挑戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘(全國(guó)通用)專(zhuān)題16圖形變換中的重要模型之旋轉(zhuǎn)模型(原卷版+解析)

專(zhuān)題16圖形變換中的重要模型之旋轉(zhuǎn)模型幾何變換中的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題是歷年中考考查頻率高且考查難度較高，綜合性強(qiáng)，通常有線(xiàn)段、三角形、（特殊）平行四邊形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題。在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要牢牢把握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，再結(jié)合幾何圖形本身的性質(zhì)，找到旋轉(zhuǎn)過(guò)程中變化的量和不變的量，運(yùn)用三角形全等或相似的有關(guān)知識(shí)，求解有關(guān)角、線(xiàn)段及面積問(wèn)題。模型1.三角形中的旋轉(zhuǎn)模型1）常規(guī)計(jì)算型例1．（2023·四川綿陽(yáng)·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得△，當(dāng)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，△CD為等腰三角形，若B＝2，則A＝（）A． B．2 C． D．變式1．（2023·山西·中考真題）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，將三角板的直角頂點(diǎn)D放在Rt△ABC斜邊BC的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點(diǎn)M，N，猜想證明：（1）如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說(shuō)明理由；問(wèn)題解決：（2）如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求線(xiàn)段CN的長(zhǎng)；（3）如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AM=AN時(shí)，直接寫(xiě)出線(xiàn)段AN的長(zhǎng)．2）最值（范圍）型例1．（2023·江蘇常州·一模）如圖，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠BAC＝∠DCE＝90°，AB＝AC＝4，CD＝CE＝2，以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．若將△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，則線(xiàn)段AF的最小值是______．變式1．（2023·四川成都·中考真題）在中，，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)A，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，連接，交于點(diǎn)M，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，連接，直線(xiàn)交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3）綜合證明型例1．（2023·黑龍江·中考真題）在等腰中，，是直角三角形，，，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．（1）當(dāng)，點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖①所示，求證：．（2）當(dāng)，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)B落在邊AD上時(shí)，如圖②所示，當(dāng)，點(diǎn)B在邊AE上時(shí)，如圖③所示，猜想圖②、圖③中線(xiàn)段和又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，不需證明．變式1．（2023·山東濰坊·中考真題）如圖1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D為△ABC內(nèi)部的一動(dòng)點(diǎn)（不在邊上），連接BD，將線(xiàn)段BD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)F的位置；將線(xiàn)段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)E的位置，連接AD，CD，AE，AF，BF，EF．（1）求證：△BDA≌△BFE；（2）①CD+DF+FE的最小值為；②當(dāng)CD+DF+FE取得最小值時(shí)，求證：AD∥BF．（3）如圖2，M，N，P分別是DF，AF，AE的中點(diǎn)，連接MP，NP，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，請(qǐng)判斷∠MPN的大小是否為定值．若是，求出其度數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．模型2.平行四邊形中的旋轉(zhuǎn)模型1）常規(guī)計(jì)算型例1．（2023·浙江寧波·一模）如圖，一副三角板如圖1放置，，頂點(diǎn)重合，將繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如圖2，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)，連接，，此時(shí)四邊形的面積是________．變式1．（2023·廣東廣州·一模）如圖，將?ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到?AB′C′D′的位置，使點(diǎn)B′落在BC上，B′C′與CD交于點(diǎn)E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，則CE的長(zhǎng)為_(kāi)__．2）最值（范圍）型例1．（2022·廣東·深圳九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，，∠ABC＝45°，點(diǎn)E為射線(xiàn)AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，將BE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BF，連接AF，則AF的最小值是_____．變式1．（2023·河南洛陽(yáng)·一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)（含B、C兩點(diǎn)）．連接AE，以點(diǎn)A為中心，將線(xiàn)段AE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AF，連接DF，則線(xiàn)段DF長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_____．3）分類(lèi)討論型例1．（2023·江西·尋烏縣二模）如圖，在平行四邊形中，，，．點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段．若點(diǎn)恰好落在平行四邊形的邊所在的直線(xiàn)上，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____________．變式1．（2023·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝10，高AH＝4，點(diǎn)E是邊AD上任意一點(diǎn)，現(xiàn)將點(diǎn)B繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)，若點(diǎn)恰好在平行四邊形的邊上，則AE＝______．4）綜合證明型例1．（2023·廣西·九年級(jí)期中）如圖，在中，，將繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，此時(shí)點(diǎn)D在上，連接，線(xiàn)段分別交于點(diǎn)H、K，則下列四個(gè)結(jié)論中：①；②是等邊三角形；③；④當(dāng)時(shí)，；正確的是（

）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③變式1．（2023·山西陽(yáng)泉·一模）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題背景】如圖1，平行四邊形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，AD＝8．點(diǎn)E、G分別是AD和DC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E、G分別作DC和AD的平行線(xiàn)，兩線(xiàn)交于點(diǎn)F，顯然，四邊形DEFG是平行四邊形．【獨(dú)立思考】(1)線(xiàn)段AE和線(xiàn)段CG的數(shù)量關(guān)系是：______．(2)將平行四邊形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DE落在DC邊上時(shí)，如圖2，連接AE和CG．①求AE的長(zhǎng)；②猜想AE與CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；【問(wèn)題解決】(3)將平行四邊形DEFG繼續(xù)繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí)（如圖3），AE與CG交于點(diǎn)P，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段CG的長(zhǎng)和∠APC的度數(shù)．模型3.菱形中的旋轉(zhuǎn)模型1）常規(guī)計(jì)算型例1．（2023·安徽黃山·二模）如圖，在菱形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，OD＝2，將BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到BE，交CD于點(diǎn)F，且使得DE⊥BD．若AC＝4DE，則CF＝___．變式1．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將邊長(zhǎng)為3的菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到菱形的位置，使點(diǎn)落在上，與交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為_(kāi)______．2）最值（范圍）型例1．（2023·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為是邊的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線(xiàn)段繞著逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．變式1．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考一模）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為，∠ABC＝60°，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O．點(diǎn)E為直線(xiàn)AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE，將線(xiàn)段EC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BCD的角度后得到對(duì)應(yīng)的線(xiàn)段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)________．3）綜合證明型例1．（2023·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）【探究發(fā)現(xiàn)】(1)如圖1，正方形ABCD兩條對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，正方形與正方形ABCD的邊長(zhǎng)相等，在正方形繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，邊交邊AB于點(diǎn)M，邊交邊BC于點(diǎn)N．①線(xiàn)段BM、BN、AB之間滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系是________；②四邊形OMBN與正方形ABCD的面積關(guān)系是________；【類(lèi)比探究】(2)如圖2，若將（1）中的“正方形ABCD”改為“含60°的菱形ABCD”，即，且菱形與菱形ABCD的邊長(zhǎng)相等．當(dāng)菱形繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，保持邊交邊AB于點(diǎn)M，邊交邊BC于點(diǎn)N．請(qǐng)猜想：①線(xiàn)段BM、BN與AB之間的數(shù)量關(guān)系是_________________；②菱形OMBN與菱形ABCD的面積關(guān)系是________；請(qǐng)你證明其中的一個(gè)猜想．【拓展延伸】(3)如圖3，把（2）中的條件“”改為“”，其他條件不變，則①________；（用含α的式子表示）②________．（用含α的式子表示）變式1．（2022·重慶·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在菱形和菱形中，點(diǎn)，，在同一條直線(xiàn)上，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接，．（1）如圖1，探究與的位置關(guān)系，寫(xiě)出你的猜想并加以證明；（2）如圖1，若，，求菱形的面積．（3）如圖2，將圖1中的菱形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形的邊恰好與菱形的邊在同一條直線(xiàn)上，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系．模型4.矩形中的旋轉(zhuǎn)模型1）常規(guī)計(jì)算型例1．（2022·江西·統(tǒng)考三模）如圖，矩形ABCD中，，，將矩形ABCD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形AFGE，當(dāng)點(diǎn)F落在邊CD上時(shí)，連接BF、DE，則（

）A． B． C． D．變式1．（2023·江蘇無(wú)錫·校考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，將矩形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形AB′C′D′，AB′交CD于點(diǎn)E，且DE＝B′E，則AE的長(zhǎng)為_(kāi)____．2）最值（范圍）型例1．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BC=2AB，點(diǎn)P為邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段BP'，連接PP'，CP'．當(dāng)點(diǎn)P'落在邊BC上時(shí)，∠PP'C的度數(shù)為_(kāi)_______；當(dāng)線(xiàn)段CP'的長(zhǎng)度最小時(shí)，∠PP'C的度數(shù)為_(kāi)_______變式1．（2023·江蘇·江陰市華士實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)P為邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP，點(diǎn)P繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使，以CP、CE為鄰邊作矩形PCEF，連接DE、DF，則和面積之和的最小值為_(kāi)_____．3）分類(lèi)討論型例1．（2022·江蘇·一模）如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°≤θ≤360°），得到矩形AEFG．（1）當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí)，求證：AF∥BD；（2）當(dāng)GC＝GB時(shí)，求θ；（3）當(dāng)AB＝10，BG＝BC＝13時(shí)，求點(diǎn)G到直線(xiàn)CD的距離．4）綜合證明型例1．（2022·重慶·一模）矩形ABCD中．∠ADB＝30°，△AEF中，∠AFE＝90°，∠AEF＝30°，AEBD．連接EC，點(diǎn)G是EC中點(diǎn)．將△AEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°）．(1)如圖1，若A恰好在線(xiàn)段CE延長(zhǎng)線(xiàn)上，CD＝2，連接FG，求FG的長(zhǎng)度；(2)如圖2，若點(diǎn)F恰好落在線(xiàn)段EC上，連接BG．證明：2（GC﹣GB）DC；(3)如圖3，若點(diǎn)F恰好落在線(xiàn)段BA延長(zhǎng)線(xiàn)上，M是線(xiàn)段BC上一點(diǎn)，3BM＝CM，P是平面內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足∠MPC＝∠DCE，連接PF，已知CD＝2，求線(xiàn)段PF的取值范圍．變式1．（2022·四川·眉山市東坡區(qū)模擬預(yù)測(cè)）如圖，Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△AHD，過(guò)D作DC⊥BE交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)C，連接BH并延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)F，連接DE交BF于點(diǎn)O．下列結(jié)論：①DE平分∠HDC；②DO=OE；③H是BF的中點(diǎn)；④BC-CF=2CE；⑤CD=HF，其中正確的有（

）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)模型5.正方形中的旋轉(zhuǎn)模型1）常規(guī)計(jì)算型例1．（2023·河南·平頂山市模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)B在原點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，4），將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，DE⊥BB′于點(diǎn)E，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．變式1．（2023·遼寧遼寧·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OD的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)G，將線(xiàn)段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CF，連接EF，點(diǎn)H為EF的中點(diǎn)．連接OH，則的值為_(kāi)______．2）最值（范圍）型例1．（2023·江蘇揚(yáng)州·三模）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接ED，將ED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到EF，連接DF，CF，則DF＋CF的最小值是（

）A．4 B．4 C．5 D．2變式1．（2023·安徽合肥·二模）正方形中，，點(diǎn)E為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，過(guò)E作交于點(diǎn)G．則的最小值為（

）．A．2 B． C． D．33）路徑（軌跡）型例1．（2022·浙江·九年級(jí)期末）如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E為線(xiàn)段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AE，將AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至EF，連結(jié)BF，取BF的中點(diǎn)M，若點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，則點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（）A．2 B． C． D．4變式1．（2022·山西·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)O為正方形的中心，點(diǎn)F為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G為線(xiàn)段AF上一動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)GO交CD于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)G從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)E所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．4）分類(lèi)討論型例1．（2022·云南昆明·統(tǒng)考二模）如圖，大正方形中，，小正方形中，，在小正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)為_(kāi)______．變式1．（2022·湖北模擬預(yù)測(cè)）如圖，以AB為邊作邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD，動(dòng)點(diǎn)P、Q在正方形ABCD的邊上運(yùn)動(dòng)，且PQ＝8，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C→D的線(xiàn)路，向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q只能在線(xiàn)段AD上運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)P從A到D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)為_(kāi)____．5）綜合證明型例1．（2023·遼寧盤(pán)錦·中考真題）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF為等腰直角三角形，∠ECF＝90°，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在CD上，P為EF中點(diǎn)，連接AF，G為AF中點(diǎn)，連接PG，DG，將Rt△ECF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°）．(1)如圖1，當(dāng)α＝0°時(shí)，DG與PG的關(guān)系為；(2)如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)①求證：△AGD≌△FGM；②（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式1．（2023·南充·中考真題）如圖，正方形邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在邊上（不與A，B重合），將沿直線(xiàn)折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)處，連接，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③點(diǎn)P是直線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為；④當(dāng)時(shí)，的面積．其中正確的結(jié)論是_________．（填寫(xiě)序號(hào)）課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·浙江·九年級(jí)期末）如圖，在中，，，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，點(diǎn)落在線(xiàn)段上，在線(xiàn)段BE上取點(diǎn)，使，連結(jié)，，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B． C． D．2．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形OBCD中，OB=1，相鄰兩內(nèi)角之比為1：2，將菱形OBCD繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到菱形OB′C′D′，則點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（）A．（，） B．（，-） C．（，-） D．（，）4．（2023·山東·滕州市一模）在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E為AD的中點(diǎn)，一塊足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)與E重合，將三角板繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交AB、BC（或它們的延長(zhǎng)線(xiàn)）于點(diǎn)M、N，設(shè)∠AEM

=α（0°＜α＜90°），給出四個(gè)結(jié)論：①AM＝CN

②∠AME＝∠BNE

③BN－AM＝2

④.上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．45．（2023·湖北孝感·中考真題）如圖，點(diǎn)在正方形的邊上，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)，與交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C．4 D．6．（2023·四川眉山·中考真題）如圖，四邊形為正方形，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)，，在同一直線(xiàn)上，與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，，．以下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．（2023·江蘇揚(yáng)州·三模）如圖，在等邊△ABC和等邊△CDE中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．若將△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，則線(xiàn)段AF的最小值是______．8．（2023·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在□ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠A＝60°，E是邊AD上且AE＝2DE，F(xiàn)是射線(xiàn)AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線(xiàn)段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到EG，連接BG、DG，則BG－DG的最大值為_(kāi)_______．9．（2023·江蘇·南京市花園中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）中，，，，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在AD上處，點(diǎn)C落在處，交AD于點(diǎn)P，則的面積是___________．10．（2023·山西·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，菱形ABCD中，AB＝12，∠ABC＝60°，點(diǎn)E在AB邊上，且BE＝2AE，動(dòng)點(diǎn)P在BC邊上，連接PE，將線(xiàn)段PE繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至線(xiàn)段PF，連接AF，則線(xiàn)段AF長(zhǎng)的最小值為_(kāi)__．11．（2023·新疆·中考真題）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)F在邊AB上，以點(diǎn)D為中心將繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與恰好完全重合，連接EF交DC于點(diǎn)P，連接AC交EF于點(diǎn)Q，連接BQ，若，則______．12．（2023·江蘇宿遷·中考真題）已知正方形ABCD與正方形AEFG，正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周．(1)如圖①，連接BG、CF，求的值；(2)當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時(shí)，連接CF、BE，分別取CF、BE的中點(diǎn)M、N，連接MN、試探究：MN與BE的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)連接BE、BF，分別取BE、BF的中點(diǎn)N、Q，連接QN，AE=6，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段QN掃過(guò)的面積．13．（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，矩形中，，點(diǎn)E在折線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接．(1)當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，作，垂足為M，求證；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)連接，點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中，試探究的最小值．14．（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要研究對(duì)象的科學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)有利于我們?cè)趫D形運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中去發(fā)現(xiàn)其中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，讓我們?cè)趯W(xué)習(xí)與探索中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，體會(huì)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)帶給我們的樂(lè)趣．如圖①，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別為邊BC、AB、AD的中點(diǎn)，連接EF、DF，H為DF的中點(diǎn)，連接GH．將△BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，線(xiàn)段DF、GH和CE的位置和長(zhǎng)度也隨之變化．當(dāng)△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，請(qǐng)解決下列問(wèn)題：(1)圖②中，AB=BC，此時(shí)點(diǎn)E落在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)F落在線(xiàn)段BC上，連接AF，猜想GH與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)圖③中，AB=2，BC=3，則；(3)當(dāng)AB=m,BC=n時(shí)．．(4)在（2）的條件下，連接圖③中矩形的對(duì)角線(xiàn)AC，并沿對(duì)角線(xiàn)AC剪開(kāi)，得△ABC（如圖④)．點(diǎn)M、N分別在AC、BC上，連接MN，將△CMN沿MN翻折，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P落在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，若PM平分∠APN，則CM長(zhǎng)為．15．（2022·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將菱形ABCD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜30°）得到菱形，交對(duì)角線(xiàn)AC于點(diǎn)M，邊AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)N．（1）當(dāng)時(shí)，求α的度數(shù)；（2）如圖2，對(duì)角線(xiàn)B'D'交AC于點(diǎn)H，交AN于點(diǎn)G，延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)E，連接EH，若菱形ABCD的周長(zhǎng)為正數(shù)a，試探索：在菱形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜30°）的過(guò)程中，的周長(zhǎng)是否為定值，若是，試求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．16．（2023·重慶·二模）如圖1，在平行四邊形中，，，等腰繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，，連接．(1)當(dāng)，，時(shí)，求的長(zhǎng)．(2)如圖2，若、、分別是、、的中點(diǎn)，連接、，猜想線(xiàn)段、的數(shù)量關(guān)系并證明；(3)如圖3，若，，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，連接、，當(dāng)有最大值時(shí)，把沿著翻折到與同一平面內(nèi)得到，連接，請(qǐng)直接寫(xiě)出的面積．17．（2023·山東濟(jì)南·中考真題）在中，，，點(diǎn)在邊上，，將線(xiàn)段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為，連接，，以為斜邊在其一側(cè)制作等腰直角三角形．連接．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段與線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系；（2）當(dāng)時(shí)，①如圖2，（1）中線(xiàn)段與線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；②如圖3，當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，連接，判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．18．（2023·重慶·中考真題）△ABC為等邊三角形，AB=8，AD⊥BC于點(diǎn)D，E為線(xiàn)段AD上一點(diǎn)，AE=．以AE為邊在直線(xiàn)AD右側(cè)構(gòu)造等邊三角形AEF，連接CE，N為CE的中點(diǎn)．（1）如圖1，EF與AC交于點(diǎn)G，連接NG，求線(xiàn)段NG的長(zhǎng)；（2）如圖2，將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，M為線(xiàn)段EF的中點(diǎn)，連接DN，MN．當(dāng)30°＜α＜120°時(shí)，猜想∠DNM的大小是否為定值，并證明你的結(jié)論；（3）連接BN．在△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)線(xiàn)段BN最大時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出△ADN的面積．專(zhuān)題16圖形變換中的重要模型之旋轉(zhuǎn)模型幾何變換中的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題是歷年中考考查頻率高且考查難度較高，綜合性強(qiáng)，通常有線(xiàn)段、三角形、（特殊）平行四邊形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題。在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要牢牢把握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，再結(jié)合幾何圖形本身的性質(zhì)，找到旋轉(zhuǎn)過(guò)程中變化的量和不變的量，運(yùn)用三角形全等或相似的有關(guān)知識(shí)，求解有關(guān)角、線(xiàn)段及面積問(wèn)題。模型1.三角形中的旋轉(zhuǎn)模型1）常規(guī)計(jì)算型例1．（2023·四川綿陽(yáng)·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得△，當(dāng)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，△CD為等腰三角形，若B＝2，則A＝（）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】過(guò)作于，則，根據(jù)矩形的性質(zhì)得，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，，推出△為等腰直角三角形，得到，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：過(guò)作于，則，，，，四邊形是矩形，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得△，，，，，△△，，△為等腰三角形，△為等腰直角三角形，，設(shè)，則，，，，（負(fù)值舍去），，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·山西·中考真題）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，將三角板的直角頂點(diǎn)D放在Rt△ABC斜邊BC的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點(diǎn)M，N，猜想證明：（1）如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說(shuō)明理由；問(wèn)題解決：（2）如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求線(xiàn)段CN的長(zhǎng)；（3）如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AM=AN時(shí)，直接寫(xiě)出線(xiàn)段AN的長(zhǎng)．【答案】（1）四邊形AMDN為矩形；理由見(jiàn)解析；（2）；（3）．【分析】（1）由三角形中位線(xiàn)定理得到，證明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可證明結(jié)論；（2）證明△NDC是等腰三角形，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥BC于點(diǎn)G，證明△CGN∽△CAB，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）延長(zhǎng)ND，使DH=DN，證明△BDH≌△CDN，推出BH=CN，∠DBH=∠C，證明∠MBH=90°，設(shè)AM=AN=x，在Rt△BMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解．【詳解】解：（1）四邊形AMDN為矩形．理由如下：∵點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴，∴∠AMD+∠A=180°，∵∠A=90°，∴∠AMD=90°，∵∠EDF=90°，∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，四邊形AMDN為矩形；（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8∴∠B+∠C=90°，．∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴CD=BC=5．∵∠EDF=90°，∴∠MDB+∠1=90°．∵∠B=∠MDB，∴∠1=∠C．∴ND=NC．過(guò)點(diǎn)N作NG⊥BC于點(diǎn)G，則∠CGN=90°．∴CG=CD=．∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，∴△CGN∽△CAB．∴，即，∴；（3）延長(zhǎng)ND至H，使DH=DN，連接MH，NM，BH，∵M(jìn)D⊥HN，∴MN=MH，∵D是BC中點(diǎn)，∴BD=DC，又∵∠BDH=∠CDN，∴△BDH≌△CDN，∴BH=CN，∠DBH=∠C，∵∠BAC=90°，∵∠C+∠ABC=90°，∴∠DBH+∠ABC=90°，∴∠MBH=90°，設(shè)AM=AN=x，則BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x，在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2，解得x=，∴線(xiàn)段AN的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，勾股定理，解第（3）問(wèn)的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．2）最值（范圍）型例1．（2023·江蘇常州·一模）如圖，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠BAC＝∠DCE＝90°，AB＝AC＝4，CD＝CE＝2，以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．若將△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，則線(xiàn)段AF的最小值是______．【答案】【分析】證明當(dāng)D，E，F(xiàn)共線(xiàn)時(shí)，△AOF為等腰直角三角形，可得AF=AO，當(dāng)AO有最小值時(shí)，AF最小，由此可得CO=，AO=AF=．【詳解】解：當(dāng)D，E，F(xiàn)共線(xiàn)時(shí)，AF最小，如圖所示，∵AB=AC，AB=DF，∴AC=DF，又∵∠FDC=∠ACD=45°，∴DO=OC，∴OA=OF，∵∠AOF=90°∴AF=AO，當(dāng)AO有最小值時(shí)，AF最小，即當(dāng)O在AC上時(shí)，此時(shí)D，E，F(xiàn)共線(xiàn)，∵CD=2，∴CO=，∵AO=∴AF=故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，尋找AF最小時(shí)的圖形的位置是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·四川成都·中考真題）在中，，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)A，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，連接，交于點(diǎn)M，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，連接，直線(xiàn)交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，最小值為1【分析】（1）根據(jù)題意利用勾股定理可求出AC長(zhǎng)為4．再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，最后由等腰三角形的性質(zhì)即可求出的長(zhǎng)．（2）作交于點(diǎn)D，作交于點(diǎn)E．由旋轉(zhuǎn)可得，．再由平行線(xiàn)的性質(zhì)可知，即可推出，從而間接求出，．由三角形面積公式可求出．再利用勾股定理即可求出，進(jìn)而求出．最后利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例即可求出的長(zhǎng)．（3）作且交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，連接．由題意易證明，，，即得出．再由平行線(xiàn)性質(zhì)可知，即得出，即可證明，由此即易證，得出，即點(diǎn)D為中點(diǎn)．從而證明DE為的中位線(xiàn)，即．即要使DE最小，最小即可．根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)最小，且最小值即為，由此即可求出DE的最小值．【詳解】（1）在中，．根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，即為等腰三角形．∵，即，∴，∴．（2）如圖，作交于點(diǎn)D，作交于點(diǎn)E．由旋轉(zhuǎn)可得，．∵，∴，∴，∴，．∵，即，∴．在中，，∴．∴．∵，∴，即，∴．（3）如圖，作且交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，連接．∵，∴，∵，即，又∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴．∴在和中，∴，∴，即點(diǎn)D為中點(diǎn)．∵點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，∴DE為的中位線(xiàn)，∴，即要使DE最小，最小即可．根據(jù)圖可知，即當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)最小，且最小值為．∴此時(shí)，即DE最小值為1．【點(diǎn)睛】本題為旋轉(zhuǎn)綜合題．考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，全等三角形的判定和性質(zhì)，中位線(xiàn)的判定和性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系，綜合性強(qiáng)，為困難題．正確的作出輔助線(xiàn)為難點(diǎn)也是解題關(guān)鍵．3）綜合證明型例1．（2023·黑龍江·中考真題）在等腰中，，是直角三角形，，，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．（1）當(dāng)，點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖①所示，求證：．（2）當(dāng)，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)B落在邊AD上時(shí)，如圖②所示，當(dāng)，點(diǎn)B在邊AE上時(shí)，如圖③所示，猜想圖②、圖③中線(xiàn)段和又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，不需證明．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）圖②中，圖③中，理由見(jiàn)詳解．【分析】（1）由題意易得，則有，然后可得，，進(jìn)而可得AD垂直平分BC，則CD=BD，最后問(wèn)題可求證；（2）取CD的中點(diǎn)H，連接AH、EH、FH，如圖②，由題意易得，則有EH垂直平分AD，∠HFA=∠CBA=45°，進(jìn)而可得∠EHF=∠EAF=45°，然后可得點(diǎn)A、E、F、H四點(diǎn)共圓，則根據(jù)圓的基本性質(zhì)可求解；如圖③，取BC的中點(diǎn)G，連接GF并延長(zhǎng)，使得GM=CD，連接DM、EM、EG，AG，則有四邊形CGMD是平行四邊形，DM=CG=AC，進(jìn)而可得△ACD≌△DME，則有CD=EM，∠EMD=∠DCA，然后可得△EMG是等邊三角形，最后問(wèn)題可求解．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴△ACB是等腰直角三角形，∵，∴AD垂直平分BC，∴CD=BD，∴；（2）解：圖②中，圖③中，理由如下：圖②：取CD的中點(diǎn)H，連接AH、EH、FH，如圖②，∵，，∴，∴，∵，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴EH垂直平分AD，∠HFA=∠CBA=45°，∴∠EHF=∠EAF=45°，∴點(diǎn)A、E、F、H四點(diǎn)共圓，∵∠HFA=∠EAF=45°，∴，∴；圖③：如圖③，取BC的中點(diǎn)G，連接GF并延長(zhǎng)，使得GM=CD，連接DM、EM、EG，AG，∵，，∴△ADE是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴△AGC是等邊三角形，∴AC=CG，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴四邊形CGMD是平行四邊形，∴，∠GCD=∠DMG，∴，∴，∴，∵，∴△ACD≌△DME（SAS），∴CD=EM，∠EMD=∠DCA，∴，∴，∴△EMG是等邊三角形，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴，∴GF=MF，∴EF⊥GM，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)、圓的基本性質(zhì)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)、圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·山東濰坊·中考真題）如圖1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D為△ABC內(nèi)部的一動(dòng)點(diǎn)（不在邊上），連接BD，將線(xiàn)段BD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)F的位置；將線(xiàn)段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)E的位置，連接AD，CD，AE，AF，BF，EF．（1）求證：△BDA≌△BFE；（2）①CD+DF+FE的最小值為；②當(dāng)CD+DF+FE取得最小值時(shí)，求證：AD∥BF．（3）如圖2，M，N，P分別是DF，AF，AE的中點(diǎn)，連接MP，NP，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，請(qǐng)判斷∠MPN的大小是否為定值．若是，求出其度數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解答；（2）①；②見(jiàn)解答；（3）是，∠MPN=30°．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)60°知，∠ABD=∠EBF、AB=AE、BD=BF，故由SAS證出全等即可；（2）①由兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短知C、D、F、E共線(xiàn)時(shí)CD+DF+FE最小，且CD+DF+FE最小值為CE，再由∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1求出BC和AB，再由旋轉(zhuǎn)知AB=BE，∠CBE=90°，最后根據(jù)勾股定理求出CE即可；②先由△BDF為等邊三角形得∠BFD=60°，再由C、D、F、E共線(xiàn)時(shí)CD+DF+FE最小，∠BFE=120°=∠BDA，最后ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，即證；（3）由中位線(xiàn)定理知道MN∥AD且PN∥EF，再設(shè)∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，則∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，得∠PNM=120°．【詳解】解：（1）證明：∵∠DBF=∠ABE=60°，∴∠DBF-∠ABF=∠ABE-∠ABF，∴∠ABD=∠EBF，在△BDA與△BFE中，，∴△BDA≌△BFE（SAS）；（2）①∵兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短，即C、D、F、E共線(xiàn)時(shí)CD+DF+FE最小，∴CD+DF+FE最小值為CE，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，∴BE=AB=2，BC=，∵∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°，∴CE=，故答案為：；②證明：∵BD=BF，∠DBF=60°，∴△BDF為等邊三角形，即∠BFD=60°，∵C、D、F、E共線(xiàn)時(shí)CD+DF+FE最小，∴∠BFE=120°，∵△BDA≌△BFE，∴∠BDA=120°，∴∠ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，∴∠ADF=∠BFD，∴AD∥BF；（3）∠MPN的大小是為定值，理由如下：如圖，連接MN，∵M(jìn)，N，P分別是DF，AF，AE的中點(diǎn)，∴MN∥AD且PN∥EF，∵AB=BE且∠ABE=60°，∴△ABE為等邊三角形，設(shè)∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，則∠AEF=∠APN=60°-α，∠EAD=60°+α，∴∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，∴∠PNM=∠PNF+∠FNM=60°-α+β+60°+α-β=120°，∵△BDA≌△BFE∴MN=AD=FE=PN，∴∠MPN=(180°-∠PNM)=30°．【點(diǎn)睛】本題是三角形與旋轉(zhuǎn)變換的綜合應(yīng)用，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定、勾股定理的應(yīng)用、中位線(xiàn)的性質(zhì)及等腰、等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．模型2.平行四邊形中的旋轉(zhuǎn)模型1）常規(guī)計(jì)算型例1．（2023·浙江寧波·一模）如圖，一副三角板如圖1放置，，頂點(diǎn)重合，將繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如圖2，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)，連接，，此時(shí)四邊形的面積是________．【答案】【分析】延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，先根據(jù)特殊直角三角形的性質(zhì)和∠AED=75°，推出AB∥CD，從而可證四邊形ABCD為平行四邊形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出EF長(zhǎng)，則可求出CF長(zhǎng)，最后計(jì)算平行四邊形ABCD的面積即可．【詳解】解：如圖2，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，∵，∴，又，∴，∴AB∥CD，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，即，∴，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的判定和平行四邊形面積的計(jì)算，先證出四邊形ABCD是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·廣東廣州·一模）如圖，將?ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到?AB′C′D′的位置，使點(diǎn)B′落在BC上，B′C′與CD交于點(diǎn)E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，則CE的長(zhǎng)為_(kāi)__．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥AB′于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G．BM＝B′M，由勾股定理可得，AM，由等面積法可得，BN，由勾股定理可得，AN，由題可得，△AMB∽△EGC，△ANB∽△B′GE，則，，設(shè)CG＝a，則EGa，B′G＝3+a，則，解得a．最后由勾股定理可得答案．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥AB′于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G．由旋轉(zhuǎn)可知，AB＝AB′＝3，∠ABB′＝∠AB′C′，∴∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′，∵BB′＝1，AM⊥BB′∴BM＝B′M，∴AM，∵S△ABB′，∴1?BN×3，則BN，∴AN，∵AB//DC，∴∠ECG＝∠ABC，∵∠AMB＝∠EGC＝90°，∴△AMB∽△EGC，∴，設(shè)CG＝a，則EGa，∵∠ABB′+∠AB′B+∠BAB′＝180°，∠AB′B+∠AB′C′+∠C′B′C＝180°，又∵∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′，∴∠BAB′＝∠C′B′C，∵∠ANB＝∠EGC＝90°，∴△ANB∽△B′GE∴，∵BC＝4，BB′＝1，∴B′C＝3，B′G＝3+a，∴，解得a．∴CG，EG，∴EC．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形三線(xiàn)合一，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形的應(yīng)用等，構(gòu)造正確的輔助線(xiàn)是解題關(guān)鍵．2）最值（范圍）型例1．（2022·廣東·深圳九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，，∠ABC＝45°，點(diǎn)E為射線(xiàn)AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，將BE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BF，連接AF，則AF的最小值是_____．【答案】【分析】以AB為邊向下作等邊△ABK，連接EK，在EK上取一點(diǎn)T，使得AT=TK．證明△ABF≌△KBE（SAS），推出AF=EK，根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知，當(dāng)KE⊥AD時(shí)，KE的值最小，解直角三角形求出EK即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，以AB為邊向下作等邊△ABK，連接EK，在EK上取一點(diǎn)T，使得AT＝TK．∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE，∴△ABF≌△KBE（SAS），∴AF＝EK，根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知，當(dāng)KE⊥AD時(shí)，KE的值最小，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ADBC，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，∵∠BAK＝60°，∴∠EAK＝75°，∵∠AEK＝90°，∴∠AKE＝15°，∵TA＝TK，∴∠TAK＝∠AKT＝15°，∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，設(shè)AE＝a，則AT＝TK＝2a，ET＝a，在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2，∴a2+（2a+a）2＝4，∴a＝，∴EK＝2a+a＝，∴AF的最小值為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線(xiàn)段最短，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等的三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題．變式1．（2023·河南洛陽(yáng)·一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)（含B、C兩點(diǎn)）．連接AE，以點(diǎn)A為中心，將線(xiàn)段AE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AF，連接DF，則線(xiàn)段DF長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_____．【答案】【分析】以AB為邊向右作等邊△ABG，作射線(xiàn)GF交AD于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥GH于M．利用全等三角形的性質(zhì)證明∠AGF＝60°，得出點(diǎn)F在平行于AB的射線(xiàn)GH上運(yùn)動(dòng)，求出DM即可．【詳解】解：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABG，作射線(xiàn)GF交AD于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥GH于M．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B＝60°，∴∠BAD＝120°，∵△ABG是等邊三角形，∴∠BAG＝∠EAF＝60°，BA＝GA，EA＝FA，∴∠BAE＝∠FAG，∴△BAE≌△GAF（SAS），∴∠B＝∠AGF＝60°，∴點(diǎn)F在在平行于AB的射線(xiàn)GH上運(yùn)動(dòng)，∵∠HAG＝∠AGF＝60°，∴△AHG是等邊三角形，∴AB＝AG＝AH＝6，∴DH＝AD﹣AH＝4，∵∠DHM＝∠AHG＝60°，∴DM＝DH?sin60°，根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知，當(dāng)點(diǎn)F與M重合時(shí)，DF的值最小，最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，本題的突破點(diǎn)是證明點(diǎn)F的在射線(xiàn)GH上運(yùn)動(dòng)，屬于中考填空題中的壓軸題．3）分類(lèi)討論型例1．（2023·江西·尋烏縣二模）如圖，在平行四邊形中，，，．點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段．若點(diǎn)恰好落在平行四邊形的邊所在的直線(xiàn)上，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____________．【答案】16或或【分析】如圖1中，當(dāng)點(diǎn)落在直線(xiàn)上時(shí)，作于，于．則四邊形是矩形．解直角三角形得到，，求得，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，即可求出BQ的長(zhǎng)度；②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，作于，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于．設(shè)．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，根據(jù)勾股定理得到，即可求出BQ的長(zhǎng)度；③如圖3中，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，易知，即可求出BQ的長(zhǎng)度．【詳解】如圖1中，當(dāng)點(diǎn)落在直線(xiàn)上時(shí)，作于，于．則四邊形是矩形．在中，，，，，，是等腰直角三角形，，，；如圖2中，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，作于，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于．設(shè)．，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，在中，，；如圖3中，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，，；綜上所述，BQ的長(zhǎng)為16或或.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題．變式1．（2023·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝10，高AH＝4，點(diǎn)E是邊AD上任意一點(diǎn)，現(xiàn)將點(diǎn)B繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)，若點(diǎn)恰好在平行四邊形的邊上，則AE＝______．【答案】1或【分析】分兩種情況計(jì)算，當(dāng)點(diǎn)在邊BC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作，交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，根據(jù)勾股定理可求得AF，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，可證得，即可求得AF；當(dāng)點(diǎn)在邊DC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)G，可證得，可得，，再由即可求得．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)在邊BC上時(shí)，如圖：過(guò)點(diǎn)B作，交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，，在中，，，，是等腰直角三角形，，四邊形ABCD是平行四邊形，，，，；當(dāng)點(diǎn)在邊DC上時(shí)，如圖：過(guò)點(diǎn)B作，交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)G，，，，，，在與中，，，，，四邊形ABCD是平行四邊形，，，，，即，解得，綜上，AE的長(zhǎng)為1或．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，是綜合性較強(qiáng)的題，作出輔助線(xiàn)是解決本題的關(guān)鍵．4）綜合證明型例1．（2023·廣西·九年級(jí)期中）如圖，在中，，將繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，此時(shí)點(diǎn)D在上，連接，線(xiàn)段分別交于點(diǎn)H、K，則下列四個(gè)結(jié)論中：①；②是等邊三角形；③；④當(dāng)時(shí)，；正確的是（

）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【答案】A【分析】①由繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，得到△AEF≌△ABC，又由∠BAD＝60°，即可證明；②由ABCD，得到∠EDH＝∠DAB＝60°，又由ADBC，得到∠AEF＝120°，進(jìn)一步得∠DEH＝60°，∠DHE＝60°，結(jié)論得證；③過(guò)點(diǎn)H作HMAD交AB于點(diǎn)M，連接DM，證明△BHC、△DMH和△BHM是等邊三角形，得到DH＝HM＝BH＝CH＝BC＝AD，點(diǎn)H為CD的中點(diǎn)，再證明△CKH∽△AKB，進(jìn)一步得到AD＝3HK；④過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，分別用AD表示出△ACF和的面積，即可得到結(jié)論．【詳解】解：①∵將繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，∴△AEF≌△ABC，∴∠EAF＝∠BAC，∵∠BAD＝60°，∴∠CAF＝∠EAF＋∠CAD＝∠BAC＋∠CAD＝∠BAD＝60°，故①正確；②∵ABCD，∴∠EDH＝∠DAB＝60°，∵ADBC，∴∠AEF＝∠ABC＝180°－∠BAD＝120°，∴∠DEH＝180°－∠AEF＝60°，∴∠DHE＝180°－∠EDH－∠DEH＝60°，∴∠DHE＝∠EDH＝∠DEH＝60°，∴△DEH是等邊三角形，故②正確；③過(guò)點(diǎn)H作HMAD交AB于點(diǎn)M，連接DM，如圖1，∵△EDH是等邊三角形，∴∠BHC＝∠EHD＝60°，∵ADBCHM，∴∠BCH＝∠EDH＝60°，∠DHM＝∠BCH＝60°，∴∠CBH＝180°－∠BCH－∠BHC＝60°，∠BHM＝180°－∠DHM－∠BCH＝60°，∴△BHC是等邊三角形，∵HMADBC，∴∠DHM＝∠BCH＝60°，∠DMH＝∠BHM＝60°，∴∠BHC＝∠BHM＝∠DHM＝∠DMH＝60°，∴△DMH和△BHM都是等邊三角形，∴DH＝HM＝BH＝CH＝BC＝AD，∴點(diǎn)H為CD的中點(diǎn)，∵∠CKH＝∠AKB，∠CHK＝∠ABK，∴△CKH∽△AKB，∴，∴，∴AD＝3HK，∴2AD＝3HK錯(cuò)誤，故③錯(cuò)誤；④過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，如圖2，則∠BNC＝90°，∵ABCD，∴∠DCN＝180°－∠BNC＝90°，∵∠BCD＝60°，∴∠BCN＝30°，∴BN＝BC＝AD，CN＝BC＝AD，∴AN＝AB＋BN＝2AD＋AD＝AD，∴AC＝＝AD，由①可知，∠CAF＝＝60°，AC＝AF，∴△ACF是等邊三角形，∴等邊三角形△ACF的高為AC＝AD，∴,∵的邊AB上的高＝CN＝AD，∴，∴，故④正確，綜上，①②④正確，故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·山西陽(yáng)泉·一模）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題背景】如圖1，平行四邊形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，AD＝8．點(diǎn)E、G分別是AD和DC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E、G分別作DC和AD的平行線(xiàn)，兩線(xiàn)交于點(diǎn)F，顯然，四邊形DEFG是平行四邊形．【獨(dú)立思考】(1)線(xiàn)段AE和線(xiàn)段CG的數(shù)量關(guān)系是：______．(2)將平行四邊形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DE落在DC邊上時(shí)，如圖2，連接AE和CG．①求AE的長(zhǎng)；②猜想AE與CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；【問(wèn)題解決】(3)將平行四邊形DEFG繼續(xù)繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí)（如圖3），AE與CG交于點(diǎn)P，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段CG的長(zhǎng)和∠APC的度數(shù)．【答案】(1)3AE＝4CG或或或等(2)①，②3AE＝4CG，或，或等，證明見(jiàn)解析；(3)，∠APC＝60°【分析】（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)結(jié)合中點(diǎn)即可得出結(jié)論；（2）①利用三角函數(shù)值求線(xiàn)段長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求解即可；②利用三角形相似的判定與性質(zhì)直接求解即可；（3）利用三角形相似，再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理求出線(xiàn)段長(zhǎng)；利用“8”字形的兩個(gè)三角形角度關(guān)系得到即可求解．（1）解：點(diǎn)E、G分別是AD和DC邊的中點(diǎn)，，在平行四邊形ABCD中，∠ADC＝∠B＝60°，CD＝AB＝6，AD＝8，，，故答案為：3AE＝4CG或或或等（2）解：①如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AD于點(diǎn)H，在Rt△EDH中，∠EDA＝60°，，∴，∴，∴AH＝AD－HD＝8－2＝6，在Rt△AHE中，根據(jù)勾股定理可得；②3AE＝4CG或或或等，證明如下：由題可知：∠ADC＝∠CDG＝60°，，即，∴△ADE∽△CDG，∴，即3AE＝4CG或或或等；（3）過(guò)點(diǎn)作于，如圖所示：,,,,,,,在平行四邊形DEFG中，,,,,,,,即,,,,,．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合，涉及到平行四邊形的性質(zhì)、中點(diǎn)性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)不變性的運(yùn)用、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)求線(xiàn)段長(zhǎng)、勾股定理求線(xiàn)段長(zhǎng)、特殊角度直角三角形三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定，結(jié)合圖形準(zhǔn)確作出輔助線(xiàn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．模型3.菱形中的旋轉(zhuǎn)模型1）常規(guī)計(jì)算型例1．（2023·安徽黃山·二模）如圖，在菱形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，OD＝2，將BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到BE，交CD于點(diǎn)F，且使得DE⊥BD．若AC＝4DE，則CF＝___．【答案】【分析】首先根據(jù)題目已知條件理清各邊之間的關(guān)系，根據(jù)勾股定理求出DE,AC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出菱形邊長(zhǎng)，利用相似：△OBF∽△DBE得出OF的長(zhǎng)，再利用相似:△DEF∽△CMF得出CF的長(zhǎng)．【詳解】設(shè)DE的長(zhǎng)為x，∵AC=4DE,∴AC=4x，∵四邊形ABCD為菱形，∴AO=，AC⊥BD,∴△AOD為直角三角形，∴，∵BC=AD,∴BC=,∵DE⊥BD，∴△DBE為直角三角形，∴BE=，又∵BE=BC,∴，解得x=2，∴DE=2，AC=8,AO=OC=4,BC=DC=,設(shè)BE與AC交點(diǎn)為M，∵DE⊥DB，AC⊥DB，∴DE∥AC，即DE∥OM，∵O為DB中點(diǎn)，∴,∴OM=1,又∵OC=4,∴MC=OC-OM=3,∵DE∥CM,∴,∴,故填：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，相似，解題本題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出邊長(zhǎng)，再根據(jù)平行得出兩組相似三角形．變式1．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將邊長(zhǎng)為3的菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到菱形的位置，使點(diǎn)落在上，與交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為_(kāi)______．【答案】##0.75【分析】延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CNDM交于點(diǎn)N，根據(jù)菱形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△AB≌△AD≌△DCM≌，求得＝＝2，CM＝＝1，再根據(jù)CNDM，得，，代入即可求解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CNDN交于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD是菱形∴AB＝BC＝CD＝AD＝3，∠B＝∠ADC＝∠，ABCD∴∠DCM＝∠B由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，，∠ADC＝∠，∴△≌△∴∴∵∠CDM+∠ADC＝∠DA＋∠∴∴△AB≌△DCM≌，∴DM＝，∠M＝∠∴∵CNDM∴∽∴∵∴∴∵CNDM∴△CNE∽△DE∴∴∴CE＝故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，作輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．2）最值（范圍）型例1．（2023·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為是邊的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線(xiàn)段繞著逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取AB與CD的中點(diǎn)M，N，連接MN，作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E'，連接E'C，E'B，此時(shí)CE的長(zhǎng)就是GB+GC的最小值；先證明E點(diǎn)與E'點(diǎn)重合，再在Rt△EBC中，EB=2，BC=4，求EC的長(zhǎng).【詳解】取AB與CD的中點(diǎn)M，N，連接MN，作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E'，連接E'C，E'B，此時(shí)CE的長(zhǎng)就是GB+GC的最小值；∵M(jìn)N∥AD∴HM=AE，∵HB⊥HM，AB=4，∠A=60°，∴MB=2，∠HMB=60°，∴HM=1，∴AE'=2，∴E點(diǎn)與E'點(diǎn)重合，∵∠AEB=∠MHB=90°，∴∠CBE=90°，在Rt△EBC中，EB=2，BC=4，∴EC=2，故選B【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)；確定G點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，是找到對(duì)稱(chēng)軸的關(guān)鍵．變式1．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考一模）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為，∠ABC＝60°，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O．點(diǎn)E為直線(xiàn)AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE，將線(xiàn)段EC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BCD的角度后得到對(duì)應(yīng)的線(xiàn)段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)________．【答案】3【分析】連接BE，作BH⊥AD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△DCF≌△BCE，把求DF的最小值轉(zhuǎn)化為求BE的最小值，再根據(jù)垂線(xiàn)段最短可得答案．【詳解】解：連接BE，作BH⊥AD交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴∠BCD=120°．∵∠ECF=120°，∴∠BCD=∠ECF，∴∠BCE=∠DCF由旋轉(zhuǎn)可得：EC=FC，在△BEC和△DFC中，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE，即求DF的最小值轉(zhuǎn)化為求BE的最小值．∵在Rt△AHB中，∠BAH=60°，AB=，∴BH==3，當(dāng)E與H重合時(shí)，BE最小值是3，∴DF的最小值是3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．3）綜合證明型例1．（2023·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）【探究發(fā)現(xiàn)】(1)如圖1，正方形ABCD兩條對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，正方形與正方形ABCD的邊長(zhǎng)相等，在正方形繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，邊交邊AB于點(diǎn)M，邊交邊BC于點(diǎn)N．①線(xiàn)段BM、BN、AB之間滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系是________；②四邊形OMBN與正方形ABCD的面積關(guān)系是________；【類(lèi)比探究】(2)如圖2，若將（1）中的“正方形ABCD”改為“含60°的菱形ABCD”，即，且菱形與菱形ABCD的邊長(zhǎng)相等．當(dāng)菱形繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，保持邊交邊AB于點(diǎn)M，邊交邊BC于點(diǎn)N．請(qǐng)猜想：①線(xiàn)段BM、BN與AB之間的數(shù)量關(guān)系是_________________；②菱形OMBN與菱形ABCD的面積關(guān)系是________；請(qǐng)你證明其中的一個(gè)猜想．【拓展延伸】(3)如圖3，把（2）中的條件“”改為“”，其他條件不變，則①________；（用含α的式子表示）②________．（用含α的式子表示）【答案】(1)①；②；(2)①；②；(3)①；②或者【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可證△OBM≌△OCN，即可得答案；（2）連接MN，先證O，M，B，N四點(diǎn)共圓，可得是等邊三角形，將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△，可得，，再證，即可得答案；（3）由（1）和（2）的結(jié)論推導(dǎo)即可得答案．(1)解：①∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠NOC+∠BON=90°，OC=BO，∠ABO=∠OCB，∵四邊形A1B1C1O是正方形，∴∠MOB+∠BON=90°，∴∠NOC=∠MOB，∴△OBM≌△OCN，∴BM=CN，∴BM+BN=CN+BN=BC=AB，∴BM+BN=AB，②∵S△OBM=S△OCN∴S四邊形OMBN=S正方形ABCD；(2)①如下圖，連接MN，∵四邊形ABCD是菱形，，∴，∵，∴O，M，B，N四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△，∵，，∴邊BN剛好落在AB上，即為MH，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴②；(3)∵由（1）可知：當(dāng)∠DAB=∠A1OC1=90°，，由（2）可知：∠DAB=∠B1OD1=60°，，∴當(dāng)∠DAB=∠B1OD1=α，；∵由（1）可知：當(dāng)∠DAB=∠A1OC1=90°，S四邊形OMBN=S正方形ABCD，∴即，同理由（2）可知：，即，∴當(dāng)∠DAB=∠B1OD1=α，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，證△OBM≌△OCN和是等邊三角形．變式1．（2022·重慶·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在菱形和菱形中，點(diǎn)，，在同一條直線(xiàn)上，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接，．（1）如圖1，探究與的位置關(guān)系，寫(xiě)出你的猜想并加以證明；（2）如圖1，若，，求菱形的面積．（3）如圖2，將圖1中的菱形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形的邊恰好與菱形的邊在同一條直線(xiàn)上，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）線(xiàn)段與的位置關(guān)系是，證明見(jiàn)解析；（2）菱形面積為4；（3）．【分析】（1）可通過(guò)構(gòu)建全等三角形求解．延長(zhǎng)GP交DC于H，可證△DHP和△PGF全等，那么HP=PG，DH=GF=BG，那么可得出CH=CG，于是△CHG就是等腰三角形且CP是底邊上的中線(xiàn)，根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的特點(diǎn)，即可得出CP⊥PG；（2）由，得到是等腰直角三角形，則，得到菱形為正方形，即可求出面積；（3）經(jīng)過(guò)（1）（2）的解題過(guò)程，我們要構(gòu)建出以CP為底邊中線(xiàn)的等腰三角形，那么可延長(zhǎng)GP到H，使PH=PG，連接CH、DH，那么根據(jù)前兩問(wèn)的解題過(guò)程，我們要求的是△CHG是個(gè)等腰三角形，關(guān)鍵是證△CDH和△CBG全等，已知條件只有CD=CB，我們可通過(guò)其他的全等三角形來(lái)得出△CDH和△CBG全等的條件．△DHP和△FGP中，有一組對(duì)頂角，DP=PF，HP=PG，那么這兩個(gè)三角形就全等，可得出DH=GF=BG，∠HDP=∠GFP，根據(jù)平行線(xiàn)間的內(nèi)錯(cuò)角相等可得出，∠CDP=∠EFD，那么∠CDH=∠EFG=∠CBG，由此可得△CDH和△CBG全等，進(jìn)一步即可證得結(jié)論．【詳解】解：（1）線(xiàn)段與的位置關(guān)系是，理由如下：如圖1，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，，由題意可知，，，，=GB，四邊形是菱形，，，是等腰三角形，（三線(xiàn)合一）；（2），是等腰直角三角形，∴∠HCG=90°，∵DC∥AE，，菱形為正方形，菱形面積為：．（3）如圖2，延長(zhǎng)到，使，連接，，，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，，，，，，，，，四邊形是菱形，，，點(diǎn)、、又在一條直線(xiàn)上，，四邊形是菱形，，，，，，，即，，，，，．即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)已知和所求的條件正確的構(gòu)建出全等三角形是解題的關(guān)鍵．模型4.矩形中的旋轉(zhuǎn)模型1）常規(guī)計(jì)算型例1．（2022·江西·統(tǒng)考三模）如圖，矩形ABCD中，，，將矩形ABCD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形AFGE，當(dāng)點(diǎn)F落在邊CD上時(shí)，連接BF、DE，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意作輔助線(xiàn)過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，并利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及三角函數(shù)進(jìn)行分析求解.【詳解】解：如解圖，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，在矩形ABCD中，，，，.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，.，..，，，.故選C【點(diǎn)睛】本題考查矩形相關(guān)，綜合利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及三角函數(shù)相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解.變式1．（2023·江蘇無(wú)錫·?？家荒＃┤鐖D，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，將矩形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形AB′C′D′，AB′交CD于點(diǎn)E，且DE＝B′E，則AE的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性得到AB′＝AB＝5，設(shè)AE＝CE＝x，在中結(jié)合勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵將矩形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形AB′C′D′，∴AB′＝AB＝5，∵DE＝B′E，∴AE＝CE，設(shè)AE＝CE＝x，∴DE＝5﹣x，∵∠D＝90°，∴AD2+DE2＝AE2，即，解得：x＝，即AE的長(zhǎng)為（也可以寫(xiě)作4.1），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求線(xiàn)段長(zhǎng)．解題過(guò)程中涉及到矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握幾何圖形旋轉(zhuǎn)不變性及勾股定理求線(xiàn)段長(zhǎng)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2）最值（范圍）型例1．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BC=2AB，點(diǎn)P為邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段BP'，連接PP'，CP'．當(dāng)點(diǎn)P'落在邊BC上時(shí)，∠PP'C的度數(shù)為_(kāi)_______；當(dāng)線(xiàn)段CP'的長(zhǎng)度最小時(shí)，∠PP'C的度數(shù)為_(kāi)_______【答案】

120°##120度

75°##75度【分析】由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)角知△BPP′為等邊三角形，得到∠PP′B=60°；當(dāng)點(diǎn)P'落在邊BC上時(shí)，∠PP'C=180°-∠PP′B=120°；將線(xiàn)段BA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后點(diǎn)A落在點(diǎn)E，連接BE，得到△ABP≌△EBP′(SAS)，再證明△ABP為等腰直角三角形，進(jìn)而得到∠EP′B=∠APB=45°，最后當(dāng)CP′⊥EF于H時(shí)，CP′有最小值，由此可以求出∠PP'C=∠EP′C-∠EP′P=90°-15°=75°．【詳解】解：由線(xiàn)段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段BP'可知，△BPP′為等邊三角形，∴∠PP′B=60°，當(dāng)點(diǎn)P'落在邊BC上時(shí)，∠PP'C=180°-∠PP′B=180°-60°=120°；將線(xiàn)段BA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)A落在點(diǎn)E，連接BE，設(shè)EP′交BC于G點(diǎn)，如下圖所示：則∠ABP=∠ABE-∠PBE=60°-∠PBE，∠EBP′=∠PBP′-∠PBE=60°-∠PBE，∴∠ABP=∠EBP′，且BA=BE，BP=BP′，∴△ABP≌△EBP′(SAS),∴AP=EP′，∠E=∠A=90°，由點(diǎn)P'落在邊BC上時(shí)，∠PP'C=120°可知，∠EGC=120°，∴∠CGP′=∠EGB=180°-120°=60°，∴△EBG與△P′CG均為30°、60°、90°直角三角形，設(shè)EG=x，BC=2y，則BG=2EG=2x，CG=BC-BG=2y-2x，GP′=CG=y-x，∴EP′=EG+GP′=x+(y-x)=y=BC，又已知AB=BC，∴EP′=AB，又由△ABP≌△EBP′知：AP=EP′，∴AB=AP，∴△ABP為等腰直角三角形，∴∠EP′B=∠APB=45°，∠EP′P=60°-∠EP′B=60°-45°=15°，當(dāng)CP′⊥EF于H時(shí)，CP′有最小值，此時(shí)∠PP'C=∠EP′C-∠EP′P=90°-15°=75°，故答案為：120°，75°．【點(diǎn)睛】本題考察了三角形全等的判定方法、矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，屬于四邊形的綜合題，難度較大，熟練掌握各圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·江蘇·江陰市華士實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)P為邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP，點(diǎn)P繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使，以CP、CE為鄰邊作矩形PCEF，連接DE、DF，則和面積之和的最小值為_(kāi)_____．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)D作DH⊥PC于H，設(shè)PD=x，然后利用勾股定理求出PC、CH、EF的長(zhǎng)，然后表示出面積，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥PC于H，設(shè)PD=x，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=3cm，∠PDC=90°，∴，∵DH⊥PC，∴∴，∴，∵四邊形PCEF是矩形，∴，∵，∴∴當(dāng)時(shí)，有最小值，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積、二次函數(shù)求最值等知識(shí)，夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．3）分類(lèi)討論型例1．（2022·江蘇·一模）如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°≤θ≤360°），得到矩形AEFG．（1）當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí)，求證：AF∥BD；（2）當(dāng)GC＝GB時(shí)，求θ；（3）當(dāng)AB＝10，BG＝BC＝13時(shí)，求點(diǎn)G到直線(xiàn)CD的距離．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）60°或300°；（3）25或1【分析】（1）先運(yùn)用SAS判定△FEA≌△DAB，可得∠AFE＝∠ADE＝∠DEF，即可得出AF∥BD；（2）當(dāng)GB＝GC時(shí)，點(diǎn)G在BC的垂直平分線(xiàn)上，分兩種情況討論，依據(jù)∠DAG＝60°，即可得到旋轉(zhuǎn)角θ的度數(shù)．（3）當(dāng)BG＝BC時(shí)存在兩種情況：畫(huà)圖根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】（1）由旋轉(zhuǎn)可得，AE＝AB，∠AEF＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，∴∠AEB＝∠ABE，△FEA≌△DAB（SAS），∴∠AFE＝∠ADB，又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF，∴∠EDA＝∠DEF，∴∠DEF＝∠AFE，∴AF∥BD；（2）如圖1，當(dāng)GB＝GC時(shí)，點(diǎn)G在BC的垂直平分線(xiàn)上，分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)G在AD右側(cè)時(shí)，取BC的中點(diǎn)H，連接GH交AD于M，連接DG，∵GC＝GB，∴GH⊥BC，∴四邊形ABHM是矩形，∴AM＝BH＝AD＝AG，∴GM垂直平分AD，∴GD＝GA＝DA，∴△ADG是等邊三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋轉(zhuǎn)角θ＝60°；②當(dāng)點(diǎn)G在AD左側(cè)時(shí)，如圖2，同理可得△ADG是等邊三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋轉(zhuǎn)角θ＝360°﹣60°＝300°．綜上，θ的度數(shù)為60°或300°；（3）有兩種情況：①如圖3，當(dāng)BG＝BC＝13時(shí)，過(guò)G作GH⊥CD于H，交AB于M，∵AG＝BC＝BG，∴AM＝BM＝5，Rt△AMG中，由勾股定理得：MG＝＝＝12，∵AB∥CD，∴MH＝BC＝13，∴GH＝13+12＝25，即點(diǎn)G到直線(xiàn)CD的距離是25；②如圖4，過(guò)G作MH⊥CD于H，交AB于M，同理得GM＝12，∴GH＝13﹣12＝1，即點(diǎn)G到直線(xiàn)CD的距離是1；綜上，即點(diǎn)G到直線(xiàn)CD的距離是25或1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．4）綜合證明型例1．（2022·重慶·一模）矩形ABCD中．∠ADB＝30°，△AEF中，∠AFE＝90°，∠AEF＝30°，AEBD．連接EC，點(diǎn)G是EC中點(diǎn)．將△AEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°）．(1)如圖1，若A恰好在線(xiàn)段CE延長(zhǎng)線(xiàn)上，CD＝2，連接FG，求FG的長(zhǎng)度；(2)如圖2，若點(diǎn)F恰好落在線(xiàn)段EC上，連接BG．證明：2（GC﹣GB）DC；(3)如圖3，若點(diǎn)F恰好落在線(xiàn)段BA延長(zhǎng)線(xiàn)上，M是線(xiàn)段BC上一點(diǎn)，3BM＝CM，P是平面內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足∠MPC＝∠DCE，連接PF，已知CD＝2，求線(xiàn)段PF的取值范圍．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)PF【分析】（1）如圖1中，過(guò)點(diǎn)F作AH⊥AE于H．解直角三角形求出FH，HG，利用勾股定理解決問(wèn)題即可．（2）如圖2中，連接AC交BD于M，連接BF，GM．證明△BAF≌△BMG（SAS），推出BF＝MG，∠ABF＝∠MBF，推出∠FBG＝∠ABM＝60°，推出△FBG是等邊三角形，可得結(jié)論．（3）如圖3中，連接AC，作線(xiàn)段CM的垂直平分線(xiàn)交EC于O，連接OM．以O(shè)為圓心，OM為半徑作⊙O，作點(diǎn)O關(guān)于CM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)O′，以O(shè)′為圓心，O′M為半徑作⊙O′，推出∠MPC＝∠ECD＝30°，∠MPC∠MOC＝30°，推出點(diǎn)P在CM兩側(cè)的兩段優(yōu)弧上，再根據(jù)r﹣OF≤PF≤r+O′F，求解即可．(1)解：如圖1中，過(guò)點(diǎn)F作AH⊥AE于H．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AB＝CD＝2，∠ADB＝30°，∴BD＝2AB＝4，∵AEBD，∴AE＝AB＝2，∵∠ABD＝90°﹣30°＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴AE＝BE＝DE＝2，∴A，E，C共線(xiàn)，∵FH⊥AE，∴∠FHE＝∠AFE＝90°，∵∠AEF＝30°，∴AFAE＝1，EF，F(xiàn)H，EH，∵EG＝CG＝1，∴GH＝1，∴FG．(2)解：如圖2中，連接AC交BD于M，連接BF，GM．∵四邊形ABCD是矩形，∴AM＝MC＝BM＝DM，∵∠ABM＝90°﹣∠ADB＝60°，∴△ABM是等邊三角形，∴∠AMB＝∠BAM＝60°，∵AM＝MC，EG＝CG∴GM∥AE，GMAE，∴∠AMG+∠EAM＝180°，∴∠AMG+60°+∠FAB+60°＝180°，∴∠AMG+∠FAB＝60°，∵∠AMG+∠BMG＝60°，∴∠BAF＝∠BMG，∵M(jìn)GAE．AFAE，∴AF＝MG，AB＝MB，∴△BAF≌△