1.6 完全平方公式（第1課時(shí)）（同步課件）-2023-2024學(xué)年北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)

第一章整式的乘除6.1完全平方公式探索&交流完全平方公式1—探究(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=

.(2)(m+2)2=

.(3)(p－1)2=(p－1)(p－1)=

.(4)(m－2)2=

.p2+2p+1m2+4m+4m2－4m+4p2－2p+1探索&交流我們來(lái)計(jì)算下列(a+b)2，(a－b)2.(a+b)2=

(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2

=a2+2ab+b2.(a－b)2=(a－b)(a－b)=a2－ab－ab+b2

=a2－2ab+b2.探索&交流（a+b）2=a2+2ab+b2兩個(gè)數(shù)的和的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加這兩個(gè)數(shù)乘積的2

倍.用自己的語(yǔ)言敘述這一公式！簡(jiǎn)記為：“首平方，尾平方，積的2倍放中間”想一想探索&交流你能用圖解釋這一公式嗎?

babababa=++a2ababb2（a+b）2=a2+2ab+b2探索&交流探索&交流（a–b）2=？你是怎樣做的？（a–b）2=（a–b）（a–b）=a2–2ab+b2（a–b）2=[a+（–b）]2=a2+2a（–b）+（–b）2=a2–2ab+b2議一議(a+b)2aabb兩數(shù)差的完全平方公式：(a－b)2ababb2你能自己設(shè)計(jì)一個(gè)圖形解釋這一公式嗎？做一做探索&交流完全平方公式的數(shù)學(xué)表達(dá)式：(a+b)2=a2+2ab+b2.(a-b)2=a2-2ab+b2.完全平方公式的文字?jǐn)⑹觯簝蓚€(gè)數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.探索&交流典例精析例1.利用完全平方公式計(jì)算：(1)(2x－3)2；(2)(4x+5y)2；(3)

(mn－a)2

.解：(1)(2x－3)2=(2x)2－2·2x·3+32

=4x2－12x+9；(2)(4x+5y)2=(4x)2+2·4x·5y+(5y)2

=16x2+40xy+25y2；(3)(mn－a)2=(mn)2－2·mn·a+a2

=m2n2－2amn+a2.思考：(a+b)2與(-a-b)2相等嗎?(a-b)2與(b-a)2相等嗎?(a-b)2與a2-b2相等嗎?為什么?理由：(-a-b)2=(-a)2-2·(-a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2(a-b)2=a2-b2不一定相等.只有當(dāng)b=0或a=b時(shí)，(a-b)2=a2-b2.探索&交流典例精析例2.利運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：(1)(－x＋5)2；(2)(－a－2b)2；解：(1)原式＝(x－5)2＝(x)2－2·x·5＋52

＝x2－10x＋25；(2)原式＝(a＋2b)2＝a2＋2·a·2b＋(2b)2

＝a2＋2ab＋4b2典例精析例3.已知a2＋b2＝9，ab＝6，求(a＋b)2，(a－b)2的值.解：因?yàn)閍2＋b2＝9，ab＝6，所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab

＝9＋2×6＝21；(a－b)2＝a2＋b2－2ab

＝9－2×6＝-3.隨堂練習(xí)練習(xí)&鞏固C

1.計(jì)算(－a－b)2等于(

)A．a(chǎn)2＋b2B．a(chǎn)2－b2C．a(chǎn)2＋2ab＋b2D．a(chǎn)2－2ab＋b2練習(xí)&鞏固C

2.小明計(jì)算一個(gè)二項(xiàng)式的平方時(shí)，得到正確結(jié)果a2－10ab＋■，但最后一項(xiàng)不慎被污染了，這一項(xiàng)應(yīng)是(

)A．5bB．5b2

C．25b2D．100b2練習(xí)&鞏固A

2.若x2＋8x＋k是完全平方式，則k等于(

)A．16B．－16C．±3D．±4(1)1972；

例1運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：(2)992.解：992=(100–1)2=10000-200+1=9801.解：1972=(200–3)2=40000-1200+9=38809.=2002-2×200×3+9=1002-2×100×1+1新知學(xué)習(xí)例2計(jì)算：(1)(x+3)2－x2；解：(1)(x+3)2－x2=

x2+6x+9－x2=6x+9例2計(jì)算：(2)(a+b+3)(a+b－3)解：(2)(a+b+3)(a+b－3)=[(a+b)+3][(a+b)－3]

=(a+b)2－32

=a2+2ab+b2－9；例2計(jì)算：(3)(x+5)2－(x－2)(x－3).解：(3)(x+5)2－(x－2)(x－3)=

x2+10x+25－(x2－5x+6)

=

x2+10x+25－x2+5x－6=

15x+19.一位老人非常喜歡孩子．每當(dāng)有孩子到他家做客時(shí)，老人都要拿出糖果招待他們．如果來(lái)1個(gè)孩子，老人就給這個(gè)孩子1塊糖果；來(lái)2個(gè)孩子，老人就給每個(gè)孩子2塊糖果；如果來(lái)3個(gè)孩子，老人就給每個(gè)孩子3塊糖果……

做一做假如第一天有a個(gè)孩子一起去看老人，第二天有b個(gè)孩子一起去看老人，第三天有(a+b)個(gè)孩子一起去看老人，那么第三天老人給出去的糖果和前兩天給出去的糖果總數(shù)一樣多嗎？請(qǐng)你用所學(xué)的公式解釋自己的結(jié)論.解：第一天a個(gè)孩子，給出去的糖果a×a=a2.第二天b個(gè)孩子，給出去的糖果b×b=b2.第二天(a+b)個(gè)孩子，給出去的糖果(a+b)2=a2+2ab+b2.所以第三天老人給出去的糖果比前兩天給出去的糖果多.隨堂練習(xí)1.若m+n=3，則代數(shù)式2m2+4mn+2n2-6的值為（）A.12B.3C.4D.0A2.如果(a＋b)2＝16，(a－b)2＝4，且a、b是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，則這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是(

)A．3 B．4C．5 D．6A3.利用乘法公式計(jì)算：(1)982－101×99；＝(2022－2021)2＝1.解：原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝1002－400＋4－1002＋1＝－395；解：原式＝20222－2×2022×2021＋20212(2)20222－2022×4042＋20212.(1)(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3)；解：(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3)＝x2－4－(x2－2x－3)＝2x－1；4.計(jì)算：(2)(ab+1)2-(ab-1)2；解：(ab＋1)2－(ab－1)2＝(ab＋1＋ab－1)(ab＋1－ab＋1)＝2ab×2＝4ab；(3)(x-y+1)(x+y-1)；解：(x-y+1)(x+y-1)＝[x－(y－1)][x＋(y－1)]＝x2－(y－1)2＝x2－y2＋2y－1；(4)(a-3b)2+9(a-b)(a+b)．解：(a-3b)2+9(a-b)(a+b)＝a2－6ab＋9b2＋9(a2－b2)＝a2－6ab＋9b2＋9a2－9b2＝10a2－6ab.解：a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.5.若a+b=5，ab=-6，求a2+b2，a2-ab+b2.解題時(shí)常用結(jié)論：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;4ab=(a+b)2-(a-b)2.6.先化簡(jiǎn)，再求值：(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2－2a2，其中ab＝－1.解：(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2－2a2＝a2－b2＋a2＋2ab＋b2－2a2＝2ab.當(dāng)ab＝－1時(shí)，原式＝2×(－1)＝－2.7.如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為a＋b的正方形圖形分割成四部分(兩個(gè)正方形和兩個(gè)長(zhǎng)方形)，請(qǐng)認(rèn)真觀察圖形，解答下列問(wèn)題：(1)根據(jù)圖中條件，請(qǐng)用兩種方法表示該圖形的總面積(用含a、b的代數(shù)式表示出來(lái))；解：根據(jù)圖中條件得，該圖形的總面積為a2＋2ab＋b2或(a＋b)2；(2)如果圖中的a，b(a＞b)滿足a2＋b2＝35，ab＝23，求a＋b的值；解：由(1)可知(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，∵a2＋b2＝35，ab＝23，∴(a＋b)2＝35＋46＝81，∵a＋b＞0，∴a＋b＝9；(3)已知(5＋2x)2＋(3－2x)2＝60，求(5＋2x)(3－2x)的值．解：設(shè)5＋2x＝a，3－2x＝b，則a2＋b2＝60，