【數(shù)學(xué)】正態(tài)分布課件-2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

新課導(dǎo)入第七章

隨機(jī)變量及其分布7.5正態(tài)分布學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)習(xí)舊知

1、兩點(diǎn)分布：X01P2、二項(xiàng)分布：3、超幾何分布：X~B(n,p)：情境導(dǎo)學(xué)生活中還有許多隨機(jī)變量不是離散型的隨機(jī)變量，例如：①小明上學(xué)途中等公交車的時間X；②實(shí)驗(yàn)中測量某零件尺寸的誤差Y；③秦皇島5月份的降雨量Z；④某電器的使用壽命；...你還能舉出幾個這樣的例子嗎？連續(xù)型隨機(jī)變量：

如果隨機(jī)變量X的所有取值不可以逐個列舉出來，而是充滿某個區(qū)間甚至整個實(shí)軸，但取一點(diǎn)的概率為0，我們稱這類變量為連續(xù)型隨機(jī)變量。情境導(dǎo)學(xué)問題1

自動流水線包裝的食鹽，每袋標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為400g.由于各種不可控制的因素，任意抽取一袋食鹽，它的質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之間或多或少會存在一定的誤差（實(shí)際質(zhì)量減去標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量）.用X表示這種誤差，則X是一個連續(xù)型隨機(jī)變量.檢測人員在一次產(chǎn)品檢驗(yàn)中，隨機(jī)抽取了100袋食鹽，獲得誤差X（單位：g）的觀測值如下：新知探究探究1：

如何描述這100個樣本誤差數(shù)據(jù)的分布？如何構(gòu)建適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ涂坍嬚`差X的分布？新知探究區(qū)間頻數(shù)頻率頻率/組距探究1：

如何描述這100個樣本誤差數(shù)據(jù)的分布？如何構(gòu)建適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ涂坍嬚`差X的分布？新知探究

根據(jù)已學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識，可用頻率分布直方圖描述這組誤差數(shù)據(jù)的分布，如下圖所示.

頻率分布直方圖中每個小矩形的面積表示誤差落在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的頻率，所有小矩形的面積之和為1.追問1：觀察圖形，你能獲得什么信息？追問2：若數(shù)據(jù)無限增多且組距無限縮小，那么頻率分布直方圖會有怎么樣的變化？新知生成

若數(shù)據(jù)無限增多且組距無限縮小，那么頻率分布直方圖的的輪廓形成一條光滑的鐘形曲線，我們稱此曲線為正態(tài)密度曲線．特征：①“中間高，兩頭低，左右對稱”②

曲線與x軸一起圍成的面積為1正態(tài)密度曲線:新知生成質(zhì)量誤差的概率密度曲線就是或近似地是以下函數(shù)的圖象：正態(tài)密度函數(shù):新知生成如圖所示，若隨機(jī)變量

X

的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為

X~N(μ，σ2).

特別地，當(dāng)

μ=0，σ=1時，稱隨機(jī)變量

X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.正態(tài)分布:若X~N(u,σ2)，則X取值不超過

x

的概率P(X≤x)為圖中區(qū)域A的面積，而P(a≤X<b)為區(qū)域B的面積.面積即為概率！新知生成在實(shí)際中許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布：在生產(chǎn)中，在正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)；在測量中，測量結(jié)果；在生物學(xué)中，同一群體的某一特征，……；在氣象中，某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度以及降雨量等，水文中的水位；服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量叫做正態(tài)隨機(jī)變量，簡稱正態(tài)變量.新知探究探究2：觀察正態(tài)曲線及相應(yīng)的密度函數(shù)，正態(tài)曲線有哪些特點(diǎn)？特點(diǎn)：(1)非負(fù)性：對?x∈R，f(x)>0，圖象在x軸上方;(2)對稱性：曲線是單峰的，關(guān)于直線x=μ對稱;(3)最大值：曲線在x=μ處達(dá)到峰值;(4)曲線與x軸之間的區(qū)域的面積為1;(5)當(dāng)|x|無限增大時，曲線無限接近x軸.新知探究探究3：一個正態(tài)分布由參數(shù)μ和σ完全確定，這兩個參數(shù)對正態(tài)曲線的形狀有何影響？它們反映正態(tài)分布的哪些特征?（1）當(dāng)參數(shù)σ取定值時，觀察μ對正態(tài)分布曲線的影響.

若

σ

固定,函數(shù)圖像隨μ

值的變化而沿x軸平移,故μ

稱為位置參數(shù)；

參數(shù)

μ

反映了正態(tài)分布的集中位置，可以用均值來估計(jì)，故有E(X)=μ.新知探究探究3：一個正態(tài)分布由參數(shù)μ和σ完全確定，這兩個參數(shù)對正態(tài)曲線的形狀有何影響？它們反映正態(tài)分布的哪些特征?（2）當(dāng)參數(shù)μ取定值時，觀察σ對正態(tài)分布曲線的影響.

σ反映了隨機(jī)變量分布相對于均值μ的離散程度，可以用標(biāo)準(zhǔn)差來估計(jì)，故有D(X)=σ2.

若

μ

固定,σ

大時,曲線“矮胖”；σ

小時,曲線“瘦高”,故稱

σ

為形狀參數(shù)。小試牛刀1、下列函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是（

）2、已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線如圖所示，則總體的均值μ＝_______，方差σ2＝_______.小試牛刀3、(多選)一次教學(xué)質(zhì)量檢測中，甲、乙、丙三科考試成績的正態(tài)分布密度曲線如圖所示，下列說法中不正確的是(

)A．甲科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小B．丙科總體的平均數(shù)最小C．乙科總體的標(biāo)準(zhǔn)差及平均數(shù)都比甲小，比丙大D．甲、乙、丙總體的平均數(shù)不相同BCD小試牛刀4、(多選)下面給出的關(guān)于正態(tài)曲線的4個敘述中，正確的有（

）A.曲線在x軸上方，且與x軸不相交B.當(dāng)x>μ時，曲線下降，當(dāng)x<μ時，曲線上升C.當(dāng)μ一定時，σ越小，總體分布越分散，σ越大，總體分布越集中D.曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，且當(dāng)x＝μ時，位于最高點(diǎn)ABD典例剖析例1：李明上學(xué)有時坐公交車，有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時30min，樣本方差為36；騎自行車平均用時34min，樣本方差為4.假設(shè)坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布.（1）估計(jì)X，Y的分布中的參數(shù)；解:(1)

隨機(jī)變量X的樣本均值為30，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為6;

隨機(jī)變量Y的樣本均值為34，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2.

用樣本均值估計(jì)參數(shù)μ，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)參數(shù)σ，可以得到：典例剖析例1：李明上學(xué)有時坐公交車，有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時30min，樣本方差為36；騎自行車平均用時34min，樣本方差為4.假設(shè)坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布.（2）根據(jù)（1）中的估計(jì)結(jié)果，利用信息技術(shù)工具畫出X和Y的分布密度曲線；典例剖析例1：李明上學(xué)有時坐公交車，有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時30min，樣本方差為36；騎自行車平均用時34min，樣本方差為4.假設(shè)坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布.（3）如果某天有38min可用，李明應(yīng)選擇哪種交通工具？如果某天只有34min可用，又應(yīng)該選擇哪種交通工具？請說明理由.(3)Y的密度曲線X的密度曲線

P(X≤38)<P(Y≤38),

P(X≤34)>P(Y≤34).所以,如果有38min可用,那么騎自行車不遲到的概率大,應(yīng)選擇騎自行車;如果只有34min可用,那么坐公交車不遲到的概率大,應(yīng)選擇坐公交車.新知探究探究4：正態(tài)曲線下的面積規(guī)律:(1)X軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1;(2)對稱區(qū)域面積相等,即概率相等.新知探究探究4：正態(tài)曲線下的面積規(guī)律:(3)3σ原則:在實(shí)際應(yīng)用中，服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值.典例剖析解：（1）∵ξ～N(1,4)，

∴μ＝1，σ＝2，

P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)

＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827.典例剖析典例剖析歸納提升利用正態(tài)分布求概率的兩個方法:(1)對稱法：由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線x＝μ對稱的，且概率的和為1，故關(guān)于直線x＝μ對稱的區(qū)間概率相等.如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a).(2)“3σ”法：利用X落在區(qū)間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)的概率分別是0.6827，0.9545，0.9973求解.鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)2、設(shè)離散型隨機(jī)變量X~N(0,1),則P(X≤0)=___________