三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)交流

三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)高一溫欣新課程特地設(shè)置“三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用〞一節(jié)，目的是加強(qiáng)用三角函數(shù)模型刻畫周期變化現(xiàn)象的學(xué)習(xí)，這是以往教學(xué)中不太留意的內(nèi)容。書上選擇了4個例題，按部就班地從四個層次來介紹三角函數(shù)模型的應(yīng)用：例一：依據(jù)圖象建立解析式。〔探討溫度隨時間呈周期性變化的問題〕；例二：依據(jù)解析式作出圖象?！蔡接懠罢液瘮?shù)有關(guān)的簡單函數(shù)y=|sinx|的圖象及其周期〕；例三：將實(shí)際問題抽象為及三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型。〔探討樓高及樓在地面的投影長的關(guān)系問題〕；例四：利用收集到的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并依據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)展函數(shù)擬合，從而得到函數(shù)模型?！蔡接懜劭诤Ｋ疃入S時間呈周期性變化的問題〕。依據(jù)教材的支配，我們分兩個課時完成這局部內(nèi)容：例一、例二、例三為第一課時，例四為第二課時。在上第一課時時，由于考慮到例二這個內(nèi)容，在上正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)時已提前講解過，學(xué)生也已根本駕馭，同時也考慮到本堂課時間的限制，在這里就不再重復(fù)。依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)，我們將第一課時的教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重難點(diǎn)定為：1、知識目標(biāo)：a通過對三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步學(xué)會由圖象求解析式的方法；b體驗(yàn)實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)模型問題的過程；c體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型．2、實(shí)力目標(biāo)：讓學(xué)生體驗(yàn)一些具有周期性變化規(guī)律的實(shí)際問題的數(shù)學(xué)“建模〞思想,從而培育學(xué)生的建模、分析問題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等實(shí)力．3、情感目標(biāo)：讓學(xué)生切身感受數(shù)學(xué)建模的過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的價值和作用，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)愛好，培育鍥而不舍的鉆研精神；培育學(xué)生勇于探究、勤于思索的精神。教學(xué)重點(diǎn)：依據(jù)圖象求的解析式；將實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)模型。教學(xué)難點(diǎn)：分析、整理、利用信息，從實(shí)際問題中抽取根本的數(shù)學(xué)關(guān)系來建立數(shù)學(xué)模型，并調(diào)動相關(guān)學(xué)科的知識來解決問題．教學(xué)過程如下：首先從同學(xué)們比擬熟識的“物理中單擺、彈簧振子對平衡位置的位移及時間的關(guān)系〞引入，說明在現(xiàn)實(shí)世界中存在著不少周而復(fù)始，循環(huán)不息的現(xiàn)象，包括有物理，地理方面的，也有心理、生理現(xiàn)象以及日常生活現(xiàn)象等，而這些具有周期性變化的現(xiàn)象在數(shù)學(xué)上有時就可以借助三角函數(shù)來描述。這里完全可以讓學(xué)生舉幾個例子。學(xué)生們的想象是很豐富的，比方說這里的峰谷電，自行車車輪轉(zhuǎn)動，溫度變化等就是由學(xué)生提出來的。這個界面〔幻燈片5〕可以表達(dá)三角函數(shù)應(yīng)用的廣泛性。也可以由這個界面超級鏈接到各個例題，起到一個提綱挈領(lǐng)的作用。接下來是例一，函數(shù)圖象求函數(shù)解析式，這是老教材就有的內(nèi)容，只不過套了一個“溫度〞的外殼。為了表達(dá)數(shù)學(xué)的好用性，即由圖象求得解析式后，解析式有什么用，在這里我補(bǔ)充了第三小題“求出8時的近似溫度〞。這〔藍(lán)線〕是為了說明假如拿平衡點(diǎn)代入求值時會出現(xiàn)增根，需檢驗(yàn)。接下來是例二〔也即書上的例三〕，為了增加親切感，我把書中的“北京地區(qū)〞改為了“寧波地區(qū)〞，一些數(shù)值也進(jìn)展了相應(yīng)的改動。原來對這道題我有點(diǎn)擔(dān)憂，覺得“太陽高度角〞這個概念自己理解起來都有點(diǎn)費(fèi)勁，學(xué)生能理解嗎？但事實(shí)上我的擔(dān)憂是多余的。學(xué)生的地理知識遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過我，他們很快就能反映過來，“要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋〞，只需考慮冬至那天，太陽直射南回來線的狀況，因?yàn)槟且惶焯柛叨冉亲钚。矬w的影子最長。而他們也很快反響到：地球外表某地正午太陽高度角為900減去太陽直射緯度及該地緯度差的肯定值〔即〕。因此解這道題并不是特殊困難。我們只需通過這幾張幻燈片幫同學(xué)們理解一下這個公式的由來，這道題便迎刃而解。為了進(jìn)一步拉近數(shù)學(xué)及我們生活的距離，讓學(xué)生真實(shí)感受到數(shù)學(xué)來源于生活，生活中就有數(shù)學(xué)，我們還可以在這里補(bǔ)充這樣的反面問題：比方有一天你想買房，某住宅小區(qū)樓及樓之間相距15米，你要使所買的樓房一年四季正午的太陽不被前面樓房遮擋，應(yīng)選擇哪幾層的房子？其實(shí)我們接觸到的三角函數(shù)模型的應(yīng)用有兩類：一類是模型將其詳細(xì)化，如例1；另一類是模型未知，須要你依據(jù)題目狀況選擇相宜的數(shù)學(xué)模型加以解決，如例二。當(dāng)然第二類難度更大。因此為了更好地突破難點(diǎn)，也依據(jù)我校學(xué)生的實(shí)際狀況，在做了簡單歸納總結(jié)后，我補(bǔ)充了例三。例三的數(shù)學(xué)模型是未知的，要學(xué)生自己找尋相宜的數(shù)學(xué)模型，它對學(xué)生思維層次的要求比擬高，學(xué)生可能會感到困難。因此我借助幾何畫板加以不停的水輪旋轉(zhuǎn)演示，使學(xué)生能夠發(fā)覺角及高度的關(guān)系，扶植學(xué)生理解題意。經(jīng)過探討探究，學(xué)生結(jié)合正弦函數(shù)的定義，給出正確解答。至于本課的課后體驗(yàn)探究是盼望進(jìn)一步拉近三角函數(shù)及學(xué)生的距離，激發(fā)學(xué)生的愛好。這是可以證明的，留給有愛好的學(xué)生完成。也可以試著讓學(xué)生自編題目。以上是第一課時，這堂課通過三角函數(shù)圖象求三角函數(shù)解析式，構(gòu)建三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題，使學(xué)生相識到數(shù)學(xué)原來就來自身邊的現(xiàn)實(shí)世界，它是相識和解決我們生活工作中問題的有力武器。同時也獲得了進(jìn)展數(shù)學(xué)探究的切身體驗(yàn)和實(shí)力，增加了他們對數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信念。三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用的第二課時便是書上的例四“港口海水深度隨時間呈周期性變化的問題〞，這是繼必修1函數(shù)這一章節(jié)以后，第二次出現(xiàn)的函數(shù)擬合問題。但由于生疏的背景，困難的數(shù)據(jù)處理，函數(shù)思想運(yùn)用等學(xué)生還是會感到困難，我們對它的教學(xué)目標(biāo)定位是：知識目標(biāo)：能正確分析收集到的數(shù)據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)模型刻畫數(shù)據(jù)所蘊(yùn)涵的規(guī)律，能依據(jù)問題的實(shí)際意義，利用模型說明有關(guān)實(shí)際問題，為決策供應(yīng)依據(jù)。 實(shí)力目標(biāo)：體會由現(xiàn)實(shí)問題選擇數(shù)學(xué)模型、探討數(shù)學(xué)模型、解決現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生逐步養(yǎng)成運(yùn)用信息技術(shù)工具解決實(shí)際問題的意識和習(xí)慣；使學(xué)生進(jìn)一步提升對函數(shù)概念的完整相識，培育用函數(shù)觀點(diǎn)綜合運(yùn)用知識解決問題的實(shí)力，培育學(xué)生理論及實(shí)踐相結(jié)合，用科學(xué)、辯證的眼光視察事物，進(jìn)而抓住事物的本質(zhì)。情感目標(biāo)：體驗(yàn)探究和創(chuàng)建過程，從中獲得勝利的歡樂，體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的重要性，激發(fā)對數(shù)學(xué)的愛好和樹立自信念，滲透數(shù)學(xué)及現(xiàn)實(shí)統(tǒng)一和諧之美。教學(xué)重點(diǎn)：用三角函數(shù)模型刻畫潮汐變化的規(guī)律，用函數(shù)思想解決具有周期變化規(guī)律的實(shí)際問題。教學(xué)難點(diǎn)：對問題實(shí)際意義的數(shù)學(xué)說明，從實(shí)際問題中抽象出三角函數(shù)模型，并綜合運(yùn)用相關(guān)知識解決實(shí)際問題。由于這堂課當(dāng)時是沈虎躍老師開的公開課，因此在這里我給大家演示的絕大局部也是沈老師的課件，稍做改動。我覺得他是從五個步驟來實(shí)現(xiàn)教學(xué)過程的?！惨弧吃O(shè)置情境，呈現(xiàn)問題為了增加趣味性，從法國圣米切爾山的漲潮、落潮引入。圣米切爾山是繼巴黎鐵塔同凡爾賽宮之后，法國第三大景點(diǎn)。它的最大特點(diǎn)是"在水中央"，潮漲時整座山幾乎四面環(huán)"海"，潮退時則一片荒漠。這個引入大受學(xué)生歡送，激發(fā)了他們學(xué)習(xí)的愛好。另外也可以這樣引入：這是沖浪，依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時，才對沖浪者開放；這是我們的寧波港。、隨后提出問題〔幻燈片23〕。這兩個問題實(shí)質(zhì)上就是本堂課要探討的重點(diǎn)問題，在這里先給學(xué)生一個直觀感覺，為接下來的例題出現(xiàn)供應(yīng)背景。〔二〕探究實(shí)踐，找尋模型(1)初步相識更進(jìn)一步地提出詳細(xì)問題〔幻燈片24〕。作散點(diǎn)圖時，留意引導(dǎo)學(xué)生及“五點(diǎn)法〞來刻畫水深及時間的關(guān)系.由圖象求出解析式。求出解析式后便可依靠計(jì)算器或計(jì)算機(jī)求得各整點(diǎn)時的水深的近似值。(2)深化探究〔幻燈片27~30〕。問題二也就是說只有當(dāng)海水深度超過5.5米時，貨船才能夠平安進(jìn)出港口，并在港口停留。它的求解假如只利用表格或圖象，只能看個也許。要想得到相對精確的數(shù)值必需如書上寫的依靠計(jì)算機(jī)或計(jì)算器通過函數(shù)解析式結(jié)合函數(shù)周期進(jìn)展數(shù)據(jù)運(yùn)算?！霸囋嚳川暿菃栴}二的反面問題，可以借助圖象解決，但最快的是利用表格里面的數(shù)據(jù)。問題三貨船的平安水深由一個常量改為了變量，把它抽象為關(guān)于時刻x的一個一次函數(shù)。我們在列出函數(shù)表達(dá)式后，也采納數(shù)形結(jié)合的方法加以解決?？梢钥吹皆赑點(diǎn)之前必需將船駛向較深水域。書上結(jié)合圖象用兩頭靠近的方法特別近似地求得在6點(diǎn)半前駛向較深水域，則如何比擬精確地求得P點(diǎn)的時間值呢？書上注講解用二分法求解，但課堂時間有限，用二分法求解會化費(fèi)太多的時間，這時我們可以用計(jì)算機(jī)excel的單變量求解功能來快速求解，以節(jié)約時間?？紤]到問題的實(shí)際意義，待問題解決以后，我們要回來現(xiàn)實(shí)提問學(xué)生：“在貨艙的平安水深正好及港口水深相等時停頓卸貨，行嗎？〞。事實(shí)上這是不行的，因?yàn)檫@樣不能保證貨船有足夠的時間發(fā)動螺旋槳。因此雖然我們得出比擬精確的時間6.715,但最終我們?nèi)匀灰稹盀榱似桨藏洿詈迷?點(diǎn)半之前停頓卸貨，將船駛向較深水域。〞因此書上只求近似值，未求精確解的做法是完全可行。但我們這種求精確點(diǎn)，答近似值的做法可以向?qū)W生更好地說明建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題所得的模型是近似的并且得到的解也是近似的，這就須要依據(jù)實(shí)際背景對問題的解進(jìn)展詳細(xì)分析，得出符合實(shí)際的答復(fù)。其實(shí)剛剛的問題二也有同樣的狀況。(四)練習(xí)反響,提高實(shí)力在解決好上述問題之后，如時間允許，可進(jìn)展一些練習(xí)，一則可以改編一些問題讓學(xué)生試著解決；二則也可以讓學(xué)生就此模型再提出一些其它問題，并加以解決。這里的“練習(xí)〞是及引入中的“沖浪〞相照應(yīng)。(五)總結(jié)提煉