江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2023屆高三下學(xué)期5月模擬數(shù)學(xué)試題含答案

南京師大附中2023屆高三年級模擬考試

數(shù)學(xué)

2023.5

（總分150分，考試時間120分鐘）

注意事項:

1.本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷.

2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分.

3.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.

第I卷（選擇題共60分）

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1n4zg隹U=ADB={XGN∣X≤6}AC（Q,3）={1,3,5}ImlAl+,-方人物％，、

I.已知全集11J,7l,,則8中兀素個數(shù)為（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

2.已知復(fù)數(shù)z=3+i,則,一3z∣=()

A.√5B.2√5c.√ιoD.2√10

3.將一枚質(zhì)地均勻的骰子投擲兩次，則第一次擲得的點數(shù)能被第二次擲得的點數(shù)整除的概率為（）

4.已知一ABC的邊BC的中點為。，點E在-ABC所在平面內(nèi)，且CQ=3CE-2C4,若

AC=xAB+yBE,則X+丁=()

A.5B.7C.9D.11

5.圓錐曲線具有光學(xué)性質(zhì)，如雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，

反射光線是發(fā)散的，其反向延長線會經(jīng)過雙曲線的另一個焦點，如圖，一鏡面的軸截面圖是一條雙曲線的部

分，AP是它的一條對稱軸，戶是它的一個焦點，一光線從焦點廠發(fā)出，射到鏡面上點B,反射光線是BC,

若NPEβ=120°,?FBC90?,則該雙曲線的離心率等于（）

A.√2B.√5C.√3+lD.

2

6.等比數(shù)列｛α,J的公比為4,前〃項和為S“，貝『07-1”是“對任意的〃∈N*,S1,,S211-S11,

S3,,-S2,構(gòu)成等比數(shù)列的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分條件也不必要條件

A3

7.已知實數(shù)“，人滿足αe"=e2,ln±=Je,其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則加的值為（）

eb

2334

A.eB.eC.2eD.e

8.在三棱錐P—ABC中，PA=PB=PC=I,AB=BC=CA=應(yīng),圓柱體。。在三棱錐尸―A5C內(nèi)

部（包含邊界），且該圓柱體Oa的底面圓0在平面PBC內(nèi)，則當(dāng)該圓柱體。。的體積最大時，圓柱體Oa

的高為（）

A.-B.—C,?D.-

3923

二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）

9.某校對參加高校綜合評價測試的學(xué)生進(jìn)行模擬訓(xùn)練，從中抽出N名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖

如圖所示.已知成績在區(qū)間［90,100］內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為2人.則（）

B.平均分為72,眾數(shù)為75

C.中位數(shù)為75

D.已知該校共IOOo名學(xué)生參加模擬訓(xùn)練，則不低于90分的人數(shù)一定為50人

10.已知函數(shù)/(x)=COS8+0)在一兀,∣?上單調(diào)，且f(χ)的圖象關(guān)于點(-∣?,Cθ對稱，則

()

A./(%)最小正周期為4兀

C.將/(x)的圖象向右平移一個單位長度后對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)

3

D.函數(shù)y=5∕(x)+4在［0,兀］上有且僅有一個零點

11.如圖，由正四棱錐產(chǎn)一ABCD和正方體ABCo-A耳C2組成多面體的所有棱長均為2.則()

A.PA//平面Cg2B.平面PAC_L平面。與2

C.PB與平面CgR所成角的余弦值為逅D.點尸到平面Cg2的距離為獨(dú)上逅

63

12.點P是直線y=3上的一個動點，A,B是圓/+V=4上的兩點.則()

A.存P,A,B,使得NA尸3=90。

B.若Q4,PB均與圓。相切，則弦長AB的最小值為述

3

C.若∕?,PB均與圓。相切，則直線AB經(jīng)過一個定點

7

D.若存在A,B,使得COSNAPB=§,則P點的橫坐標(biāo)的取值范圍是［一3百,3百］

第∏卷(非選擇題共90分)

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知〃eN*，的展開式中存在常數(shù)項,則n的最小值為

14.某班有45名同學(xué)，一次考試后的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布N(80,5?),則理論上在85分到90分的人數(shù)

約是.(按四舍五入法保留整數(shù))

附：P{μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ—2cr≤X<〃+2b)≈0.9545,P{μ—3<τ≤X≤〃+3b)≈

0.9973.

15.已知曲線G"S)=χ2與曲線G：g(%)=〃eNm>0)有且只有一條公切線，則Q=.

16.已知OVaVbV1,設(shè)W(X)=(X-α)'(x-匕)，fk(?)=-—匕(“),其中Z是整數(shù).若對一切攵∈Z,

X-k

y=?Λ(χ)都是區(qū)間(&，+8)上的嚴(yán)格增函數(shù).則?的取值范圍是.

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.已知“、b、C分別為“45。的三個內(nèi)角A、B、C的對邊長，α=2,且S+2)(sinA-sin5)=

C(SinB+sinC).

(1)求角A的值；

(2)求ABC面積的取值范圍.

18.設(shè)Sn為數(shù)歹J｛4｝的前〃項和，已知q=1,且滿足25?=???(?+1).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)設(shè)刀,為數(shù)列也｝的前〃項和，當(dāng)〃≥2時，2=------------------.若對于任意〃∈N*,有［<1，求

an-?'an'an+?

偽的取值范圍.

19.甲，乙，丙三個廠家生產(chǎn)的手機(jī)充電器在某地市場上的占有率分別為25%,35%,40%,其充電器的合

格率分別為70%,75%,80%.

(1)當(dāng)?shù)毓ど藤|(zhì)檢部門隨機(jī)抽取3個手機(jī)充電器，其中由甲廠生產(chǎn)的手機(jī)充電器數(shù)目記為X,求X的概

率分布列，期望和方差：

(2)現(xiàn)從三個廠家生產(chǎn)的手機(jī)充電器中隨機(jī)抽取1個，發(fā)現(xiàn)它是不合格品，求它是由甲廠生產(chǎn)的概率.

20.如圖(1),平面四邊形ABe。由正三角形W和等腰直角三角形BCD組成，其中BQ=2,

ZBDC=QOo.現(xiàn)將三角形A3。繞著3。所在直線翻折到三角形PE)位置(如圖(2)),且滿足平面

PBD，平面PCD.

P

(!)證明：CDJ■平面PSD；

(2)若點。滿足PQ=∕lPθ(∕l∈(g,l[∣,當(dāng)平面BCQ與平面PC。夾角的余弦值為尋時，求;L的

值.

21.已知橢圓q：2+==1(”＞。＞0),橢圓。2：亍+丁=1.點P為橢圓G上的動點，直線0尸與橢

圓C交于A,B兩點，且O4=20P?

(1)求橢圓G標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)以點P為切點作橢圓C2的切線/，/與橢圓C交于C，。兩點，問：四邊形AeBD的面積是否為定

值？若是，求出該定值；若不是，求出面積的取值范圍.

1,3

22.已知函數(shù)/(x)=a?nx-^-x2-(Q+l)x+](αWo).

(1)求函數(shù)/*)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)Q=I時，若/(h)+/(工2)=°，求證：X+/≥2;

(3)求證：對于任意〃∈N*都有21n(〃+l)+Zjd＞n

南京師大附中2023屆高三年級模擬考試

數(shù)學(xué)

2023.5

(總分150分，考試時間120分鐘)

注意事項：

1.本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷.

2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分.

3.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試

卷及答題卡上.

第I卷(選擇題共60分)

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四

個選項中，只有一項是符合題目要求的)

I.已知全集U=AU3={xeN∣x≤6},An(?,B)={1,3,5),則8中元素個數(shù)為()

A.3個B.4個C.5個D.6個

【答案】B

【解析】：U=A6={0,l,2,3,4,5,6,},AC(Q/)={1,3,5},.?Q,B=[1,3,5},

(1,3,5}?A,

.?.6={0,2,4,6},B中元素個數(shù)為4個，故選：B.

2.已知復(fù)數(shù)z=3+i,則歸-3Zi=()

A.√5B.2√5C.√10D.2√10

【答案】C

【解析】因為z=3+i，所以z2=(3+i)2=9+i2+6i=8+6i,

z2-3z=8+6i-3(3+i)=-l+3i,

故卜2—3z|=J(—1)+32=√iU,故選：c.

3.將一枚質(zhì)地均勻的骰子投擲兩次，則第一次擲得的點數(shù)能被第二次擲得的點數(shù)整除的概

率為()

【答案】A

【解析】將一枚質(zhì)地均勻的骰子投擲兩次，該試驗的樣本空間

Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共36種;

設(shè)事件A=”第一次擲得的點數(shù)能被第二次擲得的點數(shù)整除”，

IjiIJA={(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,3),(4,1),(4,2),(4,4),(5,1),(5,5),(6,1),(6,2),(6,3),(6,6))

共14種，

1477

所以P(A)=∕=7π,則第一次擲得的點數(shù)能被第二次擲得的點數(shù)整除的概率”，故

361818

選：A.

4.已知ABC的邊BC的中點為。，點E在ABe所在平面內(nèi)，且CQ=3CE_2C4，

若AC=XA8+)歸百，則x+>=()

A.5B.7C.9D.11

【答案】D

【解析】因為CQ=3C￡—2C4,邊BC的中點為。，所以;C3=3(BE—3C)+2AC,

因為LC6=3BE-3BC+2AC，所以』8。=3BE+2AC，

22

所以mBC=；(AC_AB)=3BE+2AC,所以54C-5AB=66E+4AC，即

5AB+6BE^AC'

因為AC=XAB+)歸￡,所以χ=5,>=6,故x+y=ll,故選：D.

5.圓錐曲線具有光學(xué)性質(zhì)，如雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過

雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，其反向延長線會經(jīng)過雙曲線的另一個焦點，如圖，一鏡

面的軸截面圖是一條雙曲線的部分，AP是它的一條對稱軸，戶是它的一個焦點，一光線從

焦點尸發(fā)出，射到鏡面上點B,反射光線是5C,若NPFB=I20°,2FBC90?，則該

雙曲線的離心率等于()

A.√2B.√5C.√3+lD.

√5+l

2

【答案】C

【解析】在平面直角坐標(biāo)系中，如圖,

反射光線BC的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點F1,

由NPFB=I20°,?FBC90?,可得NBW=60。，NF%=90°.

記雙曲線的焦距為2c,長軸長為24,

在直角三角形耳8/中，忸用=閨尸∣sin6θo=Gc,∣BF∣=∣F與ICOS60。=。，

由雙曲線的定義，可得|他|一忸F∣=24,所以Gc-c=2α,即（百一l）c=2α,

2r

所以離心率6=—c=7一=λ∕3+l,故選：C

a√3-l

6.等比數(shù)列｛%｝的公比為夕，前〃項和為S,,,貝『qw-1”是“對任意的"∈N*,S11,

S2,l-Sn,S?,-S2,,構(gòu)成等比數(shù)列的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分條件也不必要條件

【答案】C

【解析】先證明：若4?！?,則對任意的〃eN*,Sn,S2n-Sn,53,一52”構(gòu)成等比數(shù)歹|」.

a

若1,則S"=α]+g++n>

ssa+a+

2n-,,=n+ln+2++%/++《“”=⑷+生++%）/'，

^3n_S2n=a2n+?+β2n+2^l^,+%n=a?ci~"+%q~"++=（4+。2++4）?產(chǎn),

可得對任意的〃∈N*,Sn,S2tl-Sll,S3,,-S2“構(gòu)成等比數(shù)列，公比為

再證明：若對任意的"∈N*,S“,S2,,-Sn,S3,,-S2“構(gòu)成等比數(shù)列，則“H—l.

若4=一1,則〃為偶數(shù)時，S,,=0,此時S“，S2n-Sn,Sa,,-S2,,不能構(gòu)成等比數(shù)列，

與已知矛盾，故成立，故選：C.

h??

7.已知實數(shù)滿足.e"=e2,ln±=±,其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則就的值為()

eh

2334

A.eB.eC.2eD.e

【答案】B

【解析】由αe"=e2可得，a=e2-a，即Ina=2—。，也即2—a—lnQ=O,

由1∏2=∑-可得b(lnb-l)=e3,所以lnh+In(In。-1)=3,即

eh

2-(Inh-I)-In(Inh-I)=O,

構(gòu)造函數(shù)“X）=2—X—lnx,/'（X）=—1—4<0在（0,+8）恒成立，

所以函數(shù)/（x）=2-X-InX在定義域（0,+8）上單調(diào)遞減，

所以/（a）=/（In8一I）=O=a=lnZ?—l,即a+l=ln",

又因為Ina=2-a,所以2-lna+l=ln∕?,所以Inah=3,解得ab=e',故選:B.

8.在三棱錐產(chǎn)一ABC中，PA=PB=PC=I,AB=BC=CA=O,圓柱體。。在三棱

錐尸一ABC內(nèi)部（包含邊界），且該圓柱體。。的底面圓。在平面PBC內(nèi)，則當(dāng)該圓柱體

Oa的體積最大時，圓柱體Oa的高為（）

?1Rmc±D2

3923

【答案】A

【解析】設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r,圓柱體。。的高為/?.

TI是圓柱上底面與三棱錐側(cè)面ABC的切點,T是連接直線ATi與棱錐下底面的交點，

片是圓柱上底面所在平面與A《的交點，PB=PC=I,BC=0,??.PT=上,

2

APxKr+V2r

則由知工與相似，可得而=k=近,可得,可得/z=l—（2+⑹

?

內(nèi)接圓柱體積V=兀，"=兀，1-Q+J∑）r=兀/一（2+J∑）τtr3.

6+3√2]

因為丫'=2兀八一3(2+夜)71：，=2兀r1一----r

2)

/2、

r∈0,,V'>O,V單調(diào)遞增,r∈-----尸,1,V'<0,V單調(diào)遞減,

6+3√2)

所以，=6+；8’“有最大值'此時R+&b21

3(2+√2)3，故選:A?

二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四

個選項中，有多項符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有

選錯的得0分)

9.某校對參加高校綜合評價測試的學(xué)生進(jìn)行模擬訓(xùn)練，從中抽出N名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績的

頻率分布直方圖如圖所示.已知成績在區(qū)間[90,100]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為2人.則()

B.平均分為72,眾數(shù)為75

C.中位數(shù)為75

D.已知該校共Iooo名學(xué)生參加模擬訓(xùn)練，則不低于90分的人數(shù)一定為50人

【答案】AB

【解析】①由圖可知,.{40,50)=005,7(50.60)=lθ?,.^60,70)=θ?2,

彳70,80)="3,彳80,90)=0.25,/[90,∣00]=005,

由頻率之和為1可得K)X=O.15,故X=O.015；

2

②因為??㈣=W=°?°5,所以N=40；

③由圖可知，眾數(shù)為乃；

④平均數(shù)為45x0.05+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.25+95x0.05=72；

⑤/［40,50)+?60)+?70)=θ?4，所以中位數(shù)位于區(qū)間［70,80),

設(shè)中位數(shù)為。，則3—70)x0.03=0.1,解得a=73.33；

綜上所述，AB正確，而C錯誤；

樣本可以估計總體，但是不能通過樣本直接確定總體，樣本與總體之間總是存在一定的偏

差，故選項D錯誤，故選：AB

(2兀、「兀

10.已知函數(shù)/(x)=COSl<yχ+3-)(/>0)在一π，］?上單調(diào)，且/(χ)的圖象關(guān)于點

,?j,θ)對稱，則()

A./(χ)的最小正周期為4兀

C.將/(x)的圖象向右平移丁個單位長度后對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)

D.函數(shù)y=5∕(x)+4在［0,兀］上有且僅有一個零點

【答案】ACD

(2九、π

【解析】因為函數(shù)/(X)=COS［ftλx+石J(<υ>O)在一兀,耳上單調(diào)，

TTt3JrTT?TT2

所以/(X)的最小正周期T滿足一≥一一(一兀)=——，即一≥-,所以0<①≤-.

222ω23

因為/(X)的圖象關(guān)于點(一對稱，

”，，Tr2兀7T.1?,

所以---co~?-----=—Fkκ,kwZ,i?69=—3k,kEZ,

3322

由O<0=L_3女≤2,得一-!-≤AΓ<」,因為左eZ,所以Z=0,ω^~.

231862

所以/(x)=?θs(?X+~γ).

_2π.

/=—=4兀

對于A,/(x)的最小正周期為1,故A正確；

2

r?十//2兀、.12π2π,7π2π

對于B,f(—)=cos(-×---1------)=COS—=-cos—,

929399

10兀110兀2兀Hπ2πr(2π^(10π

/(_)=cos(-×—+_)=cos?=-cos—,所以/[7)=/[可

正確；

對于C,將/(X)的圖象向右平移一個單位長度后對應(yīng)的函數(shù)為

3

]4τr2兀]

g(x)=cosj(九一一)+—]=COS—尤為偶函數(shù)，故C正確;

2332

12π12π4

對于D,y=5∕(x)+4=5cos(-%+—)+4,令y=0,得COS(,1+與)=一

?127rqe/門2兀，,7兀

令r=—x+—,由0≤x≤兀，得—≤t≤—,

2336

作出函數(shù)y=COS/M?wr≤?]與直線y=_±的圖象如圖:

4

與直線?=--的圖象有且只有一個交點,

所以函數(shù)y=5∕(x)+4在［0,πl(wèi)上有且僅有一個零點，故D正確.

故選：ACD

11.如圖，由正四棱錐P—ABCD和正方體ABCr)-AB∣G"組成的多面體的所有棱長均

為2.則()

A.PA//平面CBQ∣B.平面PAC，平面CBQ∣

C.PB與平面CqA所成角的余弦值為逅D.點P到平面CBQi的距離為

6

2√3+√6

3

【答案】BD

【解析】以2為原點，以。A,qc∣,A。所在直線為X軸，y軸，Z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系，如圖所示，

連接3。，與AC交點為E，連接PE,則PEJ_平面ABCQ，

因為正四棱錐產(chǎn)一ABCD和正方體ABC。-ABCQl的所有棱長均為2,

所以8D=4C=2&，AE=gAC=J^，點E坐標(biāo)為(1,1,2),

所以PE=√AP2-AE2=722-(√2)2=√2，

對于A：AP=(-1,1,√2),D1B1=(2,2,0),D1C=(0,2,2),

設(shè)平面CgR的一個法向量為,T1=(x,y,z),

DIBlnl=02x+2y=0

則〈即《取X=I得4=(1,-1,1),

2y+2z=0

D1CH1=0

因為AP?n,=-l-l+0≠O,所以P4與平面C4A不平行，故A錯誤;

對于B：由A得平面CAA的一個法向量為4=(1,-1,1).

AC=(-2,2,0),AP-(-1,1,V∑).設(shè)平面APe的一個法向量為％=(a,b,c)，

AC"=O-2a+2b=0

則《,即e"怎=。'取E得巧=(U'。)，

AP%=O

因πn2=l-l=O,所以平面~4C_L平面Cg2,故B正確;

對于C：由A得平面Cg2的一個法向量為4=(1,-1,1),

BPs,設(shè)P5與平面CBa所成角為氏則

卜1+1+碼_8

sinΘ=∣cos<BP,n>|

i√3×2—6

所以ICoSel=Jl—sin?6=型,故C錯誤；

對于D：由A得平面Cg。的一個法向量為HI=（1,-1,1）,

因為CP=（I,-1,血），所以點P到平面CBlD1的距離為

CP?/_1+1+0_指+2百

故D正確;

|?i|G3

故選：BD.

12.點P是直線y=3上的一個動點，A.B是圓f+y2=4上的兩點.則（)

A.存在P,A,B,使得N4∕>B=90°

B.若Q4,PB均與圓。相切，則弦長AB的最小值為述

3

C.若∕?,95均與圓。相切，則直線AB經(jīng)過一個定點

D.若存在A,B,使得CoSNAP5=5,則P點的橫坐標(biāo)的取值范圍是[-3百,36]

【答案】BCD

【解析】由圖可知，當(dāng)直線B4,PB與圓相切且點P在y軸上時最大，

9]

此時DH=3,∣M=2,SinZAPo=§,cosZAPB=1-2sin2ZAPO=->O-

所以最大時是銳角，故A錯；

則當(dāng)IPol最小時，弦長A6最小，∣PQnhι=3,所以IABLn=4/1—1=手，故B正

確；

設(shè)點P（l,3）,A,8是以Po為直徑的圓上的兩點，圓的方程為

即V+/-奴一3丁=0①，又A,8是圓/+y2=4②上的兩點，

所以直線AB的方程為②-①：ax+3y=4,過定點（θ,g）,故C正確；

77

若存在A,8,使得CoSNAPB=§,則CoSNAPBmm≤j,

當(dāng)直線B4，PB與圓相切時，/AP8最大，對應(yīng)的余弦值最小，

71

當(dāng)直線P4，PB與圓相切，且COSNAPB=一時，SinNA尸。=耳，IPq=6,

因為IPa=J/+9,所以α=±3λ∕L則α∈[-36,3λ∕5],故D正確，故選：BCD.

第∏卷（非選擇題共90分）

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知九∈N*(2Λ^?1的展開式中存在常數(shù)項，則〃的最小值為.

【答案】4

解析】易得2%—的通項

47-

=CW=C-2,,-r?(-l)r?x"1(0≤r≤n,r∈N),

Tr+in

4r3〃

又展開式中存在常數(shù)項，則〃--=0有解，即r=一

34

因為rwN,故一∈N,又"∈N*,

4

故正整數(shù)〃必須是4的整數(shù)倍，故〃的最小值4.

14.某班有45名同學(xué)，一次考試后的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布N（80,52）,則理論上在85分

到90分的人數(shù)約是.（按四舍五入法保留整數(shù)）

附：P{μ-σ<X≤μ+σ）≈0.6827,P（μ-2σ<X<μ+2σ）≈0.9545,

P(χ∕-3σ≤X≤∕∕+3σ)≈0.9973.

【答案】6

【解析】由題意知〃=80,σ?=5,

b,/、P(70<X≤90)-P(75≤X<85)0,9545-0.6827

所以P(85<X≤90)=」----------------------------L≈2=01359

所以理論上在85分到90分的人數(shù)約是45x0.1359*6.

15.已知曲線G：/(X)=X2與曲線G：g(x)=ae'"(a>0)有且只有一條公切線，貝IJa=

4

【答案】—

e^

【解析】設(shè)曲線y=∕(χ)在χ=χ∣處的切線與曲線y=g(χ)相切于χ=%2處，

/'(X)=2x,故曲線y=f(χ)在x=%處的切線方程為y-xj=2x∣(x-x∣),整理得

y=2xtx-x^.

g'(x)=αeAI故曲線y=g(x)在x=X2處切線方程為>-αe*2+∣=αe*+∣(x-x2),

x2+lx2+

整理得y=aex-ae'(x2-iγ

2%=αe'2τ(1)

-1)⑵

由(1)再結(jié)合α>0知為>(),將⑴代入⑵，得一X；=-2玉(々一1)，解得菁=2(々-1)且

χ2>i,

將％=2(々-1)代入⑴，解得4(Λ2-l)="e"+∣且々>1，

即a=4('：°且％,>1,令f=x,+l,則a=，(？,t>2.

e'2+l^'e,

令/7?)=?,=

ele?

4

則〃?)在區(qū)間(2,3)單調(diào)遞增，在區(qū)間(3,+∞)單調(diào)遞減，且〃(3)=m，

又兩曲線有且只有一條公切線，所以α=4"—2)只有一個根,由圖和。>0知。=&.

e,e

16.已知O<a<b<l,設(shè)W(X)=(X-α)3(x-b),χ(χ)=?E?l,其中々是整數(shù).若

對一切左eZ,y=A(x)都是區(qū)間(&,+8)上的嚴(yán)格增函數(shù).則!■的取值范圍是

【答案】(ι,3］.

［解析］W'(x)=3(x-1)2(X-Z?)+(X-a)，=(x-4)2(3x-3h+x-α)=(4X-〃一3方),

令g(x)=W'(x)=(x-α)2(4X-Q-3〃)，

則g'(x)=2(x-Q)(4x-a-36)+4(x-Q)2=6(x-α)(2x-α-b),

因為0vα<bvl,所以"+”>〃,

2

令g'(x)>O得或x<4,令g'(x)<O得，a<x<^-^-,

故W(X)在(-∞,α)和(W?^,+0θ］上單調(diào)遞增，在(a,a；上單調(diào)遞減,

因為W'(α)=0,W'［±^)=0,其中

令W'(x)≤0,解得x≤誓2,令W'(x)>0,解得

故W(X)在(一?o,g()上單調(diào)遞減，在(q詈,+8)上單調(diào)遞增，

且W(X)在(YO,a)和,+℃)內(nèi)下凹，在a,4：6］內(nèi)上凸,

人(x)的幾何意義是點(NW(A))和點(x,w(X))連線的斜率，

當(dāng)W僅)在化+8)內(nèi)下凹時，可滿足y=￡(X)都是區(qū)間僅，+8)上嚴(yán)格遞增，

因此當(dāng)上Nl時，￡(x)嚴(yán)格遞增，

而當(dāng)Z≤O時，唯一可能使A(X)不嚴(yán)格遞增的區(qū)間可能在產(chǎn)，

曲線C4須在直線84下方，曲線AO須在直線區(qū)4上方，

故需使點(0,W(C))),(-1,W(-1)),都在X=審處的切線上或切線上方即可,

從圖象可知，只需(0,W(O))在X=等處的切線上或切線上方即可，

w"H等ThHT9二

故曲線在X=等處的切線方程為y+(一I=—等

令X=0,化簡得y=-2(α-bY(3α+b),

W(0)=ct,b,因此一，(a-A?y(3α+A>)≥α%,即(2一1\3化+]≤16?2

a√)a

令t=2>l,則(/-l)3(∕+3)≤16f,即(，一1戶<16(1—3

7+3

其中(3-1)'=16'-j∣，j=8,畫出y=(r-l)3及y=16∣1-的圖象，如下:

故答案為：(1,可

【點睛】方法點睛：若函數(shù)在區(qū)間/上有定義，若/"(x)20,則稱/(x)為在區(qū)間/上的

凸函數(shù)，反之則稱/(χ)為在區(qū)間/上的凹函數(shù),

其性質(zhì)為：若/(x)為在區(qū)間/上的凸函數(shù)，則V%,X2,X5,,Ze/，則

%+々+芻++當(dāng)≤/(xJ+/(九2)++/(X")

,反之,

Iln

>/(西)+/(々)++〃玉)

Xj+X2+J3++'

n√n

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或

演算步驟)

17.已知。、b、C分別為的三個內(nèi)角A、B、C的對邊長，α=2,

且S+2)(sinA-sinB)=c(sinB+sinC).

(I)求角A的值;

(2)求-ABC面積的取值范圍.

【解析】⑴由條件,可得(4+α)(sinA-SinB)=C(SinB+sinC),

由正弦定理，得S+α)(α-力=Cs+c),所以從+c2-q2=4c,

所以CoSA="+C:"-=」,因為AG(O,π),所以A="

2bc23

(2)由正弦定理，可知一?a4>∕3

sinBsinCsinA3

S=4CSinA=—SinB--SinCsinA=—sinBsinC

22333

2sinBcosB--^^-sin2B

sinBsin—cosB-cos—sinB

I333

=sin2B--(l-cos2B)=-f—sin2B+-l-cos2B]--=—sinf2B+-^--

33(22J33V6；3

18.設(shè)S,,為數(shù)列｛4｝的前〃項和，已知q=l,且滿足2S,=α,?("+l).

(I)求數(shù)列｛α,,｝的通項公式；

(2)設(shè)7；為數(shù)列也｝的前〃項和，當(dāng)〃≥2時，H=-；；—.若對于任意

""-1''it+1

〃eN*，有Z,<1，求偽的取值范圍.

[解析](I)?.2S,,=《,?(〃+1),.?.2S,τ=an_}-n(n≥2),

2an=(n+l)αn-nan_},nan_}=(n-l)απ(n>2),

.?.%=?ti=..?=幺=1("N2),.?.當(dāng)〃≥2時，an=n.

nn-11

當(dāng)〃=1時，也符合上式，/.all=n.

,1?11

(2)b=----------------=------------------------,

ιl(〃-1)〃(〃+1)2|_(n-l)nn(n+l)

)+%2χ133x14)+…+!

F="??Ξ?2(n-l)nn(n+l)

,111,.11,.八，3,1

=Z?]-!------------------=瓦H-------------------<1,??4<;+~~一-

211x2H(H+1)J42/1(72+1)42n(n+1)

331

當(dāng)4≤*,滿足伉7J+而訪

3

當(dāng)aA,時，存在〃=+1,(其中，［χ］表示不超過X的最大整數(shù)),

使得〃：>:?,則242+2"θ>%2>∕y

D——O——

14x,4

,313

???4>：+不7-----E，不滿足條件，???4≤'?

42∕jo(no+l)4

19.甲，乙，丙三個廠家生產(chǎn)的手機(jī)充電器在某地市場上的占有率分別為25%,35%,40%,

其充電器的合格率分別為70%,75%,80%.

(1)當(dāng)?shù)毓ど藤|(zhì)檢部門隨機(jī)抽取3個手機(jī)充電器，其中由甲廠生產(chǎn)的手機(jī)充電器數(shù)目記為

X，求X的概率分布列，期望和方差；

(2)現(xiàn)從三個廠家生產(chǎn)手機(jī)充電器中隨機(jī)抽取1個，發(fā)現(xiàn)它是不合格品，求它是由甲廠

生產(chǎn)的概率.

【解析】(1)設(shè)“該手機(jī)充電器由甲廠生產(chǎn)”為事件A,“該手機(jī)充電器由乙廠生產(chǎn)”為事

件8,“該手機(jī)充電器由丙廠生產(chǎn)”為事件C,“該手機(jī)充電器是合格品”為事件。，“該

手機(jī)充電器是不合格品”為事件E，則P(A)=O.25,P(B)=O.35,P(C)=O.4,

P(OlA)=O.7,P(Z>IB)=0.75,P(DIC)=O.8,P(ElA)=O.3,P(ElB)=().25,

P(EIC)=().2,

X的取值為0，1,2,

27?7

312

P(X=O)=(1_0.25)=—,P(X=I)=Ci?0.25?(1-0.25)=—

6464

ɑI

P(X=2)=C3?O.252?(1-0.25)=—,P(X=3)=0.253=—

所以分布列為

X0123

272791

P

64646464

且X~8(3,O25),故E(X)=3?『I了3D(X)=3小if力H記9,

39

答：X的期望是“方差是正

(2)P(E)=P(A)P(E?A)+P(B)P(E∣B)+P(C)P(E∣Q

=0.25X0.3+0.35X0.25+0.4X0.2=0.2425

P(AE)P(A)P(ElA)0.25×0.375030

P(ΔIhJ=______=____________=_________=_____=__

P(E)P(E)0.2425242597

30

答：它是由甲廠生產(chǎn)的概率是一.

97

20.如圖(1),平面四邊形ABeD由正三角形Λβ。和等腰直角三角形Ba)組成，其中

BD=2,ZBDC=90o.現(xiàn)將三角形A或）繞著BD所在直線翻折到三角形PBD位置（如

圖（2））,且滿足平面PBZ）_L平面PCO.

（2）若點Q滿足PQ=TlPo∕l∈（!,l]],當(dāng)平面BCQ與平面PC。夾角的余弦值為

I12JJ

息時，求X的值.

31

【解析】（1）證明：取Po的中點M,連結(jié)BM，在正三角形尸8。中，有

又因為平面PBDJ_平面尸CD，平面P3Oi平面PcD=PD,

3"U平面/5BD,所以,平面Pc7），

又因為CDU平面PCD,所以LCz）,

在等腰直角三角形BCD中，有B"CD,

又因為BM=B,且BDBMU平面尸切），

所以CD_L平面PBD.

（2）取Bo的中點。，連結(jié)PO,在正三角形PBQ中，有POL89,

由（1）可知CDL平面PBQ,又因為POU平面尸應(yīng)），所以PO_LCD,

又因為BOCC￡>=。，且BO,COU平面Ba）,所以PoJ:平面Bc