《角動(dòng)量理論》課件

第3章角動(dòng)量理論

本章討論角動(dòng)量及相關(guān)內(nèi)容的系統(tǒng)處理方法。角動(dòng)量理論對(duì)理解核、原子、分子和固體發(fā)光等譜學(xué)現(xiàn)象是必須的；散射、碰撞及束縛態(tài)等問(wèn)題的處理也常常需要關(guān)于角動(dòng)量方面的考慮。角動(dòng)量的概念在核物理、粒子物理等領(lǐng)域有重要應(yīng)用和推廣。角動(dòng)量理論重要和應(yīng)用廣泛的原因:平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)是粒子運(yùn)動(dòng)的基本形式；角動(dòng)量是表征微觀量子態(tài)的重要參數(shù)1a第3章角動(dòng)量理論本章討論角動(dòng)量及相關(guān)內(nèi)容的系統(tǒng)處理方§3.1轉(zhuǎn)動(dòng)及角動(dòng)量的對(duì)易關(guān)系一、有限轉(zhuǎn)動(dòng)繞同一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)是對(duì)易的，但繞不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)是不對(duì)易的：2a§3.1轉(zhuǎn)動(dòng)及角動(dòng)量的對(duì)易關(guān)系一、有限轉(zhuǎn)動(dòng)2a二、轉(zhuǎn)動(dòng)的數(shù)學(xué)描述轉(zhuǎn)動(dòng)前后矢量可由表征該轉(zhuǎn)動(dòng)的實(shí)3x3正交矩陣聯(lián)系：正交矩陣：RRT=RTR=1(T表示矩陣的轉(zhuǎn)置）如繞Z軸轉(zhuǎn)Φ角的矩陣為：轉(zhuǎn)動(dòng)不改變矢量的長(zhǎng)度：3a二、轉(zhuǎn)動(dòng)的數(shù)學(xué)描述轉(zhuǎn)動(dòng)前后矢量可由表征該轉(zhuǎn)動(dòng)的實(shí)3x3正交矩三、無(wú)窮小轉(zhuǎn)動(dòng)由：得：（忽略2階小量，則繞不同軸的無(wú)窮小轉(zhuǎn)動(dòng)是對(duì)易的）或：4a三、無(wú)窮小轉(zhuǎn)動(dòng)由：4a四、量子力學(xué)中的無(wú)窮小轉(zhuǎn)動(dòng)

1）態(tài)矢的變化：R的維數(shù)為3，D(R)的維數(shù)依態(tài)矢空間的維數(shù)而定2）轉(zhuǎn)動(dòng)算符的構(gòu)造參照無(wú)窮小空間平移和無(wú)窮短時(shí)間演化算符的構(gòu)造，考慮到角動(dòng)量是轉(zhuǎn)動(dòng)的生成元，可得繞由單位矢量所表征的軸轉(zhuǎn)dΦ的轉(zhuǎn)動(dòng)算符：這里厄米算符Jk為角動(dòng)量算符。上式可看作量子動(dòng)力學(xué)中角動(dòng)量算符的定義。該定義比經(jīng)典的角動(dòng)量（XxP）定義更普適，適用于自旋等。5a四、量子力學(xué)中的無(wú)窮小轉(zhuǎn)動(dòng)1）態(tài)矢的變化：五、有限轉(zhuǎn)動(dòng)有限大小角度的轉(zhuǎn)動(dòng)可由無(wú)數(shù)個(gè)無(wú)窮小轉(zhuǎn)動(dòng)組合而成：6a五、有限轉(zhuǎn)動(dòng)有限大小角度的轉(zhuǎn)動(dòng)可由無(wú)數(shù)個(gè)無(wú)窮小轉(zhuǎn)動(dòng)組合而成：六、轉(zhuǎn)動(dòng)算符的性質(zhì)假定D(R)與R具有相同的群性質(zhì)（合理要求）：7a六、轉(zhuǎn)動(dòng)算符的性質(zhì)假定D(R)與R具有相同的群性質(zhì)（合理要求七、角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系對(duì)應(yīng)于有：得對(duì)易關(guān)系：綜合Jx與Jz及Jy與Jz的關(guān)系，可得角動(dòng)量算符的基本對(duì)易關(guān)系：該式歸納了三維轉(zhuǎn)動(dòng)的所有基本性質(zhì)。由于不同Ji不對(duì)易，三維的轉(zhuǎn)動(dòng)群為非Abel群。8a七、角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系對(duì)應(yīng)于8a§3.2自旋1/2體系和有限轉(zhuǎn)動(dòng)

一、自旋1/2體系的轉(zhuǎn)動(dòng)算符能使角動(dòng)量對(duì)易關(guān)系成立的非平庸空間最小維數(shù)是2.電子的自旋算符：容易驗(yàn)證Sk滿足角動(dòng)量的對(duì)易關(guān)系，即Sk可看作自旋1/2體系的Jk，并且其對(duì)易關(guān)系為實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。9a§3.2自旋1/2體系和有限轉(zhuǎn)動(dòng)一、自旋1/2體系的轉(zhuǎn)動(dòng)二、轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)自旋角動(dòng)量的影響考慮繞Z轉(zhuǎn)Φ，態(tài)的變化為：物理量如Sx的測(cè)量結(jié)果變?yōu)椋盒枰?jì)算10a二、轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)自旋角動(dòng)量的影響考慮繞Z轉(zhuǎn)Φ，態(tài)的變化為：10a上式也可由Baker-Hausdorff引理算出：由于該推導(dǎo)只利用了角動(dòng)量的對(duì)易關(guān)系，適用于角動(dòng)量高于1/2的體系。11a上式也可由Baker-Hausdorff引理算出：11a即對(duì)自旋1/2體系有：類(lèi)似可得：以上結(jié)果表明，轉(zhuǎn)動(dòng)算符作用于態(tài)矢確實(shí)使S的期待值繞z軸轉(zhuǎn)了Φ角即自旋算符期待值具有與經(jīng)典矢量在轉(zhuǎn)動(dòng)下的相同變化行為：Rkl是對(duì)應(yīng)于給定轉(zhuǎn)動(dòng)的3×3正交矩陣R的矩陣元由于方法二適用于任何J，故該性質(zhì)行為不限于自旋1/2體系。對(duì)一般的角動(dòng)量算符Jk也有:以后會(huì)知道該結(jié)果可適用于任意矢量算符。矢量圖像有利于對(duì)角動(dòng)量的簡(jiǎn)明理解12a即對(duì)自旋1/2體系有：12a三、轉(zhuǎn)動(dòng)2π的結(jié)果對(duì)有：即需轉(zhuǎn)4π才能使態(tài)矢復(fù)原（復(fù)原<S>只需轉(zhuǎn)2π）這種奇特的相位變化是有可觀測(cè)的物理效應(yīng)的13a三、轉(zhuǎn)動(dòng)2π的結(jié)果對(duì)13a四、自旋進(jìn)動(dòng)

基于該H的時(shí)間演化算符為若將ωt看作Φ，則u(t,0)與轉(zhuǎn)動(dòng)算符相同。由此容易理解該H導(dǎo)致自旋進(jìn)動(dòng)。自旋期待值隨時(shí)間變化為運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)=2π/ω.態(tài)矢的“進(jìn)動(dòng)”周期則為4π/ω,為自旋進(jìn)動(dòng)周期的2倍14a四、自旋進(jìn)動(dòng)14a五、2π轉(zhuǎn)動(dòng)的中子干涉測(cè)量研究要觀測(cè)到態(tài)矢轉(zhuǎn)2π后的負(fù)號(hào)，需將轉(zhuǎn)動(dòng)前后的態(tài)矢進(jìn)行比較。如圖所示，當(dāng)AB中子束在相干區(qū)相遇，其磁場(chǎng)導(dǎo)致的相位差為ωT/2,T為經(jīng)過(guò)有場(chǎng)區(qū)的時(shí)間,ω為自旋進(jìn)動(dòng)頻率.干涉區(qū)的可觀測(cè)強(qiáng)度具有周期變化形式cos(ωT/2).產(chǎn)生干涉極大的相鄰B為(l為有場(chǎng)區(qū)路徑長(zhǎng)度):實(shí)驗(yàn)結(jié)果證實(shí)了量子力學(xué)預(yù)言的正確性。

15a五、2π轉(zhuǎn)動(dòng)的中子干涉測(cè)量研究要觀測(cè)到態(tài)矢轉(zhuǎn)2π后的負(fù)號(hào)，需六、自旋態(tài)的二分量形式

對(duì)自旋?體系，取則上述|α>的列矩陣被稱為二分量旋量，記為相應(yīng)地：16a六、自旋態(tài)的二分量形式對(duì)自旋?體系，取16a七、Pauli矩陣基本性質(zhì)取則17a七、Pauli矩陣基本性質(zhì)取則17a七、Pauli矩陣（續(xù)）(a的分量為實(shí)數(shù)18a七、Pauli矩陣（續(xù)）(a的分量為實(shí)數(shù)18a八、二分量表述形式中的轉(zhuǎn)動(dòng)算符轉(zhuǎn)動(dòng)算符：矩陣表示據(jù)有得

19a八、二分量表述形式中的轉(zhuǎn)動(dòng)算符轉(zhuǎn)動(dòng)算符：19a八、二分量表述形式中的轉(zhuǎn)動(dòng)算符（續(xù)）轉(zhuǎn)動(dòng)作用下：由矩陣表示知

(即任何態(tài)矢|α>經(jīng)2π轉(zhuǎn)動(dòng)都相應(yīng)變?yōu)?|α>

20a八、二分量表述形式中的轉(zhuǎn)動(dòng)算符（續(xù)）轉(zhuǎn)動(dòng)作用下：20a九、的本征值為1的本征態(tài)

相當(dāng)于：（可直接求解）下面的解法是為了說(shuō)明態(tài)矢的空間轉(zhuǎn)動(dòng)概念設(shè)n的方位角為α,與z軸夾β角.將自旋向上態(tài)繞y軸旋轉(zhuǎn)β,再繞z軸旋轉(zhuǎn)α,則所得態(tài)矢對(duì)應(yīng)于沿n的自旋向上態(tài).21a九、的本征值為1的本征態(tài)相當(dāng)于：可見(jiàn)，該本征態(tài)對(duì)應(yīng)先用ex