高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

要求層次重難點(diǎn)

⑴數(shù)列的概念和簡單表示法

數(shù)列的概念和表示法B

①了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列

等差數(shù)列的概念B

表、圖象、通項(xiàng)公式).

等比數(shù)列的概念B②了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前⑵等差數(shù)列、等比數(shù)列

C①理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念.

數(shù)列與數(shù)”項(xiàng)和公式

學(xué)歸納法②掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前〃

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式.

C

n項(xiàng)和公式③能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系

或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.

④了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)

數(shù)學(xué)歸納法B函數(shù)的關(guān)系.

⑶了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證

明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.

板塊一：數(shù)列的通項(xiàng)公式

(一)主要方法:

常見的已知遞推式求通項(xiàng)公式的常用方法：

1

(1)xn=%?_1+f(n)(其中/0),貝+f/(左)；

k=2

⑵x“=/(〃)x0T(其中/(〃)/0),則5=/(〃)??/⑵％;

(3)xn=a-xn_x+/(n)(其中awO,awl,f(〃)是關(guān)于〃的多項(xiàng)式函數(shù))，

可設(shè)Z+g(〃)=〃區(qū)-i+g5-1))，其中g(shù)(X)為與/(〃)的次數(shù)相等的多項(xiàng)式函數(shù)，各項(xiàng)的系數(shù)都待定,

通過比較ag(〃-1)-g(〃)與/(〃)的各項(xiàng)系數(shù)可以確定待定系數(shù)；

n

(4)xn=a-xn_x+c-b,其中awO,awl,bwO,bwl,cwO.

若a=b,則—蕓+c;

b"b"-I

若""則可以設(shè)/+a)"=夕?_1+a?加T)；也可兩邊同時除以屋：之=第+/3'；

aa

也可兩邊同時除以b"：Z=9.M+c.

bnb尸

(二)典例分析:

【例1】(2018新課標(biāo)江蘇10)

將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：456，

78910

按照以上排列的規(guī)律，數(shù)陣中第〃行(〃卷3)從左至右的第3個數(shù)為.

【例2】如圖，一粒子在區(qū)域｛(x,y)|x》O,>>0｝上運(yùn)動，在第一秒內(nèi)它從原點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)片(0,1),

接著按圖中箭頭所示方向在x軸、)，軸及其平行方向上運(yùn)動，且每秒移動一個單位長度.

設(shè)粒子從原點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)4、紇、c”時，所經(jīng)過的時間分別為q,、么、c“，

⑴試寫出｛a.｝、｛%｝、｛%｝的通項(xiàng)公式.

⑵求粒子從原點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)P(15,43)時所需的時間；

⑶粒子從原點(diǎn)開始運(yùn)動，求經(jīng)過2009秒后，它所處的坐標(biāo).反

A]A,4546

【例3】⑴（2017全國I）已知數(shù)列｛%｝中弓=2,。角=（應(yīng)-1）（%+2）,“=1,2,3,….

求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵已知數(shù)列滿足％=1,%+i=———，則%=______.

3an+4

（3）（2018全國I）在數(shù)列｛““｝中，4=1,。用=24+2”.求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

【例4】（2019湖南15）

將正AABC分割成“2（〃N2,〃eN*）個全等的小正三角形（下圖分別給出了〃=2,3的情形），

在每個三角形的頂點(diǎn)各放置一個數(shù)，使位于AABC的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當(dāng)數(shù)

的個數(shù)不少于3時）都分別依次成等差數(shù)列.若頂點(diǎn)A,B,C處的三個數(shù)互不相同且和為1,

記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為/5）,則有/'（2）=2,/（3）=,/（〃）=.

【例5】（2019江西8）

數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)4=〃2"2拳一$旭2三］，其前w項(xiàng)和為S〃，則S3。為（）

A.470B.490C.495D.510

【例6】（2019重慶14）

設(shè)％=2,a?+1=二一，殳型，〃eN*,則數(shù)列也｝的通項(xiàng)b?=

a.,+1a-I

【例7】（2019湖北15）

已知數(shù)列｛。“｝滿足：at=m（m為正整數(shù)），*=.首'當(dāng)為為偶數(shù)時，若q=1,則機(jī)所有

、3a“+1,當(dāng)a,為奇數(shù)時

可能的取值為.

【例8】（2008北京理14）

某校數(shù)學(xué)課外小組在坐標(biāo)紙上，為學(xué)校的一塊空地設(shè)計植樹方案如下：第k棵樹種植在點(diǎn)

片（z，％）處，其中占=1,

T（a）表示非負(fù)實(shí)數(shù)a的整數(shù)部分，例如7（2.6）=2,7（0.2）=0.

按此方案，第6棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為;第2008棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為

【例9】（2019江西22）

各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛a“｝,a｛=a,a2=b,且對滿足優(yōu)+〃=p+q的正整數(shù)加，〃，p,q都有

4“+4%+%

（1+。加）（1+。"）（1+。°）（1+4）

⑴當(dāng)q=L6=3時，求％；

25

⑵在⑴的條件下，將明用。表示出來（其中〃eN*）.

⑶在⑴的條件下證明［旨］為等比數(shù)列，并求通項(xiàng)a?.

⑷證明：對任意。，存在與。有關(guān)的常數(shù)4,使得對于每個正整數(shù)〃，都有

A

板塊二：新定義數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)歸納法

（一）知識內(nèi)容

數(shù)學(xué)歸納法：專門用來證明與正整數(shù)相關(guān)的命題的一種證明方法.

數(shù)學(xué)歸納法的步驟：

一個與正整數(shù)”相關(guān)的命題，如果

①〃取第一個值n0時命題成立；

②在假設(shè)當(dāng)"=以左eN+,且左）時命題成立的前提下，推出當(dāng)a=化+1時命題也成立；

那么可以斷定，這個命題對〃取第一個值后面的所有正整數(shù)成立.

（二）典例分析：

【例10】（2019海淀一模8）

對于數(shù)列｛q｝,若存在常數(shù)使得對任意“eN*,%與a用中至少有一個不小于M,貝U記:

｛?！安稭,那么下列命題正確的是（）

A.若｛。，>加，則數(shù)列｛6｝的各項(xiàng)均大于或等于M

B.若｛0>M,｛b?｝>M,貝l］｛a“+bn｝>2M

C.若｛”“>>/,貝

D.若｛4｝>",則｛2a“+l｝>2M+1

【例11】（2019西城一模14）

已知函數(shù)”力由下表給出

X01234

a

/W。0q2%%

其中為（左=0,1,2,3,4）等于在g,q,出，4，4中人所出現(xiàn)的次數(shù).

貝l]&_;4+4+%+=?

【例12】（2019北京理科20）

已知數(shù)集=｛。1，%，，Q〃｝（1W4<〃2<<〃〃，"22）具有性質(zhì)P:對任意的

i,j（iWiWjWn）,qq與2?兩數(shù)中至少有一個屬于A.

ai

⑴分別判斷數(shù)集｛1,3,4｝與｛1,2,3,6｝是否具有性質(zhì)P,并說明理由；

⑵證明：R4=一1,,—且7“：+電T：+"'」_1一=”%"，；

%+4+,+

⑶證明：當(dāng)〃=5時，ax,a2,a3,a4,應(yīng)成等比數(shù)列.

【例13】（2019陜西22）

已知數(shù)列｛%“｝滿足，玉=（，Xn+\=~—，〃$N*.

⑴猜想數(shù)歹|J｛%J的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.

⑵證明：氏+「乙快理5[1

615

【例14】(2018安徽理21)

設(shè)數(shù)列｛%｝滿足4=0,。用=時+1-c,c￡N*,其中。為實(shí)數(shù)，

⑴證明：％￡[0,1]對任意neN*成立的充分必要條件是ce[0,1];

(2)iS0<c<-,證明：21-(3C)〃T,.

3

(3)設(shè)0<c<一,證明：+>n+\,MeN*.

3-l-3c

【例15】(2019西城一模)

設(shè)〃z>3,對于有窮數(shù)列｛《｝(〃=1,2,,m)，令如為生,a2,巴中的最大值，稱數(shù)列抄“｝

為｛?“｝的“創(chuàng)新數(shù)列”，數(shù)列抄“｝中不相等項(xiàng)的個數(shù)稱為｛0“｝的“創(chuàng)新階數(shù)''.例如數(shù)列

2,1,3,7,5的創(chuàng)新數(shù)列為2,2,3,7,7,創(chuàng)新階數(shù)為3.

考察自然數(shù)1,2,，加(加>3)的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數(shù)列｛%｝.

⑴若根=5,寫出創(chuàng)新數(shù)列為3,4,4,5,5的所有數(shù)列｛g｝；

⑵是否存在數(shù)列｛&｝,使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出所有的數(shù)列｛%｝,若不存在，

請說明理由.

⑶在創(chuàng)新階數(shù)為2的所有數(shù)列｛%｝中，求它們的首項(xiàng)的和.

【例16】（2019湖南21）對于數(shù)列｛與｝,

若存在常數(shù)M>0,對任意的weN*,恒有I-|+|〃“一％|+?+\u2-uv|^Af,

則稱數(shù)列｛與｝為3-數(shù)列.

⑴首項(xiàng)為1,公比為如q|<1）的等比數(shù)列是否為3-數(shù)列？請說明理由；

⑵設(shè)S”是數(shù)列｛斗｝的前，7項(xiàng)和.給出下列兩組論斷：

A組：①數(shù)列｛%｝是3-數(shù)列，②數(shù)列｛%｝不是3-數(shù)列；

8組：③數(shù)列｛SJ是3-數(shù)列，④數(shù)列電｝不是3-數(shù)列.

請以其中一組中的一個論斷為條件，另一組中的一個論斷為結(jié)論組成一個命題.

判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；

⑶若數(shù)列｛〃“｝,抄”｝都是數(shù)列，證明：數(shù)列｛〃,也，｝也是3-數(shù)列.

習(xí)題1.黑白兩種顏色的正六

邊形地面磚按如圖的

規(guī)律拼成若干個圖案，卜管

則第〃個圖案中白色地

面與黑色地磚的相差第1個

第2個第3個

的塊數(shù)是.

習(xí)題2.在數(shù)列｛a“｝中，Oj=1,且對于任意正整數(shù)〃，者B有%+1=?！?〃，則《ioo=

習(xí)題3.已知數(shù)列口｝滿足4=°，。用=**（w