函數(shù)的概念與性質（講）-2023年高考數(shù)學一輪復習講練測（全國通用）（解析版）

第1講二次函數(shù)與一元二次方程、不等

式

日考綱考情

本講為重要知識點，題型主要圍繞函數(shù)的思想以及函數(shù)的性質考察，配合導數(shù)的幾何意義對

學生的邏輯思維能力要求很高。主要學習用集合語言和對應關系刻畫函數(shù)概念。通過函數(shù)的

不同表示方法加深對函數(shù)概念的認識。學習用精確的符號語言刻畫函數(shù)性質的方法，并通過

事函數(shù)的學習函數(shù)研究函數(shù)的基本內容、過程和方法。

合考點梳理

考點一函數(shù)的概念及其表示

1.函數(shù)的定義

設A,B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,

在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，稱f：A-B為從集合A到集合B的一個函數(shù)y

=f(x),xGA

2.函數(shù)的有關概念

(1)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)y=f(x),xWA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做眼

數(shù)的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛f(x)IxCA｝叫做函數(shù)的值

域.顯然，值域是集合B的子集.

(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應關系.

(3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷

兩函數(shù)相等的依據(jù).

(4)函數(shù)的表示法：解析法、圖象法、列表法.

3.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域內，對于定義域內的不同取值區(qū)間，有著不同的對應關系，這樣的函數(shù)通

常叫做分段函數(shù).

(1)確定函數(shù)的定義域常從解析式本身有意義，或從實際出發(fā).

(2)如果函數(shù)y=f(x)用表格給出，則表格中x的集合即為定義域.

(3)如果函數(shù)y=f(x)用圖象給出，則圖象在x軸上的投影所覆蓋的x的集合即為定義域.

值域是一個數(shù)集，由函數(shù)的定義域和對應關系共同確定.

(1)分段函數(shù)雖由幾個部分構成，但它表示同一個函數(shù).

(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.

(3)各段函數(shù)的定義域不可以相交.

4.常用結論

(1)若f(x)為整式，則函數(shù)的定義域為R；

(2)若f(x)為分式，則要求分母不為0；

(3)若f(x)為對數(shù)式，則要求真數(shù)大于0；

(4)若f(x)為根指數(shù)是偶數(shù)的根式，則要求被開方式非負；

(5)若f(x)描述實際問題，則要求使實際問題有意義.

如果f(x)是由幾個部分的數(shù)學式子構成的，求定義域常常等價于解不等式(組).

考點二函數(shù)的基本性質

1.函數(shù)的單調性

(1)單調函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為/,如果對于定義域/內某個區(qū)間〃上的任意

兩個自變量的值X”X!

當汨＜及時，都有

定義

當汨〈生時，都有『(%)”(電),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間。/'(小)＞「(入2)，那么

上是增函數(shù)就說函數(shù)f(x)在

區(qū)間〃上是減函數(shù)

用網(wǎng)

N里A的伊)

圖象描述

自左向右看圖象

自左向右看圖象是上升的

是下降的

(2)單調區(qū)間的定義

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間〃上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有

(嚴格的)單調性，區(qū)間〃叫做尸f(x)的單調區(qū)間.

2.函數(shù)的最值

前提設函數(shù)f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)“滿足

對于任意都有對于任意x￡/,都有f(x)，肱

條件

存在照￡I,使得〃照)=M存在照￡I,使得AAO)=M

結論”為最大值"為最小值

3.函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點

如果對于函數(shù)Ax)的定義域內任意一個X,都有A-x)=f(x),

偶函數(shù)關于y軸對稱

那么函數(shù)/Xx)是偶函數(shù)

如果對于函數(shù)f(x)的定義域內任意一個X,都有F(-X)=一

奇函數(shù)關于原點對稱

f(x),那么函數(shù)/1(X)是奇函數(shù)

4.函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個非零常數(shù)7,使得當x取定義域內的任何值

時，都有/■(x+7)=F(x),那么就稱函數(shù)尸/Xx)為周期函數(shù)，稱7為這個函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正

數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.

注意：

(1)如果一個奇函數(shù)F(x)在原點處有定義，即/X0)有意義，那么一定有/"(())=().

(2)如果函數(shù)/Xx)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|).

(3)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反

的單調性.

(4)函數(shù)周期性常用結論

對Mx)定義域內任一自變量的值上

①若f(x+a)=—F(x),則7=2a(a〉0).

②若F(x+a)=、，則7=2a(a>0).

f(Jx)

③若F(x+a)=—貝ij7=2a(a>0).

f(.x)

5.對稱性的三個常用結論

①若函數(shù)尸F(xiàn)(*+a)是偶函數(shù)，則函數(shù)尸f(x)的圖象關于直線x=a對稱.

②若對于R上的任意x都有f(2a—x)=f(x)或/X—x)=f(2a+x),則y=f(x)的圖象關于

直線x=a對稱.

③若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關于點(6,0)中心對稱.

隹］題型剖析

高頻考點一函數(shù)的概念及其表示

例1、下列命題中，正確的有()

A.函數(shù)y=\/x+l-Jx-l與函數(shù)y=Jx，—1表示同一函數(shù)

B.已知函數(shù)/(2x+l)=4x-6,若/(a)=1(),則。=9

C.若函數(shù)/卜5-1)=刀-3、片，則/(力=%2-%—2(乂..一1)

D.若函數(shù)/(x)的定義域為［0,2］,則函數(shù)f(2x)的定義域為［0,4］

【答案】BC

【解析】

I----1----八fx+l..O

解：/(%)=Jx+1?Jx-l的定義域是{xI4}={x|x..l},

x-L.O

g(x)=\lf-1的定義域是{%|d-l鹿)}={x|x1,或不，一1},

兩函數(shù)的定義域不同，故不是同一函數(shù)，A錯誤；

2xH~1—CLx—4

函數(shù)/(2x+l)=4x-6,若/(々)=10,則彳=>《，故8正確；

4x—6=10［。=9

若函數(shù)=則〃=故

C正確；

若函數(shù)了(%)的定義域為［0,2］,則函數(shù)］(2x)中,01獨X2noM1,即函數(shù)的

定義域為［0,1］，故力錯誤.

【變式訓練】

1、若函數(shù)y=&2+2x+a+ln(x+2)的定義域為［1,小),則。=()

A.一3B.3C.1D.-1

【答案】A

【解析】

x2+2x+a>03x2+2x+a>0

由，，得《

x+2>0x>-2

由題意可知上式的解集為［1,用)，

所以x=l為方程/+2*+4=0的一個根,

所以l+2+a=0,得a=-3,

故選：A

高頻考點二函數(shù)的基本性質

例2：已知函數(shù)/(X)是奇函數(shù)，且在(0,+8)上是減函數(shù)，且在區(qū)間［a,b］(a<6<0)上的

值域為［-3,4］,則在區(qū)間［一"一團上()

A.有最大值4B.有最小值TC.有最大值-3D.有最小值-3

【答案】B

【解析】

解：?函數(shù)”X)是奇函數(shù)，在(0,+oo)上是減函數(shù)，

/(X)在(-00,())上也是減函數(shù)，

,在區(qū)間勿3<6<0)上的值域為［—3,4］,

二最大值為/(a)=4,最小值為了("=一3,

.-./(X)在區(qū)間［-b,-a］上也是減函數(shù)，且最大值為f(-b)=-f(b)=3,

最小值為/(-a)=—f(a)=-4,

故選：B.

【變式訓練】

1.設函數(shù)/(x)=f''々°,則滿足/(x+D<f(2x)的x的取值范圍是()

l,x>0

A.(-oo,-1]B.(0,+oo)

C.(-1,0)D.(-oo,0)

【答案】D

【解析】

解：函數(shù)/(幻=12'1°,的圖象如圖:

l,x>0

滿足〃x+D</(2x),

可得：2x<0<x+l或2x<x+L,0,

解得_rwy,0).

故選：D.

高頻考點三中心對稱性質：幾個復雜的奇函數(shù)

例3、對于定義在。上的函數(shù)“X),點A(n〃)是/(x)圖像的一個對稱中心的充要條件是:

對任意xe。都有“X)+-x)=2〃，判斷函數(shù)/(x)=V+21+3x+4的對稱中心.

【答案】H'W

【分析】根據(jù)點是/(x)圖像的一個對稱中心的充要條件，列出式子，即可得出結

果.

解：因為/(X)=V+2X2+3X+4,由于

/(x)+/(一§x2—x)=/+2x2+3x+4+(一§x2—x)+21一§x2—x)+

31|、2-尤)+4=弟2=翳.即成=-：，"=齊所以卜|,同是/村=八2/+3*+4的

一個對稱中心.

故答案為：卜費.

【變式訓練】

1、設函數(shù)"x)=ln(T71i7),若a,b滿足不等式/(/-2a)+/(26-/)40,則當

時，2a—h

的最大值為

A.1B.10C.5D.8

【答案】B

【詳解】

因為〃*)+/(-犬)=皿(\/?石'一q+111(正'71+q=0,所以函數(shù)/。)為奇函數(shù),又因為

x>0時“尤卜可^^一+訶4^+力為單調減函數(shù)，且/(0)=0所以/(X)為R上減

函數(shù)，因此

/(/_24+/儂-/)400f(a2-2a)<-f(2b-b2)^f(a2-2a)<f[-2b+b2)

、、、、a>b—a<b

oa2-2a>-2b+b-^(a-1)2>(b-l)2o{八，、或{.一八,因為1Wa44,所以可

a-\-b-2>0a+Lb-2<0

行域為一個三角形ABC及其內部，其中A(l,l),8(4,4),C(4,-2),因此直線z=2a-b過點C時取

最大值10,選B.

【基本規(guī)律】

(a+b2

1、若/(*)滿足/(“+小/(1)="則/(")關于I2J中心對稱

2、特殊的奇函數(shù)：(考試難點)：

mnAin+1U

①、對數(shù)與反比例復合：y=loga,y=loga,如：loga—,log,歸J,loga^-

m+nxm-nxl+x1+kxx+1

②、指數(shù)與反比例復合：y==三,y=-^【,y=L=，丫=上工

a-1a+11+a*\-ax

③、對數(shù)與無理式復合：y=loga(J(kx>+1±kx),如：y=loga(J(x?+l+式

3.形如y="l對稱中心為(0,4)

u,x+12

高頻考點四軸對稱

例4：已知函數(shù)"x)=2ekT-；a(2x-2+22T)-a2有唯一零點，則負實數(shù)〃=(

)

1,1?,

A.一2B.——C.-1D.——或一1

22

【答案】A

【解析】函數(shù)ITI/、有有唯一零點,設％-l=f,

22

/(x)=2/T_；a(2"2+2-V)-6/

則函數(shù)..|、有唯一零點，則“1/、3er-a

〃X)=2那一(優(yōu)z+2-1-/2/-((2，+21="

(2'+2')=a2,

設1,I、,11P(r)為偶函

g(f)=2別一段。3z+21，g(T)=2BT—：a(z2T+2)=g(f),

數(shù)，

???函數(shù)f(f)有唯一零點，，y=g⑺與y=q2有唯一的交點，

???此交點的橫坐標為0,-2-a=a2,解得a=_2或a=l(舍去)，故選A.

【變式訓練】

1.已知函數(shù)/(x)=(d-4x)(ei-/r)+%+1在區(qū)間卜i,5］的值域為［%M］,則

m+M=()

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【詳解】解:y=(x2-4)(ex-e-x)+x在［-3,3］上為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱,

/(x)=(爐一4x)(ex~2-e2"')+x+l=(x-2)?-4］(ex~2-e2T)+x-2+3是將上述函

數(shù)圖象向右平移2個單位，并向上平移3個單位得到，所以/(力圖象關丁。3)對稱，則

m+M=6,故選C.

【基本規(guī)律】

1.函數(shù)人可對于定義域內任意實數(shù)X滿足/("+司=/("一力，則函數(shù)/(刈關于直線

_a+b

“一丁對稱，特別地當〃力=/(力-X)時，函數(shù)/(X)關于直線x=a對稱；

2.如果函數(shù)y=/(x)滿足/(?+x)=/(a—x),則函數(shù)y=/(x)的圖象關于直線x=a

對稱.

a+b

3.y=/(a—x)與y=(x一份關于直線一［對稱。

高頻考點五中心對稱和軸對稱構造出周期性

例5：已知函數(shù)f(x)為定義域為R的偶函數(shù)，且滿足fG+x)=f(|—x),當x€［—1,0］

時，f(x)=-元若函數(shù)F(x)=/(%)+崗在區(qū)間［-9,10］上的所有零點之和為

【答案】5.

【詳解】?.?足fC+x)=/(|-0，，/(x)=f(2-x),又因函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，.?./(>)=

/(-x)=/(2+x),即/0)=/(2+乃，，1=2,令F(x)=0,/(x)=等，，即求f(x)與

2x—1

V-交點橫坐標之和.V=/三=；+尸7，

J2x-l2x-l22X-1

作出圖象：

由圖象可知有10個交點，并且關于G，3中心對稱，.?.其和為弓=5故答案為：5

【變式訓練】

1.定義在R上的奇函數(shù)“X)滿足"2-x)=/(x),且在［0,1)上單調遞減，若方程〃x)=T

在［0,1)上有實數(shù)根，則方程〃x)