挑戰(zhàn)2024年中考數(shù)學壓軸題之學霸秘笈大揭秘(全國通用)專題16圖形變換中的重要模型之旋轉(zhuǎn)模型(原卷版+解析)

專題16圖形變換中的重要模型之旋轉(zhuǎn)模型幾何變換中的旋轉(zhuǎn)問題是歷年中考考查頻率高且考查難度較高，綜合性強，通常有線段、三角形、（特殊）平行四邊形的旋轉(zhuǎn)問題。在解決此類問題時，要牢牢把握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，再結(jié)合幾何圖形本身的性質(zhì)，找到旋轉(zhuǎn)過程中變化的量和不變的量，運用三角形全等或相似的有關(guān)知識，求解有關(guān)角、線段及面積問題。模型1.三角形中的旋轉(zhuǎn)模型1）常規(guī)計算型例1．（2023·四川綿陽·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，將△ABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)后得△，當恰好經(jīng)過點D時，△CD為等腰三角形，若B＝2，則A＝（）A． B．2 C． D．變式1．（2023·山西·中考真題）綜合與實踐問題情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，將三角板的直角頂點D放在Rt△ABC斜邊BC的中點處，并將三角板繞點D旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點M，N，猜想證明：（1）如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當點M為邊AB的中點時，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說明理由；問題解決：（2）如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當時，求線段CN的長；（3）如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當AM=AN時，直接寫出線段AN的長．2）最值（范圍）型例1．（2023·江蘇常州·一模）如圖，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠BAC＝∠DCE＝90°，AB＝AC＝4，CD＝CE＝2，以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．若將△CDE繞點C旋轉(zhuǎn)一周，則線段AF的最小值是______．變式1．（2023·四川成都·中考真題）在中，，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，其中點A，C的對應(yīng)點分別為點，．（1）如圖1，當點落在的延長線上時，求的長；（2）如圖2，當點落在的延長線上時，連接，交于點M，求的長；（3）如圖3，連接，直線交于點D，點E為的中點，連接．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．3）綜合證明型例1．（2023·黑龍江·中考真題）在等腰中，，是直角三角形，，，連接，點是的中點，連接．（1）當，點在邊上時，如圖①所示，求證：．（2）當，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，頂點B落在邊AD上時，如圖②所示，當，點B在邊AE上時，如圖③所示，猜想圖②、圖③中線段和又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，不需證明．變式1．（2023·山東濰坊·中考真題）如圖1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D為△ABC內(nèi)部的一動點（不在邊上），連接BD，將線段BD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°，使點B到達點F的位置；將線段AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，使點A到達點E的位置，連接AD，CD，AE，AF，BF，EF．（1）求證：△BDA≌△BFE；（2）①CD+DF+FE的最小值為；②當CD+DF+FE取得最小值時，求證：AD∥BF．（3）如圖2，M，N，P分別是DF，AF，AE的中點，連接MP，NP，在點D運動的過程中，請判斷∠MPN的大小是否為定值．若是，求出其度數(shù)；若不是，請說明理由．模型2.平行四邊形中的旋轉(zhuǎn)模型1）常規(guī)計算型例1．（2023·浙江寧波·一模）如圖，一副三角板如圖1放置，，頂點重合，將繞其頂點旋轉(zhuǎn)，如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當，連接，，此時四邊形的面積是________．變式1．（2023·廣東廣州·一模）如圖，將?ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到?AB′C′D′的位置，使點B′落在BC上，B′C′與CD交于點E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，則CE的長為___．2）最值（范圍）型例1．（2022·廣東·深圳九年級階段練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，，∠ABC＝45°，點E為射線AD上一動點，連接BE，將BE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BF，連接AF，則AF的最小值是_____．變式1．（2023·河南洛陽·一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，點E在線段BC上運動（含B、C兩點）．連接AE，以點A為中心，將線段AE逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AF，連接DF，則線段DF長度的最小值為______．3）分類討論型例1．（2023·江西·尋烏縣二模）如圖，在平行四邊形中，，，．點為邊上任意一點，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段．若點恰好落在平行四邊形的邊所在的直線上，則的長為______________．變式1．（2023·江蘇·九年級專題練習）在平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝10，高AH＝4，點E是邊AD上任意一點，現(xiàn)將點B繞著點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°到點，若點恰好在平行四邊形的邊上，則AE＝______．4）綜合證明型例1．（2023·廣西·九年級期中）如圖，在中，，將繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)至，此時點D在上，連接，線段分別交于點H、K，則下列四個結(jié)論中：①；②是等邊三角形；③；④當時，；正確的是（

）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③變式1．（2023·山西陽泉·一模）綜合與實踐【問題背景】如圖1，平行四邊形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，AD＝8．點E、G分別是AD和DC邊的中點，過點E、G分別作DC和AD的平行線，兩線交于點F，顯然，四邊形DEFG是平行四邊形．【獨立思考】(1)線段AE和線段CG的數(shù)量關(guān)系是：______．(2)將平行四邊形DEFG繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，當DE落在DC邊上時，如圖2，連接AE和CG．①求AE的長；②猜想AE與CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；【問題解決】(3)將平行四邊形DEFG繼續(xù)繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，當A，E，F(xiàn)三點在同一直線上時（如圖3），AE與CG交于點P，請直接寫出線段CG的長和∠APC的度數(shù)．模型3.菱形中的旋轉(zhuǎn)模型1）常規(guī)計算型例1．（2023·安徽黃山·二模）如圖，在菱形ABCD中，AC，BD相交于點O，OD＝2，將BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到BE，交CD于點F，且使得DE⊥BD．若AC＝4DE，則CF＝___．變式1．（2023·安徽·模擬預測）如圖，將邊長為3的菱形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到菱形的位置，使點落在上，與交于點．若，則的長為_______．2）最值（范圍）型例1．（2023·山東濟寧·模擬預測）如圖，菱形的邊長為是邊的中點，是邊上的一個動點，將線段繞著逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．變式1．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考一模）如圖，菱形ABCD的邊長為，∠ABC＝60°，對角線AC、BD交于點O．點E為直線AD上的一個動點，連接CE，將線段EC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)∠BCD的角度后得到對應(yīng)的線段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF長度的最小值為_________．3）綜合證明型例1．（2023·江蘇南京·模擬預測）【探究發(fā)現(xiàn)】(1)如圖1，正方形ABCD兩條對角線相交于點O，正方形與正方形ABCD的邊長相等，在正方形繞點O旋轉(zhuǎn)過程中，邊交邊AB于點M，邊交邊BC于點N．①線段BM、BN、AB之間滿足的數(shù)量關(guān)系是________；②四邊形OMBN與正方形ABCD的面積關(guān)系是________；【類比探究】(2)如圖2，若將（1）中的“正方形ABCD”改為“含60°的菱形ABCD”，即，且菱形與菱形ABCD的邊長相等．當菱形繞點O旋轉(zhuǎn)時，保持邊交邊AB于點M，邊交邊BC于點N．請猜想：①線段BM、BN與AB之間的數(shù)量關(guān)系是_________________；②菱形OMBN與菱形ABCD的面積關(guān)系是________；請你證明其中的一個猜想．【拓展延伸】(3)如圖3，把（2）中的條件“”改為“”，其他條件不變，則①________；（用含α的式子表示）②________．（用含α的式子表示）變式1．（2022·重慶·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在菱形和菱形中，點，，在同一條直線上，是線段的中點，連接，．（1）如圖1，探究與的位置關(guān)系，寫出你的猜想并加以證明；（2）如圖1，若，，求菱形的面積．（3）如圖2，將圖1中的菱形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使菱形的邊恰好與菱形的邊在同一條直線上，若，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．模型4.矩形中的旋轉(zhuǎn)模型1）常規(guī)計算型例1．（2022·江西·統(tǒng)考三模）如圖，矩形ABCD中，，，將矩形ABCD繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AFGE，當點F落在邊CD上時，連接BF、DE，則（

）A． B． C． D．變式1．（2023·江蘇無錫·?？家荒＃┤鐖D，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AB′C′D′，AB′交CD于點E，且DE＝B′E，則AE的長為_____．2）最值（范圍）型例1．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BC=2AB，點P為邊AD上的一個動點，線段BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP'，連接PP'，CP'．當點P'落在邊BC上時，∠PP'C的度數(shù)為________；當線段CP'的長度最小時，∠PP'C的度數(shù)為________變式1．（2023·江蘇·江陰市華士實驗中學一模）如圖，在矩形ABCD中，，，點P為邊AD上一個動點，連接CP，點P繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到點，連接并延長到點E，使，以CP、CE為鄰邊作矩形PCEF，連接DE、DF，則和面積之和的最小值為______．3）分類討論型例1．（2022·江蘇·一模）如圖，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)θ（0°≤θ≤360°），得到矩形AEFG．（1）當點E在BD上時，求證：AF∥BD；（2）當GC＝GB時，求θ；（3）當AB＝10，BG＝BC＝13時，求點G到直線CD的距離．4）綜合證明型例1．（2022·重慶·一模）矩形ABCD中．∠ADB＝30°，△AEF中，∠AFE＝90°，∠AEF＝30°，AEBD．連接EC，點G是EC中點．將△AEF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°）．(1)如圖1，若A恰好在線段CE延長線上，CD＝2，連接FG，求FG的長度；(2)如圖2，若點F恰好落在線段EC上，連接BG．證明：2（GC﹣GB）DC；(3)如圖3，若點F恰好落在線段BA延長線上，M是線段BC上一點，3BM＝CM，P是平面內(nèi)一點，滿足∠MPC＝∠DCE，連接PF，已知CD＝2，求線段PF的取值范圍．變式1．（2022·四川·眉山市東坡區(qū)模擬預測）如圖，Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE，將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到△AHD，過D作DC⊥BE交BE的延長線于點C，連接BH并延長交DC于點F，連接DE交BF于點O．下列結(jié)論：①DE平分∠HDC；②DO=OE；③H是BF的中點；④BC-CF=2CE；⑤CD=HF，其中正確的有（

）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個模型5.正方形中的旋轉(zhuǎn)模型1）常規(guī)計算型例1．（2023·河南·平頂山市模擬預測）如圖，正方形ABCD的頂點B在原點，點D的坐標為（4，4），將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，使點B落在點B′處，DE⊥BB′于點E，則點E的坐標為（）A．B．C．D．變式1．（2023·遼寧遼寧·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E是OD的中點，連接CE并延長交AD于點G，將線段CE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到CF，連接EF，點H為EF的中點．連接OH，則的值為_______．2）最值（范圍）型例1．（2023·江蘇揚州·三模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點E是AB邊上一動點，連接ED，將ED繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°到EF，連接DF，CF，則DF＋CF的最小值是（

）A．4 B．4 C．5 D．2變式1．（2023·安徽合肥·二模）正方形中，，點E為邊上一動點（不與A、B重合），將繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，過E作交于點G．則的最小值為（

）．A．2 B． C． D．33）路徑（軌跡）型例1．（2022·浙江·九年級期末）如圖所示，正方形ABCD的邊長為4，點E為線段BC上一動點，連結(jié)AE，將AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°至EF，連結(jié)BF，取BF的中點M，若點E從點B運動至點C，則點M經(jīng)過的路徑長為（）A．2 B． C． D．4變式1．（2022·山西·九年級專題練習）如圖，已知正方形ABCD的邊長為，點O為正方形的中心，點F為邊AB的中點，點G為線段AF上一動點，直線GO交CD于點H，過點D作，垂足為點E，當點G從點A運動到點F時，點E所經(jīng)過的路徑長是（

）A． B． C． D．4）分類討論型例1．（2022·云南昆明·統(tǒng)考二模）如圖，大正方形中，，小正方形中，，在小正方形繞點旋轉(zhuǎn)的過程中，當，，三點共線時，線段的長為_______．變式1．（2022·湖北模擬預測）如圖，以AB為邊作邊長為8的正方形ABCD，動點P、Q在正方形ABCD的邊上運動，且PQ＝8，若點P從點A出發(fā)，沿A→B→C→D的線路，向D點運動，點Q只能在線段AD上運動，求點P從A到D的運動過程中，PQ的中點O所經(jīng)過的路徑的長為_____．5）綜合證明型例1．（2023·遼寧盤錦·中考真題）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF為等腰直角三角形，∠ECF＝90°，點E在BC上，點F在CD上，P為EF中點，連接AF，G為AF中點，連接PG，DG，將Rt△ECF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°）．(1)如圖1，當α＝0°時，DG與PG的關(guān)系為；(2)如圖2，當α＝90°時①求證：△AGD≌△FGM；②（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．變式1．（2023·南充·中考真題）如圖，正方形邊長為1，點E在邊上（不與A，B重合），將沿直線折疊，點A落在點處，連接，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．給出下列四個結(jié)論：①；②；③點P是直線上動點，則的最小值為；④當時，的面積．其中正確的結(jié)論是_________．（填寫序號）課后專項訓練1．（2022·浙江·九年級期末）如圖，在中，，，將點繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到點，點落在線段上，在線段BE上取點，使，連結(jié)，，則的長為（

）A．2 B． C． D．2．（2022·河南·模擬預測）如圖，在菱形OBCD中，OB=1，相鄰兩內(nèi)角之比為1：2，將菱形OBCD繞頂點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到菱形OB′C′D′，則點C′的坐標為（）A．（，） B．（，-） C．（，-） D．（，）4．（2023·山東·滕州市一模）在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E為AD的中點，一塊足夠大的三角板的直角頂點與E重合，將三角板繞點E旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交AB、BC（或它們的延長線）于點M、N，設(shè)∠AEM

=α（0°＜α＜90°），給出四個結(jié)論：①AM＝CN

②∠AME＝∠BNE

③BN－AM＝2

④.上述結(jié)論中正確的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．45．（2023·湖北孝感·中考真題）如圖，點在正方形的邊上，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接，過點作的垂線，垂足為點，與交于點．若，，則的長為（

）A． B． C．4 D．6．（2023·四川眉山·中考真題）如圖，四邊形為正方形，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，點，，在同一直線上，與交于點，延長與的延長線交于點，，．以下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．（2023·江蘇揚州·三模）如圖，在等邊△ABC和等邊△CDE中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．若將△CDE繞點C旋轉(zhuǎn)一周，則線段AF的最小值是______．8．（2023·山東濟南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在□ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠A＝60°，E是邊AD上且AE＝2DE，F(xiàn)是射線AB上的一個動點，將線段EF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到EG，連接BG、DG，則BG－DG的最大值為________．9．（2023·江蘇·南京市花園中學模擬預測）中，，，，對角線AC，BD交于點O，將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在AD上處，點C落在處，交AD于點P，則的面積是___________．10．（2023·山西·九年級專題練習）如圖，菱形ABCD中，AB＝12，∠ABC＝60°，點E在AB邊上，且BE＝2AE，動點P在BC邊上，連接PE，將線段PE繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°至線段PF，連接AF，則線段AF長的最小值為___．11．（2023·新疆·中考真題）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E在邊BC的延長線上，點F在邊AB上，以點D為中心將繞點D順時針旋轉(zhuǎn)與恰好完全重合，連接EF交DC于點P，連接AC交EF于點Q，連接BQ，若，則______．12．（2023·江蘇宿遷·中考真題）已知正方形ABCD與正方形AEFG，正方形AEFG繞點A旋轉(zhuǎn)一周．(1)如圖①，連接BG、CF，求的值；(2)當正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時，連接CF、BE，分別取CF、BE的中點M、N，連接MN、試探究：MN與BE的關(guān)系，并說明理由；(3)連接BE、BF，分別取BE、BF的中點N、Q，連接QN，AE=6，請直接寫出線段QN掃過的面積．13．（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，矩形中，，點E在折線上運動，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接．(1)當點E在上時，作，垂足為M，求證；(2)當時，求的長；(3)連接，點E從點B運動到點D的過程中，試探究的最小值．14．（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與實踐數(shù)學是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要研究對象的科學．數(shù)學實踐活動有利于我們在圖形運動變化的過程中去發(fā)現(xiàn)其中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，讓我們在學習與探索中發(fā)現(xiàn)數(shù)學的美，體會數(shù)學實踐活動帶給我們的樂趣．如圖①，在矩形ABCD中，點E、F、G分別為邊BC、AB、AD的中點，連接EF、DF，H為DF的中點，連接GH．將△BEF繞點B旋轉(zhuǎn)，線段DF、GH和CE的位置和長度也隨之變化．當△BEF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°時，請解決下列問題：(1)圖②中，AB=BC，此時點E落在AB的延長線上，點F落在線段BC上，連接AF，猜想GH與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)圖③中，AB=2，BC=3，則；(3)當AB=m,BC=n時．．(4)在（2）的條件下，連接圖③中矩形的對角線AC，并沿對角線AC剪開，得△ABC（如圖④)．點M、N分別在AC、BC上，連接MN，將△CMN沿MN翻折，使點C的對應(yīng)點P落在AB的延長線上，若PM平分∠APN，則CM長為．15．（2022·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，以點A為旋轉(zhuǎn)中心，將菱形ABCD逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜30°）得到菱形，交對角線AC于點M，邊AB的延長線交于點N．（1）當時，求α的度數(shù)；（2）如圖2，對角線B'D'交AC于點H，交AN于點G，延長交AD于點E，連接EH，若菱形ABCD的周長為正數(shù)a，試探索：在菱形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜30°）的過程中，的周長是否為定值，若是，試求出此定值；若不是，請說明理由．16．（2023·重慶·二模）如圖1，在平行四邊形中，，，等腰繞點旋轉(zhuǎn)，，連接．(1)當，，時，求的長．(2)如圖2，若、、分別是、、的中點，連接、，猜想線段、的數(shù)量關(guān)系并證明；(3)如圖3，若，，在旋轉(zhuǎn)過程中，連接、，當有最大值時，把沿著翻折到與同一平面內(nèi)得到，連接，請直接寫出的面積．17．（2023·山東濟南·中考真題）在中，，，點在邊上，，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為，連接，，以為斜邊在其一側(cè)制作等腰直角三角形．連接．（1）如圖1，當時，請直接寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系；（2）當時，①如圖2，（1）中線段與線段的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請說明理由；②如圖3，當，，三點共線時，連接，判斷四邊形的形狀，并說明理由．18．（2023·重慶·中考真題）△ABC為等邊三角形，AB=8，AD⊥BC于點D，E為線段AD上一點，AE=．以AE為邊在直線AD右側(cè)構(gòu)造等邊三角形AEF，連接CE，N為CE的中點．（1）如圖1，EF與AC交于點G，連接NG，求線段NG的長；（2）如圖2，將△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，M為線段EF的中點，連接DN，MN．當30°＜α＜120°時，猜想∠DNM的大小是否為定值，并證明你的結(jié)論；（3）連接BN．在△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)過程中，當線段BN最大時，請直接寫出△ADN的面積．專題16圖形變換中的重要模型之旋轉(zhuǎn)模型幾何變換中的旋轉(zhuǎn)問題是歷年中考考查頻率高且考查難度較高，綜合性強，通常有線段、三角形、（特殊）平行四邊形的旋轉(zhuǎn)問題。在解決此類問題時，要牢牢把握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，再結(jié)合幾何圖形本身的性質(zhì)，找到旋轉(zhuǎn)過程中變化的量和不變的量，運用三角形全等或相似的有關(guān)知識，求解有關(guān)角、線段及面積問題。模型1.三角形中的旋轉(zhuǎn)模型1）常規(guī)計算型例1．（2023·四川綿陽·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，將△ABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)后得△，當恰好經(jīng)過點D時，△CD為等腰三角形，若B＝2，則A＝（）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】過作于，則，根據(jù)矩形的性質(zhì)得，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，，推出△為等腰直角三角形，得到，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：過作于，則，，，，四邊形是矩形，，，將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)后得△，，，，，△△，，△為等腰三角形，△為等腰直角三角形，，設(shè)，則，，，，（負值舍去），，，，，故選：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·山西·中考真題）綜合與實踐問題情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，將三角板的直角頂點D放在Rt△ABC斜邊BC的中點處，并將三角板繞點D旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點M，N，猜想證明：（1）如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當點M為邊AB的中點時，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說明理由；問題解決：（2）如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當時，求線段CN的長；（3）如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當AM=AN時，直接寫出線段AN的長．【答案】（1）四邊形AMDN為矩形；理由見解析；（2）；（3）．【分析】（1）由三角形中位線定理得到，證明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可證明結(jié)論；（2）證明△NDC是等腰三角形，過點N作NG⊥BC于點G，證明△CGN∽△CAB，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）延長ND，使DH=DN，證明△BDH≌△CDN，推出BH=CN，∠DBH=∠C，證明∠MBH=90°，設(shè)AM=AN=x，在Rt△BMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解．【詳解】解：（1）四邊形AMDN為矩形．理由如下：∵點M為AB的中點，點D為BC的中點，∴，∴∠AMD+∠A=180°，∵∠A=90°，∴∠AMD=90°，∵∠EDF=90°，∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，四邊形AMDN為矩形；（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8∴∠B+∠C=90°，．∵點D是BC的中點，∴CD=BC=5．∵∠EDF=90°，∴∠MDB+∠1=90°．∵∠B=∠MDB，∴∠1=∠C．∴ND=NC．過點N作NG⊥BC于點G，則∠CGN=90°．∴CG=CD=．∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，∴△CGN∽△CAB．∴，即，∴；（3）延長ND至H，使DH=DN，連接MH，NM，BH，∵MD⊥HN，∴MN=MH，∵D是BC中點，∴BD=DC，又∵∠BDH=∠CDN，∴△BDH≌△CDN，∴BH=CN，∠DBH=∠C，∵∠BAC=90°，∵∠C+∠ABC=90°，∴∠DBH+∠ABC=90°，∴∠MBH=90°，設(shè)AM=AN=x，則BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x，在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2，解得x=，∴線段AN的長為．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，勾股定理，解第（3）問的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．2）最值（范圍）型例1．（2023·江蘇常州·一模）如圖，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠BAC＝∠DCE＝90°，AB＝AC＝4，CD＝CE＝2，以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．若將△CDE繞點C旋轉(zhuǎn)一周，則線段AF的最小值是______．【答案】【分析】證明當D，E，F(xiàn)共線時，△AOF為等腰直角三角形，可得AF=AO，當AO有最小值時，AF最小，由此可得CO=，AO=AF=．【詳解】解：當D，E，F(xiàn)共線時，AF最小，如圖所示，∵AB=AC，AB=DF，∴AC=DF，又∵∠FDC=∠ACD=45°，∴DO=OC，∴OA=OF，∵∠AOF=90°∴AF=AO，當AO有最小值時，AF最小，即當O在AC上時，此時D，E，F(xiàn)共線，∵CD=2，∴CO=，∵AO=∴AF=故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，尋找AF最小時的圖形的位置是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·四川成都·中考真題）在中，，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，其中點A，C的對應(yīng)點分別為點，．（1）如圖1，當點落在的延長線上時，求的長；（2）如圖2，當點落在的延長線上時，連接，交于點M，求的長；（3）如圖3，連接，直線交于點D，點E為的中點，連接．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，最小值為1【分析】（1）根據(jù)題意利用勾股定理可求出AC長為4．再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，最后由等腰三角形的性質(zhì)即可求出的長．（2）作交于點D，作交于點E．由旋轉(zhuǎn)可得，．再由平行線的性質(zhì)可知，即可推出，從而間接求出，．由三角形面積公式可求出．再利用勾股定理即可求出，進而求出．最后利用平行線分線段成比例即可求出的長．（3）作且交延長線于點P，連接．由題意易證明，，，即得出．再由平行線性質(zhì)可知，即得出，即可證明，由此即易證，得出，即點D為中點．從而證明DE為的中位線，即．即要使DE最小，最小即可．根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得當點三點共線時最小，且最小值即為，由此即可求出DE的最小值．【詳解】（1）在中，．根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，即為等腰三角形．∵，即，∴，∴．（2）如圖，作交于點D，作交于點E．由旋轉(zhuǎn)可得，．∵，∴，∴，∴，．∵，即，∴．在中，，∴．∴．∵，∴，即，∴．（3）如圖，作且交延長線于點P，連接．∵，∴，∵，即，又∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴．∴在和中，∴，∴，即點D為中點．∵點E為AC中點，∴DE為的中位線，∴，即要使DE最小，最小即可．根據(jù)圖可知，即當點三點共線時最小，且最小值為．∴此時，即DE最小值為1．【點睛】本題為旋轉(zhuǎn)綜合題．考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，全等三角形的判定和性質(zhì)，中位線的判定和性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系，綜合性強，為困難題．正確的作出輔助線為難點也是解題關(guān)鍵．3）綜合證明型例1．（2023·黑龍江·中考真題）在等腰中，，是直角三角形，，，連接，點是的中點，連接．（1）當，點在邊上時，如圖①所示，求證：．（2）當，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，頂點B落在邊AD上時，如圖②所示，當，點B在邊AE上時，如圖③所示，猜想圖②、圖③中線段和又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，不需證明．【答案】（1）見詳解；（2）圖②中，圖③中，理由見詳解．【分析】（1）由題意易得，則有，然后可得，，進而可得AD垂直平分BC，則CD=BD，最后問題可求證；（2）取CD的中點H，連接AH、EH、FH，如圖②，由題意易得，則有EH垂直平分AD，∠HFA=∠CBA=45°，進而可得∠EHF=∠EAF=45°，然后可得點A、E、F、H四點共圓，則根據(jù)圓的基本性質(zhì)可求解；如圖③，取BC的中點G，連接GF并延長，使得GM=CD，連接DM、EM、EG，AG，則有四邊形CGMD是平行四邊形，DM=CG=AC，進而可得△ACD≌△DME，則有CD=EM，∠EMD=∠DCA，然后可得△EMG是等邊三角形，最后問題可求解．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∵點是的中點，∴，∵，∴，∵，∴△ACB是等腰直角三角形，∵，∴AD垂直平分BC，∴CD=BD，∴；（2）解：圖②中，圖③中，理由如下：圖②：取CD的中點H，連接AH、EH、FH，如圖②，∵，，∴，∴，∵，∴，∵點是的中點，∴，∴EH垂直平分AD，∠HFA=∠CBA=45°，∴∠EHF=∠EAF=45°，∴點A、E、F、H四點共圓，∵∠HFA=∠EAF=45°，∴，∴；圖③：如圖③，取BC的中點G，連接GF并延長，使得GM=CD，連接DM、EM、EG，AG，∵，，∴△ADE是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴△AGC是等邊三角形，∴AC=CG，∵點是的中點，∴，∴四邊形CGMD是平行四邊形，∴，∠GCD=∠DMG，∴，∴，∴，∵，∴△ACD≌△DME（SAS），∴CD=EM，∠EMD=∠DCA，∴，∴，∴△EMG是等邊三角形，∵點是的中點，∴，∵，∴，∵，∴，∴GF=MF，∴EF⊥GM，∴．【點睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)、圓的基本性質(zhì)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)、圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·山東濰坊·中考真題）如圖1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D為△ABC內(nèi)部的一動點（不在邊上），連接BD，將線段BD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°，使點B到達點F的位置；將線段AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，使點A到達點E的位置，連接AD，CD，AE，AF，BF，EF．（1）求證：△BDA≌△BFE；（2）①CD+DF+FE的最小值為；②當CD+DF+FE取得最小值時，求證：AD∥BF．（3）如圖2，M，N，P分別是DF，AF，AE的中點，連接MP，NP，在點D運動的過程中，請判斷∠MPN的大小是否為定值．若是，求出其度數(shù)；若不是，請說明理由．【答案】（1）見解答；（2）①；②見解答；（3）是，∠MPN=30°．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)60°知，∠ABD=∠EBF、AB=AE、BD=BF，故由SAS證出全等即可；（2）①由兩點之間，線段最短知C、D、F、E共線時CD+DF+FE最小，且CD+DF+FE最小值為CE，再由∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1求出BC和AB，再由旋轉(zhuǎn)知AB=BE，∠CBE=90°，最后根據(jù)勾股定理求出CE即可；②先由△BDF為等邊三角形得∠BFD=60°，再由C、D、F、E共線時CD+DF+FE最小，∠BFE=120°=∠BDA，最后ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，即證；（3）由中位線定理知道MN∥AD且PN∥EF，再設(shè)∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，則∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，得∠PNM=120°．【詳解】解：（1）證明：∵∠DBF=∠ABE=60°，∴∠DBF-∠ABF=∠ABE-∠ABF，∴∠ABD=∠EBF，在△BDA與△BFE中，，∴△BDA≌△BFE（SAS）；（2）①∵兩點之間，線段最短，即C、D、F、E共線時CD+DF+FE最小，∴CD+DF+FE最小值為CE，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，∴BE=AB=2，BC=，∵∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°，∴CE=，故答案為：；②證明：∵BD=BF，∠DBF=60°，∴△BDF為等邊三角形，即∠BFD=60°，∵C、D、F、E共線時CD+DF+FE最小，∴∠BFE=120°，∵△BDA≌△BFE，∴∠BDA=120°，∴∠ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，∴∠ADF=∠BFD，∴AD∥BF；（3）∠MPN的大小是為定值，理由如下：如圖，連接MN，∵M，N，P分別是DF，AF，AE的中點，∴MN∥AD且PN∥EF，∵AB=BE且∠ABE=60°，∴△ABE為等邊三角形，設(shè)∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，則∠AEF=∠APN=60°-α，∠EAD=60°+α，∴∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，∴∠PNM=∠PNF+∠FNM=60°-α+β+60°+α-β=120°，∵△BDA≌△BFE∴MN=AD=FE=PN，∴∠MPN=(180°-∠PNM)=30°．【點睛】本題是三角形與旋轉(zhuǎn)變換的綜合應(yīng)用，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、平行線的判定、勾股定理的應(yīng)用、中位線的性質(zhì)及等腰、等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．模型2.平行四邊形中的旋轉(zhuǎn)模型1）常規(guī)計算型例1．（2023·浙江寧波·一模）如圖，一副三角板如圖1放置，，頂點重合，將繞其頂點旋轉(zhuǎn)，如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當，連接，，此時四邊形的面積是________．【答案】【分析】延長CE交AB于點F，先根據(jù)特殊直角三角形的性質(zhì)和∠AED=75°，推出AB∥CD，從而可證四邊形ABCD為平行四邊形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出EF長，則可求出CF長，最后計算平行四邊形ABCD的面積即可．【詳解】解：如圖2，延長CE交AB于點F，∵，∴，又，∴，∴AB∥CD，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，即，∴，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的判定和平行四邊形面積的計算，先證出四邊形ABCD是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·廣東廣州·一模）如圖，將?ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到?AB′C′D′的位置，使點B′落在BC上，B′C′與CD交于點E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，則CE的長為___．【答案】【分析】過點A作AM⊥BC于點M，過點B作BN⊥AB′于點N，過點E作EG⊥BC，交BC的延長線于點G．BM＝B′M，由勾股定理可得，AM，由等面積法可得，BN，由勾股定理可得，AN，由題可得，△AMB∽△EGC，△ANB∽△B′GE，則，，設(shè)CG＝a，則EGa，B′G＝3+a，則，解得a．最后由勾股定理可得答案．【詳解】解：如圖，過點A作AM⊥BC于點M，過點B作BN⊥AB′于點N，過點E作EG⊥BC，交BC的延長線于點G．由旋轉(zhuǎn)可知，AB＝AB′＝3，∠ABB′＝∠AB′C′，∴∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′，∵BB′＝1，AM⊥BB′∴BM＝B′M，∴AM，∵S△ABB′，∴1?BN×3，則BN，∴AN，∵AB//DC，∴∠ECG＝∠ABC，∵∠AMB＝∠EGC＝90°，∴△AMB∽△EGC，∴，設(shè)CG＝a，則EGa，∵∠ABB′+∠AB′B+∠BAB′＝180°，∠AB′B+∠AB′C′+∠C′B′C＝180°，又∵∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′，∴∠BAB′＝∠C′B′C，∵∠ANB＝∠EGC＝90°，∴△ANB∽△B′GE∴，∵BC＝4，BB′＝1，∴B′C＝3，B′G＝3+a，∴，解得a．∴CG，EG，∴EC．故答案為：．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形的應(yīng)用等，構(gòu)造正確的輔助線是解題關(guān)鍵．2）最值（范圍）型例1．（2022·廣東·深圳九年級階段練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，，∠ABC＝45°，點E為射線AD上一動點，連接BE，將BE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BF，連接AF，則AF的最小值是_____．【答案】【分析】以AB為邊向下作等邊△ABK，連接EK，在EK上取一點T，使得AT=TK．證明△ABF≌△KBE（SAS），推出AF=EK，根據(jù)垂線段最短可知，當KE⊥AD時，KE的值最小，解直角三角形求出EK即可解決問題．【詳解】解：如圖，以AB為邊向下作等邊△ABK，連接EK，在EK上取一點T，使得AT＝TK．∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE，∴△ABF≌△KBE（SAS），∴AF＝EK，根據(jù)垂線段最短可知，當KE⊥AD時，KE的值最小，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ADBC，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，∵∠BAK＝60°，∴∠EAK＝75°，∵∠AEK＝90°，∴∠AKE＝15°，∵TA＝TK，∴∠TAK＝∠AKT＝15°，∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，設(shè)AE＝a，則AT＝TK＝2a，ET＝a，在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2，∴a2+（2a+a）2＝4，∴a＝，∴EK＝2a+a＝，∴AF的最小值為：．故答案為：．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等的三角形解決問題，學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．變式1．（2023·河南洛陽·一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，點E在線段BC上運動（含B、C兩點）．連接AE，以點A為中心，將線段AE逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AF，連接DF，則線段DF長度的最小值為______．【答案】【分析】以AB為邊向右作等邊△ABG，作射線GF交AD于點H，過點D作DM⊥GH于M．利用全等三角形的性質(zhì)證明∠AGF＝60°，得出點F在平行于AB的射線GH上運動，求出DM即可．【詳解】解：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABG，作射線GF交AD于點H，過點D作DM⊥GH于M．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B＝60°，∴∠BAD＝120°，∵△ABG是等邊三角形，∴∠BAG＝∠EAF＝60°，BA＝GA，EA＝FA，∴∠BAE＝∠FAG，∴△BAE≌△GAF（SAS），∴∠B＝∠AGF＝60°，∴點F在在平行于AB的射線GH上運動，∵∠HAG＝∠AGF＝60°，∴△AHG是等邊三角形，∴AB＝AG＝AH＝6，∴DH＝AD﹣AH＝4，∵∠DHM＝∠AHG＝60°，∴DM＝DH?sin60°，根據(jù)垂線段最短可知，當點F與M重合時，DF的值最小，最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，本題的突破點是證明點F的在射線GH上運動，屬于中考填空題中的壓軸題．3）分類討論型例1．（2023·江西·尋烏縣二模）如圖，在平行四邊形中，，，．點為邊上任意一點，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段．若點恰好落在平行四邊形的邊所在的直線上，則的長為______________．【答案】16或或【分析】如圖1中，當點落在直線上時，作于，于．則四邊形是矩形．解直角三角形得到，，求得，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，即可求出BQ的長度；②如圖2中，當點落在上時，作于，交的延長線于．設(shè)．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，根據(jù)勾股定理得到，即可求出BQ的長度；③如圖3中，當點落在上時，易知，即可求出BQ的長度．【詳解】如圖1中，當點落在直線上時，作于，于．則四邊形是矩形．在中，，，，，，是等腰直角三角形，，，；如圖2中，當點落在上時，作于，交的延長線于．設(shè)．，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，在中，，；如圖3中，當點落在上時，，；綜上所述，BQ的長為16或或.【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會用分類討論的思想思考問題．變式1．（2023·江蘇·九年級專題練習）在平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝10，高AH＝4，點E是邊AD上任意一點，現(xiàn)將點B繞著點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°到點，若點恰好在平行四邊形的邊上，則AE＝______．【答案】1或【分析】分兩種情況計算，當點在邊BC上時，過點B作，交DA的延長線于點F，根據(jù)勾股定理可求得AF，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，可證得，即可求得AF；當點在邊DC上時，過點作于點G，可證得，可得，，再由即可求得．【詳解】解：當點在邊BC上時，如圖：過點B作，交DA的延長線于點F，，在中，，，，是等腰直角三角形，，四邊形ABCD是平行四邊形，，，，；當點在邊DC上時，如圖：過點B作，交DA的延長線于點F，過點作于點G，，，，，，在與中，，，，，四邊形ABCD是平行四邊形，，，，，即，解得，綜上，AE的長為1或．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，是綜合性較強的題，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．4）綜合證明型例1．（2023·廣西·九年級期中）如圖，在中，，將繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)至，此時點D在上，連接，線段分別交于點H、K，則下列四個結(jié)論中：①；②是等邊三角形；③；④當時，；正確的是（

）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【答案】A【分析】①由繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)至，得到△AEF≌△ABC，又由∠BAD＝60°，即可證明；②由ABCD，得到∠EDH＝∠DAB＝60°，又由ADBC，得到∠AEF＝120°，進一步得∠DEH＝60°，∠DHE＝60°，結(jié)論得證；③過點H作HMAD交AB于點M，連接DM，證明△BHC、△DMH和△BHM是等邊三角形，得到DH＝HM＝BH＝CH＝BC＝AD，點H為CD的中點，再證明△CKH∽△AKB，進一步得到AD＝3HK；④過點C作CN⊥AB的延長線于點N，分別用AD表示出△ACF和的面積，即可得到結(jié)論．【詳解】解：①∵將繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)至，∴△AEF≌△ABC，∴∠EAF＝∠BAC，∵∠BAD＝60°，∴∠CAF＝∠EAF＋∠CAD＝∠BAC＋∠CAD＝∠BAD＝60°，故①正確；②∵ABCD，∴∠EDH＝∠DAB＝60°，∵ADBC，∴∠AEF＝∠ABC＝180°－∠BAD＝120°，∴∠DEH＝180°－∠AEF＝60°，∴∠DHE＝180°－∠EDH－∠DEH＝60°，∴∠DHE＝∠EDH＝∠DEH＝60°，∴△DEH是等邊三角形，故②正確；③過點H作HMAD交AB于點M，連接DM，如圖1，∵△EDH是等邊三角形，∴∠BHC＝∠EHD＝60°，∵ADBCHM，∴∠BCH＝∠EDH＝60°，∠DHM＝∠BCH＝60°，∴∠CBH＝180°－∠BCH－∠BHC＝60°，∠BHM＝180°－∠DHM－∠BCH＝60°，∴△BHC是等邊三角形，∵HMADBC，∴∠DHM＝∠BCH＝60°，∠DMH＝∠BHM＝60°，∴∠BHC＝∠BHM＝∠DHM＝∠DMH＝60°，∴△DMH和△BHM都是等邊三角形，∴DH＝HM＝BH＝CH＝BC＝AD，∴點H為CD的中點，∵∠CKH＝∠AKB，∠CHK＝∠ABK，∴△CKH∽△AKB，∴，∴，∴AD＝3HK，∴2AD＝3HK錯誤，故③錯誤；④過點C作CN⊥AB的延長線于點N，如圖2，則∠BNC＝90°，∵ABCD，∴∠DCN＝180°－∠BNC＝90°，∵∠BCD＝60°，∴∠BCN＝30°，∴BN＝BC＝AD，CN＝BC＝AD，∴AN＝AB＋BN＝2AD＋AD＝AD，∴AC＝＝AD，由①可知，∠CAF＝＝60°，AC＝AF，∴△ACF是等邊三角形，∴等邊三角形△ACF的高為AC＝AD，∴,∵的邊AB上的高＝CN＝AD，∴，∴，故④正確，綜上，①②④正確，故選：A．【點睛】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·山西陽泉·一模）綜合與實踐【問題背景】如圖1，平行四邊形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，AD＝8．點E、G分別是AD和DC邊的中點，過點E、G分別作DC和AD的平行線，兩線交于點F，顯然，四邊形DEFG是平行四邊形．【獨立思考】(1)線段AE和線段CG的數(shù)量關(guān)系是：______．(2)將平行四邊形DEFG繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，當DE落在DC邊上時，如圖2，連接AE和CG．①求AE的長；②猜想AE與CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；【問題解決】(3)將平行四邊形DEFG繼續(xù)繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，當A，E，F(xiàn)三點在同一直線上時（如圖3），AE與CG交于點P，請直接寫出線段CG的長和∠APC的度數(shù)．【答案】(1)3AE＝4CG或或或等(2)①，②3AE＝4CG，或，或等，證明見解析；(3)，∠APC＝60°【分析】（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)結(jié)合中點即可得出結(jié)論；（2）①利用三角函數(shù)值求線段長，再根據(jù)勾股定理求解即可；②利用三角形相似的判定與性質(zhì)直接求解即可；（3）利用三角形相似，再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理求出線段長；利用“8”字形的兩個三角形角度關(guān)系得到即可求解．（1）解：點E、G分別是AD和DC邊的中點，，在平行四邊形ABCD中，∠ADC＝∠B＝60°，CD＝AB＝6，AD＝8，，，故答案為：3AE＝4CG或或或等（2）解：①如圖，過點E作EH⊥AD于點H，在Rt△EDH中，∠EDA＝60°，，∴，∴，∴AH＝AD－HD＝8－2＝6，在Rt△AHE中，根據(jù)勾股定理可得；②3AE＝4CG或或或等，證明如下：由題可知：∠ADC＝∠CDG＝60°，，即，∴△ADE∽△CDG，∴，即3AE＝4CG或或或等；（3）過點作于，如圖所示：,,,,,,,在平行四邊形DEFG中，,,,,,,,即,,,,,．【點睛】本題考查四邊形綜合，涉及到平行四邊形的性質(zhì)、中點性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)不變性的運用、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)求線段長、勾股定理求線段長、特殊角度直角三角形三邊關(guān)系等知識點，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定，結(jié)合圖形準確作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．模型3.菱形中的旋轉(zhuǎn)模型1）常規(guī)計算型例1．（2023·安徽黃山·二模）如圖，在菱形ABCD中，AC，BD相交于點O，OD＝2，將BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到BE，交CD于點F，且使得DE⊥BD．若AC＝4DE，則CF＝___．【答案】【分析】首先根據(jù)題目已知條件理清各邊之間的關(guān)系，根據(jù)勾股定理求出DE,AC的長，再根據(jù)勾股定理求出菱形邊長，利用相似：△OBF∽△DBE得出OF的長，再利用相似:△DEF∽△CMF得出CF的長．【詳解】設(shè)DE的長為x，∵AC=4DE,∴AC=4x，∵四邊形ABCD為菱形，∴AO=，AC⊥BD,∴△AOD為直角三角形，∴，∵BC=AD,∴BC=,∵DE⊥BD，∴△DBE為直角三角形，∴BE=，又∵BE=BC,∴，解得x=2，∴DE=2，AC=8,AO=OC=4,BC=DC=,設(shè)BE與AC交點為M，∵DE⊥DB，AC⊥DB，∴DE∥AC，即DE∥OM，∵O為DB中點，∴,∴OM=1,又∵OC=4,∴MC=OC-OM=3,∵DE∥CM,∴,∴,故填：．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，相似，解題本題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出邊長，再根據(jù)平行得出兩組相似三角形．變式1．（2023·安徽·模擬預測）如圖，將邊長為3的菱形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到菱形的位置，使點落在上，與交于點．若，則的長為_______．【答案】##0.75【分析】延長交BC的延長線于點M，過點C作CNDM交于點N，根據(jù)菱形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△AB≌△AD≌△DCM≌，求得＝＝2，CM＝＝1，再根據(jù)CNDM，得，，代入即可求解．【詳解】解：如圖，延長交BC的延長線于點M，過點C作CNDN交于點N，∵四邊形ABCD是菱形∴AB＝BC＝CD＝AD＝3，∠B＝∠ADC＝∠，ABCD∴∠DCM＝∠B由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，，∠ADC＝∠，∴△≌△∴∴∵∠CDM+∠ADC＝∠DA＋∠∴∴△AB≌△DCM≌，∴DM＝，∠M＝∠∴∵CNDM∴∽∴∵∴∴∵CNDM∴△CNE∽△DE∴∴∴CE＝故答案為：【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，作輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．2）最值（范圍）型例1．（2023·山東濟寧·模擬預測）如圖，菱形的邊長為是邊的中點，是邊上的一個動點，將線段繞著逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取AB與CD的中點M，N，連接MN，作點B關(guān)于MN的對稱點E'，連接E'C，E'B，此時CE的長就是GB+GC的最小值；先證明E點與E'點重合，再在Rt△EBC中，EB=2，BC=4，求EC的長.【詳解】取AB與CD的中點M，N，連接MN，作點B關(guān)于MN的對稱點E'，連接E'C，E'B，此時CE的長就是GB+GC的最小值；∵MN∥AD∴HM=AE，∵HB⊥HM，AB=4，∠A=60°，∴MB=2，∠HMB=60°，∴HM=1，∴AE'=2，∴E點與E'點重合，∵∠AEB=∠MHB=90°，∴∠CBE=90°，在Rt△EBC中，EB=2，BC=4，∴EC=2，故選B【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)；確定G點的運動軌跡，是找到對稱軸的關(guān)鍵．變式1．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考一模）如圖，菱形ABCD的邊長為，∠ABC＝60°，對角線AC、BD交于點O．點E為直線AD上的一個動點，連接CE，將線段EC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)∠BCD的角度后得到對應(yīng)的線段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF長度的最小值為_________．【答案】3【分析】連接BE，作BH⊥AD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△DCF≌△BCE，把求DF的最小值轉(zhuǎn)化為求BE的最小值，再根據(jù)垂線段最短可得答案．【詳解】解：連接BE，作BH⊥AD交DA的延長線于H，菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴∠BCD=120°．∵∠ECF=120°，∴∠BCD=∠ECF，∴∠BCE=∠DCF由旋轉(zhuǎn)可得：EC=FC，在△BEC和△DFC中，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE，即求DF的最小值轉(zhuǎn)化為求BE的最小值．∵在Rt△AHB中，∠BAH=60°，AB=，∴BH==3，當E與H重合時，BE最小值是3，∴DF的最小值是3．故答案為：3．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形判定和性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．3）綜合證明型例1．（2023·江蘇南京·模擬預測）【探究發(fā)現(xiàn)】(1)如圖1，正方形ABCD兩條對角線相交于點O，正方形與正方形ABCD的邊長相等，在正方形繞點O旋轉(zhuǎn)過程中，邊交邊AB于點M，邊交邊BC于點N．①線段BM、BN、AB之間滿足的數(shù)量關(guān)系是________；②四邊形OMBN與正方形ABCD的面積關(guān)系是________；【類比探究】(2)如圖2，若將（1）中的“正方形ABCD”改為“含60°的菱形ABCD”，即，且菱形與菱形ABCD的邊長相等．當菱形繞點O旋轉(zhuǎn)時，保持邊交邊AB于點M，邊交邊BC于點N．請猜想：①線段BM、BN與AB之間的數(shù)量關(guān)系是_________________；②菱形OMBN與菱形ABCD的面積關(guān)系是________；請你證明其中的一個猜想．【拓展延伸】(3)如圖3，把（2）中的條件“”改為“”，其他條件不變，則①________；（用含α的式子表示）②________．（用含α的式子表示）【答案】(1)①；②；(2)①；②；(3)①；②或者【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可證△OBM≌△OCN，即可得答案；（2）連接MN，先證O，M，B，N四點共圓，可得是等邊三角形，將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△，可得，，再證，即可得答案；（3）由（1）和（2）的結(jié)論推導即可得答案．(1)解：①∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠NOC+∠BON=90°，OC=BO，∠ABO=∠OCB，∵四邊形A1B1C1O是正方形，∴∠MOB+∠BON=90°，∴∠NOC=∠MOB，∴△OBM≌△OCN，∴BM=CN，∴BM+BN=CN+BN=BC=AB，∴BM+BN=AB，②∵S△OBM=S△OCN∴S四邊形OMBN=S正方形ABCD；(2)①如下圖，連接MN，∵四邊形ABCD是菱形，，∴，∵，∴O，M，B，N四點共圓，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△，∵，，∴邊BN剛好落在AB上，即為MH，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴②；(3)∵由（1）可知：當∠DAB=∠A1OC1=90°，，由（2）可知：∠DAB=∠B1OD1=60°，，∴當∠DAB=∠B1OD1=α，；∵由（1）可知：當∠DAB=∠A1OC1=90°，S四邊形OMBN=S正方形ABCD，∴即，同理由（2）可知：，即，∴當∠DAB=∠B1OD1=α，．【點睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，證△OBM≌△OCN和是等邊三角形．變式1．（2022·重慶·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在菱形和菱形中，點，，在同一條直線上，是線段的中點，連接，．（1）如圖1，探究與的位置關(guān)系，寫出你的猜想并加以證明；（2）如圖1，若，，求菱形的面積．（3）如圖2，將圖1中的菱形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使菱形的邊恰好與菱形的邊在同一條直線上，若，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）線段與的位置關(guān)系是，證明見解析；（2）菱形面積為4；（3）．【分析】（1）可通過構(gòu)建全等三角形求解．延長GP交DC于H，可證△DHP和△PGF全等，那么HP=PG，DH=GF=BG，那么可得出CH=CG，于是△CHG就是等腰三角形且CP是底邊上的中線，根據(jù)等腰三角形三線合一的特點，即可得出CP⊥PG；（2）由，得到是等腰直角三角形，則，得到菱形為正方形，即可求出面積；（3）經(jīng)過（1）（2）的解題過程，我們要構(gòu)建出以CP為底邊中線的等腰三角形，那么可延長GP到H，使PH=PG，連接CH、DH，那么根據(jù)前兩問的解題過程，我們要求的是△CHG是個等腰三角形，關(guān)鍵是證△CDH和△CBG全等，已知條件只有CD=CB，我們可通過其他的全等三角形來得出△CDH和△CBG全等的條件．△DHP和△FGP中，有一組對頂角，DP=PF，HP=PG，那么這兩個三角形就全等，可得出DH=GF=BG，∠HDP=∠GFP，根據(jù)平行線間的內(nèi)錯角相等可得出，∠CDP=∠EFD，那么∠CDH=∠EFG=∠CBG，由此可得△CDH和△CBG全等，進一步即可證得結(jié)論．【詳解】解：（1）線段與的位置關(guān)系是，理由如下：如圖1，延長交于點，是線段的中點，，由題意可知，，，，=GB，四邊形是菱形，，，是等腰三角形，（三線合一）；（2），是等腰直角三角形，∴∠HCG=90°，∵DC∥AE，，菱形為正方形，菱形面積為：．（3）如圖2，延長到，使，連接，，，是線段的中點，，，，，，，，，四邊形是菱形，，，點、、又在一條直線上，，四邊形是菱形，，，，，，，即，，，，，．即．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，根據(jù)已知和所求的條件正確的構(gòu)建出全等三角形是解題的關(guān)鍵．模型4.矩形中的旋轉(zhuǎn)模型1）常規(guī)計算型例1．（2022·江西·統(tǒng)考三模）如圖，矩形ABCD中，，，將矩形ABCD繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AFGE，當點F落在邊CD上時，連接BF、DE，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意作輔助線過點E作于點H，并利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及三角函數(shù)進行分析求解.【詳解】解：如解圖，過點E作于點H，在矩形ABCD中，，，，.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，.，..，，，.故選C【點睛】本題考查矩形相關(guān)，綜合利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及三角函數(shù)相關(guān)性質(zhì)進行求解.變式1．（2023·江蘇無錫·校考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AB′C′D′，AB′交CD于點E，且DE＝B′E，則AE的長為_____．【答案】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性得到AB′＝AB＝5，設(shè)AE＝CE＝x，在中結(jié)合勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AB′C′D′，∴AB′＝AB＝5，∵DE＝B′E，∴AE＝CE，設(shè)AE＝CE＝x，∴DE＝5﹣x，∵∠D＝90°，∴AD2+DE2＝AE2，即，解得：x＝，即AE的長為（也可以寫作4.1），故答案為：．【點睛】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求線段長．解題過程中涉及到矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握幾何圖形旋轉(zhuǎn)不變性及勾股定理求線段長是解決問題的關(guān)鍵．2）最值（范圍）型例1．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BC=2AB，點P為邊AD上的一個動點，線段BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP'，連接PP'，CP'．當點P'落在邊BC上時，∠PP'C的度數(shù)為________；當線段CP'的長度最小時，∠PP'C的度數(shù)為________【答案】

120°##120度

75°##75度【分析】由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)角知△BPP′為等邊三角形，得到∠PP′B=60°；當點P'落在邊BC上時，∠PP'C=180°-∠PP′B=120°；將線段BA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°后點A落在點E，連接BE，得到△ABP≌△EBP′(SAS)，再證明△ABP為等腰直角三角形，進而得到∠EP′B=∠APB=45°，最后當CP′⊥EF于H時，CP′有最小值，由此可以求出∠PP'C=∠EP′C-∠EP′P=90°-15°=75°．【詳解】解：由線段BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP'可知，△BPP′為等邊三角形，∴∠PP′B=60°，當點P'落在邊BC上時，∠PP'C=180°-∠PP′B=180°-60°=120°；將線段BA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，點A落在點E，連接BE，設(shè)EP′交BC于G點，如下圖所示：則∠ABP=∠ABE-∠PBE=60°-∠PBE，∠EBP′=∠PBP′-∠PBE=60°-∠PBE，∴∠ABP=∠EBP′，且BA=BE，BP=BP′，∴△ABP≌△EBP′(SAS),∴AP=EP′，∠E=∠A=90°，由點P'落在邊BC上時，∠PP'C=120°可知，∠EGC=120°，∴∠CGP′=∠EGB=180°-120°=60°，∴△EBG與△P′CG均為30°、60°、90°直角三角形，設(shè)EG=x，BC=2y，則BG=2EG=2x，CG=BC-BG=2y-2x，GP′=CG=y-x，∴EP′=EG+GP′=x+(y-x)=y=BC，又已知AB=BC，∴EP′=AB，又由△ABP≌△EBP′知：AP=EP′，∴AB=AP，∴△ABP為等腰直角三角形，∴∠EP′B=∠APB=45°，∠EP′P=60°-∠EP′B=60°-45°=15°，當CP′⊥EF于H時，CP′有最小值，此時∠PP'C=∠EP′C-∠EP′P=90°-15°=75°，故答案為：120°，75°．【點睛】本題考察了三角形全等的判定方法、矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，屬于四邊形的綜合題，難度較大，熟練掌握各圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·江蘇·江陰市華士實驗中學一模）如圖，在矩形ABCD中，，，點P為邊AD上一個動點，連接CP，點P繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到點，連接并延長到點E，使，以CP、CE為鄰邊作矩形PCEF，連接DE、DF，則和面積之和的最小值為______．【答案】【分析】過點D作DH⊥PC于H，設(shè)PD=x，然后利用勾股定理求出PC、CH、EF的長，然后表示出面積，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，過點D作DH⊥PC于H，設(shè)PD=x，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=3cm，∠PDC=90°，∴，∵DH⊥PC，∴∴，∴，∵四邊形PCEF是矩形，∴，∵，∴∴當時，有最小值，故答案為：．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積、二次函數(shù)求最值等知識，夠熟練掌握相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵．3）分類討論型例1．（2022·江蘇·一模）如圖，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)θ（0°≤θ≤360°），得到矩形AEFG．（1）當點E在BD上時，求證：AF∥BD；（2）當GC＝GB時，求θ；（3）當AB＝10，BG＝BC＝13時，求點G到直線CD的距離．【答案】（1）見解析；（2）60°或300°；（3）25或1【分析】（1）先運用SAS判定△FEA≌△DAB，可得∠AFE＝∠ADE＝∠DEF，即可得出AF∥BD；（2）當GB＝GC時，點G在BC的垂直平分線上，分兩種情況討論，依據(jù)∠DAG＝60°，即可得到旋轉(zhuǎn)角θ的度數(shù)．（3）當BG＝BC時存在兩種情況：畫圖根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】（1）由旋轉(zhuǎn)可得，AE＝AB，∠AEF＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，∴∠AEB＝∠ABE，△FEA≌△DAB（SAS），∴∠AFE＝∠ADB，又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF，∴∠EDA＝∠DEF，∴∠DEF＝∠AFE，∴AF∥BD；（2）如圖1，當GB＝GC時，點G在BC的垂直平分線上，分兩種情況討論：①當點G在AD右側(cè)時，取BC的中點H，連接GH交AD于M，連接DG，∵GC＝GB，∴GH⊥BC，∴四邊形ABHM是矩形，∴AM＝BH＝AD＝AG，∴GM垂直平分AD，∴GD＝GA＝DA，∴△ADG是等邊三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋轉(zhuǎn)角θ＝60°；②當點G在AD左側(cè)時，如圖2，同理可得△ADG是等邊三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋轉(zhuǎn)角θ＝360°﹣60°＝300°．綜上，θ的度數(shù)為60°或300°；（3）有兩種情況：①如圖3，當BG＝BC＝13時，過G作GH⊥CD于H，交AB于M，∵AG＝BC＝BG，∴AM＝BM＝5，Rt△AMG中，由勾股定理得：MG＝＝＝12，∵AB∥CD，∴MH＝BC＝13，∴GH＝13+12＝25，即點G到直線CD的距離是25；②如圖4，過G作MH⊥CD于H，交AB于M，同理得GM＝12，∴GH＝13﹣12＝1，即點G到直線CD的距離是1；綜上，即點G到直線CD的距離是25或1．【點睛】本題主要考查了四邊形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，解題時注意：對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．4）綜合證明型例1．（2022·重慶·一模）矩形ABCD中．∠ADB＝30°，△AEF中，∠AFE＝90°，∠AEF＝30°，AEBD．連接EC，點G是EC中點．將△AEF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°）．(1)如圖1，若A恰好在線段CE延長線上，CD＝2，連接FG，求FG的長度；(2)如圖2，若點F恰好落在線段EC上，連接BG．證明：2（GC﹣GB）DC；(3)如圖3，若點F恰好落在線段BA延長線上，M是線段BC上一點，3BM＝CM，P是平面內(nèi)一點，滿足∠MPC＝∠DCE，連接PF，已知CD＝2，求線段PF的取值范圍．【答案】(1)(2)見解析(3)PF【分析】（1）如圖1中，過點F作AH⊥AE于H．解直角三角形求出FH，HG，利用勾股定理解決問題即可．（2）如圖2中，連接AC交BD于M，連接BF，GM．證明△BAF≌△BMG（SAS），推出BF＝MG，∠ABF＝∠MBF，推出∠FBG＝∠ABM＝60°，推出△FBG是等邊三角形，可得結(jié)論．（3）如圖3中，連接AC，作線段CM的垂直平分線交EC于O，連接OM．以O(shè)為圓心，OM為半徑作⊙O，作點O關(guān)于CM的對稱點O′，以O(shè)′為圓心，O′M為半徑作⊙O′，推出∠MPC＝∠ECD＝30°，∠MPC∠MOC＝30°，推出點P在CM兩側(cè)的兩段優(yōu)弧上，再根據(jù)r﹣OF≤PF≤r+O′F，求解即可．(1)解：如圖1中，過點F作AH⊥AE于H．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AB＝CD＝2，∠ADB＝30°，∴BD＝2AB＝4，∵AEBD，∴AE＝AB＝2，∵∠ABD＝90°﹣30°＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴AE＝BE＝DE＝2，∴A，E，C共線，∵FH⊥AE，∴∠FHE＝∠AFE＝90°，∵∠AEF＝30°，∴AFAE＝1，EF，F(xiàn)H，EH，∵EG＝CG＝1，∴GH＝1，∴FG．(2)解：如圖2中，連接AC交BD于M，連接BF，GM．∵四邊形ABCD是矩形，∴AM＝MC＝BM＝DM，∵∠ABM＝90°﹣∠ADB＝60°，∴△ABM是等邊三角形，∴∠AMB＝∠BAM＝60°，∵AM＝MC，EG＝CG∴GM∥AE，GMAE，∴∠AMG+∠EAM＝180°，∴∠AMG+60°+∠FAB+60°＝180°，∴∠AMG+∠FAB＝60°，∵∠AMG+∠BMG＝60°，∴∠BAF＝∠BMG，∵MGAE．AFAE，∴AF＝MG，AB＝MB，∴△BAF≌△