C.若2(%1+%)一玉%3,則0.aIn2D.若1-tz<ln-,貝IJ=(刖，-2+雙/)一6n24n

277

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知等差數(shù)列滿足的=2,。2+。4=?6,則公差d7__________.

14.己知函數(shù)/'(x)="+sinx+22無(wú)(*、0,且。，1),曲線y=/(X)在點(diǎn)(0"(0))處的切線與直線

2x-2y+9-0平行，貝ija-.

15.米斗是稱量糧食的量器，是古代官倉(cāng)、糧棧、米行的必備的用具，為使堅(jiān)固耐用，米斗多用上好的木料制

成.米斗有著吉祥的寓意是豐饒富足的象征，帶有濃郁的民間文化韻味如今也成為了一種頗具意趣的藏品，如

圖的米斗可以看作一個(gè)正四棱臺(tái)，已知該米斗的便棱長(zhǎng)為10,兩個(gè)底邊長(zhǎng)分別為8和6,則該米斗的外接球的

表面積是__________.

16.己知函數(shù)/'(X)」/ex，不等式Qa爐/)+〃21nx+x”0對(duì)任意的(0,r)恒成立，

2sinx

則a的最大值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.

17.(10分)己知函數(shù)/Xx)-必(a+a,atR,

(1)求關(guān)于x的不等式/(x)、.0的解集；

(2)若/(x)+2x，0在區(qū)間(1,+，)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

18.Q分)已知函數(shù)/(x)=Asin(”x+(p)(A」0,G.0。3三；的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為)

I2/2

函數(shù)/(%)的最大值為2,且__________.

八3；③

請(qǐng)從以下3個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面橫線上，①尸x-6'為奇函數(shù)；②當(dāng)》一0時(shí)()

x二是函數(shù)/(x)的一條對(duì)稱軸并解答下列問(wèn)題：

(1)求函數(shù)/(X)的解析式；

(2)在△ABC中，a、b、c分別是角A,B,C的對(duì)邊，若/'(A)-/,c=3,4A3C的面積SOBC-3JJ,求

a的值.

19.(12分)己知數(shù)列出"中，a==+(w*)

0,an.i2annnN

(1)令4=劣.1-。"+1,求證：數(shù)列p#是等比數(shù)列；

(2)令c,-當(dāng)金取得最大值時(shí)，求”的值.

n0

20.(12分)如圖，在梯形A3CD中，AB//CD,AB-2,CD-5,/.ABC--.

(1)若AC-2",求梯形A3CD面積；

(2)若AC,,求tan/ARD.

21.(12分)如圖，五面體尸一ABC。中，CD.平面以。，ABCD為直角梯形，一BCD

P

(1)若E為AP的中點(diǎn)，求證：3E〃平面PCD

⑵求PABC的余弦值.

22.(12分)(1)證明：當(dāng)0?尤<1時(shí),x-%2<sinx<x;

(2)已知函數(shù)/10)「<：05依-111(1-爐)若％0為了(V)的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍.

河南省2023-2024學(xué)年高三上期11月一模

數(shù)學(xué)答案

一、選擇題：

題號(hào)123456789101112

答案cDACDCDDACACABCABD

8.因?yàn)椋ぁ?2+212-2為=2+2.2°-2-22.2==21-2.2?！?，一2(1_2?！?

以

所以。>C;令x)=1-lnx(x1),/(x)=1X>，所以/(%)在(l,+x)上單調(diào)遞增；

因?yàn)?°2>1,所以/(2°2)>/(I)，即20-2-1-In2°2>0,

所以6—。一2+2「2-4112-2.2°-2-2-21n20-2-2^2-l-ln202>)0.

所以6-a；同理2°」>1,所以/(2°」)>/(I)，即201-l-ln2°」-0，也即12°」4n201<0,

所以a—c-4+(ln2—22」=4+41n2°」-22.2°/，4(l>ln201-201>0,所以a<c.

綜上，。<。歸萬(wàn),故選：口.

11.解：對(duì)于A,:E為A3中點(diǎn)，.BE-CD,3E〃CD,.?.四邊形E3CD為平行四邊形，

又A33C,...四邊形E3CD為矩形，DE;「PDAD2.222^2,CD2,

PC273,PD\CD2.PC2,.CDPD,又PD”ED,PD,DE平面EDP,

CD一平面EDP,A正確；

對(duì)于B,,「BC//DE,AB一BC,..AE_DE，即PE_DE,,/CD一平面EDP,PE二平面EDP,

CDPE,又CDCDED,CD,DE平面尸石,平面EBCD;

?..矩形EBCD的外接圓半徑r-1.V22+22一JI,.?.四棱錐尸-EBCD

2的外接球半徑

Rh；PE]V2Hy/3,...四棱錐P-EfiC/f,按壞的"*\V-}R3_46'B止岷，河丁

C：.CD1平面EDP,PD二平面EDP,

PDCD;又DE工CD,；.二面角PCD3的平面角為.PDE,

?：PEDE,PEDE-2,?PDE：,；.二面角「CDB[

4的大小為4,C正確；

對(duì)于D,CD1平面EDP,：.―CPD即為直線PC與平面EDP所成角，：CD.PD，PD-2版

2/2/5~

CD2,.-.tan.CPD一之，即直線直線PC與平面即尸所成角的正切值為―，D錯(cuò)誤.故

PD2&22

選：ABC.

12.解：?.?/c［0,3］都有/(6-x)+，(x)=O,.?J(x)關(guān)于(3,0)對(duì)稱,令x-3,則/(3)+/(3)=0,即

〃3)0.?在［0,+8)的函數(shù)/(尤)滿足了(尤+6)/(x),../(x)的周期為6,作出函數(shù)/(x)在［0,6)內(nèi)的

圖象如圖：

A./(2023)=/(6.337+1)-，(1)=0,故A正確.

B.由圖象可知：若數(shù)列產(chǎn)“；為等差數(shù)列，則。(,1)(1,r(x)與y_a在［0,6)內(nèi)有且僅

e-U''此時(shí)y

有一個(gè)交點(diǎn)，???/(》+6)-/(%),二/(工)周期是6,即X.」-X"h6,即數(shù)列|羽；的公差為6,故B正確，

2(X1+2)n

C.若4)=+3,即(2%1)(2尤1,可得出『(2/)(2x2)1=l(2xin2x2°，則

-)+(-)=

|ln(2-xi)卜|ln(2一沏)|,即yh/(x)與y-a在［0,2)內(nèi)有且僅有2個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可得0a<ln2,故

C錯(cuò)誤；

D.若Icavln；-ln2,則y-/(x)與y=。在［0,6)內(nèi)有且僅有3個(gè)交點(diǎn)，且

xi+%2-7,vf(x+6)-于(X)，則

—

(^3i.l-Xii.2)—(雙2-—F(X%''的1+6)］—(%3i-2-Xii1)12,數(shù)列［2—對(duì)/j是以7為首

3z-l

項(xiàng)，公差d=12的等差數(shù)列,可得心.2.的.1=7+125-1)=12〃-5,

Wn(7412n+5)n(12n,12),,,立...

：.七(、3〃2+%3r1)---------------------------------6〃2寸〃，故D正確.故選：ABD.

7722

二、填空題:

13.214.e15.200n16.1

16.解：因?yàn)?Xx)-exef2sin(x)-e'x-ex42sinxf(x),

所以/(x)為R上的奇函數(shù)，

又r(x)=e*+e*-2cosx>2&*,e工-2cosx-2—2cosx2C,

所以/(x)在(-00,+8)上單調(diào)遞增.

因?yàn)榱恕北?￡)€+，)恒成立，

+/(21nx+x)t0對(duì)任意的x(0,

所以y(21nx+x”/(好--a)對(duì)任意的(0,-，)恒成立，

所以21nx+x<xe。對(duì)任意的(0,.工)恒成立，

2%

2laxx

即必靖(21nx+x)e叫.靖(21nx+x)e'(21nx+x)

對(duì)任意的xc(0,+x))恒成立.令

k(x)=e*-x,所以h'(x)-ex'1,

所以當(dāng)x:0時(shí)，h,(x)?0,人任)在(0,+ac)上為增函數(shù);

當(dāng)x<0時(shí)，lr(x)<0,A(X)^E(-f)

,0上為減函數(shù).

所以以的福-〃(0)-e°01,設(shè)g(x)-21nx+x,顯然g(x)為(0,r)上的增函數(shù)，因?yàn)?/p>

1\111；1\

g-'21n-?-2.—0,g⑴一1：、0,所以存在為訪一,1；,使得g(x())=+

\e)eeeU)21n沏x°0,所以

(21nx?x)j1,此時(shí)21nx+x-0,

一|min

所以a、1,即a的最大值為1.故答案為：1.

三、解答題

17.解：⑴由/(x)<0得(X—a)(x-l).0,

令(x-a)(x-1)-0,得Xi=a,X21,

當(dāng)a>1時(shí)，原不等式的解集為(l,a);

當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為0；

當(dāng)a.1時(shí)，原不等式的解集為(a,l).(5分)

(2)由/(x)+2x：0即%2一奴+%-0在(1,'上恒成立，

YkY

得。2^令1=%一1(".0),

x1

則'1r,J3.2&+3,"283

x-1tt

取頭雙。刖取1旦氾國(guó)足（J

,2V2+3]10分

TQ

18.M：（1）由題意得A-2,一?三，，最小正周期TJ,則s—-2,

22T

../（X）2sin（2%+cp）.若選①,f\X為奇函數(shù),則八-落o

2sinj4+.)工0,即sin；|>

即]<1+.<不，’,+0=0'即$=

../(x)2sin[2x?y|.

若選②，當(dāng)尤=0時(shí)/(%)-2sin.=5即si*-

n

???0:??萬(wàn),.?:M，/(%)-2sin?2xI

若選③，X-2是函數(shù)/（x）的一條對(duì)稱軸，

，2X*+，=]+A:"（XGZ）,即。一"十左n（x匚Z）,

nn;7tI

???0(?(了，二5，f(x)-2sm,2x*y6分

rIn)r.(7t'A/3

(2)v/(A)=v3,.\2sin|,2A+T|=,即sin|&4+~v虧，

J7I3)乙

,.'A.(0,^)gpl2A+-L2A+--—,即-,

(3M33)33A=6

X,/c-3,AABC的面積SAABC-3或：.寸csinA38得b-4日

在△ABC中，由余弦定理得a2b/+c2-2AcosA-48+9-2.4蘇3.21,解得

12分

19.(1)證明：由題意，當(dāng)〃-1時(shí)，a?—24?12.?0,11,

則A—。2—d110,1-2，又=bn1一(In.2-。八.1”

???數(shù)列他力是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.5分?

---2〃廁〃an-\12",

n1

（2）解:由（1）可知，bn22〃i

2,71

即〃an2"1,.\ci\0,。2-的2I,?-。22ani21,各項(xiàng)相加，可得

"?11

蠲_0，（2「1）+（22-1）+一+（2"|）

;當(dāng)〃1時(shí)，ai-0也滿足上式，，—2"nN,

un

n2-n-12?-i-(?+1)-12“,”〃2

Cn-S7F-----y,----，貝“C?-l=

2/1-72-22n-n-12〃+l-2"

C/l1C/q

令f(n)-2n*12〃廁f(nJ)-2仆3-2n-1,

1

..f(n+l)-f(n)-2n+3-2"-(2〃+1-2”)-2-2",

?.?當(dāng)〃1時(shí)，22"2210,此時(shí)/⑴/(2),

當(dāng)〃,2時(shí)，22*.0,此時(shí)/(〃.1)./(〃)，

/(1)./(2)>/(3)>/(4).???,

???/⑴=/(2)=1>0"⑶=3。

...當(dāng)“_1或2時(shí)，/(“).0,當(dāng)〃“3時(shí)，f(n).0,

即當(dāng)〃.-1或2時(shí)，Cn.l—C--―-0,Cn.l>C,

n3"-1n

/(n)

當(dāng)〃123時(shí)，Cn.l-Cn~--------------0,Cn1<Cn,

3“?

，a<；C2VC3>C4AC5)?.當(dāng)〃—3時(shí)，數(shù)列If取得最大值，故〃—3.12分

n

20.解：⑴設(shè)6C.X,在△ABC中，由余弦定理可得28-爐.4整理可得：

X2+2x-24-0,解得x—4,

所以一4,則以迎=1x2*4.9-24，因?yàn)镃D空，所以S也￡-5后

222△Ac。2,所以

S梯形A5C。-S^ABC+S/^ACD一75分

(2)設(shè)」A3D-“，則/5DC=(i,/BAC=%-a,/￡)BC=2L-“,.BC4=a--,

236

在△ABC中，由正弦定理可得-----------——-----

sinia—!sin!--a[

I6)12J

BC

在△BCD中，由正弦定理可得

sina

2-——cos(￡-h—sina

22

展開可得廠一所以可得

」6.1|

5-——sina——cosa

5x/3sin2(i7sinacosa-2^cos2(；-0,

孚或tag-g

即5Jian2“_7tan?—2#-0,解得tanr《-

35

又因?yàn)椤薄挂籐所以tana-,即tan<ABD]

12分

I62)33

21.(1)證明：取PD的中點(diǎn)R,連接ER,CT,

???E,R分別是B4,PD的中點(diǎn)，一ER〃A。且??；

VBCgAD,BC〃AD,EF〃BC且EFBC;.BE//CF.又BE工平面PCD,CF

2平面

PCD,BE〃平面PCD;5分

(2)解：方法一、以尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，PD,出所在直線分別為X軸和y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

不妨設(shè)3C-1,

,i\

則P(0,0,0),40,V3,o),0(1,0,0),C(1,0,1),B-,^-,11,

/1h

耐-(0,占O),AB*12^1,11，3D-(1,-^0).

.n-TKBy0

設(shè)平面出3的一個(gè)法向量為“=(%,%z),則」1G，取，得一-同理可

,n7^B-x-y+z-0x-2〃-(2,0,—1)

22'

求平面A3。的一個(gè)法向量為二(3,V3,0)cos.而「、一：—廣「.

n\n\\m\國(guó)屈5

叵,

平面A3。和平面ABC為同一個(gè)平面，.?.二面角PABC的余弦值為~5~1

方法二、以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC所在直線分別為x軸和z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

不妨設(shè)5c1,則尸了事,0,42,0,0),Z)(0,0,0),C(0,0,l),B(l,0,1).

X日芋葉初-(1Q1)，

)

設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為"-(x,%z),

---1@y-0

則\nPA2x2得〃-(L/l)

1nABx+z0

易知平面ABC的一個(gè)法向量為n(0,1,0)

nmJ15

cos<標(biāo)>一|n|.|m|一方亍，

二面角PABC的余弦值為孚.

22.(12分)