山東省煙臺(tái)招遠(yuǎn)市2023屆高三年級(jí)下冊(cè)5月全國(guó)新高考Ⅰ卷模擬數(shù)學(xué) 含解析

2023年全國(guó)新高考I卷模擬試題

數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.本試題滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘.

2.答卷前，務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題紙上.

3.使用答題紙時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)，要字跡工整，筆跡清晰；超出答題

區(qū)書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符

合題目要求.

1,已知全集"=卜”》＜6},集合4={1,2,3},5={2,4,5},則期4)C5=()

A.{0}B.{4,5}C.{2,4,5}D.{0,2,4,5)

【答案】B

【解析】

【分析】求出4/再求(AJA)CB即可.

【詳解】由題知［={0,1,2,34,5},0A={O,4,5},

則虱48={4,5}.

故選：B.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足Z2+2Z+2=0,則ZA=()

A.1B.72C.6D.2

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)2=。+〃,。力61^,代入Z2+2Z+2=0,利用復(fù)數(shù)相等求解.

【詳解】解：設(shè)z=a+》i,a/eR,則z?十？。",

所以z?+2z+2=<:/一〃+2a+2+(2h+2ah^i^O,

。2—〃+2。+2=0a=-1ci=-1

則《，解得《或W

2b+2ab=0b=\b=—\

所以z-z=a2+》2=2,

故選：D.

3.已知底面半徑為3的圓錐SO,其軸截面為正三角形，若它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為1,則此圓柱

的側(cè)面積為()

A.島B.267rC.4島D.8島_

【答案】C

【解析】

【分析】作出圓錐的軸截面&48,求出圓錐的高，利用三角形相似求出圓柱的高，再根據(jù)側(cè)面積公式計(jì)算

可得.

【詳解】如圖作出圓錐的軸截面S48,依題意。8=。4=3,OD=OC=\,SB=6,

所以SQ=y]SB2-OB2=3G，

BDDP

易知上3￡)/s_BOS，則―――――，所以DF=2\/3，

BOSO

即圓錐的內(nèi)接圓柱的底面半徑廠=1,高力=2，

所以圓柱的側(cè)面積S=2兀泌=2xlx兀=4后.

故選：C

4.已知質(zhì)點(diǎn)尸在以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心的單位圓上沿逆時(shí)針?lè)较蜃鲃蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，其起點(diǎn)為射線

〉=x(x20)與單位圓的交點(diǎn)，其角速度大小為展rad/s,設(shè)20s后射線OP恰為角。的終邊，則

cos26=()

A.--B.1C.一更D,也

2222

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)P的角速度，求得20s后轉(zhuǎn)過(guò)的角度，再加上工得到。求解.

4

TT7F57r

【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)P的角速度大小為工rad/s,則20s后轉(zhuǎn)過(guò)的角為：—x20=—,

12123

?…八兀兀

所以。=一5+/尸/c。-%=一57r十—7T=——23,

33412

則cos28=cos-----=cos4?！?cos—=—

6[662

故選：D

5.已知耳居分別是橢圓C:=+與=l(a>A>0)的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且"鳥(niǎo)與x軸垂直，直

ab-

線M片與。的另一個(gè)交點(diǎn)為N,若MR=3F】N,則C的離心率為()

\.顯1「V3272

B.-

332亍

【答案】A

【解析】

【分析】先求出M的坐標(biāo)，根據(jù)M4=36N得出N的坐標(biāo)，根據(jù)N在橢圓上列方程求解即可.

【詳解】

不妨設(shè)M在第一象限，由題意，M的橫坐標(biāo)為C,

N2,即小學(xué)

令，解得y=Z

a[a>

設(shè)N(x,y),又耳(一c,0),耳N=(x+c,y),

5c

-2c=3(x+c)x=-----

由可得：23

\b解得

-----=3yb2

、ay=-----

“3a

25c2b2i25c22-c2

又N(x,y)在橢圓上，即-------1------=1=1a

9a29a2--------9a2------9a2

整理得生=§,解得e=3.

993

故選：A

6.已知滿足sin(2a+/?)=cosP，tana=2,貝ijtan4的值為()

212

A-1B.---C.-D.一

3333

【答案】A

【解析】

【分析】利用兩角和與差的正余弦公式和三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系化筒得tan(o+/?)=l,再利用兩角和與差的

正切公式即可得到答案.

【詳解】因?yàn)閟in(2a+/?)=cos/7,所以sin(a+a+尸)=cos(a+尸-a),

即sinacos(a+4)+cosasin(a+4)=cos(a+/?)cosa+sinasin(a+0),

顯然cosawO,兩邊同除cosa得：

tanacos(a+13)+sin(a+/?)=cos(a+B)+tanasin(a+尸)，

2cos(a+0+sin(a+0=cos(a+4)+2sin(a+4),

即cos(a+4)=sin(a+4),易知cos(a+A)wO,

/、八/八\tan(a+⑶-tana1-21

則tan(a+6)=1,tan/?=tan(a+/?—a)=---——-------=------=一一

')l+tan(a+/?)tanc^1+1x23

故選：A.

7.已知函數(shù)/(%)=；/+加+》的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為辦，若過(guò)點(diǎn)(%,/&))和(％,/(%))的直線/在

X軸上的截距為g,則實(shí)數(shù)。的值為()

A.2B.-2C.!或一2D.一』或2

22

【答案】B

【解析】

【分析】由題意/(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則A>0求參數(shù)。范圍，再根據(jù)《；代入/(%)、

X?=--1

/(M)確定已知點(diǎn)所在直線，進(jìn)而求截距并列方程求參數(shù)值.

【詳解】由題意/'(%)=%2+2℃+1有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則△=4/_4〉0,

所以即々＞1或。＜一1,

2

%)+2ax]+1=0

由＜即《

%；+2ax2+1=0

而f(X[)=]入:+cix^+%=-Xj(―—1)+cix^+%=§+3%

a..?、222、a

=—(-2ox,-1)4--Xj=-(lZ1-6F)x)--J,

同理有〃X2)=g(l—")◎一]，

所以a，/a))、(馬,/(/))均在y?上，

21QQ1c

令y=_(l_42)x__=0,則X=-^-=-,得2a2+3Q_2=(2a_l)(a+2)=0,

332(1—/r)3

綜上，ciy——2,4=5(舍)

故選：B

8.教育部為發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國(guó)部分大學(xué)培養(yǎng)教育專(zhuān)業(yè)公費(fèi)師范生，畢業(yè)后分配到相應(yīng)的地區(qū)任

教.現(xiàn)將5名男大學(xué)生，4名女大學(xué)生平均分配到甲、乙、丙3所學(xué)校去任教，則()

A.甲學(xué)校沒(méi)有女大學(xué)生的概率為二

21

25

B.甲學(xué)校至少有兩名女大學(xué)生的概率為一

42

C.每所學(xué)校都有男大學(xué)生的概率為

7

D.乙學(xué)校分配2名女大學(xué)生，1名男大學(xué)生且丙學(xué)校有女大學(xué)生的概率為:

【答案】C

【解析】

【分析】計(jì)算出將5名男大學(xué)生，4名女大學(xué)生平均分配到甲、乙、丙3所學(xué)校去任教共有的分法種數(shù)，

再結(jié)合每個(gè)選項(xiàng)里的具體要求求出符合其要求的分法種數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得相應(yīng)概

率，可判斷A,B,C,利用對(duì)立事件計(jì)算可判斷D.

【詳解】將5名男大學(xué)生，4名女大學(xué)生平均分配到甲、乙、丙3所學(xué)校去任教，

共有FTA；=1680中分法:

對(duì)于A,甲學(xué)校沒(méi)有女大學(xué)生，從5名男大學(xué)生選3人分到甲學(xué)校,

C3c3

再將剩余的6人平均分到乙、丙學(xué)校，共有C；?」Ti?A；=200種分法，

故甲學(xué)校沒(méi)有女大學(xué)生的概率為四=W,A錯(cuò)誤；

168042

對(duì)于B,甲學(xué)校至少有兩名女大學(xué)生的情況包括恰有兩女大學(xué)生和恰有三女大學(xué)生，

z~i3z~n3

共有C：C卜卡?A；+C：?//?A；=680種分法，

A?A1

故甲學(xué)校至少有兩名女大學(xué)生的概率為姆=11,B錯(cuò)誤；

168042

對(duì)于C,每所學(xué)校都有男大學(xué)生，則男生的分配情況為將男生分為3組：人數(shù)為1,1,3或2,2,1,

當(dāng)男生人數(shù)為1,1,3時(shí)，將4名女生平均分為2組，分到男生人數(shù)為1人的兩組，再分到3所學(xué)校，

此時(shí)共有C；C：A；=360種分法；

當(dāng)男生人數(shù)為2,2,1時(shí)，將4名女生按人數(shù)1,1,2分為3組，

人數(shù)1」的2組分到男生人數(shù)為2,2的兩組，2名女生的一組分到男生1人的那一組，再分到3所學(xué)校，

C2c2

此時(shí)共有一fCA；A；=1080種分法；

A?

故每所學(xué)校都有男大學(xué)生的分法有360+1080=1440種，

14406

則每所學(xué)校都有男大學(xué)生的概率為一-=C正確；

16807

對(duì)于D,乙學(xué)校分配2名女大學(xué)生，1名男大學(xué)生共有CjC；C：C；=600種分法，

乙學(xué)校分配2名女大學(xué)生，1名男大學(xué)生且丙學(xué)校沒(méi)有女大學(xué)生的分法有C：C；C；=120種，

故乙學(xué)校分配2名女大學(xué)生，1名男大學(xué)生且丙學(xué)校有女大學(xué)生的概率為幽二@=2,D錯(cuò)誤，

16807

故選：C

二、選擇題：本題共4小題，每小起5分，共20分.在每小船給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說(shuō)法正確的有()

A.一組數(shù)據(jù)19,24,25,32,28,36,45,43,45,57的中位數(shù)為34

B.(1-2x)8展開(kāi)式中無(wú)4項(xiàng)的系數(shù)為1120

C相關(guān)系數(shù)r=-0.89,表明兩個(gè)變量相關(guān)性較弱

D.若J~N（60,4）,則P（0264）=P（J<56）

【答案】ABD

【解析】

【分析】一組數(shù)據(jù)從小到大重新排列由中位數(shù)定義可判斷A；利用（1-2x）8展開(kāi)式的通項(xiàng)可判斷B；根

據(jù)相關(guān)系數(shù)定義及意義可判斷C；根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,一組數(shù)據(jù)從小到大重新排列可得19,24,25,28,32,36,43,45,45,57,

所以中位數(shù)為名上變=34,故A正確；

2

對(duì)于B,設(shè)（>2x）8展開(kāi)式的通項(xiàng)為=q（—2x）'=C；（—2）'￡,令r=4,可得

（1-2x）8展開(kāi)式中/項(xiàng)的系數(shù)為C；（—2）4=1120,故B正確；

對(duì)于C,相關(guān)系數(shù)取值一般在一1~1之間，絕對(duì)值越接近1說(shuō)明變量之間的線性關(guān)系越強(qiáng)，絕對(duì)值越接近

0說(shuō)明變量間線性關(guān)系越弱，相關(guān)系數(shù)廠的絕對(duì)值一般在0.8以上，認(rèn)為兩個(gè)變量有強(qiáng)的相關(guān)性，0.3到

0.8之間，可以認(rèn)為有弱的相關(guān)性，0.3以下，認(rèn)為沒(méi)有相關(guān)性，所以相關(guān)系數(shù)r=-0.89表明兩個(gè)變量相

關(guān)性較強(qiáng)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若0~N（60,4）,則〃=6（）,則P（JN64）=P（JW56）,故D正確.

故選：ABD.

10.己知a>0力>0且4。+8=2,則（）

A.ah的最大值為/B.2后+妍的最大值為2

C.42+:CL的最小值為6D.4a+2"的最小值為4

ab

【答案】BC

【解析】

【分析】利用基本不等式可判斷AB；先將一+q化為一+------,再妙用“1”可判斷C；取特值可判斷

aba2b4

D.

【詳解】對(duì)于A,因2=4a+人N2J荻=4j法，所以當(dāng)且僅當(dāng)a=’功=1時(shí)，等號(hào)成

44

立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)?a+b?4?^，所以8a+2824j^+4a+/?=（2G+血門(mén)，

即（26+插>44,2&+班42,當(dāng)且僅當(dāng)”=L,b=l時(shí)，等號(hào)成立，故B正確;

4

二十，八/口1h,2a211

對(duì)于C,由4。+6=2得。—,所以一+：=—+—；7，

24aha2h4

因?yàn)槎?+（）（4。+匕）=；（￥+"+?）4（：+2"）=當(dāng)，

a2b2a2b22ab224

。八。11Cyig

所以—I■7=—I—----2------=6,當(dāng)且僅當(dāng)。=/?=—時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；

aba2b4445

對(duì)于D,令a=］力=§,則平+2。=4；+2g=2x4；<4,所以4"+2“的最小值不是4,D錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.已知點(diǎn)M為直線/：x—y+8=0與y軸交點(diǎn)，p為圓0：/+,2=45上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)

A（-l,0）,B（3,0）,則（）

A.取得最小值時(shí)，5^=675B.MP與圓O相切時(shí)，=

C.當(dāng)6P_LMP時(shí)，APBM=0D.sinNAPB的最大值為好

4

【答案】ABD

【解析】

【分析】A：|PM|取得最小值時(shí)p位于OM即V軸上，根據(jù)三角形面積公式可得.

B：直接在直角三角形"M利用勾股定理可得.

C：運(yùn)用向量坐標(biāo)表示和對(duì)于坐標(biāo)運(yùn)算可得.

D：根據(jù)正弦定理?=2R,將求sinNA/為的最大值轉(zhuǎn)化為求外接圓半徑最小，

sinNAPB

此時(shí)，外接圓與圓。相內(nèi)切，根據(jù)內(nèi)切半徑差等于圓心距可得外接圓半徑，進(jìn)而可得.

【詳解】因/：x-y+8=0,令％=0,得y=8,

故M（0,8）,

O:x2+y2=45,圓心（0,0）,半徑r=莊=3后

選項(xiàng)A：

如圖，根據(jù)圓的性質(zhì)當(dāng)p位于y軸上時(shí)，取得最小值，

此時(shí)S&ABP=；XX］。月=；X4X3指=66,故A正確;

當(dāng)"P與圓。相切時(shí),

\PM\=ylOM2-r2=,82-45=曬，

故B正確；

選項(xiàng)C：

設(shè)P（X|，X）,

則8P=（w-3,y）,旃=（西2-8）,

當(dāng)時(shí)，3PMP=0,

故王(玉一3)+y(y/8)=0,

又x；+y：=45,

得3%+8%=45,

AP=(%+l,yJ，BM=(-3,8),

AP-BM=-3(M+1)+8_yt=_3Xj+8y—3

若AP-BM=0，則-3玉+8弘一3=0,

又3玉+8%=45得，X]=7,、=3,

此時(shí)x；+y：=72+32關(guān)45,

這與點(diǎn)P在圓上矛盾，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：

由題意可得。在A6中垂線上，可設(shè)其坐標(biāo)為。,力，

則R=|QA|=A/4+X2)\QO\=Jl+f,

由正弦定理知一股一=2R,所以四=sinNAP3，

sinNAPB2R

當(dāng)A最小，即外接圓與圓。相內(nèi)切時(shí)，sinNAPB的最大值,

此時(shí)圓心距等于兩圓半徑之差，則

\Jl+x~=J45_,4+X)>

兩邊同時(shí)平方可得R="+x28

瑟'

Sin==T>故D正確.

y/5

故選：ABD.

12.在正四棱柱ABCO-AAGR中，AA,=2A8=2,點(diǎn)P滿足CP=4CD+MCG,

則（）

A.當(dāng)4=1,〃=：時(shí)，直線CP與"所成角為60。

B.當(dāng)2=1時(shí)，|AP|+|PG|的最小值為布+1

C.若々P與平面CARG所成角為45。，則P點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為1

D.當(dāng)〃=1時(shí)，平面截此正四棱柱所得截面的最大面積為逐

【答案】ACD

【解析】

【分析】對(duì)于A,當(dāng)4=1,〃=3時(shí)可知點(diǎn)「為。。的中點(diǎn)，從而可以判斷△ACP為等邊三角形，即可

判斷：對(duì)于B,當(dāng)4=1時(shí)可得點(diǎn)。在。。上，此時(shí)把正四棱柱ABC?！狝4GA的后面和右面展開(kāi)，

從而可判斷；對(duì)于c,連接弓尸，可得NB/G即為qp與平面CDQG所成角，從而可得點(diǎn)P的軌跡是

以q為圓心，以I為半徑的:個(gè)圓，即可判斷；對(duì)于D'過(guò)點(diǎn)p作加〃。交CG于點(diǎn)。，可得四邊形

APQB為平面4P6截此正四棱柱所得截面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得點(diǎn)P到直線48的

距離，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.

對(duì)于A,當(dāng)4=1,〃=g時(shí)，點(diǎn)P為。。的中點(diǎn),

所以AP=+DP?=6，CP=yJCD2+DP2=42AC=y/CD2+AD2=41>所以△ACP為等

邊三角形，所以直線CP與AP所成角為60°，A對(duì)；

對(duì)于B,當(dāng)4=1時(shí)，點(diǎn)P在。2上，此時(shí)把正四棱柱ABC。-4ACA的后面和右面展開(kāi)，如圖：

|A"+|Pq|的最小值為|AG|=7^C2+C,C2=2及，B錯(cuò)；

對(duì)于C,因?yàn)辄c(diǎn)尸滿足CP=/IC￡>+〃CG,所以點(diǎn)尸在平面CDRG內(nèi)，

，平面CDD,C,,連接G2，則NgPC,即為gP與平面CDDg所成角，

若&P與平面8RG所成角為:，則tan/耳。G=券=1，所以￡尸=用。1=1,

4。廠

即點(diǎn)尸的軌跡是以C1為圓心，以1為半徑的1個(gè)圓，所以P點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為三，c正確;

42

對(duì)于D,當(dāng)〃=1時(shí)，點(diǎn)「在弓。上，且=

過(guò)點(diǎn)P作PQHCD、交C。于點(diǎn)Q,則PQHA.B,所以|PQ|=A\CD.\

所以四邊形4PQB為平面4PB截此正四棱柱所得截面，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,則根據(jù)題意可得:

4(0,0,2),8(1,0,0),P(l—4,1,2),

2

所以4戶=(1一;M,0)，A月=(1,0,-2)，\P-\B=l-2,|^p|=A/(1-2)+1,|^B|=45,

???點(diǎn)P到直線A產(chǎn)的距離為

dH+i—(曷)書(shū)-疔+1

1I"J

所以四邊形APQB的面積

S=t(|4M+|PQ|)-d=哼(l+>l)Jt(l_/l『+]=^Jt(l_/l)2(l+/l)2+(+/l)2

4s,,、)43cQ

令/(4)=g(l—兄)(1+4)+(1+兄)=g/V+22+w(。<4<1)，

所以當(dāng)0W4W1時(shí)，r(2)>0,/(丸)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)4=1時(shí)/(丸)取得最大值，此時(shí)截面面積最大為6，D正確.

故選：ACD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)4〃的本題取值得到點(diǎn)P的位置，進(jìn)而結(jié)合選項(xiàng)轉(zhuǎn)化相應(yīng)問(wèn)

題，然后利用相關(guān)知識(shí)解答即得.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

2023

13.已知定義在R上的偶函數(shù)/(x),滿足/(x+2)=-/"),若Z/(左)=—1,則/⑼的值為

k=X

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)y（x+2）=—"X）得”X）的周期為4,且〃1）+/（2）+〃3）+/（4）=0,再由

2023

Z/（%）=-i可得答案.

k=l

【詳解】因?yàn)?（%+2）=—/（力，所以f（x+4）=—/（x+2）=〃x）,所以/（X）的周期為4,

所以〃2）=-〃0）,/（3）=-/（1）,/（4）=-/（2）=/（0）,

即/⑴+〃2）+/（3）+〃4）=〃1）—〃0）-〃1）+〃0）=0,

2023

若￡/（女）=一1,則/⑴+7（2）+/⑶+/（4）++/（2023）=-1,

k=\

即505x[/⑴+〃2）+〃3）+/（4）]+川）+/（2）+〃3）=—1,

可得/（1）+/（2）+/（3）=/（1）—f（0）—/（1）=-1,所以/（0）=1.

故答案為：1.

14.設(shè)拋物線6':?2=2。:（5>0）的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)。（〃,0）,過(guò)點(diǎn)尸的直線交C于M,N兩點(diǎn)，直線MD垂

直x軸，則|NF|=.

3

【答案】-

2

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線定義求出〃=2,再設(shè)直線MN的方程為x-l=my,得到韋達(dá)定理式，求出N點(diǎn)橫

坐標(biāo)，再利用拋物線定義即可求出|N尸|的長(zhǎng).

【詳解】由題意得因?yàn)橹本€垂直于x軸,準(zhǔn)線方程為尤=/,

所以M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為"，設(shè)M（4y）,N（9,%），

根據(jù)拋物線的定義知|叱|=玉+g〃=3,解得p=2,

則C：V=4x,則尸（1,0）,可設(shè)直線MN的方程為=

聯(lián)立拋物線方程有《2"可得丁-4?少-4=0,

y=4x

2

A=16/??+16>0,yjy2=-4,則(y%)?=16xIx2=16,

1IQ

則32%=16,解得％2=5,則|N丹=々+勺5+1=不

3

故答案為：一.

2

15.若曲線、=依一(&<0)與曲線y=e'有兩條公切線，則％的值為.

【答案】」

e

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別寫(xiě)出兩曲線的切線方程，讓兩切線方程的系數(shù)相等，得到方程組，

消去一個(gè)變量后，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)，作出圖象，數(shù)形

結(jié)合求解即可.

k

【詳解】令/(1)=丘7(左<0),g(x)=e*,則/'(x)=—g'(x)=e*,

k2k

設(shè)Ag,"%)),則曲線y=f(x)在A處切線為y-/(xJ=/'(xJ(x-%)0y=-FX+—,

X]x]

設(shè)B(w，g(%)),則曲線y=g(x)在B處切線為

y—g(W)=g'(/)(AX2)oy=e-x+(l-/)e-,

k

-7=ex'：

由題意V,，消去.得=

竺=(12戶

.X1

由題意，方程-4%=。一xYe、有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

令(p(x)=(l-x)2ex,則(pf(x)=(x2一l)e'=(%-l)(x+l)eA,

當(dāng)xv—1時(shí)，d(x)>0,*(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)一1<X<1時(shí)，"(x)<()，9(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x>l時(shí)，。'(幻>0,。(幻單調(diào)遞增，

4

故當(dāng)x=—1時(shí)，e(x)取極大值8(—1)=—；當(dāng)x=l時(shí)，9(X)取極小值。⑴=0,

e

又當(dāng)xH1時(shí)。(外>0,根據(jù)以上信息作出<p(x)的大致圖象，

41

由圖可知當(dāng)-4%=一,即％=——時(shí)，直線y=T々與0(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，從而方程

ee

TZ=(l—x)2e”有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

所以，曲線y=笈T(A<0)與曲線y=e'有兩條公切線時(shí)，化的值為-1.

e

故答案為：-1.

e

16.如圖，某數(shù)陣滿足：每一行從左到右成等差數(shù)列，每一列從上到下成公比相同的等比數(shù)列，數(shù)陣中各

項(xiàng)均為正數(shù)，4.2=3,。2,3=1°，。3.4=04、%1，則%,"=；在數(shù)列｛4.1｝中的任意W.I與4+1.1

兩項(xiàng)之間,都插入左9GN*)個(gè)相同的數(shù)(一1)"|k,組成數(shù)列｛&｝,記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為7；,則(°=

a\,2"1,3…a\,n…

“2」。2,2"2,3…a2,n",

????????????

aa

??,1?,24,3…n.n…

【答案】①.(2〃—1)2'T②.2036

【解析】

【分析】設(shè)第一行公差為"，各列的公比為夕且4*0,結(jié)合已知條件求得d=q=2,即可寫(xiě)出“通項(xiàng)

公式，再根據(jù)題意確定｛%｝前70項(xiàng)的組成，應(yīng)用分組求和、等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式求和即可.

【詳解】設(shè)第一行公差為d，各列公比為夕且4#。，且4.2=3,

z

則%=(3+d)q=10,%=(3-d)q>4=3+2J,a34=(3+2d')q,

所以(3+2(14=(3+2d)(3-d)q2,則2d?-d-6=(2d+3)(d-2)=0,

由各項(xiàng)均為正數(shù)，故d=2,則。2,3=5夕=10,即q=2,

綜上，a]n=a[2+2(n-2)=2n-1,故=%"q"T=(2“_1>2"T,

由上，｛%｝前〃項(xiàng)為%,i，1，%」9—2,—2,，3,3,3,44.1，…，"*+ij，且4,i—1，

故在出+u之前共有人+k(]+k)=項(xiàng)，

22

8+弘川+弘

4=10則勺蘭=65<70,后=11則^^=77>70,

22

綜上,{%}前70項(xiàng)為q」,1,心」，-2,-2,生.1，3,3,3,a41,,,11,11,11,11,

1-2"

T=--------+1+2x(-2)+3x3+4x(-4)+...+10x(-10)4-4x11

n1—2

=2"-1+1-4+9-16+25-36+49-64+81-100+44=2036.

故答案為：(2?-1)-2,-1,2036

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用I等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式求行列間的公差、公比，確定行列通項(xiàng)公式為關(guān)鍵.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.在ABC中，AB=4,。為A3中點(diǎn)，C0=J7.

(1)若BC=3,求的面積；

(2)若N」BAC=2NACD,求AC的長(zhǎng).

【答案】⑴36

⑵-

2

【解析】

【分析】(1)在△BCD中，先利用余弦定理求出角8,再根據(jù)三角形的面積公式即可得解；

(2)在ACD中，先利用正弦定理及二倍角的正弦公式求出/AC。及/84C,再利用正弦定理求解即

可.

【小問(wèn)1詳解】

在△38中，BD=2,BC=3,CD=#i，

由余弦定理可知8s人%*4+9-7_1

2x3x22

因?yàn)?<3<兀，所以sinB=^^，

2

所以SA8c=gABx3CxsinB=30；

【小問(wèn)2詳解】

在，AC。中，設(shè)NAC￡>=e,N3AC=2。,

則由正弦定理一空=強(qiáng)，

sm26sin。

即一也一=—,得cose=也,?.?。€（0,兀），所以sind=g,

2sin6,cossin（944

sin2。=2sin9cos。=----,cos26-2cos2^-1=——>

88

所以NADC=jt-e—28,

er-.q...?.I_3幣\/l139

所以sinZ.ADC=sin（6+2。）=-----x-^―——x—=一，

'7848416

18.已知數(shù)列{a”},q=l,/2??+1-（n+l）a?=1.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

（2）若數(shù)列｛"｝滿足d=sin+cos（m,）,求數(shù)列也｝的前2〃項(xiàng)和J

【答案】（I）??=2/1-1

（2）-2n

【解析】

【分析】（1）先把題干條件等價(jià)變成--——.然后用累加法進(jìn)行求解;

n+1nnn+l

（2）結(jié)合特殊的三角函數(shù)值，利用分組求和進(jìn)行求解.

【小問(wèn)1詳解】

/、an+\a“111

由％L（〃+1）%=1得，商一丁=；^=丁於，

-…?0a凡aa111111

所以〃22時(shí)，--7-----1------------FH---lt-------tl-}--=--------1---------F?H------------

2132nn-11223n-\n

故一^=1—>又％=1,則當(dāng)〃=1時(shí)，4=1成立,

n1n

所以，an=

【小問(wèn)2詳解】

(/(2〃+l))+cos(7t(2〃-l))=cosmt-cos2〃兀,

由（1）知，bn=sin

所以，￡“=4+.+,,?+）〃

=cos7i+cos27rH----Fcos（2〃-1）兀+cos2/譏-（cos2兀+cos4兀++cos（4〃一2）兀+cos4〃兀）,

因?yàn)閏os（2〃-1）兀+cos2/m=-cos2/譏+cos2rnt=0,cos2im=1

于是[cos兀+cos2兀]+???+[cos（2〃-1）兀+cos2/m]=0,

cos2兀+cos4兀++cos（4n-2）兀+cos4ml=2n

所以，丁2n=?

故數(shù)歹U也｝的前2〃項(xiàng)和為一2〃.

19.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)袋子，每個(gè)袋子中均裝有大小、形狀、質(zhì)地完全相同的2個(gè)黑球和1個(gè)紅球，若每次分

別從兩個(gè)袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球互相交換后放袋子中，重復(fù)進(jìn)行〃（〃eN*）次此操作.記第〃次操作后，甲

袋子中紅球的個(gè)數(shù)為X“.

（1）求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

（2）求第〃次操作后，甲袋子中恰有1個(gè)紅球的概率《.

【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，E（Xj=l

【解析】

【分析】(1)由題意可知，X1的所有可能取值為0、1、2,計(jì)算出隨機(jī)變量X1在不同取值下的概率，可

得出隨機(jī)變量X1的分布列，進(jìn)而可求得E(Xj的值：

(2)由已知條件推導(dǎo)得出P(X“+|=1)=|-1P(X“=1),可得出數(shù)列｛P(X“=1)—1｝為等比數(shù)列，

確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得P(X“=1)的表達(dá)式，即介的表達(dá)式.

【小問(wèn)1詳解】

由題知，的所有可能取值為0、1、2,

/八、122D/v22115D/vQ212

PD(Xv.=0)=-x-=-,尸(X1=1)=—x-+-x-=—，P(X.=2)=-x-=-,

v1,339'733339',339

所以，X1的分布列為

X012

252

P

999

252

所以，的數(shù)學(xué)期望E(Xj=0xg+lxj+2x3=l.

【小問(wèn)2詳解】

由題知，

P-=（lx汐（X“=0）+仔、:+!》因=1）+信x1p（X,=2）

又P（X.=0）+P（X“=l）+P（X“=2）=l,

所以，尸（X,,+I=l）=弓［1—P（X"=1）-P（X“=2）］+，P（X"=1）+,P（X,=2）,

3J

21

整理得，P（X?=1）=---P（X,,=1）,

+13y

31「3-

所以，P（X“M=I）-『-3P（X,,=I）-三，

JVJ

又因?yàn)镻(X1=l)_g=_城，所以，數(shù)列1p(X“=l)3]?1

是首項(xiàng)為-石，公比為-§的等比數(shù)列，

所以，p(x.=l)—白弓,

所以，P(x.=l)g(jj+|,即k|x[g"3

5

20.如圖，在」WC中，ZABC=90°,BC=2,ZACB=60°,E為中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作垂直AC于

D,將VA0E沿EO翻折，使得面4把上面88￡,點(diǎn)M是棱AC上一點(diǎn)，且3M//面ADE.

A4

51--------XCB匕-----------

、qAM.一

(1)求----的值；

MC

(2)求二面角M—BE-C的余弦值.

3

【答案】(1)-

2

29

【解析】

【分析】(1)作BQ垂直CO于點(diǎn)Q，連接QM,然后證明面BQM//面A0E,利用面面垂直性質(zhì)定理，

結(jié)合已知可得；

(2)以。為原點(diǎn)，以?！?OC,ZM所在直線分別為％)，，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求解可得.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)槊?)￡_1面8。。后，面AOE湎BCDE=DE

由題意可知，AD±DE,CDLDE,所以NA￡)C=9()。，

過(guò)點(diǎn)8作BQ垂直CD于點(diǎn)。，連接QM,

A

因?yàn)锽Q//DE,BQ<z面ADE,DEu面ADE,

所以BQ//面ADE,

又因?yàn)?Af//面BM=B,BQ,8Mu面ADE，

所以，面BQM//面AT史，

又因?yàn)槊?QM面4DC=QM,面ADE面ADC=A。,

所以，AD//QM.

因?yàn)锽C=2,NACB=60。，所以，CQ=1,

在折疊前的圖形中，AC=—^=4,所以AQ=3,

cos60

3

易知。為AQ的中點(diǎn)，所以

DQ3AM_3

所以，者=5'所以'

~MC~2

【小問(wèn)2詳解】

由（1）知，以。為原點(diǎn)，以DE,DC,D4所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

W，o,o,cfo,|,oj,33

則。（0,0,0）,EB別,前0,|《

(2"25

7

易知面8COE的一個(gè)法向量加=(0,0,1),

EB=a，3,o],MB/6,O,一31,

L22JI5)

設(shè)面的法向量為”=（x,y,z）,

區(qū)+為=0

所以,22,令x=g\則y=—i,z=5,故〃=便,-1,5b

百x--z=0

5

5>/29

所以cos〈〃z,n)=?:?

\fn\\n\29

所以，二面角M—BE—C的余弦值為上叵.

29

21.已知雙曲線C：U=l（a>0力>0）的焦距為4,點(diǎn)（跖1）在C上.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為耳，工，斜率為左小。0）且不過(guò)及的直線/與C交于點(diǎn)若k為

直線，BF1斜率的等差中項(xiàng)，求F2到直線/的距離d的取值范圍.

【答案】（1）—~y2=\

3-

（2）de（l,幣）

【解析】

【分析】（1）將（J81）代入雙曲線方程，結(jié)合己知可解；

（2）設(shè)直線/的方程為》=h+機(jī)，聯(lián)立雙曲線方程消元，韋達(dá)定理結(jié)合左為直線斜率的等差中

項(xiàng)列方程，再由點(diǎn)到直線距離公式即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)（灰」）在C上，所以5-'=1①，

由題意知，2c—4,c—2,

所以〃+》2=4②,

由①②解得/=3,從=1,

2

故雙曲線C的方程為二一y2=1.

3

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)直線/的方程為曠=丘+加，

kx+m

聯(lián)立得《X22］，消>可得，（1-3左2）f-6切a一3（加2+1）=0,

--V

I3-