高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第6章 等差數(shù)列 講義（全國版）

§6.2等差數(shù)列

【考試要求】〃,并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4./解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系.

?落實

【知識梳理】

1.等差數(shù)列的有關(guān)概念

(1)等差數(shù)列的定義

一般地，如果一個數(shù)列從第丄項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù),那么這個

數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母且表示，定義表達式為@

-a〃-i=d(常數(shù))(〃22,〃GN").

(2)等差中項

o—|—A

若三個數(shù)a,4力成等差數(shù)列，則/叫做a與6的等差中項，且有力=可.

2.等差數(shù)列的有關(guān)公式

(1)通項公式：A=@+(〃-1)a

(2)前n項和公式：Slt=na\-\-~-彳」一d或Sfl=~~—.

3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)

(1)通項公式的推廣：4=a,+5—而d(n,mwN).

(2)若｛a｝為等差數(shù)列，且4+/=/〃+〃(h7,必，〃￡N"),則a+a=&+4.

(3)若｛&｝是等差數(shù)列，公差為a則為,a宀，加g,…(h勿WN*)是公差為次的等差數(shù)列.

(4)數(shù)列第一除S用一應(yīng)，…也是等差數(shù)歹U.

(5)￡〃一1=(2〃-1)&.

(6)等差數(shù)列｛a｝的前"項和為S,[I]為等差數(shù)列.

【常用結(jié)論】

1.己知數(shù)列仿〃｝的通項公式是&=加+。(其中p,。為常數(shù))，則數(shù)列｛a｝一定是等差數(shù)列，

且公差為p.

2.在等差數(shù)列｛a｝中，a>0,水0,則$存在最大值；若a<0,d>0,則$存在最小值.

3.等差數(shù)列｛a,,｝的單調(diào)性：當(dāng)rf>0時，｛a,,｝是遞增數(shù)列；當(dāng)水0時，｛&｝是遞減數(shù)列；當(dāng)d

=0時，｛a,,｝是常數(shù)列.

4.數(shù)列｛a,,｝是等差數(shù)列QS尸加+班(46為常數(shù)).這里公差d=24

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請在括號中打“J”或“X”）

（1）等差數(shù)列｛&｝的單調(diào)性是由公差d決定的.（V）

（2）若一個數(shù)列每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列.（X）

⑶數(shù)列｛aj為等差數(shù)列的充要條件是對任意〃WN*,都有2a/尸&+a卄z.（V）

（4）已知數(shù)列｛&｝的通項公式是a“=p〃+q（其中p,。為常數(shù)），則數(shù)列｛4｝一定是等差數(shù)

列.（V）

【教材改編題】

1.已知等差數(shù)列｛a｝中，a?=3,前5項和W=10,則數(shù)列｛&｝的公差為（）

5

A.-1B.--

C.—2D.—4

答案A

解析設(shè)等差數(shù)列｛&｝的公差為&

???&=5弟=10,

.??曲=。2+4=2,

又.??4=-1.

2.在等差數(shù)列｛4｝中，若我+協(xié)+協(xié)+戊+田=450,則a=.

答案90

3.已知｛&｝是等差數(shù)列，其前〃項和為S”若用=2,且&=30,則$=.

答案126

a+2d=2,

解析由已知可得，

2^i+5(7=10,

5i=-10,

解得，

d=6.

,9X8,

.,.￡=9a+—--4=—90+36X6=126.

?探究核心題型

題型一等差數(shù)列基本量的運算

例1（1）（2022?包頭模擬）已知等差數(shù)列｛a｝中，S,為其前〃項和，S=24,$=99,則畐

等于（）

A.13B.14C.15D.16

答案C

一]S=24,（4a+6d=24,

解析，is=99,?,19&+36d=99,

包=3,

解得則d=a1+6d=15.

(2)記S,為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和.已知S=0,a=5,則下列結(jié)論正確的有.(填

序號)

a=0；②為=2〃-5；

③S,=〃(〃一4)；④〃=一2.

答案①②③

4X”|十加

解析S-o

.??a+4=我+念=0,①正確;

a5=ai+4rf=5,

3i+a=3.\+a+3d--0，

fd=2,

聯(lián)立(*)(**)得

l5i=-3,

，④=一3+(〃-1)X2=2〃-5,

②正確，④錯誤；

Sn=—i<n+~~—X2=〃2—4〃，③正確.

【教師備選】

1.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”若頡=5,&=24,則徐等于()

A.-5B.-7

C.-9D.-11

答案B

解析???勿=5,S=24,

8+2d=5,4a+6d=24,

解得國=9,d=—2,

??3n=11-2/7,

/.a&=ll—2X9=-7.

2.已知｛a〃｝是公差不為零的等差數(shù)列，且團+團。=4，則

‘宀"31…0…'"=___.

97

答案T

解析V31+510=39,

.??a+ai+9d=a+8d,即a尸一d,

/.a\+a2-\-----F曲=S=9功+d=27d,

.?+「-!----bp27

aio=a+9d=8d,二=T

思維升華(1)等差數(shù)列的通項公式及前〃項和公式共涉及五個量國，〃，d,an,S”知道其

中三個就能求岀另外兩個(簡稱“知三求二”).

(2)確定等差數(shù)列的關(guān)鍵是求岀兩個最基本的量，即首項4和公差d

跟蹤訓(xùn)練1(1)記S為等差數(shù)列｛品｝的前〃項和.若a+a=24,&=48,則下列選項正確

的是（）

A.ai=-2B.51=2

C.d=3D."=一3

答案A

頃+夂=2句+74=24,

解析因為

4=6&+15〃=48,

3\=-2,

所以

d=4.

(2)(2020?全國H)記S,為等差數(shù)列｛a.｝的前〃項和.若d=-2,檢+ae=2,則So=.

答案25

解析設(shè)等差數(shù)列｛a.｝的公差為d,

則az+a；=2ai+6d=2.

因為&=一2,所以d=L

所以So=lOX(—2)+與2乂1=25.

題型二等差數(shù)列的判定與證明

例2(2021?全國甲卷)己知數(shù)列｛&｝的各項均為正數(shù)，記S為｛a｝的前〃項和，從下面①②③

中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.

①數(shù)列｛a,,｝是等差數(shù)列；②數(shù)歹U｛低｝是等差數(shù)列；③4=3&.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

解①③=②.

已知｛&｝是等差數(shù)列，4=3&.

設(shè)數(shù)列｛aj的公差為d,

則&=3國=@+&得d=2a、,

所以Sn=na\+~——d=na\.

因為數(shù)列｛a,｝的各項均為正數(shù),

所以鄧“=n\l"￡

所以戶一P=(〃+1)板一//=正(常數(shù))，所以數(shù)列｛*,｝是等差數(shù)列.

①②=③.

已知｛a.｝是等差數(shù)列，｛42｝是等差數(shù)列.

設(shè)數(shù)列｛a｝的公差為d,

則S?=nai+~―—/=1"+

因為數(shù)列人后｝是等差數(shù)列，所以數(shù)列｛、廄｝的通項公式是關(guān)于〃的一次函數(shù)，則以一?=0,

即d=24,所以&=國+"=3功.

②③=①.

已知數(shù)歹此小,｝是等差數(shù)列，&=3以,

所以S=&i,$=國+4=4國.

設(shè)數(shù)列｛、因｝的公差為〃，漆0,

則^/^—帀1=5^一近產(chǎn)&得&=/,

所以，3』，^+(/?—1)d—nd,

所以S?=nd,

所以a=S,—ST=〃2——(〃-1)2/=2/〃一/(〃22),是關(guān)于〃的一次函數(shù)，且鼻=/滿足上

式，所以數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列.

【高考改編】

已知數(shù)列｛a｝中，4=1,前〃項和為S”且滿足〃SrH一(力+DS—：刀2一/?=0,證明：數(shù)歹

是等差數(shù)列，并求｛&｝的通項公式.

33

解因為nSn+\—(〃+1)$一5萬一5〃=0,

3

所以〃s+i—(〃+1)s=5〃(〃+1),

LLI、ISrMS>3s

所以FT=o?V=<3i=l,

n+1n21

所以數(shù)列是以1為首項，|為公差的等差數(shù)列，

S31

7=2/?-2,

,,31

所cr以S?--^n2—~n,

當(dāng)G2時,

1

=3/7—2,

當(dāng)〃=1時，上式也成立，

所以a=3〃-2.

【教師備選】

（2022?煙臺模擬）已知在數(shù)列｛4｝中，ai=l,a=2*+1（啟2,〃WN"）,記<=log2（&+

1）.

⑴判斷｛4｝是否為等差數(shù)列，并說明理由；

⑵求數(shù)列｛&｝的通項公式.

解（1）山,｝是等差數(shù)列，理由如下：

A=log2（a+1）=log22=l,

當(dāng)時，b—bn-1=1og2（^+1）—1og2（az/-1+1）

、4+1,2*+2

=log2^+r=log2^7+r=1,

；.｛》,｝是以i為首項，i為公差的等差數(shù)列.

（2）由（1）知，4=1+（77—1）X1=/7,

：.a?+1^2h-=2",

思維升華判斷數(shù)列｛&｝是等差數(shù)列的常用方法

（1）定義法：對任意〃GN*,&+i—a0是同一常數(shù).

（2）等差中項法：對任意〃22,〃CN”，滿足2a,,=a,,+i+a,,T.

（3）通項公式法：對任意〃GN*,都滿足a,,=m+gS，q為常數(shù)）.

（4）前"項和公式法：對任意〃CN*,都滿足$=4/+而（48為常數(shù)）.

跟蹤訓(xùn)練2已知數(shù)列｛&｝滿足團=1,且〃a“+i—（〃+1）&=2〃2+2/7.

⑴求如?）；

⑵證明數(shù)列［今是等差數(shù)列，并求｛a.｝的通項公式.

解（1）由題意可得純-24=4,

則%=28+4,

又4=1,所以千=6.

由2aa—3H2=12,得2a3=12+3/，

所以的=15.

/_v1―11/口77a〃+1nI1

(2)由已知得--------匸------=2,

n〃十1

即筌—包=2,

〃+1n

所以數(shù)列［￡］是首項為;=1，公差為d=2的等差數(shù)列，

則2=1+2(〃-1)=2/7—1,

n

所以a“=2ri—n.

題型三等差數(shù)列的性質(zhì)

命題點1等差數(shù)列項的性質(zhì)

例3⑴已知數(shù)列｛aj滿足2a"=a"-i+a0+i(〃22),後+囪+選=12,幼+匈+。5=9,則a?+

a等于()

A.6B.7

C.8D.9

答案B

解析因為2ali=a?-i+a?+i,

所以｛a｝是等差數(shù)列，

由等差數(shù)列性質(zhì)可得生+a+%=3a=12,

3l+c?3+^3d3=9,

所以a+&=3+4=7.

(2)(2022?崇左模擬)已知等差數(shù)列｛a｝的前〃項和為S,且我+2+a+條+/=150,則W

等于()

A.225B.250

C.270D.300

答案C

解析等差數(shù)列｛a｝的前〃項和為S,

且功+&+a+a+87=150,

??a+品+a+a=5念=150,

解得戊=30,

9

**?W=5(5i+<?9)=9^5=270.

命題點2等差數(shù)列前〃項和的性質(zhì)

例4(1)已知等差數(shù)列｛品｝的前〃項和為S,若S°=10,S0=60,則S。等于()

A.110B.150

C.210D.280

答案D

解析因為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”

所以So,晩一So,So-So,So—So也成等差數(shù)列.

故(So—￡o)+So=2(So—So),

所以Wo=150.

又因為(￡o—So)+(Sio—So)=2(見一￡。)，

所以So=28O.

(2)等差數(shù)列｛&｝,｛4｝的前〃項和分別為S”。，若對任意正整數(shù)〃都有片=|^二1,則代廠

InJ/?-Z優(yōu)十00

礪

的值為一

bi+th

抬出29

口案43

<911選_&I+d5_2d8_3s

解析氏+為+方+A=2/=式=后

.3s5x8-15152X15—129

'?二④X87—=3X15-2=方

延伸探究將本例(2)部分條件改為若與獸=*則*=________.

功十次//9

答案I

出+為2a5汰5

解析

9句+網(wǎng)

.$_2

2

9金爲(wèi)5

=9fe=^=?

【教師備選】

1.若等差數(shù)列｛4｝的前15項和S5=30,則2a一念一加+外等于()

A.2B.3C.4D.5

答案A

15

解析VS15=30,???5(旬+功5)=30,

??句+品5=4,

??2次=4,??備=2.

??2分-djn-8（）+@14=&+&-a-@10+514=cL\-3［。+&4=40+&-&0=a=2.

2.已知S是等差數(shù)列｛&｝的前〃項和，若嶺=-2020,藕一読=6,則S儂等于（）

乙U乙U乙UJL-

A.2023B.-2023

C.4046D.-4046

答案C

解析:tl為等差數(shù)列，設(shè)公差為，，

則藕一磊=6/=6,=1,

C

首項為:=一2020,

.?.為^=—2020+（2023—1）X1=2,

ZU/J

???￡023=2023X2=4046.

思維升華（1）項的性質(zhì)：在等差數(shù)列｛a｝中，若m+n=p+q（m,〃，p,q￡N'），則&+a〃=

⑵和的性質(zhì)：在等差數(shù)列｛&｝中，S為其前〃項和，則

①￡“=〃（句+/〃）=???=〃（a+&+i）.

②￡〃-1=（2〃-1）a”.

③依次4項和成等差數(shù)列，即￡,&「Sk,協(xié)一品，…成等差數(shù)歹i1.

跟蹤訓(xùn)練3（1）（2021?北京）｛a.｝和的｝是兩個等差數(shù)列，其中弓（1W辰5）為常值，若a尸

288,a=96,厶=192,則&等于（）

A.64B.128C.256D.512

答案B

解析由己知條件可得￡=番

%b\96X192

則b->—,=64,

a,288

b\+k192+64

因此，力3==128.

22

（2）（2022?呂梁模擬）已知S為等差數(shù)列｛a｝的前〃項和，滿足&=3&,口=3&-1,則數(shù)列

的前10項和為（）

A-fB.55

卷1).65

答案C

ai+2rf=3^],

解析設(shè)等差數(shù)列?｝的公差為"，則

團+4=3功—1,

所以&=1,d=l,

〃一1n〃+1

所以Sn=n-[~2~

所以￡'=與

Sn_〃+1+1〃+1_\_

所以

〃+17=-2~=29

所以;T｝是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，

y,10X10-1165

數(shù)列｛二）的刖10項和方o=lO+-------------------x-=—

\11\厶厶乙

課時精練

應(yīng)基礎(chǔ)保分練

1.（2022?信陽模擬）在等差數(shù)列｛4｝中，若8+a=30,3!=11,則｛4｝的公差為（）

A.—2B.2C.—3D.3

答案B

解析設(shè)公差為d,因為劣+爲(wèi)=2夂=30,

所以a6=15,從而/=2.

2.（2022?莆田模擬）已知等差數(shù)列｛a〃｝滿足4+&+&+a“=12,則2asi-a”的值為（）

A.-3B.3C.-12D.12

答案B

解析由等差中項的性質(zhì)可得，

&+a+&+a1=4念=12,

解得&=3,

?2+功1=2a）,

??2a41==57~3.

3.（2022?鐵嶺模擬）中國古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中有如下問題：今有十等人，每等一

人，宮賜金以等次差降之（等差數(shù)列），上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入，得金三

斤，持出；中間三人未到者，亦依等次更給.則第一等人（得金最多者）得金斤數(shù)是（）

A——37R-37

2627

八52八56

C—D—

3939

答案A

解析由題設(shè)知在等差數(shù)列｛a｝中，

ai+a2+&=4,ar+a+aaH-aio=3.

所以3團+3d=4,44+30d=3,

37

解得ai=—

4.（2022?山東省模擬）已知等差數(shù)列｛a,,｝的項數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項之和為

319,所有偶數(shù)項之和為290,則該數(shù)列的中間項為（）

A.28B.29

C.30D.31

答案B

解析設(shè)等差數(shù)列｛&｝共有2〃+1項，

則Sss=ai+a3+a5H-----F1>

S徳=唸+ai+&6+…+

該數(shù)列的中間項為a+”

又S為-S（m=ai+（as-az）+（as-a（）H-----1-（,az?+i—a>,）=ai+d+d-\-------d=ai+nd=a?+i,

所以a?+i—S#—S網(wǎng)=319—290=29.

5.等差數(shù)列｛a｝的公差為d,前〃項和為S,當(dāng)首項初和d變化時，as+as+a.是一個定值,

則下列各數(shù)也為定值的是（）

A.a“B.ai2c.S$D.Sg

答案C

解析由等差中項的性質(zhì)可得a\+as+ai3=3as為定值，則a為定值，

$產(chǎn)巫愛I.備為定值，

但Se」6=8（匈+aJ不是定值.

6.在等差數(shù)列｛a｝中，碟〈-1,且它的前〃項和S有最大值,則使“。成立的正整數(shù)〃

的最大值是（）

A.15B.16C.17D.14

答案C

解析???等差數(shù)列｛a“｝的前〃項和有最大值,

...等差數(shù)列｛&｝為遞減數(shù)列,

510

又一<一1,

a

??⑦>0,,

且的十〃10<0,

1851+518

又Sl8=1=9(a)+510)<0，

2

17國+&7

Sl7='=17a>0,

29

，使S>0成立的正整數(shù)力的最大值是17.

7.（2019?北京）設(shè)等差數(shù)列｛a｝的前〃項和為S.若&=—3,&=—10,則05=

答案0

解析設(shè)等差數(shù)列｛a｝的公差為&

*S=-10,

a+d=-3,

即<

5"+10d=-10,

51=—4,

.??2=31+44=0.

d=l9

8.（2022?新鄉(xiāng)模擬）一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時期的喇嘛式實心

塔群，是中國現(xiàn)存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一.一百零八塔，因塔群的塔數(shù)而得名，

塔群隨山勢鑿石分階而建，由下而上逐層增高，依山勢自上而下各層的塔數(shù)分別為

1,3,3,5,5,7,…，該數(shù)列從第5項開始成等差數(shù)列，則該塔群最下面三層的塔數(shù)之和為

答案51

解析設(shè)該數(shù)列為｛&｝,依題意可知，as,a,…成等差數(shù)列，且公差為2,35=5,

n—4門—5

設(shè)塔群共有〃層，則1+3+3+5+5（〃-4）+--------------------:—X2=108,

解得/7=12（〃=—8舍去）.

故最下面三層的塔數(shù)之和為ai°+au+ai2=3au=3X(5+2X6)=51.

21

9.(2021?全國乙卷)記$為數(shù)列｛a,,｝的前n項和，4為數(shù)列｛S｝的前項機已知§+五=

2.

(1)證明：數(shù)列｛〃,｝是等差數(shù)列；

(2)求｛a〃｝的通項公式.

⑴證明因為4是數(shù)列｛$｝的前〃項積，

所以時，S“=獸,

bn-\

代入卷+；=2可得，當(dāng)口+；=2,

OnUnUn

整理可得26,1+1=2%

即勿一乩一1=；(〃22).

^2.13b,?3

又3+工=7=2,所以仇=3，

dib\b\2

故是以力3為首項，；1為公差的等差數(shù)列.

(2)解由(1)可知，b尸口,

則江磊=2,所以S=陪,

3

當(dāng)〃=1時，a=s=5,

當(dāng)〃22時,

_、，_〃+2〃+1]

a?O??—1I.

n+1nn刀+1

故

〃22.

nn+1

10.在數(shù)列｛a｝中，a=8,國=2,且滿足a+2-2a〃+i+&=0(〃￡N*).

(1)求數(shù)列｛a｝的通項公式；

(2)設(shè)T?=|a|+|a21T----卜丨aj,求爲(wèi)

解(1):4+212a+i+a〃=0,

??a+2-a+1=3n+1-a，

數(shù)列｛a〃｝是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,

?di=8,4=2,

an=a\+(/?—1)d=10—2/?,

⑵設(shè)數(shù)列｛2｝的前〃項和為S,則由⑴可得,

,nn~1?.

S=8z?+-------------X(z-2)=9〃一〃，刀￡N.

由(1)知a=10—2〃，令品=0,得〃=5,

J當(dāng)〃>5時，&<0,

則北=I囪|+|戊|+…+|&|

=&+a2H-----F&-(拓+2-|-------Fw)

=

=&-(S,一&)2&~S｛I

=2X(9X5-25)-(9〃一力=/?2-9/7+40；

當(dāng)〃W5時，，&N0,

則Tn=|由l+l&H------卜|4|

=&+a2H-----\-a?=9n-nf

9n—n,〃W5,〃￡N*,

爲(wèi)=〈

9〃+40,〃26,〃GhT.

D技能提升練

11.設(shè)等差數(shù)列｛a｝的前〃項和為S”若21=—2,￡=0,51rH=3,則而等于（）

A.3B.4C.5D.6

答案C

解析???數(shù)列｛&｝為等差數(shù)列，且前〃項和為

...數(shù)歹也為等差數(shù)列.

.Sw-1.Sr卜12Sm

,?m—1勿+1m’

—23

即—T+F=0，

in-1勿十1

解得加=5,經(jīng)檢驗為原方程的解.

12.（2022?濟寧模擬）設(shè)等差數(shù)列｛&｝的前〃項和是除已知SQ0,&<0,則下列選項不正

確的是（）

A.ai>0,正0

B.4+a>0

C.友與S均為S的最大值

D.呆<0

答案c

解析因為SQ0,

14Xai+a”

所以Sit

2

=7(ai+a”)=7(衛(wèi)+備)〉0,

即az+asX),

因為S5<0,

”，，15Xa\+as

所以Ss=---------------------=15as<0,

所以備〈0,所以&>0,

所以等差數(shù)列｛&｝的前7項為正數(shù)，從第8項開始為負數(shù)，

則&>0,成0,S為S的最大值.

13.（2020?新高考全國I）將數(shù)列｛2〃一1｝與｛3"—2｝的公共項從小到大排列得到數(shù)列｛a｝,

則｛a.｝的前n項和為.

答案3蕓一2n

解析方法一（觀察歸納法）

數(shù)列｛2〃-1｝的各項為1,3,5,7,9,11,13,…；

數(shù)列｛3〃-2｝的各項為1,4,7,10,13,….

觀察歸納可知，兩個數(shù)列的公共項為1,7,13,…，是首項為1,公差為6的等差數(shù)列，

則a”=l+6（〃-1）=6〃-5.

丄厶“.足*丄-na+a?n1+6/?—5

故刖〃項和為s?=---------?=-------------

—3n~2n.

方法二（引入?yún)⒆兞糠ǎ?/p>

令c.=3";—2,b?—c?

則2〃-1=3/?—2,即3面=2〃+1,勿必為奇數(shù).

令力=2t—1,則〃=3L2（t=l,2,3,…）.

a；=&I-2=C2（-i=6f—5,即a?=Qn—5.

以下同方法一.

14.（2022?東莞東方明珠學(xué)校模擬）己知等差數(shù)列｛a“｝的首項a=1,公差為&前力項和為

￡若S忘&恒成立，則公差d的取值范圍是.

解析根據(jù)等差數(shù)列｛&｝的前n項和S滿足SWW恒成立,

可知金NO且dgWO,

所以1+7心0且1+84WO,

解得一點一]

(O

立拓