考研線性代數(shù)-向量

向量向量的相關無關；線性表出概念n維有序數(shù)組：列向量，行向量；k；內(nèi)積(點乘)()；長度(模)()==E，稱A是正交矩陣(==E，稱A是可逆矩陣)正交一定可逆|A|=1行向量(列向量)為單位向量；行向量(列向量)之間正交；A,B均n階正交矩陣，且|A|+|B|=0證明|A+B|=0線性相關1.對于N維向量，若使得。(奇次方程組有非零解即|A|=0)r()<n注：當方程組的未知數(shù)的個數(shù)大于方程個數(shù)，方程一定有非零解相關=0 ，相關共線 ，，相關共面線性無關若線性組部分線性相關則整個線性組線性相關A-m×n：行向量線性相關r(A)<m；列向量線性相關r(A)<n線性組合，線性表示：即求方程組的解r()=r()線性無關，線性相關可由表示線性相關，則存在可由剩下的表示出來可由線性表示，且s>t則線性相關線性無關且可由線性表示，則st可由線性表示，則r()r()向量組等價(可以相互表出)極大無關組若一個向量組中存在一個r個子式不相關，且任一個r+1階子式均相關一個向量組的兩個極大無關組個數(shù)相等且等價極大無關組和向量組本身等價極大無關組所含向量的個數(shù)為該向量組的秩一個向量組的秩為r則極大無關組為r個，秩為r個。任意r+1個線性相關A-m×n，Ax=0有非零解r(A)<n即無關解向量的個數(shù)n-r(A)向量的行向量的線性相關性與列向量的線性相關性沒有必然聯(lián)系(雖然秩一樣)轉(zhuǎn)置R(A+B)R(A)+R(B)ABx=0的解包含Bx=0的解但是和Ax=0的解毫無關系解空間基變換B=AC：其中C一定是可逆的。解變換Bx=0；Ax=0.施密特正交化法證明題：線性相關或無關1).秩(秩的公式)2).定義(設證k全為0：乘因子或重組)關鍵是乘某一個因子 使得得到的式子里出現(xiàn)0項，使式子變短，繼而將k逐漸剝出來3).兩步走戰(zhàn)略:根據(jù)題目已知信息的矩陣同乘；然后跟乘前式子比較用減或加。A-n階，-n維。A0，A=0.證明，A，A,....,A無關A-n階，，，-n維。A=0；A=+，A=+。證明，，線性無關(i=1,2,3,...,r;r<n)系列線性無關是說明是否線性相關是矩陣A不同的特征值，,分別是對應的特征向量。證,線性無關同乘A得比較消除，，線性無關。證3+2，-，4-5線性無關是矩陣A不同的特征值，,分別是對應的特征向量。則,A(+)線性無關0A-m×n；-n維；-m維。后者的秩前者的秩若相關則相關；后者無關，前者一定無關A，B為滿足AB=0的任意兩個非零矩陣，則A的列向量線性相關B的行。。。A-m×n；B-n×s；AB=0則r(A)+r(B)n(i=1,2,3)系列線性無關是線性無關。線性無關C線性無關線性表示(化簡時寫一些關鍵步驟，給分的)(向量組等價)1)秩2)定義1.(A)(B)如果A可