2024屆四川省成都石室天府高二年級上冊數學期末綜合測試試題 含解析

2024屆四川省成都石室天府高二上數學期末綜合測試試題

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

22

1.雙曲線c：乙-L=1的漸近線方程為（）

164

A.九±4y=0B.4x±y=0

C.x±2y=0D.2x±y=0

22

2.已知雙曲線二-斗=1（。>0,6>0）的右焦點為小漸近線為4,12,過口的直線與4垂直，且交4于點加，交/，于

ab

點N,若MN=FM，則雙曲線的離心率為（）

A.y/2B.73

C.2D.百

3.阿基米德（公元前287年~公元前212年）不僅是著名的物理學家，也是著名的數學家，他利用“逼近法”得到的橢

圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的對稱軸為坐標軸，焦點在y軸上，且橢圓C的

離心率為也，面積為6兀，則橢圓C的標準方程為（）

2

2222

A%y1

A?----1-------—1B.±+匕=1

91634

2222

C.土+匕=1D.±+2L=I

416312

4.用2,3,4這3個數組成沒有重復數字的三位數，則事件“這個三位數是偶數”與事件”這個三位數大于342”（）

A.是互斥但不對立事件B.不是互斥事件

C.是對立事件D.是不可能事件

22

5.已知點P是橢圓三■+三=1上的任意一點，過點P作圓C：d+（y-l）2=l的切線，設其中一個切點為貝！

的取值范圍為（）

A.[A4]B.[6,厲]

C.[V15,4]

6.過點(1,0)且與直線x-2y=0垂直的直線方程是()

A.x-2y-l=0B.x-2y+l=0

C.2x+y—2=0D.x+2y—1—0

7.如圖在平行六面體A3CD—44G2中，AC與BD的交點記為設昭=。，AB=b，AD=c9則下列向

量中與g相等的向量是()

171

A.a—bH—cB.aH—b—c

2222

171171

C.ClH----bH-----CD.〃——b——c

2222

8.設p：(g)x<Lq：log2X<0,則。是4的

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

9.數列｛。"｝中，4=2,an+1=2an,若a—+<4+2+，+4+io=2卜一2,,貝必=()

A.2B.3

C.4D.5

10.兩圓(%—2p+(y—1)2=4與(%+1)2+(,一2)2=1的公切線有()

A.1條B.2條

C.3條D.4條

11.已知等差數列｛4｝滿足4=2,%=10,則/=()

A.10B.12

C.14D.16

22

12.已知雙曲線C：，-｝=1（?！?力〉0）的左焦點為尸，。為坐標原點，M,N兩點分別在C的左、右兩支上，

若四邊形。尸為菱形，則C的離心率為（）

A,V2+1B.也

C.73+1D.2及

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2

13.在ABC中，cosC――,AC-4,BC-3,貝！1cosA二.

3

14.當曲線y=與直線近-丁+2左+4=。有兩個不同的交點時，實數上的取值范圍是

15.在等比數列｛4｝中，4=2,%=128,若數列也｝滿足d=log?則數列也｝的前20項和為

16.已知命題p:\/%eR,%2+2%+a>0恒成立；q:3xeR,x2-ax+l<Q,若P，F均為真，則實數。的取值范

圍__________

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）在①%=6,tZj+S3=50；②，2〉S9，a2+a2i<0,③Sg〉。，S］。<0這三個條件中任選一個，補

充在下面問題中并解決問題

問題：設等差數列｛2｝的前〃項和為S〃，,若，判斷S”是否存在最大值，若存在，求出S”取最大

值時”的值；若不存在，說明理由

注：如果選擇多個條件分別解答.按第一個解答記分

18.（12分）已知圓C的圓心在直線x+y—1=0,且與直線2x—y=0相切于點（0,0）.

（1）求圓。的方程；

（2）直線/過點P（3,-3）且與圓C相交，所得弦長為4,求直線/的方程.

19.（12分）在數列｛凡｝中，q=1，4M=詈工（。〉0）,且％,名,%成等比數列

（1）證明數列,是等差數列，并求｛4｝的通項公式；

2

⑵設數列也｝滿足bn=（4n+1）anan+i,其前〃項和為S“，證明：Sn<n+1

20.(12分)已知拋物線卬:/=2刀(0>0)的焦點/也是橢圓上+乙=1的一個焦點，如圖，過點廠任作兩條互相

34

垂直的直線/1,4,分別交拋物線W于A,C,B,。四點，E,G分別為AC,的中點.

(1)求0的值；

(2)求證：直線EG過定點，并求出該定點的坐標;

(3)設直線EG交拋物線W于N兩點，試求|MN|的最小值.

21.(12分)已知三角形ABC的內角A5c所對的邊分別為"也c,5公垣。=3。且(7為鈍角.

(1)求cosA；

(2)若。=3及，b=5,求三角形ABC的面積.

22.(10分)在等差數列｛%｝中,q=-2,%2=20.

(1)求數列｛q｝通項公式明；

⑵若或"+=；??+%,求數列｛34｝的前幾項和S“.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解題分析】根據給定的雙曲線方程直接求出其漸近線方程作答.

22

【題目詳解】雙曲線Ct—三=1的實半軸長a=4,虛半軸長匕=2,即有q=2,而雙曲線C的焦點在y軸上,

164b

所以雙曲線C的漸近線的方程為y=±2%,即2x土y=0.

故選：D

2、C

【解題分析】由題設易知4是8V的中垂線，進而可得b=ga，結合雙曲線參數關系及離心率公式求雙曲線的離心

率即可.

【題目詳解】由題意，4是7W的中垂線，故ZMOF=/MON,

—=tan60°=百,故匕=y/3a,

a

,c

?e=—=

a

故選：C.

3、D

2X2

【解題分析】設橢圓的方程為4+=l(tz>/?>0),根據題意得到a=23和";r=6?,求得。2/2的值，即可求

a

解.

22

【題目詳解】由題意，橢圓的焦點在y軸上，可設橢圓的方程為二+==1(?！怠！?),

ab

因為橢圓C的離心率為18,可得e=￡=Y3,

2a2

2h23

又由02=/—〃，即\c=i—勺=三，解得"=28,

aa4

又因為橢圓的面積為6?,可得"兀=6?,即〃b=6,

22

聯立方程組，解答/=12,〃=3,所以橢圓方程為2-+工=1.

123

故選：D.

4、B

【解題分析】根據題意列舉出所有可能性，進而根據各類事件的定義求得答案.

【題目詳解】由題意，將2,3,4組成一個沒有重復數字的三位數的情況有：

{234,243,324,342,423,432},其中偶數有{234,324,342,432},大于342的有{423,432}.

所以兩個事件不是互斥事件，也不是對立事件.

故選:B.

5、B

【解題分析】設得至"PM『=|PC「—MC「=—，y+3)2+15,利用橢圓的范圍求解.

【題目詳解】解：設P(x,y),

貝!=|PC|2-|MC|2=^2+(y-l)2-l,

=1上X12+(y-1)2—1,

、9,

1

=--(y+3)-9+i5,

因為—3<y<3,

所以34|加「<15,即<而，

故選：B

6、C

【解題分析】根據兩直線垂直時斜率乘積為-1,可以直接求出所求直線的斜率，再根據點斜式求出直線方程，最后化

成一般式方程即可.

【題目詳解】因為直線x-2y=0的斜率為子，故所求直線的斜率等于—2,

所求直線的方程為y—0=—2(尤—1),即2x+y-2=0,

故選:C

7、B

【解題分析】利用空間向量的加法和減法法則可得出加4關于a、b、c的表達式.

【題目詳解】MB[=MB+BB[=^DB+BBX—A￡>)+明=a+"—gc

故選:B.

8、B

【解題分析】［gj<i=x>o,log2X<0=0<x<l,所以〃是q必要不充分條件，故選B.

考點：1.指、對數函數的性質；2.充分條件與必要條件.

9、C

【解題分析】由已知得數列｛4｝是以2為首項，以2為公比的等比數列，求出乙,再利用等比數列求和可得答案.

【題目詳解】???。,+1=2%,.?.嘰=2,

an

所以，數列｛&｝是以2為首項，以2為公比的等比數列，則4=2X2"T=2",

510

???W+I+W+2++WM。工2K）=3。.1）=2（2—1），

.??2后1=25,則％+1=5,解得左=4.

故選：C.

10、D

【解題分析】求得圓心坐標分別為G（2,1）,。2（-1,2）,半徑分別為4=2,2=1,根據圓圓的位置關系的判定方法，得

出兩圓的位置關系，即可求解.

【題目詳解】由題意，圓（x—2y+（y—1）2=4與圓（x+iy+（y—2）2=1,

可得圓心坐標分別為G（2,1）,C2（T,2）,半徑分別為（=2,2=1,

貝！l|CC|=J（2+l）2+（1—2）2=瓦,r2-rx=\,r2+rx=3

所以|GG|>弓+4,可得圓G，02外離，

所以兩圓共有4條切線.

故選：D.

11、D

【解題分析】根據等差數列的通項公式求出公差，再結合％=2即可得勾的值.

【題目詳解】因為｛4｝是等差數列，設公差為d,所以%=q+4d,即10=2+42,所以2=2,

所以4=q+7d=2+7x2=16,

故選：D.

12、C

【解題分析】由題意可得|又可|=|。時=|0周=。且叱//0￡,從而求出點N的坐標，將其代入雙曲線方程中，即

可得出離心率.

【題目詳解】由題意E(—c,o),四邊形為菱形，如圖，貝!JpW|=|ON|=|O尸］=c且肱V//OE

c

，M,N分別為C的左，右支上的點，設加點在第二象限，N在第一象限.由雙曲線的對稱性，可得%=5,過點N

作AWx軸交x軸于點“，貝!J|0N|=C,|0M=；|M7W=J0N|=|,所以NNO//=60。,則|NW|=手c，所以

(c百、M「

N-,^-c,所以J—=則。2"-3。21=4〃"，即eJ8e2+4=0,解得e?=4+26,或

(22J4a24b"

e2=4-2A/3，由雙曲線的離心率e>l,所以取?2=4+26，則e=G+l

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2

13-.一

3

【解題分析】由已知在一ABC中利用余弦定理可得AB的值，可求AB=5C,可得A=C,即可得解cosA的值

【題目詳解】解：因為在中，cosC=-,AC=4,BC=3,

3

所以由余弦定理可得AB=y/AC2+BC--2AC-BC-cosC=^42+32-2x4x3x|=3,

所以43=5。，即人=。，

2

則cosA=cosC=—

2

故答案為：-

3

【解題分析】求出直線恒過的定點，結合曲線y=，4_f的圖象,數形結合，找出臨界狀態(tài)，即可求得上的取值范

圍.

【題目詳解】因為產“一f,故可得必十丁=武丁之o),

其表示圓心為(0,0),半徑為2的圓的上半部分;

因為Ax-y+2左+4=0,即y-4=k(x+2),

其表示過點4(-2,4),且斜率為左的直線.

在同一坐標系下作圖如下:

不妨設點3(2,0),A3直線斜率為左-且過點A與圓相切的直線斜率為k2

數形結合可知：要使得曲線y=,4-爐與直線kx-y+2k+4=0有兩個不同的交點,

只需644〈左2即可.

4-0

容易知：^=——=-1

-2-2;

不妨設過點A與V+丁=4相切的直線方程為y-4=&(%+2),

|2^+4|3

則由直線與圓相切可得：——~2,解得&=一心,

故人e-1,--1

3

故答案為T-LR

15、400

【解題分析】求出等比數列｛4｝的通項公式，可得出也｝的通項公式，推導出數列也｝為等差數列，利用等差數列

的求和公式即可得解.

【題目詳解】設等比數列｛4｝的公比為4,則4=j^=4,則4=。1/一|=2X4〃T=22"T

所以，=log2a?=2n-l,則a+1-4=25+1)-1一(2"-1)=2,

所以，數列出｝為等差數列，

故數列也｝的前20項和為S20=20X(1+；20-1)=40Q

故答案為：400.

16、［L2］

【解題分析】根據題意得到命題?為真命題，4為假命題，結合二次函數的圖象與性質，即可求解.

【題目詳解】根據題意，命題P，r"均為真命題，可得命題夕為真命題，q為假命題，

由命題〃：\/%€凡％2+2%+?！?恒成立，可得劣=22-4。<0,解得aNl；

2

又由命題q：lxeR,%2—a%+l<0為假命題，nTMA2=(-a)-4<0,解得一2WaW2,

所以lWaW2,即實數。的取值范圍為［L2］.

故答案為：［1,2］.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、答案不唯一，具體見解析

【解題分析】選①：易得。“=16-2〃，法一：令420求〃，即可〃為何值時S,取最大值；法二：寫出S“，禾!］用等

差數列前，，項和的函數性質判斷”為何值時S“有最大值;選②:由數列前〃項和及等差數列下標和的性質易得a”>0、

知+。12<0即可確定5“有最大值時"值；選③：由等差數列前"項和公式易得生〉。、%+4<。即可確定S,有最

大值時”值;

【題目詳解】選①：設數列｛4｝的公差為d,%=6,%+$3=50

4+4d=6

解得q=14,d=—2,即％=14—2（幾一1）=16—2〃,

4q+3d=50

法一：當時，有16—2〃20,得〃<8,

???當〃?7時，?！?gt;0；幾=8,=0；時，〃〃<0,

???〃=7或幾=8時，5〃取最大值

2

法二：Sn=-n+15M,對稱軸〃=7.5,

，九=7或〃=8時，S,取最大值

選②：由%―Sg〉。，得。]2+%+。10〉0，由等差中項的性質有3%〉0,即4]>0,

由生+%<0,得%+%=%+%2<0，

%2<°，故〃=%2-。11<0,

...當時，4〉0,“212時，<2?<0,故〃=11時，s“取最大值

選③：由$9〉0,得$9=豆幺山=吃也〉0,可得%〉0,

922

由航0<0,得$=10(。7)=10(：+。6)<0,可得4+4<0,

/.a6<0,故d=4一%<0，

...當時，4〉0,時，?！?lt;0,故〃=5時，S”取最大值

【題目點撥】關鍵點點睛：根據所選的條件，結合等差數列前”項和公式的性質、下標和相等的性質等確定數列中項

的正負性，找到界點”值即可.

18、(1)(尤一2)2+(y+l)2=5

(2)%=3或3x+4y+3=0

【解題分析】(1)分析可知圓心在直線x+2y=。上，聯立兩直線方程，可得出圓心的坐標，計算出圓的半徑，即可

得出圓。的方程；

(2)利用勾股定理求出圓心到直線/的距離，然后對直線/的斜率是否存在進行分類討論，設出直線的方程，利用點

到直線的距離公式求出參數，即可得出直線/的方程.

【小問1詳解】

解：過點(0,0)且與直線2x-y=0垂直的直線的方程為x+2y=0,

由題意可知，圓心C即為直線x+2y=。與直線x+y-1=。的交點，

聯立\八，解得「故圓。的半徑為廠="2+(-1)2=6，

龍+y—l=0[y=TY

因此，圓。的方程為(尤―2y+(y+l)2=5.

【小問2詳解】

解：由勾股定理可知，圓心。到直線/的距離為萬=1.

當直線/的斜率不存在時，直線/的方程為％=3,圓心。到直線/的距離為1,滿足條件；

當直線/的斜率存在時，設直線/的方程為y+3=k(x—3),即辰一V一3左一3=0,

|2左+1—3左一3||左+2|3

由題意可得d=J—,——'=^^=1,解得左=——,

3

此時，直線/的方程為y+3=_](x—3),即3x+4y+3=0.

綜上所述，直線/的方程為％=3或3x+4y+3=0.

19、(1)證明見解析；an^—^—;(2)證明見解析

2n-l

【解題分析】(D利用已知條件推出數列工是等差數列，其公差為。，首項為1,求出通項公式，結合由4,出，

名成等比數列，轉化求解即可.(2)化簡通項公式，利用裂項消項法，求解數列的和即可

111

【題目詳解】證明：(1)由4+1，得——=一+c,即--------

4+ia“4+1an

所以數列工是等差數列，其公差為C,首項為1,

1,/八1

因此，一=l+("—l)c,an=--7,

anl+(〃—l)c

由01M2，%成等比數列，得蠟=見％,即[一一]=lx」一

Ic+1j4c+1

解得c=2或c=0(舍去)，故為=-----

2n-l

W+1,2,11

（2）因為b”--；---=1+7-----77-----7=1'?------

4”~—1----（2九-1）（2"+1）2n—\2n+l

所以s“=4+d++d=〃+（i_g+g_/++二---

2n-l2n+\）2n+l

因為』T>°'所以s“<〃+i

【題目點撥】方法點睛：裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點

]

的方法是根據式子的結構特點，掌握一些常見的裂項技巧：①

〃（〃+左）k\nn+k

1J]1_____

②

(2n-l)(2n+l)2(2〃-12n+l)

[、]]]

；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現丟項或多項的問題,

(“+1)(“+2)

導致計算結果錯誤.

20、(1)p=2

（2）證明見解析，（3,0）

（3）4幣

【解題分析】（1）求出橢圓的焦點坐標，從而可知拋物線的焦點坐標，進而可得P的值;

（2）首先設出直線AC,5。的方程，聯立直線與拋物線的方程，得到E,G坐標，令+1=242+1,可得直線EG

過點”（3,0）,再證明當左2彳1,E,H,G三點共線即可;

（3）設出EG的直線方程，聯立直線與拋物線的方程，利用韋達定理找出根的關系，再利用兩點間的距離公式求出最

小值即可.

【小問1詳解】

22

橢圓L+匕=1的焦點坐標為（0,±1）,

34

由于拋物線W-.x2=2P火p>0）的焦點F也是橢圓—+^=1的一個焦點,

34

故廠（0,1）,即3=1,p=2；

2

小問2詳解】

由（1）知，拋物線的方程為必=4y,

設4（玉，％）,C（x2,外），

由題意，直線AC的斜率左存在且左W0

設直線AC的方程為丁=依+1,

代入x?=4y可得_4=0，

則再+%2=4左，

故X+%=G+1+日2+1=4k2+2,

故AC的中點坐標為E(2左,242+1),

由ACL5。，設直線的方程為＞=—Lxx+l,

k

4

代入％2=4y可得/+―x—4=o,

k

皿4

貝!|%]+Z~

一k

411114c

故%+%=一1乂%1+1-%乂％2+1=記+2,

22八

可得5。的中點坐標為G一廿1'

2

令正+1=2左2+1得左2=1，

此時+1—2k之+1=3,

故直線EG過點”(3,0),

---0

當上2w1時，kEH=