高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精練必備 第21練 空間幾何體（教師版）

第21練空間幾何體

學(xué)校姓名班級(jí)____________

一、單選題

1.已知圓錐的底面半徑為1,其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為120。的扇形，則該圓錐的表

面積為（）

A.2兀B.34C.47rD.5萬(wàn)

【答案】c

【詳解】

設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為/，則/?日=2%,解得/=3,則該圓錐的表面積為萬(wàn)*3X1+7X12=4%.

故選：C.

2.一個(gè)底面積為1的正四棱柱的頂點(diǎn)都在同一球面上，若此球的表面積為2（比，則該四棱

柱的高為（）

A.GB.2C.3亞D.V19

【答案】C

【詳解】

設(shè)球的半徑為R，則4兀戸=20兀，解得紹=5

設(shè)四棱柱的高為厶，則庁+1+[=4戸，解得力=3立

故選：C

3.如圖，△49C是水平放置的的斜二測(cè)直觀(guān)圖，其中0'C'=0'A'=208',則以下說(shuō)

法正確的是（）

A.△力阿是鈍角三角形B.△/回是等邊三角形

C.△/!充是等腰直角三角形D.比是等腰三角形，但不是直角三角形

【答案】C

【詳解】

解：將其還原成原圖，如圖,

設(shè)AC'=2,則可得O8=2(7B'=1,AC=AC'=2,

從而AB=BC=e，

所以A庁+3C2=AC?，即AB丄3C,

故,ABC是等腰直角三角形.

故選：C.

4.已知圓柱的底面半徑和高都是2,那么圓柱的側(cè)面積是（)

A.4萬(wàn)B.8%C.12TD.16%

【答案】B

【詳解】

因?yàn)閳A柱的底面半徑和高都是2,所以圓柱的側(cè)面積S=2x乃x2x2=8".

故選：B.

5.圓柱內(nèi)有一個(gè)球。，該球與圓柱的上、下底面及母線(xiàn)均相切，已知圓柱的體積為16兀,

則球0的體積為（)

A32幾n64兀

A.——B.——C.16KD.12兀

33

【答案】A

【詳解】

設(shè)球。的半徑為此則圓柱的底面圓的半徑為R,高為2R,

所以兀/?2.2/?=16兀，解得：R=2,

則球。的體枳為A:成3=爭(zhēng)X）

故選：A

6.通用技術(shù)老師指導(dǎo)學(xué)生制作統(tǒng)一規(guī)格的圓臺(tái)形容器，用如圖所示的圓環(huán)沿虛線(xiàn)剪開(kāi)得到

的一個(gè)半圓環(huán)（其中小圓和大圓的半徑分別是1cm和4cm）制作該容器的側(cè)面，則該圓臺(tái)

形容器的高為（)

A-乎cmD.也cm

B.1cmC.6cm

2

【答案】D

【詳解】

由已知圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓環(huán)，不妨設(shè)上、下底面圓的半徑分別為r，R(r<R),

則2w=兀x1,2K/?=兀x4,解得r=一,R=2.

2

所以圓臺(tái)軸截面為等腰梯形，其上、卜底邊的長(zhǎng)分別為1cm和4cm,腰長(zhǎng)為3cm,

即AD-\,BC=4,AB=3,過(guò)點(diǎn)A作AH丄BC,H為垂足，

所以=AH=^-

22

該圓臺(tái)形容器的高為逑cm,

2

故選：D.

7.在矩形ABC。中，45=24)=12,點(diǎn)E,E分別是A8,C。的中點(diǎn)，沿EF將四邊形

AEED折起，使厶￡3=60。，若折起后點(diǎn)A,B,C,D,E，F(xiàn)都在球。的表面上，則

球。的表面積為()

A.64nB.72KC.84兀D.96兀

【答案】C

【詳解】

因?yàn)榫匦蜛BCO中，/1B=2A￡>=12,點(diǎn)E，/分別是AB,C。的中點(diǎn)，

所以四邊形AEF￡>和四邊形EFCB是正方形，

又沿EF■將四邊形折起，使/4EB=60。，

所以幾何體A班-短PC是正三棱柱，A￡>=6,

設(shè)球。的球心。在底面DFC的射影為G,因此GO=丄AO=丄x6=3,

22

顯然G是等邊三角形DFC的中心，

FG=-FH=-^DF2-DH2=2、"(丄X6)2=^x3上=2上,

333V23

在直角三角形OFG中，OF貝OG?+FH。=+(2冏=后，

所以球。的表面積為4兀。尸=84兀,

故選：C

8.在,43。中，AB=BC=4,ZABC=150°,若將ABC繞直線(xiàn)回旋轉(zhuǎn)一周，則所形成

的旋轉(zhuǎn)體的體積是()

A.37rB.—7iC.9兀D.—冗

33

【答案】B

【詳解】

旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)大圓錐去掉一個(gè)小圓錐，

作出簡(jiǎn)圖：

所以。4=2,OB=2jL

所以旋轉(zhuǎn)體的體積：gxix22x(OC-O8)=早.

故選：B.

9.已知SA,B,。是球。表面上的點(diǎn)，SA丄平面ABLBC,SA=AB=0,

8C=火，則球0的表面積等于()

A.94B.87C.12乃D.10/r

【答案】A

【詳解】

因?yàn)镾、A、B、C是球。表面上的點(diǎn)，

所以。4=O8=OC=QS

又SA丄平面ABC,AB,BC,ACcABC,

所以SA丄A3,SALAC,SA1BC,

因?yàn)锳B丄BC,SAABu平面SAfi,SAr>AB=A,

所以8c丄平面SAB,而B(niǎo)Su平面SAB,

所以3c丄BS,

所以可得。為SC的中點(diǎn)，SA=AB=?，BC=y[5,

R

所以AC=77,SC=3,

所以球。的半徑徑為R=￥=3，

22

所以球。表面積為4%內(nèi)=9萬(wàn).

故選：A.

10.已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/364，且3W/W36,則該正四棱錐體積的取值范圍是

()

\81]「2781]「2764]

A.1o8,—B.-C.-D.[18,27]

_4」144」[43_

【答案】C

【詳解】

???球的體積為36%，所以球的半徑R=3,

設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2“，高為厶，

則『=2/+庁，32=2a2+(3-A)2,

所以6/i=廣，2a2=I2-h2

Ii2/4I2\(/6

所以正四棱錐的體枳V=wS/i=wx4巒x〃=￡X(/2一正)X"=N/'-正

3333669136

所以丿

當(dāng)34”2指時(shí)，V'>0，當(dāng)2拓<”3石時(shí)，丿<0,

所以當(dāng)/=2指時(shí)，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為

27Q1

又/=3時(shí)，V=—,/=36時(shí)，V=—,

44

所以正四棱錐的體積V的最小值為2多7,

4

所以該正四棱錐體積的取值范圍是

故選：C.

二、多選題

TT

11.在邊長(zhǎng)為2的菱形ABC。中，ZBAD=~,DELAB,垂足為點(diǎn)6,以施所在的直線(xiàn)

為軸，其余四邊旋轉(zhuǎn)半周形成的面圍成一個(gè)幾何體，則()

A.該幾何體為圓臺(tái)B.該幾何體的高為G

C.該幾何體的表面積為7萬(wàn)+26D.該幾何體的體積生壇

3

【答案】BCD

【詳解】

解：由題意可知，該幾何體的結(jié)構(gòu)為半個(gè)圓錐和半個(gè)圓臺(tái)，

該幾何體的高為￡>E=G，

該兒何體的表面積為

S=1^-l-2+^-l2+^(l+2)-2+1^(l2+22)+2xlx2x^=7^+2>/3.

=—x—x^-x-V3+—x—x^-x>/3x(l+4+2)=土刼.

2323''3

故選：BCD

12.”阿基米德多面體”也稱(chēng)為半正多面體(semi-regularsolid),是由邊數(shù)不全相同的

正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美.如圖所示，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的

三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形、六個(gè)面為

正方形的一種半正多面體，已知=則關(guān)于如圖半正多面體的下列說(shuō)法中，正確的

有（）

B.該半正多面體過(guò)小B,。三點(diǎn)的截面面積為3百

C.該半正多面體外接球的表面積為12萬(wàn)

D.該半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)K面數(shù)尺棱數(shù)￡滿(mǎn)足關(guān)系式V+k-E=2

【答案】ABD

【詳解】

如圖，

該半正多面體，是由棱長(zhǎng)為2的正方體沿各棱中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得到的.

對(duì)于A,因?yàn)橛烧襟w沿各棱中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得到的，所以該幾何體的體積為：

V=2x2x2-8xlxlxlxl=—,故正確；

323

對(duì)于B,過(guò)4B,C三點(diǎn)的截面為正六邊形4?第皿所以5=6、￥*（&）2=36，故正確.

對(duì)于C,根據(jù)該幾何體的對(duì)稱(chēng)性可知，該幾何體的外接球即為底面棱長(zhǎng)為側(cè)棱長(zhǎng)為2

的正四棱柱的外接球，所以該半正多面體外接球的表面積5=4%戸=41x（應(yīng)『=8*故

錯(cuò)誤；

對(duì)于D,幾何體頂點(diǎn)數(shù)為12,有14個(gè)面，24條棱，滿(mǎn)足12+14-24=2,故正確.

故選：ABD

13.己知正方體ABCD-A8CR的棱長(zhǎng)為。，則（）

A.正方體的外接球體積為3/兀B.正方體的內(nèi)切球表面積為4/兀

2

C.與AA異面的棱共有4條D.三棱錐A-A8Z）與三棱錐A-BQQ體積

相等

【答案】ACD

【詳解】

V正方體外接球的半徑R=?a，內(nèi)切球的半徑，=

22

正方體的外接球體積為V=—it/?3=—a3n＜內(nèi)切球表面積為S-4;cr2-a2it

32

A正確，B不正確；

與AA異面的棱有8C,CDBG，GR，共有4條，C正確；

???%-弘。=%-4鶴，則三棱錐與三棱錐。一4円。的高AA=DA，底面積

SAB"=SA44，故體積相等,D正確；

故選：ACD.

三、填空題

14.將一個(gè)棱長(zhǎng)為友的正四面體放入一個(gè)正方體的玻璃容器，若要求該正四面體能在正

3

方體容器中自由旋轉(zhuǎn)，則該正方體容器的棱長(zhǎng)的最小值為.

【答案】2

【詳解】

由題若正四面體能在正方體容器中自由旋轉(zhuǎn)，

則當(dāng)正方體最小時(shí)，其內(nèi)切球是該正四面體的外接球，

又由棱長(zhǎng)為也的正四面體的外接球半徑西x逅=1,

334

此時(shí)正方體的棱長(zhǎng)為2.

故答案為：2.

15.已知圓柱上、下底面的圓周都在一個(gè)體積為等的球面上，圓柱底面半徑為4,則該

圓柱的表面積為.

【答案】80%

【詳解】

設(shè)圓柱外接球半徑為：R,圓柱的母線(xiàn)長(zhǎng)為：h,

由圓柱的性質(zhì)得，外接球球心在上下底面圓心連線(xiàn)的中點(diǎn)處，

h

所以外接球球心到底面的距離為圓柱母線(xiàn)的一半：P

所以/?2=不+⑶:又”眩=迎￡,解得R=5,〃=6,

（2丿33

所以圓柱的表面積為：萬(wàn)x4?x2+2x萬(wàn)x4x6=80萬(wàn).

故答案為：80%.

四、解答題

16.已知正四棱柱48C?！狝BIGR，其中A5=3,A4）=2y/3.

（1）若點(diǎn)尸是棱AA上的動(dòng)點(diǎn)，求三棱錐片-演。的體積.

⑵求點(diǎn)2到平面A0的距離

【答案】⑴3A2卓vn

【解析】（1）

實(shí)際上需求三棱錐P-B/C的體積.

由正四棱柱，8耳=A4]=2百,3C=AB=3,4B=AB=3

角形亠BC的面積為S△及耽=；?BC?8耳=gx3x28=36

因?yàn)椤ㄊ抢釧A上的動(dòng)點(diǎn)且AA與平面BCG四平行，則只需寫(xiě)出AA9平面BCC円間的距

離即可.

由于AB丄平面BCC4,不妨記三棱錐的高為AB

則三棱錐P-B.BC的體積VP_B1SC=1.S△母BC-AB=；x3百x3=36

(2)

以。為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

則A(3,0,0),耳(3,3,2^),C(0,3,0),〃(0,0,26)

可知DR=(3,3,0),C4=(3,-3,0),Cfi,=(3,0,26)

設(shè)平面ACBI的法向量為〃=(x,y,z)

n-CA=03x-3y=0'-'

則〈cr73

n-CB.=03x+2\!3z=0z=-x

2

不妨設(shè)”=(2,2,-6)，同時(shí)設(shè)點(diǎn)R到平面4CB,的距離為d

耳

則d=

I"I

故點(diǎn)R到平面ACB1的距離為?而

17.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，截去三棱錐4-A8。，求:

(1)截去的三棱錐A-A8D的體積;

(2)剩余的幾何體的表面積.

【答案】(1)2(2)巴電

62

【解析】(D

?.?正方體的棱長(zhǎng)為1,

三棱錐A-A8D的體積%^>=9一協(xié)=<S..AA=!x：xlxlxl=:

332o

(2)

是邊長(zhǎng)為血的等邊三角形，SABD=%必眉吟=與,

?q_q_q—J.

??0CBD一心A,DtD.uAiB{B~?，

=

SBC%C1=SCDD1clSA島CG