北京市師大附屬中學(xué)2023屆高三適應(yīng)性練習(xí)數(shù)學(xué)試題

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一、單選題

1.已知集合，若，則的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

2.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是

A．1

B．2

C．4

D．8

3.如圖，點(diǎn)為角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，（）

A．

B．

C．

D．

4.在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（）

A．1

B．3

C．6

D．12

5.現(xiàn)從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中選取兩人加入“數(shù)學(xué)興趣小組”，用A表示事件“抽到兩名同學(xué)性別相同”，表示事件“抽到兩名女同學(xué)”，則在已知A事件發(fā)生的情況下事件發(fā)生的概率即（）

A．

B．

C．

D．

6.已知圓，直線上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（）

A．1

B．

C．

D．2

7.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象恰好關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是（）

A．

B．

C．

D．

8.設(shè)均為非零向量，則“”是“對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都有”的（）

A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充分必要條件

D．既不允分也不必要條件

9.已知函數(shù)，若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

10.分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)，它研究的幾何對(duì)象具有自相似的層次結(jié)構(gòu)，適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個(gè)結(jié)構(gòu)不變，具有很多美妙的性質(zhì).其中科赫（Koch）曲線是幾何中最簡(jiǎn)單的形.科赫曲線的產(chǎn)生方式如下：如圖，將一條線段三等分后，以中間一段為邊作正三角形并去掉原線段生成1級(jí)科赫曲線“”，將1級(jí)科赫曲線上每一線段重復(fù)上述步驟得到2級(jí)科赫曲線，同理可得3級(jí)科赫曲線，……在分形幾何中，若一個(gè)圖形由個(gè)與它的上一級(jí)圖形相似，且相似比為的部分組成，則稱為該圖形分形維數(shù).那么科赫曲線的分形維數(shù)是（）

A．

B．

C．1

D．

二、填空題

11.若，則的虛部是_________.

12.雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)________.

三、雙空題

13.已知等比數(shù)列，記其前項(xiàng)乘積.若，則_________；的前4項(xiàng)和為_(kāi)________.

四、填空題

14.已知函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，且其圖象完全位于直線與之間（不含邊界），則的一個(gè)取值為_(kāi)________.

15.如圖所示，在的長(zhǎng)方形區(qū)域（含邊界）中有兩點(diǎn)，對(duì)于該區(qū)域中的點(diǎn)，若其到的距離不超過(guò)到距離的一半，則稱處于的控制下，例如原點(diǎn)滿足，即有點(diǎn)處于的控制下.同理可定義處于的控制下.

給出下列四個(gè)結(jié)論：

①點(diǎn)處于的控制下；

②若點(diǎn)不處于的控制下，則其必處于的控制下；

③若處于的控制下，則；

④圖中所有處于的控制下的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域面積為.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________.

五、解答題

16.在中，.

(1)求的值；

(2)若，求的面積.

17.人工智能正在逐漸改變著我們的日常生活，不過(guò)，它所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)并非都是遙不可及的高深理論.為了解“拼音輸入法”的背后原理，隨機(jī)選取甲類題材“新聞稿”中1200字作為樣本語(yǔ)料庫(kù)，其中“一”出現(xiàn)了30次，統(tǒng)計(jì)“一”與其后面一個(gè)字（或標(biāo)點(diǎn)）的搭配情況，數(shù)據(jù)如下：“一”與其后面一個(gè)字（或標(biāo)點(diǎn)）的搭配情況頻數(shù)“一個(gè)”6“一些”4“一窮”2“一條”2其他假設(shè)用頻率估計(jì)概率.

(1)求的值，并估計(jì)甲類題材中“一”出現(xiàn)的概率；

(2)在甲類題材“新聞稿”中隨機(jī)抽取2個(gè)“一”，其中搭配“一個(gè)”出現(xiàn)的次數(shù)為，求的分布列和期望；

(3)另外隨機(jī)選取甲類題材“新聞稿”中800字作為樣本語(yǔ)料庫(kù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，“一”出現(xiàn)了24次，“一格”出現(xiàn)了2次，若在甲類題材“新聞稿”的撰寫中，輸入拼音“yige”時(shí)，“一個(gè)”和“一格”誰(shuí)在前面更合適？（結(jié)論不要求證明）

18.如圖在幾何體中，底面為菱形，.

(1)判斷是否平行于平面，并證明；

(2)再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：

（i）平面與平面所成角的大??；

（ii）求點(diǎn)到平面的距離.

條件①：面面

條件②：

條件③：

注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

19.已知橢圓過(guò)點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.

(1)求橢圓的方程及其焦距；

(2)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，直線分別與直線交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)且，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

20.已知函數(shù).

(1)若，求在處切線方程；

(2)求的極大值與極小值；

(3)證明：存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).

21.已知為有限個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成的非空集合，設(shè)，，記集合和其元素個(gè)數(shù)分別為，.

設(shè).