2022年高考物理一輪復(fù)習(xí)夯實核心素養(yǎng)-追及相遇問題和運動學(xué)圖像（解析版）

第一章運動的描述勻變速直線運動的研究

1.3追及相遇問題和運動學(xué)圖像

必備知識清單

一、追及相遇問題

1.分析思路

可概括為“一個臨界條件”“兩個等量關(guān)系”.

(1)一個臨界條件：速度相等.它往往是物體間能否追上或兩者距離最大、最小的臨界條

件，也是分析判斷問題的切入點；

(2)兩個等量關(guān)系：時間等量關(guān)系和位移等量關(guān)系,通過畫草圖找出兩物體的忖間關(guān)系和位

移關(guān)系是解題的突破口.

2.臨界法

尋找問題中隱含的臨界條件，例如速度小者加速追趕速度大者，在兩物體速度相等時有最

大距離；速度大者減速追趕速度小者，若追不上則在兩物體速度相等時有最小距離.

3.函數(shù)法

設(shè)兩物體在/時刻相遇，然后根據(jù)位移關(guān)系列出關(guān)于/的方程yw=o,若方程/w=o無正

實數(shù)解，則說明這兩個物體不可能相遇：若方程./“)=()存在正實數(shù)解，說明這兩個物體能

相遇.

4.圖象法

(1)若用位移圖象求解，分別作出兩個物體的位移圖象，如果兩個物體的位移圖象相交，則

說明兩物體相遇.

(2)若用速度圖象求解，則注意比較速度圖線與時間軸包圍的面積.

5.特別提醒

若被追趕的物體做勻減速直線運動，一定要注意判斷被追上前該物體是否已經(jīng)停止運動.

二、運動圖象的理解和應(yīng)用

x~t和v-t圖像的理解和應(yīng)用

X-t圖像V-t圖像

縱軸一位移縱軸——速度

軸

橫軸——時間橫軸——時間

線運動物體的位移與時間的關(guān)系運動物體的速度與時間的關(guān)系

某點的斜率表示該點的瞬時速

斜率某點的斜率表示該點的加速度

度

點兩線交點表示兩物體相遇兩線交點表示兩物體在該時刻

速度相同

圖線和時間軸所圍的面積，表

面積無意義

示物體運動的位提

在縱軸上的截距表示1=0時在縱軸上的截距表示，=0時

截距

的位移的速度

命題點精析(一)追及相遇問題處理方法

1.實質(zhì)

討論追及、相遇的問題，其實質(zhì)就是分析討論兩物體在相同時間內(nèi)能否到達(dá)相同的空

間位置問題.

(1)兩個關(guān)系：即時間關(guān)系和位移關(guān)系，這兩個關(guān)系可通過畫草圖得到.

(2)一個條件：即兩者速度相等，它往往是物體間能否追上、追不上(兩者)距離最大、

最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點.

2.追及問題的常見類型

(1)速度小者追速度大者

(2)速度大者追速度小者

類型圖象說明

開始追及時，后面物體與前面

勻減物體間的距離在減小，當(dāng)兩物

速追體速度相等時，即時刻：

勻速①若Ar=％0,則恰能追上，

兩物體只能相遇一次，這也

是避免相撞的臨界條件

②若垓＜3,則不能追及，此

時兩物體最小距離為%0-垓

③若頷＞%o,則相遇兩次，

設(shè)"時亥UA町二九o,兩物體

第一次相遇，則打時刻兩物

體第二次相遇

注:%0是開始時兩物體間的

距離

典型例題

H列14、8兩輛列車在能見度很低的霧天里在同一軌道上同向行駛，4車在前，速度2=

10m/s,8車在后，速度%=30m/s.當(dāng)8車發(fā)現(xiàn)/車時就立刻剎車.已知8車在進行剎車測

試時發(fā)現(xiàn)，若車以30m/s的速度行駛時，剎車后至少要前進1800m才能停下，假設(shè)B車剎車

過程中加速度恒定.為保證兩輛列車不相撞，則能見度至少要達(dá)到（）

A.400mB.600m

C.800mD.1600m

【答案】C

【解析】解法一基本公式法

0-302

對8車，由運動學(xué)公式有0—O02=2OX,解得Cm/s2=-0.25m/s2,所以8車

2X1800

剎車的最大加速度為0.25m/s2,當(dāng)B車速度減小到o=10m/s時，兩車相距最近，此時8

v2—vB2v-vB

車的位移為jq=------,4車的位移t=-----,聯(lián)立解得修=1600m,X=800

2aa2

m,能見度至少為Ar=X]—工2=80()m,選項C正確.

解法二相對運動法

0-302

對8車，由運動學(xué)公式有0—u02=2or,解得〃-----:—m/s2=-0.25m/s2,選4車為參

2X1800

考系，8車相對力車的初速度為%相對=%一〃=30m/s—10m/s=20m/s,相對加速度為一

0.25m/s2,當(dāng)兩車速度相等時相距最近，此時兩車不相撞，則以后也不能相撞，所以此時

8車相對/車的速度為v相對=0,由運動學(xué)公式有。相對2—相對2=2ox相對，代入數(shù)據(jù)

得相對位移x相對=

800m,選項C正確.

解法三圖象法

0-302

對6車，由運動學(xué)公式有0—。02=2衣，解得a=m/s2=-0.25rn/s2,作出

2X1800

A.8兩車運動過程中的速度一時間圖象如圖所示，

圖線的交點的橫坐標(biāo)為兩車速度相等的時刻，有/=------=80s,當(dāng)兩車速度相等時相距

a

最近，此時兩車不相撞，則以后也不能相撞，由。一/圖象與時間軸所圍面積表示位移可

I

知，圖象中陰影三角形的面積為能見度的最小值，則Xmin=5X(30—10)X80m=800m,選

項C正確.

【練1】】甲、乙兩車在同一直線軌道上同向行駛，甲車在前，速度為n=8m/s,乙車在后，

速度為吃=16m/s,當(dāng)兩車相距蜀=8m時;甲車因故開始剎車，加速度大小為何=2

m/s2,為避免相撞，乙車立即開始剎車，則乙車的加速度至少為多大？

【答案】6m/s2

【解析】方法一：臨界法

設(shè)兩車速度相同時均為v,所用時間為工,乙車的加速度大小為山，則片一mf=v2—

vl+vv2+v

v,解得f=2s,”2=6m/s2,即f=2s時，兩車恰好未相撞，顯然此后

在停止運動前，甲的速度始終大于乙的速度，故可避免相撞.滿足題意的條件為乙車的加速

度至少為6m/s2.

方法二：函數(shù)法

甲、乙運動的位移：X甲=M/—凡》乙=也，一不。2?

避免相撞的條件為X乙一x甲

,1

即5（。2一田）於+（片一也）/+劭>。

代入數(shù)據(jù)有（生一2僻一16，+16>0

2-2

不等式成立的條件是：A=164x16（C/2-2）<0,且組-2>0解得a2>6m/s.

【練2】如圖所示，Z、8兩物體相距s=7m時，4在水平拉力和摩擦力作用下，正以為=4

m/s的速度向右勻速運動，而物體3此時正以g=10m/s向右勻減速運動，加速度Q=-2

m/s2,則4追上5所經(jīng)歷的時間是（B）

-----A------->

/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/,

A.7sB.8sC.9sD.10s

［答案］B

1

［解析］由題意知，f=5s時，物體8的速度減為零，位移大小修=廢/=25m,此時力

的位移均=〃f=20m,A、3兩物體相距As=s+,3一必=7m+25m—20m=12m,再經(jīng)

As

過Af=—=3s,4追上B,所以Z追上3所經(jīng)歷的時間是5s+3s=8s,選項B正確.

vA

命題點精析（二）運動圖象的理解和應(yīng)用

1.對運動圖象的認(rèn)識，應(yīng)注意以下三點

（1）無論是x-f圖象還是圖象都只能描述直線運動.

（2）x-f圖象和。-f圖象不表示物體運動的軌跡，X、。與/---對應(yīng).

（3）一般試題中，關(guān)鍵點是根據(jù)斜率判斷物體的運動狀況，x-r圖象的斜率表示物體運動

的速度，根據(jù)x“圖象的斜率判斷速度變化情況；?！皥D象的斜率表示物體運動的加速度，

根據(jù)v-t圖象的斜率判斷加速度的變化情況.

2.分析圖象問題時應(yīng)注意“六看”

一看“軸”Error!

二看“線"Error!

三看“斜率”Error!

四看"面積"Error!

五看“縱截距"Error!

六看“特殊點”Error!

K列2】在平直公路上行駛的a車和b車，其位移一時間（XY）圖象分別為圖中直線a和曲線

b,已知。車的加速度恒定且等于一2m/s2,f=3s時，直線a和曲線。剛好相切，則（）

8

A.a車做勻速運動且其速度為m/s

B.f=3s時a車和b車相遇但此時速度不等

C.f=ls時b車的速度為10m/s

D.f=0時“車和b車的距離xo=9m

【答案】D

【解析】x“圖象的斜率等于速度，由題圖可知，。車的速度不變，做勻速直

Ax8—2

線運動，速度為：va=--=----m/s=2m/s,故A錯誤；/=3s時，直線a和

△t3

曲線b剛好相切，位置坐標(biāo)相同，兩車相遇，斜率相等，此時兩車的速度相

等，故B錯誤；t=3s時，6車的速度為：vh=va=2m/s,設(shè)b車的初速度為

Vo,對6車，由％）+“/=w,解得：v（）=8m/s,則/=1s時b車的速度為：片,'=

v（）+a/i=8m/s—2x1m/s=6m/s,故C錯誤；/=3s時，。車的位移為；與=心

vO+vfe8+2

=6m,b車的位移為：x=------1=----x3m=15m,/=3s時，a車和b車

h22

到達(dá)同一位置，得：x0=xh—xcl=9m,故D正確.

【練314、8兩質(zhì)點在同一平面內(nèi)同時向同一方向做直線運動，它們的位置一時間圖象如圖

所示，其中/是頂點過原點的拋物線的一部分，8是過點（0,3）的一條直線，兩圖象相交于

坐標(biāo)為（3,9）的P點，則下列說法不正確的是（）

A.質(zhì)點4做初速度為零、加速度為2m"的勻加速直線運動

B.質(zhì)點8以2m/s的速度做勻速直線運動

C.在前3s內(nèi)，質(zhì)點4比5向前多前進了9m

D.在3s前某時刻質(zhì)點Z、8速度相等

【答案】C

1

【解析】質(zhì)點力的運動方程為x=]af2,則初速度為零，加速度”=2m/s2,故A正確；

Ar9-3

8直線的斜率表示速度，故質(zhì)點6做勻速直線運動，質(zhì)點8的速度為—=——m/s=2

Ar3

m/s,故B正確；在前3s內(nèi)，質(zhì)點5的位移為6m,質(zhì)點力的位移為9m,質(zhì)點4比3向

前多前進了3m,故C錯誤；t=1s時刻，質(zhì)點A的速度為2m/s,質(zhì)點B以v=2m/s的速

度做勻速直線運動，故D正確.

【練41

V

（多選）甲、乙兩同學(xué)相約去參觀博物館。兩人同時從各自家中出發(fā)，沿同

一直線相向而行，經(jīng)過一段時間后兩人會合。身上攜帶的運動傳感器分別記錄

了他們在這段時間內(nèi)的速度大小隨時間的變化關(guān)系，如圖所示。其中，甲的速

度大小隨時間變化的圖線為兩段四分之一圓弧，則（)

A.在4時刻，甲、乙兩人速度相同

B.0?々時間內(nèi)，乙所走路程大于甲

C.在73時刻，甲、乙兩人加速度大小相等

D.0?〃時間內(nèi)，甲、乙兩人平均速率相同

［答案］BCD

［解析］因為兩個人是相向運動的，說明運動方向相反，因此人時刻速度

方向相反，A錯誤；。一/圖像的面積表示物體運動的位移大小，因此可得0?2

時間內(nèi)乙的路程大于甲的路程，B正確；o-f圖像的斜率表示加速度，設(shè)交點

為力,則與時刻交點力恰好等分打?〃的圓周，因此由幾何關(guān)系可得過4點圓

v1

的切線的斜率和乙的斜率大小相等，都為一，C正確：通過觀察可以看出甲的

t2

圖像面積等于乙圖像的面積，說明甲、乙的路程相等，則平均速率相同，D正

確。

命題點精析(三)非常規(guī)圖像問題理解和應(yīng)用

(\)a-t圖象

由0=%+桃可知圖象與橫軸所圍面積表示速度變化量Z),如圖5甲所示.

x

(2丁E圖象

1x11一

由可得圖象的斜率為于，如圖乙所示.

|a/(m-s-2)

El

OF

甲

圖5

(3)Z;2—X圖象

由v1—v^=2ax可知v2=v()2+2ax,圖象斜率為2a.

(4)x—u圖象

1

x與。的關(guān)系式：2ar=02—%2,圖象表達(dá)式：x=-^-v2—

該圖線可以表示物體從小處勻加速

2.解題技巧

（1）用函數(shù)思想分析圖象:

圖象反映了兩個變量（物理量）之間的函數(shù)關(guān)系，因此要由運動學(xué)公式推導(dǎo)出兩個物理量間

的函數(shù)關(guān)系，來分析圖象的意義.

（2）要注意應(yīng)用解析法和排除法，兩者結(jié)合提高選擇題圖象類題型的解題準(zhǔn)確率和速度.

【例31

物體的運動圖像并不僅限于x-f圖像和。一，圖像，還有如0-x圖像、a—

/圖像等，不同的圖像可以從不同的角度反映物體的運動情況。某物體做直線運

動的炭一x圖像①為速度，x為位置坐標(biāo)）如圖所示，下列關(guān)于物體從x=0處

運動至沏處的過程分析，其中正確的是（）

A.該物體做勻加速直線運動

v

B.該物體的加速度大小為。=:式

2Ao

C.該物體在位移中點的速度等于;。0

D.該物體中間時刻的速度大于1%

2

［答案］B

［解析］由勻變速直線運動的速度位移關(guān)系公式〃一加=2依可得°2=2G

+vQ,可以知道物體的加速度恒定不變，速度均勻減小，故物體做勻減速直線

運動，故A錯誤；由上式知，次一》圖像的斜率大小等于2”，由圖可得2a=:

,則得物體的加速度大小為4=——，故B正確；該物體在運動過程中的平均速

2Ao

oOoO

度為一，因為物體做勻減速直線運動，所以該物體中間時刻的速度等于一，物

22

體在位移中點的速度大于中間時刻的速度，所以物體在位移中點的速度大于萬

,故C、D錯誤。

【練51

為檢測某新能源動力車的剎車性能，現(xiàn)在平直公路上做剎車實驗，如圖所

x

示，這是某動力車在剎車過程中位移和時間的比值-與/之間的關(guān)系圖像，下列

t

說法正確的是（）

A.動力車的初速度為20m/s

B.剎車過程中加速度大小為5m/s2

C.剎車過程持續(xù)的時間為12s

D.從開始剎車時計時，經(jīng)過8s,該車的位移大小為60m

［答案］B

x

［解析］由題圖可得；=—2.5/+30（m/s）,根據(jù)勻變速直線運動的位移時間公

.1x1

式??-at2,得-=-af+o（），對比可得a=30m/s,a=-5m/s2o

2t2

即剛剎車時動力車的速度大小為30m/s,剎車過程動力車的加速度大小為

0—。0—30

5m/s2,故A錯誤，B正確。剎車過程持續(xù)的時間為/=------=-----s=6s,

a—5

v030

故C錯誤。整個剎車過程動力車經(jīng)過6s,則8s內(nèi)的位移為x=-f=—X6m

22

=90m,故D錯誤。

【練6】斜面長度為4m,一個尺寸可以忽略不計的滑塊以不同的初速度％從斜面頂端沿斜面

下滑時，其下滑距離x與初速度二次方“2的關(guān)系圖象(即X—“2圖象)如圖12所示.

(1)求滑塊下滑的加速度大小.

(2)若滑塊下滑的初速度為5.0m/s,則滑塊沿斜面下滑的時間為多長？

［答案］⑴2m/s2(2)1s

［解析］(1)由坨2=2ax推知，圖線斜率為《，根據(jù)題圖可知，

乙a

］1m

—:-----所以滑塊下滑的加速度大小1=2m/s2.

2a4m2?s—2

(2)由題圖可知，當(dāng)滑塊的初速度為4m/s時，滑塊剛好滑到斜面

最低點，故滑塊下滑的初速度為5.0m/s時能滑到斜面最低點.設(shè)

滑塊在斜面上的滑動時間為t,貝!|x=x-4in,3=5m/s,解得t—\s,Z—4

s(舍去)

核心素養(yǎng)大提升

化抽象為直觀一一應(yīng)用圖像法解決物理問題

(1)對于兩個質(zhì)點分別以不同的加速度運動，比較運動快慢問題時可作速度(速率)一時間圖

象進行輔助分析，此時根據(jù)圖象“面積”相等這一特征比較時間長短.

(2)所描述的物理量做非線性變化時，可先構(gòu)建一個物理量與另一物理量的線性變化關(guān)系圖

象，如“反比關(guān)系可轉(zhuǎn)化為與倒數(shù)成正比”，然后應(yīng)用“面積”含義或斜率的含義即可求解

具體問題.

【例41

如圖所示，兩光滑斜面的總長度相等，高度也相同，“、6兩球由靜止從頂端下滑，若球在

圖上轉(zhuǎn)折點無能量損失，則()

A.a球后著地

B.b球后著地

C.兩球同時著地

D.兩球著地時速度相同

［答案］A

［解析］在同一個。一，圖象中作出。、6的速率一時間圖線如圖所示，由于開始運動時b

的加速度較大，則斜率較大；由機械能守恒可知末速率相等，故圖線末端在同一水平線

上，由于兩斜面長度相同，則應(yīng)使圖線與f軸圍成的“面積”相等.結(jié)合圖中圖線特點可

知6用的時間較少，由此可知A正確，B、C、D錯誤.

【練7】在水平軌道上有兩車力和3相距X,A車在后面做初速度為

。0、加速度大小為2a的勻減速直線運動，而3車同時做初速度為

零、加速度為。的勻加速直線運動，兩車運動方向相同.要使兩車

不相撞，求4車的初速度。0滿足什么條件.(請分別用上述四種方

法求解)

A

人8

XA-

［答案］v()<y［6ax

［解析］要使兩車不相撞，/車追上3車時其速度最大只能與5車

相等.設(shè)/、8兩車從相距X到/車追上8車時，力車的位