高等數(shù)學(xué)大一年級上冊知識要點

高數(shù)總復(fù)習(xí)(±)

一、求極限的方法：

1、利用運算法則與基本初等函數(shù)的極限；

①、定理若lim/(x)=A,limg(x)=5,則

(加減運算)lim"(x)+g(x)]=A+B

(乘法運算)lim/(x).g(x)=AB

(除法運算)若8w°，Hm

推論1：limf(x)=A,lim[/(x)]n=[lim/(x)]K=A"5為

正整數(shù))

推論2：lim(/(x)=c[lim/(x)]

包，當/n=n

②結(jié)論1:瓦

lim"。""+&”-+…+x+%-

0,當/n<n

nn1

…box+b1x~++bn_1X+bn

oo,當m>n

結(jié)論2:f(x)是基本初等函數(shù)，其定義區(qū)間為〃若％oCO,則

2、利用等價無窮小代換及無窮小的性質(zhì)；

①定義1：若lim/(x)=°或(lim/(%)二°)

x->X)x-?oo

則稱/(X)是當％%0(或X->8)時的無窮小.

定義2：私分是自變量在同一變化過程中的無窮?。?/p>

若lim2=l,則稱。與夕是等價無窮小,記為。P.

a

②性質(zhì)1：有限個無窮小的和也是無窮小.

性質(zhì)2:有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.

推論1：常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.

推論2:有限個無窮小的乘積也是無窮小.

定理2（等價無窮小替換定理）設(shè)a~a',/~

且lim之存在，則

a'

lim^=lim^=lim^=lim幺

aaaa

（因式替換原則）

常用等價無窮小:

3、利用夾逼準則和單調(diào)有界收斂準則;

①準則1（夾逼準則）若數(shù)列（n=l,2,…）滿足下列條件:

⑴yn<<Z?(H=1,2,3,???)；

,

⑵limyn=limZn=a

〃一>8

則數(shù)列》“的極限存在,且lim=a

w—>00

②準則n：單調(diào)有界數(shù)列必有極限.

4、利用兩個重要極限。

5、利用洛必達法則。

未定式為6，￡，°°一8。00,0”類型.

0

①定理(％fa時的G型)：設(shè)

⑴limf(x)=limF(x)=0.

xfax—>tz

(2)在某U(a3)內(nèi)，/(%)及F(x)都存在且產(chǎn)(工)豐0;

二、求導(dǎo)數(shù)和微分：

L定義

①導(dǎo)數(shù)：函數(shù)y=/(%)在％=玉)處的導(dǎo)數(shù)：

，'(%)=lim'("，，~~=hm'(~~~~'(~~?

xfx°x-x0以一0Ar

函數(shù)y=/(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)函數(shù)：

②函數(shù)的微分：dy=f\x)dx.

2.導(dǎo)數(shù)運算法則(須記住P140導(dǎo)數(shù)公式)

①函數(shù)和差積商求導(dǎo)法則：函數(shù)”(%)、丫(％)可導(dǎo)，貝！J：

②反函數(shù)求導(dǎo)法則：若九=o(y)的導(dǎo)數(shù)存在且e'(y)wo,

則反函數(shù)y=fM的導(dǎo)數(shù)也存在且為

③復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則(鏈式法則)：〃=。(%)可導(dǎo)，

)=/(〃)可導(dǎo)，

則y=/(e(x))可導(dǎo)，且

④隱函數(shù)求導(dǎo)法則：

⑤參數(shù)方程求導(dǎo)法則：

若。'?)。。則

ax(p⑺

3.微分運算法則

三、求積分:

L概念：原函數(shù)、不定積分。定積分是一個數(shù)，是一個和的極限形式。

eb

ff(x)dx=州￡/?)為

Ja/=!

性質(zhì)1:

ff(x)dx=0,-ff(x)dx=ff(x)dx

JaJbJa

性質(zhì)2：

rbrbrb

[fW+g(x)]dx=f(x)dx+g(x)dx

JaJaJa

性質(zhì)3：

,b,b

[kf(x)dx=k\f(x)dx,(左是常數(shù)).

JaJa

性質(zhì)4：

\hf(x)dx=[

Jaela

(去絕

對值，

分段函

數(shù)積分）

?b

性質(zhì)5：dx-b-a

a

2.計算公式：P186基本積分表；P203常用積分公式;

①第一換元法（湊微分）：

PPU=(p{x}|--

c

J/(0(%))”(工世=J'((p(x))d(p(x)=Jf(u)du

JJLJ」〃=e(x)

②第二換元法：

③分部積分法：

分部化簡；循環(huán)解出；遞推公式

④有理函數(shù)積分：

混合法（賦值法+特殊值法）確定系數(shù)

⑤牛頓萊布尼茨公式:

⑥定積分換元法:

5.［于(x)dx=1°(a=(p(a)b=(p(py)

JaJa

(換元換限，配元(湊微)不換限)

⑦定積分分部積分法：

ch-沙

6.Iu(x)v\x)dx=[?(x)v(x)￡-Iu\x)v(x)dx

⑧結(jié)論(偶倍奇零)：

①若函數(shù)F(x)為偶函數(shù)，則

ff(x)dx=2\f(x)dx

J-aJO

②若函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，貝!|J/(x)dx=°

注意：

1.利用“偶倍奇零”簡化定積分的計算；

2.定積分幾何意義求一些特殊的積分(如工^^7公二苧)

⑨變限積分求導(dǎo)

dcxd，b

四、微Jf(t)dt=f(x),—J/(r)dr=-/W

dxJadxJx

(x)

1.判BJ_f^f(t)dt=f[(p(x)\(pXx)

dx'a

0=/[0(R)]/0)-/[必創(chuàng)”(%)

drJH(x)

第二步：以駐點和不可導(dǎo)點劃分單調(diào)區(qū)間，在每個區(qū)間上討論了'(%)的正

負,/'(%)>。,函數(shù)遞增，f(x)<0,

函數(shù)遞減。

②判斷凹凸性:

第一步：找使/"(%)=。的點和不可導(dǎo)點。

第二步：以這些點劃分定義區(qū)間，在每個區(qū)間上討論了〃(x)的正負,

f\x)>0,是凹區(qū)間，f\x)<0,是凸區(qū)間。

(拐點：左右兩邊/"(%)的符號相反)

③判斷函數(shù)極值:

第一步：找使/'（x）=。的點和不可導(dǎo)點。

第二步：判斷這些點兩邊/'（X）的正負，若左正右負極大值點

左負右正極小值點。

2.1定積分的幾何應(yīng)用--求面積，體積和弧長\!74

a

所求圖形的面積為：S=上（x）一/下（%）“%

所求圖形的面積為：s二J右（＞）一。左（））"，

旋轉(zhuǎn)體：由連續(xù)曲線”⑸、直線麻、地及x軸所圍成的曲邊梯

形繞X軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體。

71dx=^[fix^dxo

旋轉(zhuǎn)體：由連續(xù)曲線元=。（、）、

直線yc>yd及p軸所圍曲邊梯

形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體

2.3定積分的物理應(yīng)用

變力沿直線做功；水(側(cè))壓力；引力

思路:建立坐標系，選取積分變量(如X),在以XAlx］上給出微元

第六空間解析幾何

1.向量4=+生化在坐標軸上的投影分別為：

?**

aaa

x，y，z；在坐標軸上的分量分別為：,ayj,azk.

IQI—{a；++見2,

e(i==(cosa,cos0,cos/)

2.利用坐標作向量的線性運算

a±b=(ax±bx,ay±by,az±bzy

d—（4a*,4，%）

Ayn/,

數(shù)量積（數(shù)）：

向量積（向量）

rr一一一一一-*——?

axb工a,axbLb,且axb,6Z,kf構(gòu)成右

手系，

A

\axb\=\a\\b\sin（a,b）（幾何意義:平行四邊形的面積）

3.向量之間的關(guān)系

4.平面圖形及其方程

平面的法向量：和平面垂直的非零向量。

①點法式方程：

設(shè)平面過點（入0，〉0,20）法向量〃二（4,3,。）