2022年高考數(shù)學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃講義：函數(shù)的性質(zhì)

2022年高考數(shù)學(xué)尖子生強(qiáng)基計(jì)劃專題4：函數(shù)的性質(zhì)

一、知識(shí)要點(diǎn)拓展

1、映射

對(duì)于任意兩個(gè)集合43,依對(duì)應(yīng)法則/,若對(duì)4中的任意一個(gè)元素x,在8中都有唯一

一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，則稱f8為一個(gè)映射，記作/:/—用其中b稱為像，a稱為原

像。

如果f:ATB是一個(gè)映射且對(duì)任意x,yEA,x^y,都有/(x)wf(y),則

->8是/到6上稱之為單射.

如果/:2-5是映射且對(duì)任意丁6民都有一個(gè)86力使得/(x)=y,則稱

6是4到8上的滿射.

如果/：/f8既是單射又是滿射，則/:Zf6是/到5上叫做一一映射.

如果/：/-8是從集合A到集合B上的一一映射，并且對(duì)于B中每一個(gè)元素6,使b

在N中的原像a和它對(duì)應(yīng)，這樣所得的映射叫做8的逆映射，記作-4

2、函數(shù)方程問題

(1)代換法(或換元法)

把函數(shù)方程中的自變量適當(dāng)?shù)匾詣e的自變量代換(代換時(shí)應(yīng)注意使函數(shù)的定義域不會(huì)發(fā)

生變化)，得到一個(gè)新的函數(shù)方程，然后設(shè)法求得位置函數(shù)

例.設(shè)abwO,)(【解析】分別用x=；,x=.帶入)

(2)待定系數(shù)法

當(dāng)函數(shù)方程中的未知數(shù)是多項(xiàng)式時(shí)，可待定系數(shù)而求解.

例.已知工(x)=/(x)是一次函數(shù)，，(x)=/(，O)且￡O(X)=1O24X+1O23,

求/(x).(【解析】設(shè)/6)=6+6(。工0)求解)

3、函數(shù)的性質(zhì)

設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)椤?/p>

1.單調(diào)性：

(1)傳統(tǒng)定義：在區(qū)間口，切上，^a<X]<x2<b,如果/(占)</(%)，則/(x)

在區(qū)間[a,切遞增；如果/(西)>/區(qū))，則/(x)在區(qū)間切遞減；

(2)導(dǎo)數(shù)定義：在區(qū)間口，切上，如果/'(x)>0,則/(x)在區(qū)間口，切遞增；

如果

/,(x)<0,則/(x)在區(qū)間[a,切遞減；

①、小J——>。=/")在。上為增函數(shù)

注意：玉一"

7②、八\)二八七2<0o/(x)在。上為減函數(shù)

.X]一X2

2.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：

(1)增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)

增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)減函數(shù)-增函數(shù)=減函數(shù)

(2)對(duì)于取值恒為非負(fù)數(shù)的函數(shù)

增函數(shù)X增函數(shù)=增函數(shù)減函數(shù)X減函數(shù)=減函數(shù)

增函數(shù)?減函數(shù)=增函數(shù)減函數(shù)?增函數(shù)=減函數(shù)

(3)若/(x)、g(x)都是增(減)函數(shù),則f(g(x))為增函數(shù)；

若/(X)、g(x)一個(gè)增函數(shù),一個(gè)減函數(shù)，則/(g(x))為減函數(shù)。簡稱“同

增異減”

3.奇偶性：

(1)若函數(shù)卜=/8)滿足/(一乃=-/(》)(》€(wěn)。)，則/(X)叫做奇函數(shù)，其圖象

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

(2)若函數(shù)y=/(x)滿足/(—x)=/(x)(xeD),則/(x)叫做偶函數(shù)，其圖象

關(guān)于y軸對(duì)稱；

4.周期性：

(1)一般地，對(duì)于函數(shù)/(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)

的每一個(gè)值時(shí)，都有

f(x+T)=f(x),那么函數(shù)/(x)就叫做周期函數(shù)。非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周

期。

(2)對(duì)于非零常數(shù)4,若函數(shù)y=/(x)滿足f(x+⑷=—/(X),則函數(shù)y=f(x)必

有一個(gè)周期為2/。

證明：f(x+2A)=f[A+(x+A)]=-f(x+A)=4-/U)]=/(X)，所以函數(shù)y=/(x)

的一個(gè)周期為2/o

(3)對(duì)于非零常數(shù)/,函數(shù)丁=/(x)滿足/(》+/)=則函數(shù)歹=/(x)的一

./(X)

個(gè)周期為24。

(4)對(duì)于非零常數(shù)Z,函數(shù)y=/(x)滿足/(x)=一焉，則函數(shù)y=/(X)的一

個(gè)周期為2〃。

5.對(duì)稱性(分函數(shù)圖像的自對(duì)稱及函數(shù)圖像的互對(duì)稱)

(1)函數(shù)y=/(x)滿足/(a+x)=/(b-x)時(shí)，函數(shù)歹=/(x)的圖像關(guān)于直線

》=號(hào)￡對(duì)稱。特別的，。=6=0時(shí)，該函數(shù)為偶函數(shù)。

證明：在函數(shù)y=/(x)上任取一點(diǎn)(4乂)，則乂=/(為)，點(diǎn)(孫乂)關(guān)于直線

x=的對(duì)稱點(diǎn)為(a+b-/,必)。

f(a+b-xl)=f[a+(b-xl)]=f[b-(b-xl)]=f(xl)=yl,故點(diǎn)(。+6-玉,乂)也在函

數(shù)y=/(x)的圖像上。由于點(diǎn)(項(xiàng),乂)是圖像上任意一點(diǎn)，因此，函數(shù)的圖像關(guān)于

直線》=勺士對(duì)稱。

1.函數(shù)y=/(x)滿足f(a+x)+/(b-x)=c時(shí)，函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)

(竽對(duì)稱。特別地，當(dāng)。=/,=c時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)。

證明：在函數(shù)y=/(x)上任取一點(diǎn)(斗必)，則必=/(%),點(diǎn)(斗乂)關(guān)于點(diǎn)

(竽■卷的對(duì)稱點(diǎn)為

(a+b-xrc-y^。f(a+b-x]]=c-f[b-(b-xl)]=c-f(xi)=c-yl,即點(diǎn)

(a+b-x^c-y^在y=/(x)的圖像上。由于點(diǎn)(%,乂)是函數(shù)y=/(x)上任意一點(diǎn),

因此，函數(shù)歹=/(x)關(guān)于點(diǎn)(與士,；|對(duì)稱。

h-a

2.函數(shù)y=/(a+x)的圖像與y=/(b-x)的圖像關(guān)于直線x=，_對(duì)稱。

證明:在函數(shù)y=/(q+x)上任取一點(diǎn)&,乂)，則乂=/(。+再)，點(diǎn)(%,乂)關(guān)于直

線x=對(duì)稱的點(diǎn)為3-”玉,乂)o由于

f[(b-(b-a-x[)}=f(b-b+a+xi)=f(a+xi)=yl,故點(diǎn)(b-a-x^y^在函數(shù)

y=/(6-x)上。由于點(diǎn)(西,乂)是夕=/(a+x)上任意一點(diǎn)，因此y=/(a+x)與

y=f(b-x)關(guān)于直線》=與，對(duì)稱。

6.函數(shù)周期性和對(duì)稱性之間的聯(lián)系

1.設(shè)/(x)是定義在R上的函數(shù)，其圖像關(guān)于直線x=a和x=b(awb)對(duì)稱，則

/(x)是周期函數(shù)，且2(b-a)是它的一個(gè)周期。

證明：/(x)關(guān)于直線x=a和x=6對(duì)稱，故/(x)=f(2a-x),f(x)=f(2b-x),xeR,

從而

fQa—x)=fQb—x),x&R。

將上式的-x以x代換，得/(2a+x)=f(2b+x),xeR。

所以f[x+2(h-er)]=/[(x-2a)+2h]=/'[(x-2a)+2a]=f{x),xeR

即/(x)是&上的周期函數(shù)，且2(6-0是它的一個(gè)周期。

(2)設(shè)/(x)是定義在火上的函數(shù)，其圖像關(guān)于點(diǎn)/伍,0)中心對(duì)稱，且其圖像

關(guān)于直線x=b(b*a)對(duì)稱，則函數(shù)/(x)是周期函數(shù)，且4(b-a)是它的一個(gè)周期。

證明：/(x)關(guān)于點(diǎn)〃(。,0)對(duì)稱，故f(2a-x)=-f(x),xeR,/(x)關(guān)于直線x=b

對(duì)稱，故

f(x)-f(2b-x),xeR,從而有f(2b-x)=-f(2a-x),xeRo

將上式中的—X以x代換，得/(2b+x)=—/(2a+x),xeH。

所以/[x+4s-a)]=/[2b+(x+2h-4a)]=-f[2a+(x+2b-4a)]

--f[2b+(x-2a)]-f[2a+(x-2tz)]-f(x),xGR,

即/(x)是火上的周期函數(shù)，且4(b-0是它的一個(gè)周期。

(3)設(shè)/(x)是定義在滅上的函數(shù)，其圖像關(guān)于點(diǎn)〃(。,州)和N(b/o)(awb)

對(duì)稱，則/(x)是周期函數(shù)，且23-0是它的一個(gè)周期。

證明：/(x)關(guān)于點(diǎn)火。,線)和N(b,凡)(awb)對(duì)稱，故/(2a—x)=2幾—/(X)，

f(2b-x)=2y0-f(x),xeR,從而有/(2q-x)=/(2b-x),xeT?。

將上式中的-x由x替換，得f(2a+x)=f(2b+x),xeR

所以/[x+2(b-a)]=f[2b+(x-2a)]=f[2a+(x—2a)]=/(x),xwR,

即/(x)是周期函數(shù)，且2(b-a)是它的一個(gè)周期。

4.抽象函數(shù)問題的解法

抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，只給出一些函數(shù)符號(hào)及

其滿足的條件的函數(shù)，如給出函數(shù)的定義域、解析遞推式、特定點(diǎn)的函數(shù)值、特

定的運(yùn)算性質(zhì)等，它是高中函數(shù)部分的難點(diǎn)，也是與高等數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個(gè)銜

接點(diǎn)。由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達(dá)式作為載體，因此研究起來比較困難。

但由于此類試題既能考查函數(shù)的概念和性質(zhì)，又能考查學(xué)生的思維能力，所以備

受命題者的青睞。那么，怎樣求解抽象函數(shù)問題呢？我們可以利用函數(shù)性質(zhì)法、

特殊化方法等多種方法從多角度、多層面去分析研究抽象函數(shù)問題。

1.函數(shù)性質(zhì)法

函數(shù)的特征是通過其性質(zhì)(如奇偶性、單調(diào)性、周期性等)反映出來的。

抽象函數(shù)也是如此，只有充分挖掘和利用題設(shè)條件和隱含的性質(zhì)，靈活地進(jìn)行等

價(jià)轉(zhuǎn)化，才能將抽象函數(shù)問題化難為易。常用的方法有：①利用奇偶性整體思考;

②利用單調(diào)性等價(jià)轉(zhuǎn)化；③利用周圍性回歸已知；④利用對(duì)稱性數(shù)形結(jié)合；⑤借

助特殊點(diǎn)列方程。

2.特殊化方法

①在求解函數(shù)解析式或研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，一般用代換的方法，將x換成-x或?qū)

換成其他字母等；

②在求函數(shù)值時(shí)，可用特殊值代入

③研究抽象函數(shù)的具體模型，用具體模型解選擇題、填空題，或通過具體模型函

數(shù)為解答綜合題提供思路和方法。

5.有界函數(shù)：

定義1：設(shè)/(x)為定義在。上的函數(shù)，若存在常數(shù)M、L,使得對(duì)每一個(gè)xe￡)

有

側(cè)稱/(x)為。上的有上(下)界函數(shù)，/(￡)稱為/(X)為定義在。上的上(下)

界。

根據(jù)定義，/(X)在。上的有上(下)界，意味著值域是一個(gè)有上下界的數(shù)

集。又若A/(L)為/(x)在。上的上(下)界，則任何大于(小于)M(A)的數(shù)也

是/(x)在。上的上(下)界。

定義2：設(shè)/(x)為定義在。上的函數(shù)，若存在正數(shù)使得對(duì)每一個(gè)都有

|/(x)|<A/,則稱/(x)為。上的有界函數(shù)。

根據(jù)定義，/(x)在。上的有界，意味著值域是一有界集。又按定義不難驗(yàn)

證：/.(X)在。上的有界的充要條件是/(X)在。上的既有上界又有下界。

「(X)仔"的幾何意義是：若/(X)在。上的有界函數(shù)，則/(X)的圖象完全落在

直線y=M與丁=-M之間。

6、函數(shù)的迭代

一個(gè)函數(shù)的自復(fù)合，叫做迭代。我們用g*(x)表示g(x)的左次迭代函數(shù)。

g°(x)=x

即，

[gi(x)=g(g"(x))

fg'(x)=x.、

如果,〃、則稱g(x)有迭代周期p.

/(X)不怛等于X《=l,2,…,P—1)

迭代問題的解法通常是找它的迭代周期。一般來說，若y=g(x)的圖像關(guān)于直線歹=x

對(duì)稱，則一定有g(shù)（g（x））=x.它的迭代周期就是2.下面是幾個(gè)常見函數(shù)的迭代周期。

/、2x-7

g（x）=?_，迭代周期是3；

X—1

g（x）=k，迭代周期是4；

7、凹凸函數(shù)

設(shè)/為定義在區(qū)間/上的函數(shù)，若對(duì)/上任意兩點(diǎn)%、馬和實(shí)數(shù)九e（0,1）,總有

/（Xx,+（1-X）x2）<X/G）+（1-九）/'（%），則稱/為/上的凸函數(shù)（有時(shí)也稱下凸函

數(shù)）。反之，如果總有不等式/。玉+（1-）x2）>V（%,）+（1-）/（x2）,則稱則稱/為/

上的凹函數(shù)（有時(shí)也稱上凸函數(shù)）。

特別地，九=:時(shí)，有/地/（%）；/（工2）（凸函數(shù)）或

如何判斷一個(gè)函數(shù)是凸函數(shù)（凹函數(shù)），除了定義以外，還有下面的定理：

設(shè)/為/上二階可導(dǎo)函數(shù)，則/為/上的凸（凹）函數(shù)的充要條件是/〃（x）?0

凸函數(shù)更一般的情形是下面的琴生不等式：若/為上的凸函數(shù)，則對(duì)任意

X,e[a/],%>0。=1,2,…,〃），且￡%=1,則

i=l

3』7i=l

二、熱身練習(xí)

1、（復(fù)旦）若要求關(guān)于》的函數(shù)愴1080.524+"+1的定義域是（-00,+8）,則4、b的取值范圍

是（）

（4）0（5）a<0-4a<0（D）a=b^0

2、（復(fù)旦）某校有一個(gè)班級(jí)，設(shè)變量x是該班同學(xué)的姓名，變量y是該班同學(xué)的學(xué)號(hào)，變量

z是該班同學(xué)的身高，變量w是該班同學(xué)某一門課程的考試成績，則下列選項(xiàng)中正確的是

（）

（Z）y是x的函數(shù)（8）z是y的函數(shù)（C）w是z的函數(shù)（D）w是x的函數(shù)

3、（復(fù)旦）設(shè)/（x）是定義在實(shí)數(shù)集上的周期為2的周期函數(shù)，且是偶函數(shù)。已知當(dāng)xe[2,3]

時(shí)，f（x）=—x,則當(dāng)xe[—2,0]時(shí)，“X）的表達(dá)式為（）

（Z）—3+|x+l|（8）2—|x+11（C3—|x+11（。）2+1x+11

4、（復(fù)旦）設(shè)有三個(gè)函數(shù)，第一個(gè)是y=/（x）,它的反函數(shù)就是第二個(gè)函數(shù)，而第三個(gè)函

數(shù)的圖像與第二個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱，則第三個(gè)函數(shù)是（）

（z）y=-/（X）=（C）y=-f-'（x）（。）y=-f-'（-x）

三、高考真題講解

例I.【2020年高考全國n卷文數(shù)12理數(shù)11]若2"-2''<3-、-3-'，貝IJ()

A.ln(j^-x+l)>oB.ln(^-x+l)<0c.ln|x-j|>0D.ln|r-y|<0

例2.【2020年高考全國H卷理數(shù)9】設(shè)函數(shù)/(x)=ln|2x+lbln|2x—l|,則/(x)()

A.是偶函數(shù)，且在(?，+oo)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在(-：，：)單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在(-oo,_單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在1-8,—單調(diào)遞減

例3.【2020年高考山東卷6】基本再生數(shù)4與世代間隔是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基

本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔是指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在

新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：/(，)=e”描述累計(jì)感染病例數(shù)/。)隨時(shí)間/(單

位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與與，7近似滿足4=1+”.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估

計(jì)出勺=3.28,7=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的

時(shí)間約為(In2々0.69)()

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

例4.【2020年高考山東海南卷8】若定義在R上的奇函數(shù)/(x)在(-8,0)單調(diào)遞減，且

/(2)=0,則滿足4Xx-l)20的x的取值范圍是()

A.[-l,l]U[3,+<x>)B.[-3,-l]U[0,l]C.[-1,O]U[1,+?))

D.[-l,0]U[l,3]

四、高考模擬訓(xùn)練

1.(2021?重慶?西南大學(xué)附中高三月考)已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足如下條件：①函數(shù)

3

/(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；②對(duì)于任意xeR,〃x)=〃2-x)；③當(dāng)xe[0,1]時(shí)，/\x)=爹》；

④g(x)=/(4x).若過點(diǎn)(T，°)的直線/與函數(shù)g(x)的圖象在xe[0,2]上恰有8個(gè)交點(diǎn)，則

直線/斜率左的取值范圍是()

A.(0,刁B.(0,；)C.(0,1)

2.(2021?江西?高三月考(理))已知a=1.2,b=；,c=e02,則(

A.a<b<cB.c<a<h

C.a<c<bD.c<b<a

3.(2021?上海市吳淞中學(xué)高三期中)如圖，半徑為1的半圓O與等邊三角形Z8C夾在兩平

行線之間，〃4，/與半圓相交于足G兩點(diǎn)，與三角形N2C兩邊相交于點(diǎn)E、D,設(shè)

弧尸G的長為x(0<x<7t),y=EB+BC+CD,若/從/1平行移動(dòng)到的則函數(shù)y=/(x)的

圖像大致是()

4.(2021?四川資陽?高三月考(理))若不等式xe、-“x+2)ilnxN0恒成立，則。的取值

范圍是()

1|「八21「八11F,el0,￡o[l,e]

A.0o,_B.0,_C.0,_1,_D.

eJeJ[_eju2eJ

5.(2021?安徽?六安一中高三月考(理))已知函數(shù)/(x)=(x2一2x)e，」，若當(dāng)x>l時(shí)，

/(x)-/nx+l+，"4°有解，則實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍為()

A.(-0>,1]B.C.(T,+?))D.口,+8)

6.(2021?廣西桂林?模擬預(yù)測(理))已知函數(shù)=[尸

g(x)=x2-2x,設(shè)

IInx,e-<x<e

。為實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)〃?，使2g(a)=0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.[-1,+<?)B.(-oo,-l]u[3,+oo)

C.[-1,3]D.(―叫3]

五、強(qiáng)基?？颊骖}講解

例1.(2021年上海交大強(qiáng)基計(jì)劃)實(shí)數(shù)a,1>1,滿足lg(a+b)=lga+lgb,求lg(a

—1)+1g(b-1)的值.

例2.（2021年中科大強(qiáng)基計(jì)劃）已知正實(shí)數(shù)〃，二次函數(shù)/（x）=ax2_x+i,若任

意長度為1的區(qū)間上，存在兩點(diǎn)函數(shù)值之差的絕對(duì)值不小于1,則

a的最小值為.

例3（2021年北大強(qiáng)基計(jì)劃）若a,b,c,為非負(fù)實(shí)數(shù)，且

222

a+Z?+c-ab-be-ca=9貝UQ+b+c的最小值為

ax2+8x+6

例4（交大）函數(shù)V=——r——的最大值為9,最小值為1,求實(shí)數(shù)Q、b.

X4.1

例5.（復(fù)旦）設(shè)演，Z€°，提,且引力毛，下列不等式中成立的是()

1z、X.4-X.

(tanxx+tanx2J>tan1]?;

1z、X+羽

②爹(tan%+tanx2J<tan'】?;

>sin"Z

③

2

1

④<sin2?

2

（Z）??（8）①④（C）②③（。）②④

例6.（清華）。>0/>0,。+6=1,〃EN*,求證：a2n^b2n

2

2x_l

例7.（交大）已知函數(shù)'（x）=iTT對(duì)于〃=1，2,…，定義（x）=/（/"（X）），若

h（x）=fs（X），則以（x）=---------

例8.（北大）/（X）=，_53X+196+|X2一53x+196|,求/（1）+/（2）+…+”50）.

例9、（交大）函數(shù)/（x）=|lgx|,有0<a<b且/?）=/（6）=2/1勺1}

（1）求凡b滿足的關(guān)系：

（2）證明：存在這樣的"使3<6<4.

六、?？紡?qiáng)化訓(xùn)練

（A組）

1、（復(fù)旦）若存在",使對(duì)任意xe。（。為函數(shù)/（x）的定義域），都有

|/（》）區(qū)用,則稱函數(shù)/@）有界。問函數(shù)/（x）=lsin_L在x

上是否有界？

XX

2、(復(fù)旦)若a>l,b>l且lg(a+b)=lga+lg8則1g(。一l)+lg(b—l)=()

(Z)lg2(5)1(C)不是與a,b無關(guān)的常數(shù)(。)0

3、(復(fù)旦)定義在R上的函數(shù)/(x)(xHl)滿足/(X)+2/1X+2002=4015—x

則/(2004)=.

4、設(shè)/(x)=|x+l|+|x+2|+…+|x+2013|+|x-l|+|x-2|+…+|x—2013|(xeR)

且/?2一3a+2)=/(a—1),則a的值有()

(4)1個(gè)(8)2個(gè)(C)3個(gè)(。)無數(shù)個(gè)

5、(2000交大)求函數(shù)/(x)=#x+J1+/+3%-5/1+7:(X€火)的反函數(shù)

6、(模擬題)求函數(shù)/(x)=-----------------在區(qū)間［—1,1］上的值域.

7、(模擬題)已知/(X)是定義在及上的函數(shù)，且/(x+2)［l—/(x)］=l+/(x)

(1)試證明/(x)是周期函數(shù)；

(2)若/(1)=2+JJ,試求/(2013)

8、(模擬題)已知/(x)=/(x)是一次函數(shù)，￡(x)=/(九(X))且兒(x)=1024x+1023.

求/(x)

9、(模擬題)已知實(shí)數(shù)X滿足V+2=2J5,求/+，

X'%-

10,(2001交大)已知函數(shù)/'(x)=x2+2x+2,xe+的最小值是g?)，試著寫出g(')

的解析表達(dá)式。

(B組)

1、(交大)已知函數(shù)［々)=依2+bx+c(aH0),且/(x)=x沒有實(shí)數(shù)根.那么

尤是否有實(shí)數(shù)根？并證明你的結(jié)論.

2、(模擬題)已知函數(shù)/々"ax?+26x+4c(a,b,cH0).

(1)函數(shù)/(x)的圖像與直線y=±x均無公共點(diǎn)，求證：4〃-16ac<—1

(2)若a〉0且a+b=l,又|x區(qū)2時(shí)，恒有|/(x)R2,求/.(x)的解析式.

3、(模擬題)已知/(1),且當(dāng)〃〉］時(shí)有/,—1)=2力(〃「)+1求/(“)(〃GN+)

57(〃)1-2/(M)'/

4、(模擬題)已知/(X)是定義在公上的不恒為。的函數(shù)，且對(duì)于任意的“力G&,有

f(ab)=WQ)+bf(a).

(1)求〃0)J(l)的值.

(2)判斷/(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論.

(3)若/\2)=2,露=9(…)，求數(shù)列｛%,｝的前〃項(xiàng)和s..

n1

2022年高考數(shù)學(xué)尖子生強(qiáng)基計(jì)劃專題4：函數(shù)的性質(zhì)

一、知識(shí)要點(diǎn)拓展

1、映射

對(duì)于任意兩個(gè)集合43,依對(duì)應(yīng)法則/,若對(duì)4中的任意一個(gè)元素x,在8中都有唯一

一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，則稱f8為一個(gè)映射，記作/:/—用其中b稱為像，a稱為原

像。

如果f:ATB是一個(gè)映射且對(duì)任意x,yEA,x^y,都有/(x)wf(y),則

->8是/到6上稱之為單射.

如果f:ATB是映射且對(duì)任意yeB,都有一個(gè)xeZ使得f(x)=y,則稱

-6是/到6上的滿射.

如果/：/f8既是單射又是滿射，則/:N->6是/到8上叫做一一映射.

如果/:f8是從集合A到集合B上的一一映射，并且對(duì)于B中每一個(gè)元素b,使b

在N中的原像a和它對(duì)應(yīng)，這樣所得的映射叫做f8的逆映射，記作34

2、函數(shù)方程問題

(1)代換法(或換元法)

把函數(shù)方程中的自變量適當(dāng)?shù)匾詣e的自變量代換(代換時(shí)應(yīng)注意使函數(shù)的定義域不會(huì)發(fā)

生變化)，得到一個(gè)新的函數(shù)方程，然后設(shè)法求得位置函數(shù)

例.設(shè)2Hb2,求力■(》)+勿=的解.(【解析】分別用x==f帶入)

(2)待定系數(shù)法

當(dāng)函數(shù)方程中的未知數(shù)是多項(xiàng)式時(shí)，可待定系數(shù)而求解.

例.已知，(x)="x)是一次函數(shù)，<(x)=/(/；」(x))且兒(x)=1024x+1023,

求/(x).(【解析】設(shè)/(x)=ax+b(aoO)求解)

3、函數(shù)的性質(zhì)

設(shè)函數(shù)v=/a)的定義域?yàn)椤?/p>

2.單調(diào)性：

(3)傳統(tǒng)定義：在區(qū)間口，6］上，若玉如果/(占)</(0)，則〃x)

在區(qū)間口,切遞增；如果/(%)>/區(qū))，則/(x)在區(qū)間期切遞減；

(4)導(dǎo)數(shù)定義：在區(qū)間［%切上，如果/'(x)>0,則/(x)在區(qū)間［小切遞增；

如果

f(x)<0,則/(x)在區(qū)間［a,6］遞減;

①、仆|)一"“)>0o/(x)在。上為增函數(shù)

注意：玉一“

z②、二"avo=/a)在。上為減函數(shù)

,X\-X2

2.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：

(4)增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)

增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)減函數(shù)-增函數(shù)=減函數(shù)

(5)對(duì)于取值恒為非負(fù)數(shù)的函數(shù)

增函數(shù)X增函數(shù)=增函數(shù)減函數(shù)X減函數(shù)=減函數(shù)

增函數(shù)?減函數(shù)=增函數(shù)減函數(shù)?增函數(shù)=減函數(shù)

(6)若/(x)、g(x)都是增(減)函數(shù),則f(g(x))為增函數(shù)；

若/(X)、g(x)一個(gè)增函數(shù),一個(gè)減函數(shù)，則/(g(x))為減函數(shù)。簡稱“同

增異減”

3.奇偶性：

(3)若函數(shù)卜=/8)滿足/(一乃=-/(》)(》€(wěn)。)，則/(X)叫做奇函數(shù)，其圖象

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

(4)若函數(shù)y=/(x)滿足/(—x)=/(x)(xeD),則/(x)叫做偶函數(shù)，其圖象

關(guān)于y軸對(duì)稱；

4.周期性：

(1)一般地，對(duì)于函數(shù)/(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)

的每一個(gè)值時(shí)，都有

f(x+T)=f(x),那么函數(shù)/(x)就叫做周期函數(shù)。非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周

期。

(2)對(duì)于非零常數(shù)4,若函數(shù)y=/(x)滿足f(x+⑷=—/(X),則函數(shù)y=f(x)必

有一個(gè)周期為2/。

證明：f(x+2A)=f[A+(x+A)]=-f(x+A)=4-/U)]=/(X)，所以函數(shù)y=/(x)

的一個(gè)周期為2/o

(3)對(duì)于非零常數(shù)/,函數(shù)丁=/(x)滿足/(》+/)=則函數(shù)歹=/(x)的一

./(X)

個(gè)周期為24。

(4)對(duì)于非零常數(shù)Z,函數(shù)y=/(x)滿足/(x)=一焉，則函數(shù)y=/(X)的一

個(gè)周期為2〃。

5.對(duì)稱性(分函數(shù)圖像的自對(duì)稱及函數(shù)圖像的互對(duì)稱)

(1)函數(shù)y=/(x)滿足/(a+x)=/(b-x)時(shí)，函數(shù)歹=/(x)的圖像關(guān)于直線

》=號(hào)￡對(duì)稱。特別的，。=6=0時(shí)，該函數(shù)為偶函數(shù)。

證明：在函數(shù)y=/(x)上任取一點(diǎn)(4乂)，則乂=/(為)，點(diǎn)(孫乂)關(guān)于直線

x=的對(duì)稱點(diǎn)為(a+b-/,必)。

f(a+b-xl)=f[a+(b-xl)]=f[b-(b-xl)]=f(xl)=yl,故點(diǎn)(。+6-玉,乂)也在函

數(shù)y=/(x)的圖像上。由于點(diǎn)(項(xiàng),乂)是圖像上任意一點(diǎn)，因此，函數(shù)的圖像關(guān)于

直線》=勺士對(duì)稱。

3.函數(shù)y=/(x)滿足f(a+x)+/(b-x)=c時(shí)，函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)

(竽對(duì)稱。特別地，當(dāng)。=/,=c時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)。

證明：在函數(shù)y=/(x)上任取一點(diǎn)(斗必)，則必=/(%),點(diǎn)(斗乂)關(guān)于點(diǎn)

(竽■卷的對(duì)稱點(diǎn)為

(a+b-xrc-y^。f(a+b-x]]=c-f[b-(b-xl)]=c-f(xi)=c-yl,即點(diǎn)

(a+b-x^c-y^在y=/(x)的圖像上。由于點(diǎn)(%,乂)是函數(shù)y=/(x)上任意一點(diǎn),

因此，函數(shù)歹=/(x)關(guān)于點(diǎn)(與士,；|對(duì)稱。

h-a

4.函數(shù)y=/(a+x)的圖像與丁=/(b-x)的圖像關(guān)于直線x—對(duì)稱。

證明:在函數(shù)y=/(q+x)上任取一點(diǎn)&,乂)，則乂=/(。+再)，點(diǎn)(%,乂)關(guān)于直

線x=對(duì)稱的點(diǎn)為3-”玉,乂)o由于

f[(b-(b-a-x[)}=f(b-b+a+xi)=f(a+xi)=yl,故點(diǎn)(b-a-x^y^在函數(shù)

y=/(6-x)上。由于點(diǎn)(西,乂)是夕=/(a+x)上任意一點(diǎn)，因此y=/(a+x)與

y=f(b-x)關(guān)于直線》=與，對(duì)稱。

6.函數(shù)周期性和對(duì)稱性之間的聯(lián)系

2.設(shè)/(x)是定義在R上的函數(shù)，其圖像關(guān)于直線x=a和x=b(awb)對(duì)稱，則

/(x)是周期函數(shù)，且2(b-a)是它的一個(gè)周期。

證明：/(x)關(guān)于直線x=a和x=6對(duì)稱，故/(x)=f(2a-x),f(x)=f(2b-x),xeR,

從而

fQa—x)=fQb—x),x&R。

將上式的-x以x代換，得/(2a+x)=f(2b+x),xeR。

所以f[x+2(h-er)]=/[(x-2a)+2h]=/'[(x-2a)+2a]=f{x),xeR

即/(x)是&上的周期函數(shù)，且2(6-0是它的一個(gè)周期。

(2)設(shè)/(x)是定義在火上的函數(shù)，其圖像關(guān)于點(diǎn)/伍,0)中心對(duì)稱，且其圖像

關(guān)于直線x=b(b*a)對(duì)稱，則函數(shù)/(x)是周期函數(shù)，且4(b-a)是它的一個(gè)周期。

證明：/(x)關(guān)于點(diǎn)〃(。,0)對(duì)稱，故f(2a-x)=-f(x),xeR,/(x)關(guān)于直線x=b

對(duì)稱，故

f(x)-f(2b-x),xeR,從而有f(2b-x)=-f(2a-x),xeRo

將上式中的—X以x代換，得/(2b+x)=—/(2a+x),xeH。

所以/[x+4s-a)]=/[2b+(x+2h-4a)]=-f[2a+(x+2b-4a)]

--f[2b+(x-2a)]-f[2a+(x-2tz)]-f(x),xGR,

即/(x)是火上的周期函數(shù)，且4(b-0是它的一個(gè)周期。

(3)設(shè)/(x)是定義在滅上的函數(shù)，其圖像關(guān)于點(diǎn)〃(。,州)和N(b/o)(awb)

對(duì)稱，則/(x)是周期函數(shù)，且23-0是它的一個(gè)周期。

證明：/(x)關(guān)于點(diǎn)火。,線)和N(b,凡)(awb)對(duì)稱，故/(2a—x)=2幾—/(X)，

f(2b-x)=2y0-f(x),xeR,從而有/(2q-x)=/(2b-x),xeT?。

將上式中的-x由x替換，得f(2a+x)=f(2b+x),xeR

所以/[x+2(b-a)]=f[2b+(x-2a)]=f[2a+(x—2a)]=/(x),xwR,

即/(x)是周期函數(shù)，且2(b-a)是它的一個(gè)周期。

4.抽象函數(shù)問題的解法

抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，只給出一些函數(shù)符號(hào)及

其滿足的條件的函數(shù)，如給出函數(shù)的定義域、解析遞推式、特定點(diǎn)的函數(shù)值、特

定的運(yùn)算性質(zhì)等，它是高中函數(shù)部分的難點(diǎn)，也是與高等數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個(gè)銜

接點(diǎn)。由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達(dá)式作為載體，因此研究起來比較困難。

但由于此類試題既能考查函數(shù)的概念和性質(zhì)，又能考查學(xué)生的思維能力，所以備

受命題者的青睞。那么，怎樣求解抽象函數(shù)問題呢？我們可以利用函數(shù)性質(zhì)法、

特殊化方法等多種方法從多角度、多層面去分析研究抽象函數(shù)問題。

3.函數(shù)性質(zhì)法

函數(shù)的特征是通過其性質(zhì)(如奇偶性、單調(diào)性、周期性等)反映出來的。

抽象函數(shù)也是如此，只有充分挖掘和利用題設(shè)條件和隱含的性質(zhì)，靈活地進(jìn)行等

價(jià)轉(zhuǎn)化，才能將抽象函數(shù)問題化難為易。常用的方法有：①利用奇偶性整體思考;

②利用單調(diào)性等價(jià)轉(zhuǎn)化；③利用周圍性回歸已知；④利用對(duì)稱性數(shù)形結(jié)合；⑤借

助特殊點(diǎn)列方程。

4.特殊化方法

①在求解函數(shù)解析式或研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，一般用代換的方法，將x換成-x或?qū)

換成其他字母等；

②在求函數(shù)值時(shí)，可用特殊值代入

③研究抽象函數(shù)的具體模型，用具體模型解選擇題、填空題，或通過具體模型函

數(shù)為解答綜合題提供思路和方法。

5.有界函數(shù)：

定義1：設(shè)/(x)為定義在。上的函數(shù)，若存在常數(shù)M、L,使得對(duì)每一個(gè)xe￡)

有

側(cè)稱/(x)為。上的有上(下)界函數(shù)，/(￡)稱為/(X)為定義在。上的上(下)

界。

根據(jù)定義，/(X)在。上的有上(下)界，意味著值域是一個(gè)有上下界的數(shù)

集。又若A/(L)為/(x)在。上的上(下)界，則任何大于(小于)M(A)的數(shù)也

是/(x)在。上的上(下)界。

定義2：設(shè)/(x)為定義在。上的函數(shù)，若存在正數(shù)使得對(duì)每一個(gè)都有

|/(x)|<A/,則稱/(x)為。上的有界函數(shù)。

根據(jù)定義，/(x)在。上的有界，意味著值域是一有界集。又按定義不難驗(yàn)

證：/.(X)在。上的有界的充要條件是/(X)在。上的既有上界又有下界。

「(X)仔"的幾何意義是：若/(X)在。上的有界函數(shù)，則/(X)的圖象完全落在

直線y=M與丁=-M之間。

6、函數(shù)的迭代

一個(gè)函數(shù)的自復(fù)合，叫做迭代。我們用g*(x)表示g(x)的左次迭代函數(shù)。

g°(x)=x

即，

[gi(x)=g(g"(x))

fg'(x)=x.、

如果,〃、則稱g(x)有迭代周期p.

/(X)不怛等于X《=l,2,…,P—1)

迭代問題的解法通常是找它的迭代周期。一般來說，若y=g(x)的圖像關(guān)于直線歹=x

對(duì)稱，則一定有g(shù)(g(x))=x.它的迭代周期就是2.下面是幾個(gè)常見函數(shù)的迭代周期。

/、2x-7

g(x)=?_，迭代周期是3；

X—1

g(x)=總了迭代周期是4；

7、凹凸函數(shù)

設(shè)/為定義在區(qū)間/上的函數(shù)，若對(duì)/上任意兩點(diǎn)%、馬和實(shí)數(shù)九e(0,1),總有

玉+(1-九用)<X)+(1-九)/'(%)，則稱/為/上的凸函數(shù)(有時(shí)也稱下凸函

數(shù))。反之，如果總有不等式/。玉+(1-)x2)>V(%,)+(1-)/(x2),則稱則稱/為/

上的凹函數(shù)(有時(shí)也稱上凸函數(shù))。

特別地，九=:時(shí)，有(凸函數(shù))或

生…四

如何判斷一個(gè)函數(shù)是凸函數(shù)(凹函數(shù))，除了定義以外，還有下面的定理：

設(shè)/為/上二階可導(dǎo)函數(shù)，則/為/上的凸(凹)函數(shù)的充要條件是/〃(x)?0

凸函數(shù)更一般的情形是下面的琴生不等式：若/為上的凸函數(shù)，則對(duì)任意

x,e[a/],%〉o0=1,2,且￡%=1，則

/=1

3=17i=l

二、熱身練習(xí)

1、(復(fù)旦)若要求關(guān)于》的函數(shù)愴1080.524+"+1的定義域是(-00,+8),則4、b的取值范圍

是()

(A)0(B)a<0-4a<0(D)a=b^0

2

[解析]選A.由1glog052/+&+1>0=>0<2-+&+i<1=>ax+bx+1<0對(duì)

p<0

\小6(-00,+00)恒成立01，2,八=這樣的不存在。

''Z)-4a<0

2、(復(fù)旦)某校有一個(gè)班級(jí)，設(shè)變量x是該班同學(xué)的姓名，變量y是該班同學(xué)的學(xué)號(hào)，變量

z是該班同學(xué)的身高，變量w是該班同學(xué)某一門課程的考試成績，則下列選項(xiàng)中正確的是

()

(Z)y是x的函數(shù)(8)z是y的函數(shù)(C)w是z的函數(shù)是x的函數(shù)

【解析】按照函數(shù)的定義，由于班上可能會(huì)有相同的姓名，故A不正確。而任意一個(gè)學(xué)生

的學(xué)號(hào)是唯一的，也對(duì)應(yīng)了一個(gè)唯一的身高，故選項(xiàng)B正確；同理，C,。均不正確。

3、(復(fù)旦)設(shè)/(x)是定義在實(shí)數(shù)集上的周期為2的周期函數(shù)，且是偶函數(shù)。已知當(dāng)xe[2,3]

時(shí)，f(x)=—x,則當(dāng)xe[—2,0]時(shí)，/(x)的表達(dá)式為()

(Z)—3+|x+l|(S)2-|x+l|(C)3-|x+l|(r>)2+|x+l|

【解析】選A可以考慮特殊值。/(-2)=/(2)=-2,〃-1)=/(1)=/(3)=-3,

/(0)=/(2)=-2o符合條件的只有選項(xiàng)A了。

4、(復(fù)旦)設(shè)有三個(gè)函數(shù)，第一個(gè)是y=/(x),它的反函數(shù)就是第二個(gè)函數(shù)，而第三個(gè)函

數(shù)的圖像與第二個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線x+y=O對(duì)稱，則第三個(gè)函數(shù)是()

(4)y=-/(x)(8)尸-x)(c)y=-//(x)(。)v=-/"(-x)

【解析】選8。第二個(gè)函數(shù)是V=/"(》,)第三個(gè)函數(shù)為-X=7」(一V),即y=-/(-x)

四、高考真題講解

例1.例020年高考全國n卷文數(shù)12理數(shù)11］若2工_2><3-、-3~，則)

A.ln(y-x+l)〉0B.ln(y-x+l)<0C.ln|x-^|>0D.ln|r-v|<0

【答案】A

【思路導(dǎo)引】將不等式變?yōu)?'-3T<2、一3->,根據(jù)/1)=2'-3"的單調(diào)性知x<N,以

此去判斷各個(gè)選項(xiàng)中真數(shù)與1的大小關(guān)系，進(jìn)而得到結(jié)果.

【解析】由2，一2,<3-一3r得：2，_3T<2:3一，，令/《)=2'一3",

???y=2、為火上的增函數(shù)，歹=3-，為R上的減函數(shù)，。為及上的增函數(shù)，

Qy—x>0,y—x+1>1,ln(y—x+1)〉0,則A正確，B錯(cuò)誤；、「一)［與1的大

小不確定，故CD無法確定，故選A.

例2.【2020年高考全國H卷理數(shù)9】設(shè)函數(shù)/(x)=ln|2x+l|-ln|2x-l|,則f(x)

A.是偶函數(shù)，且在(g,+8)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在1-00,-單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在1-8,-3)單調(diào)遞減

【答案】D

【思路導(dǎo)引】根據(jù)奇偶性的定義可判斷出/(x)為奇函數(shù)，排除AC；當(dāng)時(shí)，

利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可判斷出/(x)單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)8,-時(shí)，利用復(fù)合

函數(shù)單調(diào)性可判斷出/(x)單調(diào)遞減，從而得到結(jié)果.

【解析】由/(》)=111|2》+1卜1111丫一1|得/(》)定義域?yàn)椴窇?±；1,關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)

稱,

又/(-X)=In|1-2x|-ln卜2x-1|=ta|2x-1|-ln|2x+1|=-/(x),

???/（x）為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；

當(dāng)時(shí)，/（x）=ln（2x+l）-ln（l-2x）,

Qy=ln（2x+l）在上單調(diào)遞增，y=ln（l-2x）在上單調(diào)遞減,

???/（X）在（一］，蒙）上單調(diào)遞增,排除B；

2%4-1

f(x)=In(一2x_l)_In(l_2x)=In

2x-l

???N=在（一8，一3）上單調(diào)遞減，f（N）=Inn在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：/（x）在1-8,-上單調(diào)遞減，D正確.故選D.

例3.【2020年高考山東卷6】基本再生數(shù)隊(duì)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基

本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔是指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在

新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：/（f）=e”描述累計(jì)感染病例數(shù)/⑺隨時(shí)間f（單

位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與4，7近似滿足%=1+”?有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估

計(jì)出4=3.28,7=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的

時(shí)間約為（In2名0.69）（）

A.1.2天B.1.8天C.2,5天D.3,5天

【答案】B

【思路導(dǎo)引】根據(jù)題意可得/1）=e"=e°38,，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例

數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為《天，根據(jù)e°-38（，+，'）=2e038,，解得《即可得結(jié)果?

328_1

【解析】因?yàn)?=328，7=6,4=1+”,所以r=,一=0.38,所以

。

()="=638/

設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為4天，則

e°38?+Q=2e°，381所以3M=2,所以0.38（=山2,所以乙=仙2ao-69儀天，故

0.380.38

選B.

【專家解讀】本題的特點(diǎn)是注重知識(shí)的應(yīng)用，本題考查了指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用，考查指數(shù)

式與對(duì)數(shù)式互化，考查函數(shù)與方程思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等學(xué)科素養(yǎng).解題關(guān)鍵是

正確進(jìn)行指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化.

例4.【2020年高考山東海南卷8】若定義在R上的奇函數(shù)/(X)在(-8,0)單調(diào)遞減，且

/(2)=0,則滿足獷(x-l)WO的x的取值范圍是()

A.[-l,l]U[3,+s)B.[-3,-l]U[0,l]C.[-1,O]U[1,+oo)

D.[-1,O]U[1,3]

【答案】D

【思路導(dǎo)引】首先根據(jù)函數(shù)奇偶