函數(shù)的基本性質(zhì)與圖像

函數(shù)的基本性質(zhì)與圖像REPORTING目錄函數(shù)概念及基本性質(zhì)一次函數(shù)與二次函數(shù)圖像指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖像三角函數(shù)圖像與性質(zhì)反三角函數(shù)圖像與性質(zhì)總結(jié)回顧與拓展延伸PART01函數(shù)概念及基本性質(zhì)REPORTING函數(shù)是一種特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系，它使得定義域中的每一個(gè)元素通過(guò)某種規(guī)則對(duì)應(yīng)到值域中的一個(gè)唯一元素。函數(shù)定義函數(shù)可以通過(guò)解析式、表格、圖像等多種方式表示。表示方法函數(shù)定義與表示方法函數(shù)值域是指函數(shù)所有可能取到的值的集合。對(duì)應(yīng)法則是函數(shù)的核心，它決定了函數(shù)如何將定義域中的元素映射到值域中。函數(shù)值域與對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則值域函數(shù)奇偶性是指函數(shù)在自變量取相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值是否相等或互為相反數(shù)的性質(zhì)。奇偶性定義奇偶性判斷奇偶性性質(zhì)通過(guò)計(jì)算f(-x)并與f(x)進(jìn)行比較，可以判斷函數(shù)的奇偶性。奇函數(shù)在原點(diǎn)的函數(shù)值為0，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。030201奇偶性判斷及性質(zhì)函數(shù)的周期性是指函數(shù)在某個(gè)特定的非零周期長(zhǎng)度內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)的性質(zhì)。周期性定義通過(guò)計(jì)算f(x+T)并與f(x)進(jìn)行比較，可以判斷函數(shù)的周期性，其中T為周期。周期性判斷周期函數(shù)的圖像具有重復(fù)性，即在一個(gè)周期內(nèi)可以完全描述函數(shù)的圖像。周期性性質(zhì)周期性判斷及性質(zhì)PART02一次函數(shù)與二次函數(shù)圖像REPORTING一次函數(shù)的圖像是一條直線(xiàn)。直線(xiàn)性直線(xiàn)的斜率等于一次函數(shù)的比例系數(shù)。斜率直線(xiàn)在y軸上的截距等于一次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)。截距一次函數(shù)圖像特點(diǎn)拋物線(xiàn)性?huà)佄锞€(xiàn)關(guān)于其對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)。對(duì)稱(chēng)性開(kāi)口方向當(dāng)二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)大于0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上；當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)小于0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下。二次函數(shù)的圖像是一條拋物線(xiàn)。二次函數(shù)圖像特點(diǎn)對(duì)稱(chēng)軸對(duì)于一般形式的二次函數(shù)y=ax^2+bx+c，其對(duì)稱(chēng)軸為x=-b/2a。頂點(diǎn)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)可以通過(guò)公式(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)求得。拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)求法當(dāng)a>0時(shí)，二次函數(shù)有最小值；當(dāng)a<0時(shí)，二次函數(shù)有最大值。最值存在性二次函數(shù)的最值可以通過(guò)其頂點(diǎn)坐標(biāo)求得，即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y取得最值(4ac-b^2)/4a。最值求解二次函數(shù)最值問(wèn)題PART03指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖像REPORTING指數(shù)函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。指數(shù)函數(shù)的圖像在x軸上方，且當(dāng)x趨近于負(fù)無(wú)窮時(shí)，y趨近于0；當(dāng)x趨近于正無(wú)窮時(shí)，y趨近于正無(wú)窮。指數(shù)函數(shù)y=a^x（a>0，a≠1）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,1），且當(dāng)a>1時(shí)，在R上是增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時(shí)，在R上是減函數(shù)。指數(shù)函數(shù)圖像特點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)y=log_a(x)（a>0，a≠1）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,0），且當(dāng)a>1時(shí)，在(0,+∞)上是增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時(shí)，在(0,+∞)上是減函數(shù)。對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像在y軸右側(cè)，且當(dāng)x趨近于0時(shí)，y趨近于負(fù)無(wú)窮；當(dāng)x趨近于正無(wú)窮時(shí)，y趨近于正無(wú)窮。對(duì)數(shù)函數(shù)圖像特點(diǎn)指數(shù)方程解法通過(guò)換元法或配方法將指數(shù)方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程進(jìn)行求解。對(duì)數(shù)方程解法通過(guò)對(duì)數(shù)性質(zhì)將對(duì)數(shù)方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程進(jìn)行求解，注意定義域和值域的限制。指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程解法

指數(shù)型復(fù)合函數(shù)性質(zhì)指數(shù)型復(fù)合函數(shù)是指形如y=f(g(x))的函數(shù)，其中f(x)是指數(shù)函數(shù)，g(x)是另一個(gè)函數(shù)。指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性取決于f(x)和g(x)的單調(diào)性。當(dāng)f(x)和g(x)同增或同減時(shí)，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)f(x)和g(x)一增一減時(shí)，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)。指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域取決于f(x)的值域和g(x)的定義域。當(dāng)g(x)的值域在f(x)的定義域內(nèi)時(shí)，復(fù)合函數(shù)的值域?yàn)閒(x)的值域；否則需要根據(jù)具體情況進(jìn)行分析。PART04三角函數(shù)圖像與性質(zhì)REPORTING周期性振幅相位圖像形狀正弦、余弦函數(shù)圖像特點(diǎn)01020304正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，周期為2π。正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的振幅都是1。正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的相位可以通過(guò)平移進(jìn)行調(diào)整。正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像都是波浪形的，且在周期內(nèi)不斷重復(fù)。正切函數(shù)和余切函數(shù)也是周期函數(shù)，周期為π。周期性正切函數(shù)和余切函數(shù)都有無(wú)數(shù)條漸近線(xiàn)，即函數(shù)值趨向于無(wú)窮大的直線(xiàn)。漸近線(xiàn)正切函數(shù)和余切函數(shù)的圖像都是間斷的，且在每個(gè)周期內(nèi)都有兩個(gè)間斷點(diǎn)。圖像形狀正切、余切函數(shù)圖像特點(diǎn)三角函數(shù)周期性、奇偶性判斷周期性判斷通過(guò)觀(guān)察函數(shù)圖像或者計(jì)算函數(shù)的周期，可以判斷三角函數(shù)是否為周期函數(shù)。奇偶性判斷通過(guò)觀(guān)察函數(shù)圖像或者利用奇偶性定義進(jìn)行判斷。正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)，正切函數(shù)和余切函數(shù)都是奇函數(shù)。取值范圍正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的取值范圍為[-1,1]，正切函數(shù)和余切函數(shù)的取值范圍為實(shí)數(shù)集R。最大值和最小值正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的最大值為1，最小值為-1。正切函數(shù)和余切函數(shù)沒(méi)有最大值和最小值。最值點(diǎn)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的最值點(diǎn)出現(xiàn)在周期內(nèi)的極值點(diǎn)處，而正切函數(shù)和余切函數(shù)沒(méi)有最值點(diǎn)。三角函數(shù)最值問(wèn)題PART05反三角函數(shù)圖像與性質(zhì)REPORTING正弦函數(shù)y=sinx在[-π/2,π/2]上的反函數(shù)，叫做反正弦函數(shù)。記作arcsinx，表示一個(gè)正弦值為x的角，該角的范圍在[-π/2,π/2]區(qū)間內(nèi)。反正弦函數(shù)圖像余弦函數(shù)y=cosx在[0,π]上的反函數(shù)，叫做反余弦函數(shù)。記作arccosx，表示一個(gè)余弦值為x的角，該角的范圍在[0,π]區(qū)間內(nèi)。反余弦函數(shù)圖像反正弦、反余弦函數(shù)圖像特點(diǎn)反正切函數(shù)圖像正切函數(shù)y=tanx在(-π/2,π/2)上的反函數(shù)，叫做反正切函數(shù)。記作arctanx，表示一個(gè)正切值為x的角，該角的范圍在(-π/2,π/2)區(qū)間內(nèi)。反余切函數(shù)圖像余切函數(shù)y=cotx在(0,π)上的反函數(shù)，叫做反余切函數(shù)。記作arccotx，表示一個(gè)余切值為x的角，該角的范圍在(0,π)區(qū)間內(nèi)。反正切、反余切函數(shù)圖像特點(diǎn)0102反三角函數(shù)值域和定義域求解反正切、反余切函數(shù)的值域?yàn)槿w實(shí)數(shù)R，定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)R除去使得分母為零的點(diǎn)。反正弦、反余弦函數(shù)的值域?yàn)閇-1,1]，定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)R。在幾何學(xué)中，反三角函數(shù)可用于計(jì)算角度，例如已知三角形的兩邊長(zhǎng)，可用反正弦或反余弦函數(shù)求得夾角。在物理學(xué)中，反三角函數(shù)可用于描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)、波動(dòng)等周期性現(xiàn)象中的相位差。在工程學(xué)中，反三角函數(shù)可用于解決一些測(cè)量和定位問(wèn)題，例如通過(guò)測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間的距離和角度來(lái)確定第三點(diǎn)的位置。反三角函數(shù)應(yīng)用舉例PART06總結(jié)回顧與拓展延伸REPORTING二次函數(shù)圖像一條拋物線(xiàn)，開(kāi)口方向由二次項(xiàng)系數(shù)決定，頂點(diǎn)為函數(shù)的極值點(diǎn)。一次函數(shù)圖像一條直線(xiàn)，斜率表示函數(shù)的增減性，截距表示函數(shù)在y軸上的截距。指數(shù)函數(shù)圖像底數(shù)大于1時(shí)，圖像在y軸右側(cè)單調(diào)遞增，無(wú)限趨近于x軸；底數(shù)在0到1之間時(shí)，圖像在y軸右側(cè)單調(diào)遞減，無(wú)限趨近于x軸。三角函數(shù)圖像正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖像為周期函數(shù)，形狀為波浪形；正切函數(shù)、余切函數(shù)圖像為周期函數(shù)，但在某些點(diǎn)上存在間斷。對(duì)數(shù)函數(shù)圖像以1為底的對(duì)數(shù)函數(shù)圖像是一條直線(xiàn)；底數(shù)大于1時(shí)，圖像在y軸上方單調(diào)遞增；底數(shù)在0到1之間時(shí)，圖像在y軸下方單調(diào)遞減。各類(lèi)函數(shù)圖像總結(jié)回顧函數(shù)的單調(diào)性一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)具有單調(diào)性；二次函數(shù)的單調(diào)性取決于其開(kāi)口方向和對(duì)稱(chēng)軸位置。函數(shù)的周期性正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)具有周期性，周期分別為2π、2π和π；一次函數(shù)、二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)不具有周期性。函數(shù)的值域一次函數(shù)的值域?yàn)槿w實(shí)數(shù)；二次函數(shù)的值域取決于其開(kāi)口方向和頂點(diǎn)位置；指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)檎龑?shí)數(shù)集；對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)槿w實(shí)數(shù)；三角函數(shù)的值域取決于其具體形式。函數(shù)的奇偶性正弦函數(shù)、余弦函數(shù)為偶函數(shù)；正切函數(shù)、余切函數(shù)為奇函數(shù)；一次函數(shù)和二次函數(shù)的奇偶性取決于其系數(shù)。各類(lèi)函數(shù)性質(zhì)總結(jié)回顧010203復(fù)合函數(shù)的定義設(shè)y=f(u)的定義域?yàn)镈u，值域?yàn)镸u，函數(shù)u=g(x）的定義域?yàn)镈x，值域?yàn)镸x，如果Mx∩Du≠?，那么對(duì)于Mx∩Du內(nèi)的任意一個(gè)x經(jīng)過(guò)u；有唯一確定的y值與之對(duì)應(yīng)，則變量x與y之間通過(guò)變量u形成的一種函數(shù)關(guān)系，這種函數(shù)稱(chēng)為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)的圖像復(fù)合函數(shù)的圖像可以通過(guò)對(duì)基本初等函數(shù)的圖像進(jìn)行變換得到。常見(jiàn)的變換包