2023-2024學(xué)年北京市西城區(qū)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷（含解析）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages44頁(yè)試卷第=page44頁(yè)，共=sectionpages44頁(yè)2023-2024學(xué)年北京市西城區(qū)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷本試卷共2頁(yè)，共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案寫(xiě)在答題紙上，在試卷上作答無(wú)效.一?選擇題：本大題共10道小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目的要求.把正確答案涂寫(xiě)在答題卡上相應(yīng)的位置.1．設(shè)集合，集合，則A與B的關(guān)系為（

）A． B． C． D．2．如圖，角以為始邊，它的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的值為（

）A． B． C． D．3．在中，若，則（

）A． B． C． D．4．已知，，，則（）．A． B． C． D．5．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)（

）A．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍B．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的C．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍D．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的6．下列四個(gè)函數(shù)中，最小正周期為，且為偶函數(shù)的是（

）A． B．C． D．7．函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是（

）A． B． C． D．8．設(shè)為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．已知角為第一象限角，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上的動(dòng)點(diǎn)，是銳角，大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ二?填空題：本大題共5道小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題紙中相應(yīng)的橫線(xiàn)上.11．在中，三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若，則.12．設(shè)、均為單位向量，且，則.13．已知角的終邊關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且，則的一組取值可以是，.14．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，與交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，則．15．若函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，則下列結(jié)論正確的是.①；

②；

③；

④三?解答題：本大題共6道小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16．在中，，，.(1)求的面積；(2)求的長(zhǎng).17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，.(1)若，求的值；(2)若與的夾角為，求的值.18．已知函數(shù)由下列四個(gè)條件中的三個(gè)來(lái)確定：①最小正周期為；

②最大值為；

③；

④.(1)寫(xiě)出能確定的三個(gè)條件，說(shuō)明理由，并求的解析式；(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)當(dāng)時(shí)，求證：.19．已知，其中.(1)求的值；(2)求的值；(3)設(shè)，且，求的值.20．已知函數(shù)，其中且.(1)若對(duì)任意，方程有解，求的取值范圍；(2)若對(duì)任意，都有，求的取值范圍；21．對(duì)于集合和常數(shù)，定義：為集合A相對(duì)的的“余弦方差”.(1)若集合，求集合A相對(duì)的“余弦方差”；(2)若集合，是否存在，使得相對(duì)任何常數(shù)的“余弦方差”是一個(gè)與無(wú)關(guān)的定值？若存在，求出的值：若不存在，則說(shuō)明理由.答案第=page1111頁(yè)，共=sectionpages1111頁(yè)答案第=page1212頁(yè)，共=sectionpages1212頁(yè)1．A【分析】根據(jù)終邊相同的角的知識(shí)確定正確答案.【詳解】由于集合，所以集合表示終邊落在軸上的角的集合；由于集合，所以集合表示終邊落在軸上的角的集合；所以.故選：A2．B【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得的值．【詳解】角以為始邊，它的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以則；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．3．D【分析】利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值.【詳解】由可得，由余弦定理可得，，因此，.故選：D.4．C【分析】根據(jù)角的范圍，利用誘導(dǎo)公式和正切函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷的大小關(guān)系．【詳解】由題意可知，，．再根據(jù)，∴，∴．綜上可得，，故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和正切函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．A【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移，伸縮的變換規(guī)律，即可判斷選項(xiàng).【詳解】函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到函數(shù).故選：A6．D【分析】根據(jù)余弦型函數(shù)的奇偶性與周期性一一判斷即可.【詳解】對(duì)于A：令，則，所以為的周期，故的最小正周期不為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：令，則，所以為偶函數(shù)，且最小正周期，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：為非奇非偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：令，則，所以為偶函數(shù)，又的最小正周期為，的最小正周期為，所以的最小正周期為，故D正確.故選：D7．D【分析】利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，令，解得，所以函?shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，，當(dāng)可得其一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為.故選：D8．A【分析】根據(jù)共線(xiàn)向量和向量數(shù)量積的定義依次判斷充分性和必要性即可得到結(jié)果.【詳解】若為非零向量，且存在負(fù)數(shù)，使得，則共線(xiàn)且方向相反，，充分性成立；當(dāng)時(shí)，的夾角可能為鈍角，此時(shí)不存在負(fù)數(shù)，使得，必要性不成立；“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的充分不必要條件.故選：A.9．A【分析】先確定的取值范圍，由此求得的取值范圍.【詳解】由于角為第一象限角，所以，所以，由于，所以，所以.故選：A10．B【分析】由題意首先確定面積最大時(shí)點(diǎn)P的位置，然后結(jié)合扇形面積公式和三角形面積公式可得最大的面積值.【詳解】觀察圖象可知，當(dāng)P為弧AB的中點(diǎn)時(shí)，陰影部分的面積S取最大值，此時(shí)∠BOP=∠AOP=π-β,面積S的最大值為+S△POB+S△POA=4β+.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查閱讀理解能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、數(shù)形結(jié)合思想及數(shù)學(xué)式子變形和運(yùn)算求解能力，有一定的難度.關(guān)鍵觀察分析區(qū)域面積最大時(shí)的狀態(tài)，并將面積用邊角等表示.11．【分析】根據(jù)正弦定理計(jì)算可得.【詳解】由正弦定理，即，解得.故答案為：12．【分析】根據(jù)及數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?、均為單位向量，且，所?故答案為：13．（答案不唯一，符合題意即可）（答案不唯一，符合題意即可）【分析】由角的終邊關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，可得，再由可得或，即可求出答案.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則，，則，因?yàn)?，所以，所有或，，解得：或，，取，的一個(gè)值可以為，的一個(gè)值可以為.故答案為：（答案不唯一，符合題意即可）；（答案不唯一，符合題意即可）.14．2【分析】利用已知條件，結(jié)合向量的數(shù)量積公式求解即可．【詳解】解：正方形的邊長(zhǎng)為2，與交于點(diǎn)，得：，是的中點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，，．故答案為：15．②③④【分析】將函數(shù)和的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖像交點(diǎn)問(wèn)題，再數(shù)形結(jié)合研究分析即可.【詳解】分別令，，得，，所以函數(shù)的零點(diǎn)等價(jià)于與圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，函數(shù)的零點(diǎn)等價(jià)于與圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出函數(shù)、和在上的圖像，如圖所示：因?yàn)楹瘮?shù)與在上的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，單調(diào)遞減，所以，,所以，則，，故①錯(cuò)誤，②③正確，又，所以，即，故④正確.故答案為：②③④.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題?？梢赞D(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)問(wèn)題，用數(shù)形結(jié)合加以分析.16．(1)(2)或【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式求出，再由面積公式計(jì)算可得；（2）首先求出，再由余弦定理計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又，，所?（2）因?yàn)?，且，所以，?dāng)時(shí)，由余弦定理；當(dāng)時(shí)，由余弦定理；綜上可得或.17．(1)(2)【分析】（1）依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到，從而求出；（2）首先求出，，由數(shù)量積的定義得到，從而得到，將兩邊平方即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，且，所以，則，即，所以.（2）因?yàn)?，，所以，，又與的夾角為，所以，又，即，所以，即，即，所以.18．(1)①②③，理由見(jiàn)解析，(2)，(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)所選條件求出參數(shù)、、的值，推出矛盾，即可確定只能選①②③，從而求出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（3）由的取值范圍求出的范圍，即可求出函數(shù)在上的值域，即可證明.【詳解】（1）若選②③④，則，又，所以，則，又，所以無(wú)解，故不符合題；若選①③④，則，解得，由，又，所以，又，解得，與矛盾，故不符合題意；若選①②④，則，，解得，又，所以，則，又，所以無(wú)解，故不符合題；所以只能選①②③．由條件①②③，則，，解得，則，由，又，得，所以；（2）令，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，．（3）當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)，即時(shí)取得最小值，即，當(dāng)，即時(shí)取得最大值，即，所以，所以.19．(1)(2)(3)【分析】（1）由結(jié)合已知條件即可求出.（2）利用誘導(dǎo)公式和倍角公式化簡(jiǎn)即可計(jì)算求解.（3）先由已知條件求出，再結(jié)合求出即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題，（2）由（1），原式，（3）由（1），即，又由，，所以，，又由，，又，故，，所以，故由.20．(1)(2)【分析】（1）令，可得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到，即可求出參數(shù)的取值范圍；（2）依題意對(duì)任意，都有，令，則對(duì)任意，都有，再，，只需滿(mǎn)足，解得即可.【詳解】（1）令，即，又，所以，又，所以，解得或，所以的取值范圍為.（2）因?yàn)閷?duì)任意，都有，即對(duì)任意，都有，即對(duì)任意，都有，即對(duì)任意，都有，令，則，所以對(duì)任意，都有，令，，則，解得，即的取值范圍為.21．(1)(2)存在，；理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)已知，代入公式計(jì)算求解，即可得出答案；（2）假設(shè)存在，根據(jù)定義代入，結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)得出.即可得出當(dāng)成立時(shí)