2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國版文） 第8章 直線、平面平行的判定與性質(zhì)

直線、平面平行的判定與性質(zhì)

【考試要求】1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明.

2.掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)，并會(huì)簡單應(yīng)用.

【知識(shí)梳理】

1.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言

Ha

判定平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直

bua?=a〃a

定理線平行，那么該直線與此平面平行

〃〃一

一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直a//a

性質(zhì)

線的任一平面與此平面的交線與該直aUB>^a//b

定理

線平行aCB=b.

面面,F行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言

aU8、

一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另

判定buB

一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面>=>4〃a

定理

平行a〃a

bIIa>

a//(i]

性質(zhì)如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)

aC\y=a\=^a//b

定理平面相交,那么它們的交線平行

【常用結(jié)論】

(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a邛,則a〃及

(2)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若a〃.，p//y,則a〃了.

(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即bLa,則

(4)若。〃￡,aUa,則〃〃從

【思考辨析)

判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面.(X)

(2)若直線平面a,PJa,則過點(diǎn)P且平行于直線a的直線有無數(shù)條.(X)

(3)若直線aU平面a,直線匕U平面4a//b,則a〃夕.(X)

（4）如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.（V）

【教材改編題】

1.下列說法中，與“直線a〃平面a”等價(jià)的是（）

A.直線a上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面a內(nèi)

B.直線a與平面a內(nèi)的所有直線平行

C.直線a與平面a內(nèi)無數(shù)條直線不相交

D.直線a與平面a內(nèi)的任意一條直線都不相交

答案D

解析因?yàn)閍〃平面a,所以直線a與平面a無交點(diǎn)，因此a和平面a內(nèi)的任意一條直線都

不相交.

2.已知不重合的直線a,b和平面a,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.若?！╝,bua,則a//b

B.若〃〃a,b//a,貝I]a//b

C.若a//b,bUa,貝ija//a

D.若a〃匕,aUa,則b"a或bUa

答案D

解析若〃〃a,bUa,則a〃匕或異面，A錯(cuò);

若a//a,b//a,則?！╞或異面或相交，B錯(cuò);

若a//b,bua,貝?。゛〃a或“Ua,C錯(cuò);

若a〃6,aUa,則?！╝或0Ua,D對.

3.如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFG”為截面，則四邊形EFG”的形狀為

答案平行四邊形

解析平面ABFE//平面DCGH,

又平面EFGHC平面ABFE=EF,

平面EFG/7C平面DCGH=HG,

：.EF//HG.同理EH//FG,

四邊形EFGH是平行四邊形.

?探究核心題型

題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)

命題點(diǎn)1直線與平面平行的判定

例1如圖，在四棱錐尸一A88中，底面ABC。是平行四邊形，E,F分別是8C,的中

點(diǎn)，求證:

⑴PB〃平面ACF；

（2）EF〃平面PAB.

證明（1）如圖，連接BO交AC于0,連接OF,

四邊形ABCD是平行四邊形，

是80的中點(diǎn)，

又?.?尸是PO的中點(diǎn)，

：.OF//PB,

又平面ACEP用平面ACE

〃平面ACF.

⑵取以的中點(diǎn)G,連接GF,BG.

?.?尸是P。的中點(diǎn),

；.GF是△物￡）的中位線，

：.GF^AD,

:底面ABC。是平行四邊形，E是BC的中點(diǎn)，

J.BE^AD,:.GF矮BE,

：.四邊形BEFG是平行四邊形，

J.EF//BG,

又：項(xiàng)過平面BGU平面布8,

...EP〃平面PAB.

命題點(diǎn)2直線與平面平行的性質(zhì)

例2如圖所示，在四棱錐尸一48CO中，四邊形A8CD是平行四邊形，M是PC的中點(diǎn)，在

OM上取一點(diǎn)G,過G和南作平面交8。于點(diǎn)H.

求證：PA//GH.

證明如圖所示，連接AC交BO于點(diǎn)0,連接。M,

四邊形ABCD是平行四邊形，

，。是AC的中點(diǎn)，

又M是PC的中點(diǎn)，

J.PA//OM,

又0MU平面平面8A〃），

以〃平面BMD,

又平面PAHG^平面BMD=GH,

J.PA//GH.

【教師備選】

如圖，四邊形4BC。是矩形，內(nèi)平面4BC￡>,過BC作平面BCFE交AP于點(diǎn)E,交力P于點(diǎn)

F,求證：四邊形BCFE是梯形.

證明?..四邊形ABC。為矩形，

J.BC//AD.

平面%￡),8a平面以。，

，BC〃平面PAD.

:平面BCFEO平面PAD^EF,

BCU平面BCFE,

J.BC//EF.

'：AD=BC,AD^EF,

J.BC^EF,

.,.四邊形BCFE是梯形.

思維升華(1)判斷或證明線面平行的常用方法

①利用線面平行的定義(無公共點(diǎn)).

②利用線面平行的判定定理(“Ga,b^a,a//b^a//a).

③利用面面平行的性質(zhì)(a〃夕，aUa=>a〃夕).

④利用面面平行的性質(zhì)(a〃W，a邛,a//a^a//p).

(2)應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確

定交線.

跟蹤訓(xùn)練I如圖所示，已知四邊形ABC。是正方形，四邊形ACE尸是矩形，例是線段E尸

的中點(diǎn).

(1)求證：4M〃平面BDE；

(2)若平面AOMA平面B￡>E=/,平面ABMC平面試分析/與，"的位置關(guān)系，并證

明你的結(jié)論.

(1)證明如因，記AC與8。的交點(diǎn)為O,連接0E

因?yàn)?。，M分別為AC,EF的中點(diǎn)，四邊形ACEF是矩形，

所以四邊形AOEM是平行四邊形，

所以AA/〃OE.

又因?yàn)?EU平面BDE,AMQ平面BDE,

所以AM〃平面BDE.

(2)解l//m,證明如下:

由⑴知AM〃平面BDE,

又AMU平面平面4OMC平面BOE=/,

所以1//AM,

同理，AM〃平面BDE,

又AMU平面ABM,平面A8MC平面8OE=機(jī)，

所以修〃AM,所以/〃丸

題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)

例3如圖所示，在三棱柱ABC—AIBCI中，過BC的平面與上底面48C1交于G〃(GH與

BiG不重合).

⑴求證：BC//GH；

(2)若E,F,G分別是AB,AC,的中點(diǎn)，求證：平面〃平面BCHG.

證明(1)；在三棱柱A8C—48G中，

平面ABC〃平面AiBiCi,

又\?平面BCHG0平面ABC=BC,

且平面BCHGA平面4BiG=HG,

由面面平行的性質(zhì)定理得BC//GH.

(2)VE,F分別為AB,AC的中點(diǎn),

J.EF//BC,

過平面8CHG,BCU平面BCHG,

〃平面BCHG.

又G,E分別為4由1,AB的中點(diǎn)，A出統(tǒng)AB,

：.A\G統(tǒng)EB,

四邊形4EBG是平行四邊形，：.A\E//GB.

平面8cHG,GBU平面BC7/G,

；.A|E〃平面BCHG.

又：A|ECEF=E,AiE,EFU平面E/溝，

平面E/^i〃平面BCHG.

延伸探究在本例中，若將條件“E,F,G分別是AB,AC,All的中點(diǎn)”變?yōu)椤包c(diǎn)D,D}

An

分別是AC,4G上的點(diǎn)，且平面BGO〃平面A8Qi”，試求皮的值.

解如圖，連接AB交ABi于0,連接ODi.

由平面BCQ〃平面AB\D\,

且平面4BG。平面BCiD=BCi,

平面Ai8C|C平面AB\D\—D\0,

所以BG〃U0,則需1=煞=1.

ZJlCiC/D

-7?A\D\DC

又由處以>n萬3一而，

所以通=1，即反=】?

【教師備選)

如圖，在三棱柱ABC-ASG中，E,F,G分別為BC”AB的中點(diǎn).

⑴求證：平面4GG〃平面8EF；

(2)若平面4GGnBC=",求證：”為BC的中點(diǎn).

證明(1)VE,尸分別為BC,4村的中點(diǎn),

：.EF//A\C\,

；4iGU平面4CG,ERt平面4GG,

...EF〃平面AGG,

又尸,G分別為分Bi,A8的中點(diǎn)，

；.AiF=BG,

又AiF〃BG,

四邊形4G8尸為平行四邊形，

則BF//A\G,

；4GU平面AiGG,平面4GG,

...B尸〃平面AiGG,

又EFCBF=F,EF,BFU平面BEF,

平面AiGG〃平面BEF.

(2)1?平面ABC〃平面A\B\C\,平面ACiGC平面A81G=AG,

平面4GG與平面ABC有公共點(diǎn)G,則有經(jīng)過G的直線，設(shè)交8c于點(diǎn)H,如圖，

則4ci〃G”，得GH〃4C,

；G為4B的中點(diǎn)，為BC的中點(diǎn).

思維升華證明面面平行的常用方法

(1)利用面面平行的判定定理.

(2)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行I邛

(3)利用面面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行(a〃從

[)//y=a〃y).

跟蹤訓(xùn)練2如圖，四棱柱A8CZ)—ABiCQi的底面A8CO是正方形.

⑴證明:平面4出￡>〃平面CDIi；

(2)若平面ABCDD平面CDiB尸直線/,證明：BD//L

證明(1)由題設(shè)知85統(tǒng)。。I,所以四邊形88。。是平行四邊形，所以

又8ZK平面CDiBi,BQ|U平面CD\B\,

所以80〃平面C￡)i8].

因?yàn)锳i￡>i統(tǒng)BiG雀BC,

所以四邊形AiBCA是平行四邊形，

所以4B〃DC.

又4BQ平面CDiBi,。|。=平面COiS,

所以AiB〃平面CDiBi.

又因?yàn)锽￡>n4B=B,BD,4BU平面4出。，

所以平面A[8￡)〃平面CD\B\.

(2)由(1)知平面Ai即〃平面CD\B\,

又平面ABCQC平面CABi=直線I,

平面A8C￡>n平面A|B￡>=直線BD,

所以直線/〃直線BD,

在四棱柱A8CD—AliGQi中，四邊形BDDB為平行四邊形，

所以所以BQ"/.

題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

例4如圖，在正方體ABC￡>-AI8ICQI中，E為力d的中點(diǎn).

⑴求證：8?！ㄆ矫鍭EC；

(2)CG上是否存在一點(diǎn)凡使得平面AEC〃平面8F。，若存在，請說明理由.

⑴證明如圖，連接交AC于。，連接E。

因?yàn)锳8CZ)-A由ICQI為正方體，底面ABCO為正方形，

對角線AC,BD交于0點(diǎn),

所以。為8。的中點(diǎn)，

又因?yàn)镋為。人的中點(diǎn)，

所以在△￡>2。中，OE是的中位線，

所以O(shè)E〃BO|.

又因?yàn)镺EU平面AEC,8。依平面AEC,

所以8E)i〃平面AEC.

(2)解當(dāng)CG上的點(diǎn)F為中點(diǎn)時(shí)，即滿足平面AEC〃平面BEDi.

連接8尸，D\F,

因?yàn)槭瑸镃G的中點(diǎn)，E為。。?的中點(diǎn)，

所以CF統(tǒng)EDi,

所以四邊形CED1E為平行四邊形，

所以。1尸〃EC,

又因?yàn)镋CU平面AEC,QiF。平面AEC,

所以￡)i尸〃平面AEC.

由⑴知BA〃平面AEC,

又因?yàn)锽Oin，F(xiàn)=Q|,BD\,AFU平面BFQi,

所以平面AEC〃平面BFD\.

【教師備選】

如圖，四邊形ABCZ)與AOEF均為平行四邊形，M,N,G分別是A3,AD,EF的中點(diǎn).求

證：

(1)8E〃平面DMF；

(2)平面8OE〃平面MNG.

證明(1)如圖，連接AE,則AE必過。F與GN的交點(diǎn)。，

連接M。，則M0為AABE的中位線，所以BE〃MO.

又BEC平面DMF,MOU平面DMF,

所以8E〃平面DMF.

(2)因?yàn)镹,G分別為平行四邊形AOEF的邊AO,E尸的中點(diǎn)，所以DE〃GN,

又DEC平面MNG,GNU平面MNG,

所以O(shè)E〃平面MNG.

又M為AB的中點(diǎn)，

所以為△4BO的中位線，所以BD〃MN,

又MNU平面MNG,BW平面MNG,

所以80〃平面MNG,

又DE,BDU平面BOE,DECBD=D,

所以平面BDE〃平面MNG.

思維升華證明平行關(guān)系的常用方法

熟練掌握線線、線面、面面平行關(guān)系間的相互轉(zhuǎn)化是解決線線、線面、面面平行的綜合問題

的關(guān)鍵.面面平行判定定理的推論也是證明面面平行的一種常用方法.

跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，四邊形EFG/7為空間四邊形ABC。的一個(gè)截面，若截面為平行四邊

形.

(1)求證：AB〃平面EFG”；

(2)若AB=4,CD=f>,求四邊形EFGH周長的取值范圍.

(1)證明：四邊形EFGH為平行四邊形，

：.EF//HG.

；HGU平面ABO,EFQ平面A8D,

.?.所〃平面ABD.

又；EFU平面ABC,

平面ABDC平面ABC=AB,

：.EF//AB,

又；ABQ平面EFGH,EFU平面EFGH,

〃平面EFGH.

⑵解設(shè)EF=x(0<x<4),

由(1)知EF//AB,

?絲=空=/

?育一麗—不

與(1)同理可得C￡>〃FG,

?FG_BF

"'~CD~~BC'

FGBFBC-CF,x

則6~BC~BC_14,

???四邊形EFG”的周長

XV0<x<4,

.\8<L<12,

故四邊形EFG”周長的取值范圍是（8,12）.

課時(shí)精練

1.（2022?寧波模擬）下列命題中正確的是（）

A.若a,6是兩條直線，且。〃6,那么。平行于經(jīng)過b的任何平面

B.若直線〃和平面a滿足a〃a,那么a與a內(nèi)的任何直線平行

C.平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行

D.若直線”，和平面a滿足a〃b,aUa,仇la,貝！lb〃a

答案D

解析A中，?？梢栽谶^人的平面內(nèi)；B中，a與a內(nèi)的直線也可能異面；C中，兩平面可能

相交；D中，由直線與平面平行的判定定理知6〃a,正確.

2.設(shè)/是直線，a,￡是兩個(gè)不同的平面，則下列能判斷/〃a的是（）

A.1//0,a〃夕

B./與平面a內(nèi)無數(shù)條直線平行

C.IU0,a//B

D./邛,a邛

答案C

解析對于A,/可能在a內(nèi)，故不能判斷/〃a,故A不正確；

對于B,/可能在a內(nèi)，故不能判斷/〃a,故B不正確；

對于C,因?yàn)?u4,a〃夕，由面面平行的定義得/〃a,故C正確；

對于D,/可能在a內(nèi)，故不能判斷/〃a,故D不正確.

3.（2022?成都模擬）如圖，在三棱柱ABC-A山1G中，AM=2MAi，BN=2NBi，過MN作一

平面分別交底面△ABC的邊8C,AC于點(diǎn)E,F,則（）

A.MF//EB

B.A\B\〃NE

C.四邊形MNEF為平行四邊形

D.四邊形A/NEF為梯形

答案D

解析由于B,E,尸三點(diǎn)共面，F(xiàn)C平面BEF,M在平面BEF,故MF,EB為異面直線，

故A錯(cuò)誤；

由于Bi,N,E三點(diǎn)共面，Bid平面8NE,4停平面BNE,故A|B|,NE為異面直線,故B

錯(cuò)誤；

;在平行四邊形44出|8中，AM=2M4,

BN=2NBi,

J.AM//BN,AM=BN,

故四邊形AMNB為平行四邊形，

：.MN//AB.

又MNQ平面ABC,ABU平面ABC,

〃平面ABC.

又MNU平面MNEF,

平面MNEFC平面ABC=EF,

：.MN//EF,J.EF//AB,

顯然在△ABC中，EFWAB,

:.EF豐MN,

四邊形MNEF為梯形，故C錯(cuò)誤，D正確.

4.（2022?杭州模擬）已知P為所在平面外一點(diǎn)，平面a〃平面A2C,且a交線段網(wǎng)，

PB,PC于點(diǎn)4',夕，C',若%':A4'=2：3,則SAABc：SAABC等于（）

A.2：3B.2：5

C.4：9D.4：25

答案D

解析I,平面a〃平面ABC,

：.A'C//AC,A'B'//AB,B'C//BC,

AASC2

.,.S-S^ABC^（PA'：PA）,

又PA':4A'=2:3,

：.PA'：PA=2：5,

'-Su.Bc:S<M8C=4:25.

5.如圖，在下列四個(gè)正方體中，A,8為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M,N,。為所在棱的中點(diǎn)，則

在這四個(gè)正方體中，直線A8與平面MNQ不平行的是（）

答案D

解析A項(xiàng)，由正方體性質(zhì)可知AB〃NQ,NQU平面MNQ,4放平面MNQ,AB〃平面MNQ,

排除；

B,C項(xiàng)，由正方體性質(zhì)可知AB〃MQ,MQU平面MNQ,ABC平面MN。，AB〃平面MAQ,

排除；

D項(xiàng)，由正方體性質(zhì)易知，直線AB與平面MNQ不平行，滿足題意.

6.如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD-ABCQi內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器一邊A8于

地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜程度的不同，有下面幾個(gè)結(jié)論，其中正確的是（）

①?zèng)]有水的部分始終呈棱柱形；

②水面EFGH所在四邊形的面積為定值；

③隨著容器傾斜程度的不同，4G始終與水面所在平面平行；

④當(dāng)容器傾斜如圖（3）所示時(shí)，A6A”為定值.

A.①②B.①④

C.②③D.③④

答案B

解析根據(jù)棱柱的特征（有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的

公共邊都互相平行），結(jié)合題中圖形易知①正確；由題圖可知水面EFGH的邊EF的長保持不

變，但鄰邊的長卻隨傾斜程度而改變，可知②錯(cuò)誤；因?yàn)?ci〃AC,4CU平面ABC。，4G

《平面ABCQ,所以4G〃平面A8CQ,當(dāng)平面EFG”不平行于平面ABC。時(shí)，ACi不平行

于水面所在平面，故③錯(cuò)誤；當(dāng)容器傾斜如題圖（3）所示時(shí)，因?yàn)樗捏w積是不變的，所以棱

柱AEH-BFG的體積V為定值，又V=S^AEH-AB,高AB不變，所以SAAE”也不變，即AEAH

為定值，故④正確.

mUaI//m

7.考查①②兩個(gè)命題，①/〃〃？>=/〃a；②m//a>=/〃a,它們都缺少同一個(gè)條件，

補(bǔ)上這個(gè)條件就可以使其構(gòu)成真命題（其中/,機(jī)為直線，a為平面），則此條件為.

答案IQa

解析①由線面平行的判定定理知/Qa；②由線面平行的判定定理知Ka.

8.如圖所示，在正四棱柱ABC。一AIBCQI中，E,F,G,”分別是棱CG，C\D\,D\D,

DC的中點(diǎn),N是8c的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則“只需滿足條件,

就有〃平面注：請?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個(gè)條件即可，不必考慮全部可能情況）

答案點(diǎn)M在線段FH上（或點(diǎn)M與點(diǎn)〃重合）

解析連接HN,FH,FN（圖略），

則FH〃陽,HN//BD,

平面FHN//平面BiBDDi,只需MWFH,

則MNU平面FHN,：.MN//平面B\BDD\.

9.如圖，在正方體ABC。-ABICIA中，E,F,G,”分別是BC,CC”G。，441的中點(diǎn),

求證：

（2）EG〃平面BBQiD；

（3）平面B。尸〃平面B\D\H.

證明如圖.

（1）取8山的中點(diǎn)M,

連接MG,易證四邊形HMCQ1是平行四邊形，

：.HD\//MC\.

又MQ//BF,

：.BF//HD\.

⑵取BO的中點(diǎn)。，連接OE,ODi,

則0E*DC.

又DiG蕊;DC,

：.OE^DiG.

.,.四邊形OEGDi是平行四邊形，

：.EG//D\O.

又"Ou平面BBiDiD,EGI平面BB\D\D,

；.EG〃平面BBQiD.

（3）由（1）知由題意易證

又BiDi,HD|U平面BF,8Ou平面BOP,且BQiDBCBF=B,

...平面8。平〃平面B\D\H.

10.如圖，在四棱錐中，AD//BC,AB=BC=^AD,E,F,，分別為線段AD,PC,

C。的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn),G是線段。尸上一點(diǎn).

⑴求證：AP〃平面BEE

（2）求證：G”〃平面玄。.

證明（1）如圖，連接EC,

因?yàn)锳O〃BC,BC=^AD,

所以BC〃AE,BC=AE,

所以四邊形ABCE是平行四邊形，

所以。為AC的中點(diǎn).

又因?yàn)槭荘C的中點(diǎn)，

所以FO//AP,

因?yàn)镕Ou平面BEF,

4因平面BEF,

所以AP〃平面BEF.

（2）連接FH,OH,因?yàn)槭?，〃分別是尸C,C。的中點(diǎn)，

所以FH//PD,

因?yàn)镻Ou平面PAD,FHQ平面PAD,

所以〃平面PAD.

又因?yàn)?。?E的中點(diǎn)，H是C。的中點(diǎn)，

所以O(shè)H〃A。，

因?yàn)?Ou平面PAD,OH。平面PAD,

所以0"〃平面PAD.

又FHCOH=H,FH,OHu平面OHR

所以平面OHF〃平面PAD.

又因?yàn)镚Hu平面OHF,

所以GH〃平面PAD.

11.（2022?福州檢測）如圖所示，正方體ABCQ-AiBiGQi中，點(diǎn)E,F,G,P,Q分別為棱

AB,C,Di，D,A|,DxD,GC的中點(diǎn)，則下列敘述中正確的是（）

A.直線8Q〃平面EFG

B.直線42〃平面EFG

C.平面APC〃平面EFG

D.平面48Q〃平面EFG

答案B

解析過點(diǎn)、E,F,G的截面如圖所示(H,/分別為A4i,8c的中點(diǎn))，連接48,BQ,AP,

PC,易知8Q與平面EFG相交于點(diǎn)Q,故A錯(cuò)誤；

■:A\B〃HE,A山C平面EFG,HEU平面EFG,

平面￡FG,故B正確；

APU平面AQDiAi,//GU平面AOOiA,延長HG與孫必相交，故C錯(cuò)誤；

易知平面48。與平面EFG有交點(diǎn)。，故D錯(cuò)誤.

12.如圖所示，正方體ABCO—AIBICIDI的棱長為3,M,N分別是棱A|B”81cl的中點(diǎn)，P

是棱AD上的一點(diǎn),4P=1,過P,M,N的平面交上底面于PQ,。在CD上，則PQ=.

答案2啦

解析因?yàn)槠矫鍭BCO〃平面AiBiCQi,平面ABCCn平面PQNM=PQ,

平面AtBiCiDiQ平面PQNM=MN,

所以MN//PQ,

又因?yàn)镸N〃AC,所以PQ〃AC.

又因?yàn)锳P=1,

6心、包—型_絲_2

所以A。-CD-AC一不

22

所以PQ=jAC=jX3y/2=2y/2.

13.在正四棱柱ABC。一ABICI。中，。為底面ABCD的中心，P是。A的中點(diǎn)，設(shè)。是

CG上的點(diǎn)，則點(diǎn)。滿足條件時(shí)，有平面￡)iBQ〃平面以0.

答案Q為CG的中點(diǎn)

解析如圖所示，設(shè)。為CG的中點(diǎn)，

因?yàn)镻為。。的中點(diǎn)，

所以QB〃布.連接08,

因?yàn)镻,。分別是。d,的中點(diǎn)，所以DiB〃P。,

又￡>i困平面布O,QBC平面南O,POU平面BAO,B4U平面物0,

所以。出〃平面以0,QB〃平面以0,

又。山riQB=3,D\B,QBU平面。|3Q,

所以平面￡)i8Q〃平面PAO.

故。為CG的中點(diǎn)時(shí)，有平面￡>|8Q〃平面出0.

14.在三棱錐P-ABC中，PB=6,AC=3,G為△以C的重心，過點(diǎn)G作三棱錐的一個(gè)截

面，使截面平行于PB和AC,則截面的周長為.

答案8

解析如圖，過點(diǎn)G作E尸〃AC,分別交物，PC于點(diǎn)E,F,過點(diǎn)、E作EN〃PB交AB于點(diǎn)