2023年北京順義區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試題及答案

順義區(qū)2023屆高三第二次統(tǒng)練

數(shù)學(xué)試卷

考1.本試卷共5頁，共兩部分,21道小題，滿分150分.考試時間120分鐘。

生2.在答題卡上準確填寫學(xué)校、姓名、班級和教育1D號。

須3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。

知4.在答題k上，選擇題用2B鉛筆作答,其它試題用黑色字跡簽字筆作答。

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題,每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項。

⑴已知集合4=,8=i*IO<%W3］，則4U8=

(A)/l-2<x這3}(B)>.tl0<x<2；-(C){xl-2<r^01(D)jxl2<x<3|

(2)若圓(a1)2+y=4與)軸交于丸R兩點，則=

(A)2(B)4(C)2次(D)24

(3)下列函數(shù)中，既是假函數(shù)又在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是

(A)y=cosx(B)y=elxl(C)y=Igx(D)y=—

y

(4)已知拋物線r=2px(p>0)的準線過雙曲線不-/=1的一個焦點，則p=

(A)l(B)2(C)4(D)8

(5)已知函數(shù)/(x)=log2(4+1)-x,則不等式/(x)>0的解集是

(A)(l,+co)(B)(0,+oo)(C)(0,l)(D)(-l,0)U(l,+oc)

(6)如圖,在矩形中"8=3,40=1,點P為CD的中點,

則方?DB+AP?DB=

3

(A)0(B)-

(C)731(1))273

高二數(shù)學(xué)試卷第1頁(共5頁)

(7)在正方體中，點M,N分別是棱DDl

和線段Be、上的動點，則滿足與DD1垂直的直線MN

(A)有且僅有1條

(B)有且僅有2條

(C)有且僅有3條

(D)有無數(shù)條

(8)在平面直角坐標系."))中，角。與角3均以O(shè)x為始邊,

它們的終邊關(guān)于x軸對稱.若sina=1■，貝I]cos(a-j3)=

34

(A)l(B)-(C)j(D)0

(9)已知faJ是無窮等差數(shù)列，其前項和為S“，則」a.｝為遞增數(shù)列”是“存在"eN'使得

6“>0”的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

(10)2022年足球世界杯在卡塔爾舉行,32支參賽隊通過抽簽分為八個小組.每個小組分別

有4支球隊，共打6場比賽，每支球隊都必須和同組其他3支球隊進行且只進行一場

比賽.小組賽積分規(guī)則為:勝1場積3分，平1場積1分，負1場枳0分,每個小組積分

前兩名的球隊出線.若小組賽結(jié)束后，同一小組的甲、乙兩支球隊分別積6分和5

分，則

(A)甲、乙兩隊一定都出線(B)甲隊一定出線，乙隊可能未出線

(C)甲、乙兩隊都可能未出線(D)甲、乙兩支球隊至少有?支未出線

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5道小題，每題5分。共25分，把答案填在答題卡上。

(11)若復(fù)數(shù)2=巨耳,則以=________.

1

(12)在(2七)*的展開式中的系數(shù)為.

(13)設(shè)等比數(shù)列1的公比為q(g>0),其前"和為S“，且a尸;,%=2,則a5=;

Ss_?

(14)能說明“若/(x)W/(2)對任意的xe[0,21都成立，則/(x)在[0,2]I.單調(diào)遞增”為假命

題的一個函數(shù)是.2

高二數(shù)學(xué)試卷第2頁(共5貞)

(15)已知小,x,，…/20r均為正數(shù)，并且；+2一+—+/-=1,給出下列四個結(jié)論：

I+X]1+X21+%20”

①./2,…,*2023中小于1的數(shù)最多只有一個；

②小，的,…，工加3中小于2的數(shù)最多只有兩個；

③XI,x2，…,*紂23中最大的數(shù)不小于2022；

④如，叼，…，了20”中最小的數(shù)不小于水蚩

其中所有正確結(jié)論的序號為.

三、解答題共6道題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

(16)(本小題13分)

在△ABC中，a=6,sin.4=；sin8.

(I)求6；

(U)在下列?:個條件中選擇一個作為已知，使△48。存在11唯一確定，并求△48C的

面積.

條件①：乙8=守21T；

條件②：BC邊上中線的長為/萬；

條件③：sin￡=sin24.

注:如果選擇多個符合要求的條件分別解答,按第一個解答計分.

(17)(本小題13分)

如圖，在氏方體圈G"中一48=4,.4。=.町=2,7?是,4冏的中點,

平面ACE與棱G，相交于點F.

(I)求證:點尸為G，的中點；

(n)若點G為棱M上一點,u，cuc,

求點G到平面4Cb的距離.

3

高二數(shù)學(xué)試卷第3頁(共5頁)

(18)(本小題14分)

精彩紛呈的春節(jié)檔電影豐富了人們的節(jié)日文化生活，春節(jié)小長假期間大批觀眾走

進電影院.某電影院統(tǒng)計了2023年正月初一放映的四部影片的上座率,整理得到如下

數(shù)據(jù)：

影片排片場次匕座率(%)

A12364245505762687380858894

B1035404652656578849095

C9353847556065738285

D9343746546064728184

(I)從以上所有排片場次中隨機選取1場,求該場的上座率大于70%的概率；

(U)假設(shè)每場影片的上座率相互獨立.從影片A,B,C的以上排片場次中各隨機抽取

1場，求這3場中至少有2場上座率大于70%的概率；

(ID)將影片C和影片D在該電影院正月初一的上座率的方差分別記為s；和

試比較s；和$的大小.(結(jié)論不要求證明)

(19)(本小題15分)

已知函數(shù)/(X)-X'+COS.V.

(1)求曲線y=/(*)在點(0,/(()))處的切線方程;

(n)求函數(shù)/(工)在［-2小2捫上的最大值和最小值；

(IH)設(shè)g(g)=/'(%),證明:對任意的s>l,有g(shù)(s)-g(l)<3s-3l.

4

高二數(shù)學(xué)試卷第4頁(共5頁)

(20)(本小題15分)

22

已知橢圓(?：「+1=1(a>〃>0)過點4(0,2)和8(0,-2),且(1=a'6.

(I0

(I)求橢圓c的方程；

(n)過點Z)(0,l)斜率為k的直線/交橢圓C于M,N,直線MA,NB分別交直線

y=t(-2<t<2)于點P,Q.若IOPI=I0QI,求f的值.

(21)(本小題15分)

已知實數(shù)集4=|%,做，…，4}("學(xué)3),定義w(A)={Ia,嗎已.

(I)若4=1-2,0,1,2)—

(n)若@(4)=10,-6,-8,-12,12,18,24],求集合4；

(ID)若4中的元素個數(shù)為9,求以，4)的元素個數(shù)的最小值.

5

高二數(shù)學(xué)試卷第5頁(共5頁)

順義區(qū)2023屆高三第二次統(tǒng)數(shù)學(xué)試卷參考答案

一、選擇題ADBCCBDBAA

二、填空題

31

(11)y/5(12)8(13)8,—

(14)f(x)x12(答案不唯一)

(15)①②③(答對一個得2分，答對兩個得3分，全部答對得5分，有錯誤不給分)

三、解答題

(16)(本小題13分)

3

解：(I)因為sinATinB,

2

在△ABC中,由正弦定理」一」一，...............................2分

sinAsinB

可得當(dāng)，......................................................3分

2

又因為a6,

所以64...........................................................5分

(II)選擇條件①按公式酌情給分，最高4分；

選擇條件②

設(shè)BC邊上的中線為AD,則AD屈,CD3

.....o

在△AC。中.由余弦定理得J]

4232府2

cAC2CD2AD21

cosC-----------------""y77

2.ACCD2.4?331

2垃

因為cosCC.o,n.所以sinC1\cos2C......11分

~3~1

2&

所以△ABC的面積為SLibsinC工6.4.8e...........13分

?9

選擇條件③

方法1：

由題設(shè)，因為sin2A2sinAcosA所以sin82sinAcosA6分

因為sinA-sinB,所以sin83sin8cos4

因為8.01,所以sin8,0,.....................................7分

所以cosAJ......................................................8分

由余弦定理"b2c22hccosA

可得：................................9分

6

3616c22.4，

3

整理得8c600,解得c6或——（舍），.......................10分

3

因為cosA4.o,n，所以sinA1&>s2A.....................11分

所以AABC的面積為S%csinA-5-4.6弛8也...........13分

223

方法2:由題設(shè),因為sin2A2sinAcosA,所以sinB2sinAcos4..................6分

3

?3

m

因為sinA-S2所以sin83sinBcosA

在△ABC中,因為方“，所以BA,即5-i。,一.所以sinB,0,……7分

2

所以cosA1...................................................................................................8分

因為cosAAOEJJ^SEA1Jos2A方二，

所以sin84inA匕氈~延，...............................9分

3339

r,7

所以cos8dsin2B—,.....................................................................10分

9

因為ABCn.

所以sinesinA8sinAcosficosAsinB這*Z.L處里,

.............................................................................................................................II分

所以△ABC的面積為SLz/?sinC1-6.4—80......................13分

223

方法3:因為sin8sin2A且'°汨’2A.0,2外

所以824：：或82A,.............................................................................7分

因為人。，所以32An..........................................................................8分

又因為ABC=n.

所以4=。即。c=6.........................................................................................9分

所以aABC為等腰三角形，設(shè)AC邊上的高為8。，則4。=2,

由勾股定理AD&&、.............................................................11分

所以△ABC的面積為S1b.BD=J*4戶80.............................13分

7

(17)(本小題13分)

(D證明：方法1：因為平面ABCO〃平面.

平面AGED平面ABCDAC,

平面ACEn平面A8G4EF,

所以E/〃AC.--------------------3分

連接A￡.

因為AA〃CG，A4]CCv

所以四邊形M.C.C是平行四邊形.

所以AG〃AC?EFuAG.------------------------------------------5分

因為E是AQ的中點，

所以點F為G。的中點.----------------------------------------------6分

方法2：連接4￡.

因為AAi〃CG，CCp

所以四邊形A41GC是平行四邊形.

所以AC〃AG，-----------------------------------------------1分

因為AC/平面AJB￡D],

所以AC//平面A8IG?！敢灰?分

因為AC平面ACE,平面ACEn平面ABG4EF,

所以AC〃EF.——5分

所以"〃AG.

因為七是A2的中點，

所以點F為CR的中點.----------------------------------------------6分

(H)解方法?因為DA,。。,。/%兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標系。xyz.

則AU，U,⑺4LW六，⑺“JU,U,q

則記(2,4,0),AE^(1,0,2).

設(shè)平面ACE的法向量為相(x,y,z)

mAC02x4y0

8分

機而0即'x2z0

令x2,則》丫]，所以‘〃(4用.10分

3

8

設(shè)G2/0.則4G2,f,2,

由而宓。得44/0.t1.G2,1,0

A(j0,1,0-ii分

\AGmI

點G到平面ACE的距離d

\m\

方法2:連接。G.

因為。Or平面ABC。，

所以。。/AC.

因為4G,AC,ODflOGD,

所以AC，平面DOG.

所以AC，DG.

在平面A8CD內(nèi)，由tanADGtan1,可求出人。?8分

由勾股定理求出AC瘋AE后,CE"

在aACE中由余弦定理得cos-C4E-----—

2AC.AE

則sin/CAEJl(I)2竽，

S^\CEAEsinCAE2￡.-----------------------------------------------10分

S\ACG—AGBC1.

2

設(shè)點G到平面ACE的距離為d.

由％ACEVEACG得!??d12.---------------------------------------12分

33

解得d0-----------------------------------------------------------------------------------------13分

6

（18）（本小題14分）

解：（I）記“從以上所有排片場次中隨機選取I場.該場的上座率大于70%”為

事件M.------------------------------------------------------------------------------------------------------1分

影片A,B,C,D的上座率大于70%的場數(shù)共有5+4+3+3=15,-------------------------------2分

丁一…八5433153，八

所以P(M)------------------------------------------------------------------------------4分

121099408

4

9

(II)記”從影片A,B,C的以上排片場次中各隨機抽取1場.每場的上座率大于70%”分

別為事件人爪其中尸(A).，P(3)白/(C)|；；---------------7分

這3場中至少有2場上座率大于70%的概率為

P(AI3CABCABCABC)

之一.aLI.(I3i.a三一，分

125531231251253.________n

59

12分

180

(III)52Vs?2.-------------------------------------------------------------------------------------14分

19.(本小題15分)

解：(I)fW2xsinx,-----------------------------------------------------------------------2分

f(0)1/(0)0------------------------------------------------------------------------------3分

在點(0,7(0))處的切線方程；分

y=l------------------------------------------------------------4

(II)f'(x)2xsinx,令g(x)2xsinx,g'(x)2cosx,--------------------5分

則

???xe[-2r,2n]

g(x),0--------------------------------------------------------------------------------------6分

g(X)在上單調(diào)遞增-------------------------------------------7分

???g(0)=0,

xw[2K，0),g(x)/'(x)<0,xe(0,2|t],g(x)/'W>0,

7")在[2n,0)上單調(diào)遞減，在(0,2眉上單調(diào)遞增，--------------------9分

當(dāng)x0時，/(X)取最小值1,當(dāng)x2或2射，/(x)取最大值4Y+1.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------io分

(ill)要證明對任意的st,有g(shù)(s)g(r)<3s3/

只需證明對任意的￡tg(s)3s(g(r)3/

,有

記G(x)g(x)3xxsinx,-----------------------------------------------------12分

,：G\x)=1cosxi0.

?(八)仇,(?%+：?尸平眄如強.____________________________________13分

/syt.

G(s)G⑺，即g(s)3sg(f)3f.

g(s)g(f)《3s3f.------------------------------------------------------------------15分

10

20.（本小題15分）

解：（I）由題意可知：〃2M2。---------------------------------------2分

所以橢圓c的方程為上211-4分

84

（H）直線/的方程為ykx1--------------------------------------------5分

設(shè)I.

Mx,yNx,y

Z

I22

zzixyVi6

直線/與橢圓方程上—i聯(lián)立可得：FT............-"一~分

84Iy/ex1

消去，'可得：2爐1x24kx60

,4k6

則n、、0,為4,x,x.---------------------------------8

2k~122k-1分

、，'x/人t.t

x

直線MA的方程為：y——，令y'可得/---2xkx^\'---9分

乂乙7—4、[—4

直線NB的方程為：y二一X2,令yr可得X----「一一一加分

沏Qy22KX23

-\DP\=\DQ\,

\xp\\xI---------------------------------------------------------11分

Q

法一:易知,，與々異號

/+XQ=°

,+產(chǎn)+=。

kxi3

2%（也3）/2x2（kx1）

7M1）（履23）'

6

11

工中⑷小。

2k

vx(v-2)x{kx1)kxx/X"0

2l}i2k1

15分

必與=。

3XA3A1A

—I2—1—2

kx{x2x2222

——13分

kxx3x1393-3

}2--^1--^2

222

X|x3xi

HI：2

t1或，4,14分

t1.15分

法三：

,乙人

/.I-^—^11

kx\1

12k%11f4

例3||-

kx\x23%i

i,642x)2k)

k(12〃(12^,

kxKx2X212k*2k-----------------------13分

kx\x25xi6k1

-----T3xi

M3X112k2

.圖9

t1或，4,-14分

4/-2<t<2,

t1.....15分

7

12

(21)(本小題15分)

留：(1)0A；4,2,0,21;-------------------3分(多寫或少寫一個元素扣1分)

(II)首先，0-4；--------------------------------------------------------4分

其次A中有4個非零元素，符號