數(shù)列與概率統(tǒng)計(jì)結(jié)合題型匯總（原卷版）-2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型突破（新高考通用）

重難點(diǎn)專題30數(shù)列與概率統(tǒng)計(jì)結(jié)合題型匯總

anil

題型1求數(shù)列通項(xiàng)公式型.............................................................1

題型2證明等比數(shù)列型...............................................................5

題型3求和型........................................................................9

題型4數(shù)列的綜合問題..............................................................12

draniii

題型1求數(shù)列通項(xiàng)公式型

【例題1】(2023秋?山東?高三校考階段練習(xí))某品牌女裝專賣店設(shè)計(jì)摸球

抽獎促銷活動，每位顧客只用一個(gè)會員號登陸，每次消費(fèi)都有一次隨機(jī)摸球的機(jī)會.已知顧

客第一次摸球抽中獎品的概率為；；從第二次摸球開始，若前一次沒抽中獎品，則這次抽中

的概率為|,若前一次抽中獎品，則這次抽中的概率為［,記該顧客第n次摸球抽中獎品的概

率為4.

Q)求P2的值，并探究數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)求該顧客第幾次摸球抽中獎品的概率最大，請給出證明過程.

【變式1-1］1.(2023秋?浙江?高三校聯(lián)考階段練習(xí))杭州亞運(yùn)會定于2023年9月23日

至10月8日舉行.在此期間，參加亞運(yùn)會的運(yùn)動員可以在亞運(yùn)村免費(fèi)食宿.亞運(yùn)村的某餐

廳從第一天起到最后一天，晚餐只推出“中式套餐"和"西式套警”.已知某運(yùn)動員每天晚

餐會在該食堂提供的這兩種套餐中選擇.已知他第一晚選擇“中式套餐"的概率為］而前

一晚選擇了“中式套餐"，后一晚繼續(xù)選擇“中式套餐”的概率為；，前一晚選擇"西式套

餐"，后一晚繼續(xù)選擇“西式套餐"的概率為［如此往復(fù).

⑴求該運(yùn)動員第二晚"中式套餐”套餐的概率；

(2)記該運(yùn)動員第n(n=1,2,…,16)晚選擇“中式套餐”的概率為4

(i)求匕；

(ii)求該運(yùn)動員在這16晚中選擇"中式套餐”的概率大于“西式套餐”概率的晚數(shù).

【變式1-1]2.(2023秋?江蘇常州?高三常州高級中學(xué)校考開學(xué)考試)某校為了增強(qiáng)學(xué)生

的安全意識,組織學(xué)生參加安全知識答題競賽，每位參賽學(xué)生可答題若干次，答題賦分方法

如下：第一次答題，答對得2分，答錯得1分；從第二次答題開始，答對則獲得上一次答

題得分的兩倍，答錯得1分.學(xué)生甲參加這次答題競賽，每次答對的概率為|,且每次答題

結(jié)果互不影響.

(1)求學(xué)生甲前三次答題得分之和為4分的概率;

(2)設(shè)學(xué)生甲第，次答題所得分?jǐn)?shù)Xj(ieN*)的數(shù)學(xué)期望為E(XJ.

(i)求E(XD,E(X2),E(X3)；

(ii)直接寫出E(Xj)與22)滿足的等量關(guān)系式(不必證明)；

(iii)根據(jù)(ii)的等量關(guān)系求E(&)表達(dá)式，并求滿足E(XD>10的i的最小值.

【變式1-1]3.(2023?全國?高三專題練習(xí))2021年奧運(yùn)會我國射擊項(xiàng)目收獲豐盛，在我

國射擊也是一項(xiàng)歷史悠久的運(yùn)動.某射擊運(yùn)動愛好者甲來到靶場練習(xí).若某種型號的槍支彈巢

中一共可裝填6發(fā)子彈，現(xiàn)有一槍支其中有小(小>1)發(fā)為實(shí)彈，其余均為空包彈，現(xiàn)規(guī)定：

每次射擊后，都需要在下一次射擊之前填充一發(fā)空包彈，假設(shè)每次射擊相互獨(dú)立且均隨機(jī),

在進(jìn)行n(neN)次射擊后,記彈巢中空包彈的發(fā)數(shù)為Xn,

Q)當(dāng)keN”時(shí)，請直接寫出數(shù)學(xué)期望E(XQ與E(Xn-D的關(guān)系；

(2)求出E(Xn)關(guān)于ri的表達(dá)式.

【變式1-U4(2023秋?安徽合肥?高三合肥一中校聯(lián)考開學(xué)考試)為慶祝中國共產(chǎn)黨成立

102周年，學(xué)校某班組織開展了“學(xué)黨史，憶初心”黨史知識競賽活動，抽取四位同學(xué)，分

成甲、乙兩組，每組兩人，進(jìn)行對戰(zhàn)答題.規(guī)則如下：每次每位同學(xué)給出6道題目，其中有

一道是送分題(即每位同學(xué)至少答對1題).若每次每組答對的題數(shù)之和為3的倍數(shù)，原答

題組的人再繼續(xù)答題；若答對的題數(shù)之和不是3的倍數(shù)，就由對方組接著答題.假設(shè)每位同

學(xué)每次答題之間相互獨(dú)立.求：

(1)若第一次由甲、乙組答題是等可能的，求第2次由乙組答題的概率；

(2)若第一次由甲組答題，記第n次由甲組答題的概率為匕,求匕.

【變式1-1]5.(2023秋湖南湘潭?高三湘鋼一中?？奸_學(xué)考試)新寧良山景區(qū)是世界自然

遺產(chǎn)、國家5A級景區(qū)，其中"八角寨"景區(qū)和"天下第一巷"景區(qū)是新寧良山景區(qū)的兩張

名片.為了合理配置旅游資源，現(xiàn)對已游覽“八角寨"景區(qū)且尚未游覽"天下第一巷"景區(qū)

的游客進(jìn)行隨機(jī)調(diào)查，若不游覽"天下第一巷"景區(qū)記2分，若繼續(xù)游覽"天下第一巷"

景區(qū)記4分，假設(shè)每位游客選擇游覽"天下第一巷"景區(qū)的概率均為]游客之間選擇意愿

相互獨(dú)立.

(1)從游客中隨機(jī)抽取2人，記總得分為隨機(jī)變量X,求X的數(shù)學(xué)期望；

(2)(i)記GN*)表示"從游客中隨機(jī)抽取k人，總分恰為2k分”的概率，求出｝的前4

項(xiàng)和；

(ii)在對游客進(jìn)行隨機(jī)問卷調(diào)查中，記即仇eN*)表示"已調(diào)查過的累計(jì)得分恰為2n分"

的概率，探求即與即-式兀＞2)的關(guān)系，并求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式.

【變式1-1]6.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，作一個(gè)白色的正三角形，第一次操作為：

挖去正三角形的"中心三角形"(即以原三角形各邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形)，這樣就得到了

三個(gè)更小的白色三角形；第二次操作為：挖去第一次操作后得到的所有白色三角形的"中心

三角形"；以此類推，第n+l(neN*)次操作為：挖去第九次操作后得到的所有白色三角形

的“中心三角形"，得到一系列更小的白色三角形.這些白色三角形構(gòu)成的圖案在"分形幾

何學(xué)"中被稱為"謝賓斯基三角形"，記第n次操作后，"謝賓斯基三角形"所包含的白色

小三角形的數(shù)目為a”，"謝賓斯基三角形"的面積（所有白色小三角形的面積和）為右,

周長（所有白色小三角形的周長和）為的.

第1次操作后

第2次操作后第3次操作后

（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

（2）若最初的白色正三角形的周長為1,求數(shù)列｛品｝和｛S"的通項(xiàng)公式.

【變式1-117.（2023?全國?高三專題練習(xí)）某地區(qū)2020年底有居民住房面積為a，現(xiàn)在

居民住房劃分為三類，其中危舊住房占？，新型住房占：,為加快住房建設(shè)，計(jì)劃用10年的

34

時(shí)間全部拆除危舊住房（每年拆除的數(shù)量相同），自2021年起居民住房只建設(shè)新型住房.從

2021年開始每年年底的新型住房面積都比上一年底增加20%,用即表示第n年底（2021

年為第一年）該地區(qū)的居民住房總面積.

（1）分別寫出內(nèi),的計(jì)算公式并歸納出即的計(jì)算公式（不必證明）.

（2）危舊住房全部拆除后，至少再過多少年才能使該地區(qū)居民住房總面積翻兩番？（精確到

年，lg2k0.30,lg3?0.48,lg43?1.63)

【變式1-1]8.（2023秋?上海寶山?高三上海交大附中?？茧A段練習(xí)）某工廠在2020年的

"減員增效"中對部分人員實(shí)行分流，規(guī)定分流人員第一年可以到原單位領(lǐng)取工資的100%,

從第二年起，以后每年只能在原單位按上一年工資的|領(lǐng)取工資.該廠根據(jù)分流人員的技術(shù)

特長，計(jì)劃創(chuàng)辦新的經(jīng)濟(jì)實(shí)體，該經(jīng)濟(jì)實(shí)體預(yù)計(jì)第一年屬投資階段，第二年每人可獲得b

元收入，從第三年起每人每年的收入可在上一年的基礎(chǔ)上遞增50%,如果某人分流前工資

收入為每年a元，分流后進(jìn)入新經(jīng)濟(jì)實(shí)體，第n年的收入為加元.

⑴求5｝的通項(xiàng)公式.

(2)當(dāng)b=居時(shí)，這個(gè)人哪一年的收入最少？最少為多少？

(3)當(dāng)b>蓑時(shí)，是否一定可以保證這個(gè)人分流一年后的收入永遠(yuǎn)超過分流前的年收入？

題型2證明等比數(shù)列型

【例題2](2023秋?廣東佛山?高三?？茧A段練習(xí))某商場為促銷設(shè)計(jì)了一項(xiàng)回饋客戶的抽

獎活動，抽獎規(guī)則是：有放回的從裝有大小相同的6個(gè)紅球和4個(gè)黑球的袋中任意抽取一

個(gè)，若第一次抽到紅球則獎勵50元的獎券，抽到黑球則獎勵25元的獎券；第二次開始，

每一次抽到紅球則獎券數(shù)額是上一次獎券數(shù)額的2倍，抽到黑球則獎勵25元的獎券，記顧

客甲第n次抽獎所得的獎券數(shù)額Xn(l<n<6)的數(shù)學(xué)期望為E(Xn).

(1)求E(XJ及X2的分布列.

(2)寫出E(Xn)與E(Xn_i)(n>2)的遞推關(guān)系式，并證明｛E(X”)+50｝為等比數(shù)列；

(3)若顧客甲一共有6次抽獎機(jī)會，求該顧客所得的所有獎券數(shù)額的期望值.(考數(shù)據(jù)：1.26x

2.986)

【變式2-1]1.(2024秋?廣東廣州?高三統(tǒng)考階段練習(xí))某商場擬在周末進(jìn)行促銷活動，

為吸引消費(fèi)者,特別推出“玩游戲,送禮券”的活動,游戲規(guī)則如下：該游戲進(jìn)行10輪，

若在10輪游戲中，參與者獲勝5次就送2000元禮券，并且游戲結(jié)束：否則繼續(xù)游戲，直

至10輪結(jié)束.已知該游戲第一次獲勝的概率是!若上一次獲勝則下一次獲勝的概率也是J

若上一次失敗則下一次成功的概率是：.記消費(fèi)者甲第n次獲勝的概率為氏，數(shù)列偽"的前八項(xiàng)

和JXiPn=Tn,且7；的實(shí)際意義為前幾次游戲中平均獲勝的次數(shù).

(1)求消費(fèi)者甲第2次獲勝的概率P2；

（2）證明：｛pn-3為等比數(shù)列；并估計(jì)要獲得禮券，平均至少要玩幾輪游戲才可能獲獎.

【變式2-1]2.（2023秋?遼寧?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）踢耀子在我國流傳很廣，有著悠久

的歷史，是一項(xiàng)傳統(tǒng)民間體育活動.某次體育課上，甲、乙、1丙、丁四人一起踢腿子.犍子

在四人中傳遞，先從甲開始，甲傳給乙、丙、丁的概率均為：；當(dāng)乙接到髭子時(shí)，乙傳給甲、

丙、丁的概率分別為:，）；當(dāng)丙接到毯子時(shí)，丙傳給甲、乙、丁的概率分別為9J；

當(dāng)丁接到鍵子時(shí)，丁傳給甲、乙、丙的概率分別為:，;，去假設(shè)鍵子一直沒有掉地上，經(jīng)過n

次傳腿子后，稿子被甲、乙、丙、丁接到的概率分別為冊,bnicn,dn,已知的=0.

Q）記丁在前2次傳催子中，接到腿子的次數(shù)為X,求X的分布列；

⑵證明鼠-；｝為等比數(shù)列，并判斷經(jīng)過150次傳毯子后甲接到腿子的概率與沏大小.

【變式2-1】3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）某幾位大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)創(chuàng)辦了一個(gè)服務(wù)公司提

供人B兩種民生消費(fèi)產(chǎn)品（人們購買時(shí)每次只買其中一種）服務(wù)，他們經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：

第一次購買產(chǎn)品的人購買4的概率為|、購買B的概率為]而前一次購買4產(chǎn)品的人下一次來

購買4產(chǎn)品的概率為:、購買B產(chǎn)品的概率為:，前一次購買B產(chǎn)品的人下一次來購買力產(chǎn)品的

概率為會購買B產(chǎn)品的概率也是[,如此往復(fù).記某人第n次來購買4產(chǎn)品的概率為4.

Q）求P2,并證明數(shù)列｛4-|｝是等比數(shù)列；

（2）經(jīng)過一段時(shí)間的經(jīng)營每天來購買產(chǎn)品的人穩(wěn)定在800人，假定這800人都已購買過很多

次該兩款產(chǎn)品，那么公司每天應(yīng)至少準(zhǔn)備人B產(chǎn)品各多少份.（直接寫結(jié)論、不必說明理由）.

【變式2-1]4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥,

希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效

進(jìn)行對比試驗(yàn).對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得

出后，再安排下一輪試驗(yàn),當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就

停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試3僉，若施

以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得n分；若施以乙藥的白鼠

治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得n分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均

得。分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和B，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

Q)求n的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，=0,1，…,8)表示"甲藥的累計(jì)得分為i時(shí),

最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率,則Po=0,P8=1,Pi=api-1+bpi+cpi+i(i=

1,2,???,7),其中a-P(X——1),b—P(X=0),c=P(X-1).假設(shè)a=0.5,/?=0.8.

(i)證明：{Pi+1-Pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列；

(ii)求P4，并根據(jù)P4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

【變式2-1]5.(2023秋?江蘇南京?高三南京市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí))足球是一項(xiàng)大眾喜

愛的運(yùn)動.

喜愛足球運(yùn)動不喜愛足球運(yùn)動合計(jì)

男性6040100

女性2080100

合計(jì)80120200

(1)為了解喜愛足球運(yùn)動是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男性和女性各100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，得

到下側(cè)2x2列聯(lián)表，判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為喜愛足球運(yùn)動與性別有關(guān).

P(72>Xo)0.1000.0500.0250.0100.001

2.7063.8415.0246.63510.828

附"飛盛緇黑)…,n=a+b+c+d.

(2)校足球隊(duì)中的甲、乙、丙三名球員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí),

傳球者都等可能的將球傳給另外兩個(gè)人中的任^可一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球

都能被接到.記開始傳球的人為第1次觸球者，第幾次觸球者是甲的概率記為匕，即匕=1.

①求。3（直接寫出結(jié)果即可）；

②證明：數(shù)列｛4-目為等比數(shù)列，并比較第9次與第10次觸球者是甲的概率的大小.

【變式2-1]6.（2023秋?湖北武漢?高三武漢市第四十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）甲、乙兩人進(jìn)

行象棋比賽，賽前每人發(fā)3枚籌碼.一局后負(fù)的一方，需將自己的一枚籌碼給對方；若平局，

雙方的籌碼不動，當(dāng)一方無籌碼時(shí)，比賽結(jié)束，另一方最終獲勝.由以往兩人的比賽結(jié)果可

知，在一局中甲勝的概率為0.3、乙勝的概率為0.2.

（1）第一局比賽后,甲的籌碼個(gè)數(shù)記為X,求X的分布列和期望；

（2）求四局比賽后，比賽結(jié)束的概率；

（3）若=0,1,…,6）表示"在甲所得籌碼為i枚時(shí)，最終甲獲勝的概率"，則P。=0,P6=1.

證明：｛R+i-4｝。=0,12…,5）為等比數(shù)列.

【變式2-1】7.（2023?全國?高三專題練習(xí)）甲、乙兩個(gè)容器中分別盛有濃度為10%,20%

的某種溶液500ml,同時(shí)從甲、乙兩個(gè)容器中取出100ml溶液，將其倒入對方的容器并攪

勻，這稱為一次調(diào)和.記的=10%,為=20%,經(jīng)5-1）次調(diào)和后，甲、乙兩個(gè)容器的溶

液濃度分別為時(shí),bn.

（1）試用。我-1,bn-1表,bn.

⑵證明：數(shù)歹！1｛冊一%｝是等比數(shù)歹II,并求出冊,垢的通項(xiàng).

【變式2-1】8.（2023?全國?高三專題練習(xí)）一種擲骰子走跳棋的游戲：棋盤上標(biāo)有第0站、

第1站、第2站、…、第100站，共101站，設(shè)棋子跳到第九站的概率為匕,一枚棋子開始在第

0站，棋手每擲一次骰子，棋子向前跳動一次.若擲出奇數(shù)點(diǎn)，棋子向前跳一站；若擲出偶

數(shù)點(diǎn)，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第99站（獲勝）或第100站（失?。r(shí)，游戲結(jié)束（骰

子是用一種均勻材料做成的立方體形狀的游戲玩具，它的六個(gè)面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1、2、3、4、

5、6).

(1)求P。、B、P2,并根據(jù)棋子跳到第n站的情況，試用4-2和匕-1表示匕；

(2)求證：｛4-Pn_J(n=1,2,…,99)為等比數(shù)列；

(3)求玩該游戲獲勝的概率.

【變式2-1]9.(2023?全國?高三專題練習(xí))數(shù)學(xué)的發(fā)展推動著科技的進(jìn)步，正是基于線性

代數(shù)、群論等數(shù)學(xué)知識的極化碼原理的應(yīng)用，華為的5G技術(shù)領(lǐng)先世界.目前某區(qū)域市場中

5G智能終端產(chǎn)品的制造由A公司及B公司提供技術(shù)支持據(jù)市場調(diào)研預(yù)測,5G商用初期，

該區(qū)域市場中采用A公司與B公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品分別占比劭=55%及無=45%，假

設(shè)兩家公司的技術(shù)更新周期一致，且隨著技術(shù)優(yōu)勢的體現(xiàn)每次技術(shù)更新后，上一周期采用B

公司技術(shù)的產(chǎn)品中有20%轉(zhuǎn)而采用A公司技術(shù)，采用A公司技術(shù)的僅有5%轉(zhuǎn)而采用B公

司技術(shù)，設(shè)第n次技術(shù)更新后，該區(qū)域市場中采用A公司與B公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品占

比分別為即及%，不考慮其它因素的影響.

Q)用%表示%+i，并求實(shí)數(shù)4，使｛%-乃是等比數(shù)列；

(2)經(jīng)過若干次技術(shù)更新后，該區(qū)域市場采用A公司技術(shù)的智能終端產(chǎn)品占比能否達(dá)到75%

以上？若能，至少需要經(jīng)過幾次技術(shù)更新;若不能，說明理由?(參考數(shù)據(jù)坨2?0.301,lg3x

0.477)

題型3求和型

【例題3](2023?全國?高三專題練習(xí))銀行按規(guī)定每經(jīng)過一定的時(shí)間結(jié)算存(貸)款的利

息一次，結(jié)算后將利息并入本金這種計(jì)算利息的方法叫做復(fù)利現(xiàn)在某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，

有兩種方案：

甲方案:一次性貸款10萬元，第一年可獲得利潤1萬元，以后每年比上年增加30%的利潤；

乙方案：每年貨款1萬元，第一年可獲得利潤1萬元，以后每年比前一年多獲利5000元.

兩種方案的期限都是10年，到期一次性歸還本息.若銀行貸款利息均以年息10%的復(fù)利計(jì)

算，試問該企業(yè)采用哪種方案獲得利潤更多？（參考數(shù)據(jù)：1.110=2.594,1.310=13.796,

計(jì)算結(jié)果精確到千元.）

【變式3-1]1.（2023秋?吉林長春?高三校考階段練習(xí)）習(xí)近平說：“綠水青山就是金山銀

山”.某地響應(yīng)號召，投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，20

18年投入1000萬元，以后每年投入將比上一年減少]本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為50

0萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會比上一年增加:

⑴設(shè)n年內(nèi)（2018年為第一年）總投入為&萬元，旅游業(yè)總收入為7；萬元，寫出右,7；的

表達(dá)式；

（2）至少到哪一年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？

（參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010,lg3=0.4771,lg5=0.6990）

【變式3-1]2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）小明參加一項(xiàng)答題活動，需進(jìn)行兩輪答題，每

輪均有n（n6N*）道題.第一輪每道題都要作答；第二輪按次序作答，每答對一題繼續(xù)答下

一題，一旦答錯或題目答完則結(jié)束答題.第一輪每道題答對得5分，否則得0分；第二輪

每道題答對得20分，否則得0分.無論之前答題情況如何，小明第一輪每題答對的概率均

為]第二輪每題答對的概率均為|,設(shè)小明第一輪答題的總得分為X,第二輪答題的總得分

為Y.

Q）若n=30,求E（X）；

（2）證明：當(dāng)n>24時(shí),E（X）>E（Y）.

【變式3-1]3.（2023秋?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）甲同學(xué)現(xiàn)參加一項(xiàng)答題活動，其每

輪答題答對的概率均為]且每輪答題結(jié)果相互獨(dú)立.若每輪答題答對得5分，答錯得0分,

記第i輪答題后甲同學(xué)的總得分為Xi,其中i=1,2,…,71.

⑴求E區(qū)9)；

(2)若乙同學(xué)也參加該答題活動，其每輪答題答對的概率均為]并選擇另一種答題方式答題：

從第1輪答題開始，若本輪答對，則得20分，并繼續(xù)答題；若本輪答錯，則得0分，并終

止答題，記乙同學(xué)的總得分為K證明：當(dāng)i>24時(shí)，E(XJ>E(Y).

【變式3-1]4.(2023?全國?高三專題練習(xí))某闖關(guān)游戲由兩道關(guān)卡組成，現(xiàn)有n名選手依

次闖關(guān)，每位選手成功闖過第一關(guān)和第二關(guān)的概率均為3,兩道關(guān)卡能否過關(guān)相互獨(dú)立，每

位選手的闖關(guān)過程相互獨(dú)立，具體規(guī)則如下：

①每位選手先闖第一關(guān)，第一關(guān)闖關(guān)成功才有機(jī)會闖第二關(guān).

②闖關(guān)選手依次挑戰(zhàn).第一位闖關(guān)選手開始第一輪挑戰(zhàn).若第i(i=123,…,n-1)位選手在10

分鐘內(nèi)未闖過第一關(guān)，則認(rèn)為第i輪闖關(guān)失敗，由第i+1位選手繼續(xù)挑戰(zhàn).

③若第2=123,…m-1)位選手在10分鐘內(nèi)闖過第一關(guān)，則該選手可繼續(xù)闖第二關(guān).若該

選手在10分鐘內(nèi)未闖過第二關(guān)，則也認(rèn)為第i輪闖關(guān)失敗，由第i+1位選手繼續(xù)挑戰(zhàn).

④闖關(guān)進(jìn)行到第n輪，則不管第2立選手闖過第幾關(guān)，下一輪都不再安排選手闖關(guān).令隨機(jī)變

量X"表示幾名挑戰(zhàn)者在第Xn(Xn=1,2,3,…,n)輪結(jié)束闖關(guān).

Q)求隨機(jī)變量X4的分布列；

(2)若把闖關(guān)規(guī)則①去掉，換成規(guī)則⑤：闖關(guān)的選手先闖第一關(guān)，若有選手在10分鐘內(nèi)闖過

第一關(guān),以后闖關(guān)的選手不再闖第一關(guān)，直接從第二關(guān)開始闖關(guān).令隨機(jī)變量。表示n名挑戰(zhàn)

者在第匕(匕=123,…，死)輪結(jié)束闖關(guān).

(i)求隨機(jī)變量%。e/V*,n>2)的分布列

(ii)證明E(力)<E(V3)<E(匕)<E(Y5)<???<E(Yn)<???<3.

【變式3-1】5.(2023秋?湖南長沙?高三長沙市南雅中學(xué)校考開學(xué)考試)航天事業(yè)是國家綜

合國力的重要標(biāo)志，帶動著一批新興產(chǎn)業(yè)和新興學(xué)科的發(fā)展.某市為了激發(fā)學(xué)生對航天科技

的興趣，點(diǎn)燃學(xué)生的航天夢，現(xiàn)組織該市全體學(xué)生參加航天創(chuàng)新知識競賽，并隨機(jī)抽取1000

名學(xué)生作為樣本，研究其競賽成績.經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析該市高中生競賽成績X近似地服從正態(tài)分布

NR,/),其中4近似為樣本平均數(shù)元，/近似為樣本方差s2,并已求得元=73和s2=37.5.

Q)若該市有4萬名高中生，試估計(jì)這些高中生中競賽成績位于區(qū)間(66.9,85.2)的人數(shù)；

(2)若規(guī)定成績在85.2以上的學(xué)生等級為優(yōu)秀，現(xiàn)從全市高中生中任意抽取一個(gè)進(jìn)行訪談，

如果取到學(xué)生等級不是優(yōu)秀，則繼續(xù)抽取下一個(gè)，直至取到等級為優(yōu)秀的學(xué)生為止，但抽取

的總次數(shù)不超過n.如果抽取次數(shù)的期望值不超過6,求n的最大值.

(附：V3Z5a6.1,0.975s?0.881,0.9756=0.859,0.9757=0.838,0.9758=0.817,

若X?NO，/),則一<r<X<〃+b)=0.68,P(〃-2。<X<〃+2o)=0.95)

題型4數(shù)列的綜合問題

【例題4】(2023秋?江蘇南通?高三江蘇省如皋中學(xué)?？茧A段練習(xí))現(xiàn)代排球賽為5局3勝

制，每局25分，決勝局15分.前4局比賽中，一隊(duì)只有贏得至少25分，并領(lǐng)先對方2分

時(shí)，才勝1局.在第5局比賽中先獲得15分并領(lǐng)先對方2分的一方獲勝.在一個(gè)回合中，

贏的球隊(duì)獲得1分，輸?shù)那蜿?duì)不得分，且下一回合的發(fā)球權(quán)屬于獲勝方.經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，甲、乙

兩支球隊(duì)在每一個(gè)回合中輸贏的情況如下：當(dāng)甲隊(duì)擁有發(fā)球權(quán)時(shí)，甲隊(duì)獲勝的概率為|；當(dāng)

乙隊(duì)擁有發(fā)球權(quán)時(shí)，甲隊(duì)獲勝的概率為今

Q)假設(shè)在第1局比賽開始之初，甲隊(duì)擁有發(fā)球權(quán)，求甲隊(duì)在前3個(gè)回合中恰好獲得2分的

概率；

(2)當(dāng)兩支球隊(duì)比拼到第5局時(shí)，兩支球隊(duì)至少要進(jìn)行15個(gè)回合，設(shè)甲隊(duì)在第i個(gè)回合擁有

發(fā)球權(quán)的概率為4.假設(shè)在第5局由乙隊(duì)先開球，求在第15個(gè)回合中甲隊(duì)開球的概率，并

判斷在此回合中甲、乙兩隊(duì)開球的概率的大小.

【變式4-1]1.(2023?全國?高三專題練習(xí))學(xué)校的"智慧"書屋每學(xué)年初向高一新生招募

30名左右的志愿者.2021學(xué)年初，新高一學(xué)生報(bào)名踴躍，報(bào)名人數(shù)達(dá)到60人.現(xiàn)有兩個(gè)

方案確定志愿者：方案一：用抽簽法隨機(jī)抽取30名志愿者；方案二：將60名報(bào)名者編號，

用隨機(jī)數(shù)法先從這60個(gè)編號中隨機(jī)抽取45個(gè)，然后再次用隨機(jī)數(shù)法從這60個(gè)編號中隨機(jī)

抽取45個(gè)，兩次都被抽取到的報(bào)名者成為志愿者.

(1)采用方案一或二，分別記報(bào)名者甲同學(xué)被抽中為事件力和事件B,求事件4和事件B發(fā)生的

概率；

(2)若采用方案二，設(shè)報(bào)名者甲同學(xué)被抽取到的次數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望；

(3)不難發(fā)現(xiàn)采用方案二確定的志愿者人數(shù)不少于方案一的30人.若采用方案二，記兩次都

被抽取到的人數(shù)為y,則丫的可取值是哪些？其中丫取到哪一個(gè)值的可能性最大？

【變式4-1】2.(2023秋?安徽?高三安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))教育儲

蓄是指個(gè)人按國家有關(guān)規(guī)定在指定銀行開戶、存入規(guī)定數(shù)額資金、用于教育目的的專項(xiàng)儲蓄，

是一種專門為學(xué)生支付非義務(wù)教育所需教育金的專項(xiàng)儲蓄,儲蓄存款享受免征利息稅的政策.

若你的父母在你12歲生日當(dāng)天向你的銀行教育儲蓄賬戶存入2000元，并且每年在你生日

當(dāng)天存入2000元，連續(xù)存6年，在你十八歲生日當(dāng)天一次性取出，假設(shè)教育儲蓄存款的年

利率為10%.

⑴在你十八歲生日當(dāng)天時(shí)，一次性取出的金額總數(shù)為多少？(參考數(shù)據(jù)：1.17?1.95)

(2)高考畢業(yè)，為了增加自己的教育儲蓄，你利用暑假到一家商場勤工儉學(xué)，該商場向你提

供了三種付酬方案：

第一種，每天支付38元；

第二種，第1天付4元，從第2天起，每一天比前一天都多付4元；

第三種，第1天付04元，以后每一天比前一天翻一番(即增加1倍).

你會選擇哪種方式領(lǐng)取報(bào)酬？

【變式4-1］3.（2023秋?湖南長沙?高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）新高考數(shù)學(xué)試卷中有多

項(xiàng)選擇題，每道多項(xiàng)選擇題有A,B,C,D這四個(gè)選項(xiàng)，四個(gè)選項(xiàng)中僅有兩個(gè)或三個(gè)為正

確選項(xiàng).題目得分規(guī)則為：全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.已知測

試過程中隨機(jī)地從四個(gè)選項(xiàng)中作選擇，每個(gè)選項(xiàng)是否為正確選項(xiàng)相互獨(dú)立.某次多項(xiàng)選擇題

專項(xiàng)訓(xùn)練中，共有eN*）道題，正確選項(xiàng)設(shè)計(jì)如下：第一題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率為:，

并且規(guī)定若第迫=12…,k-1）題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，則第i+1題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率為［；

若第=1,2,…北-1）題正確選項(xiàng)為三個(gè)，則第i+1題正確選項(xiàng)為三個(gè)的概率為

（1）求第n題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率；

（2）請根據(jù)期望值來判斷：第二題是選一個(gè)選項(xiàng)還是選兩個(gè)選項(xiàng),更能獲得較高分.

【變式4-1J4.（2023秋?重慶沙坪壩?高三重慶一中?？奸_學(xué)考試）甲、乙兩人輪流投籃,

約定甲先投，先投中者獲勝，直到有人獲勝或每人都已投球n次時(shí)投籃結(jié)束，其中n為給定

正整數(shù).設(shè)甲每次投中的概率為］乙每次投中的概率為［且各次投籃互不影響.

（1）當(dāng)n=3時(shí)，求甲獲勝的概率；

（2）設(shè)投籃結(jié)束時(shí)甲恰好投籃f次，求f的數(shù)學(xué)期望E（f）.（答案用含n的最簡式子表示）.

【變式4-1］5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）某市旅游局為盡快恢復(fù)受疫情影響的旅游業(yè)，

準(zhǔn)備在本市的景區(qū)推出旅游一卡通（年卡）.為了更科學(xué)的制定一卡通的有關(guān)條例，市旅游

局隨機(jī)調(diào)查了2019年到本市景區(qū)旅游的1000個(gè)游客的年旅游消費(fèi)支出（單位：百元），

并制成如圖頻率分布直方圖：由頻率分布直方圖，可近似地認(rèn)為到本市景區(qū)旅游的游客，其

旅游消費(fèi)支出服從正態(tài)分布N（〃,M）.現(xiàn)依次抽取幾個(gè)游客，假設(shè)每個(gè)游客的旅游消費(fèi)支出

相互獨(dú)立，記事件力表示“連續(xù)3人的旅游消費(fèi)支出超出.若匕表示J的概率，Pn=

aPn_i+\Pn-2+bP/nN3,a,b為常數(shù)），且=p1=p?=1.

(1)求P3,4及a,b；

(2)判斷并證明數(shù)列｛2｝從第三項(xiàng)起的單調(diào)性，試用概率統(tǒng)計(jì)知識解釋其實(shí)際意義.

【變式4-1】6.(2023秋?遼寧?高三東北育才學(xué)校校聯(lián)考開學(xué)考試)某單位有12000名職工，

通過抽驗(yàn)篩查一種疾病的患者.假設(shè)患疾病的人在當(dāng)?shù)厝巳褐械谋壤秊閜(0<p<1).專家建

議隨機(jī)地按k(k>1且為12000的正因數(shù))人一組分組，然后將各組k個(gè)人的血樣混合再化

驗(yàn).如果混管血樣呈陰性，說明這k個(gè)人全部陰性；如果混管血樣呈陽性，說明其中至少有

一人的血樣呈陽性，就需要對每個(gè)人再分別化驗(yàn)一次.設(shè)該種方法需要化驗(yàn)的總次數(shù)為X.

(1)當(dāng)E(X)>12000時(shí),求p的取值范圍并解釋其實(shí)際意義；

(2)現(xiàn)對混管血樣逐一化驗(yàn),至化驗(yàn)出陽性樣本時(shí)停止,最多化驗(yàn)R次.記W為混管的化驗(yàn)次

數(shù)，當(dāng)R足夠大時(shí)，證明：E")<—；

(3)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)預(yù)測本次檢測時(shí)個(gè)人患病的概率Po,當(dāng)k=6時(shí)，按照Po計(jì)算得混管數(shù)量y的期

望E(y)=400；某次檢驗(yàn)中％=440,試判斷個(gè)人患病的概率為Po是否合理.(如果

2P(yN%)<0.05,則說明假設(shè)不合理).

附：若X?N(〃,CT2),則P(|X-屈<b)B0.6827,P(|X-〃|<2(r)20.9545,P(|X-<

3。)?0.9973.

1.(2023?浙江?模擬預(yù)測)立德中學(xué)有甲、乙兩家餐廳，如果趙同學(xué)上一天去甲餐廳用午餐，

那么下一天去甲餐廳的概率為0.6,如果上一天去乙餐廳用午餐，那么下一天去甲餐廳的概

率為0.8,已知趙同學(xué)第一天去甲餐廳用午餐的概率為0.5.

(1)求趙同學(xué)第二天去乙餐廳用午餐的概率；

(2)設(shè)趙同學(xué)第n(neN')去甲餐廳用午餐的概率為匕,判斷P3與的大小，并求

2.(2023?吉林通化?梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測)某學(xué)校三年級開學(xué)之初增加早自習(xí)，

早飯?jiān)谛Ｊ程镁筒腿藬?shù)增多，為了緩解就餐壓力，學(xué)校在原有一個(gè)餐廳的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)

餐廳，分別記做餐廳甲和餐廳乙，經(jīng)過一周左右統(tǒng)計(jì)調(diào)研分析：前一天選擇餐廳甲就餐第二

天選擇餐廳甲就餐的概率置，擇餐廳乙就餐的概率為:，前一天選擇餐廳乙就餐第二天蝌

餐廳乙就餐的概率是9,選擇餐廳甲就餐的概率也為［如此往復(fù).假設(shè)學(xué)生第一天選擇餐廳

甲就餐的概率是］選擇餐廳乙就餐的概率是(，記某同學(xué)第n天選擇甲餐廳就餐的概率為以

⑴記某班級的3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為X,求X的分布列，并求E(X)；

(2)請寫出匕(neN*)的通項(xiàng)公式；

3.(2023?山東煙臺統(tǒng)考三模)現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)袋子，每個(gè)袋子中均裝有大小、形狀、質(zhì)

地完全相同的2個(gè)黑球和1個(gè)紅球，若每次分別從兩個(gè)袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球互相交換后放袋

子中，重復(fù)進(jìn)行n(neN*)次此操作.記第n次操作后，甲袋子中紅球的個(gè)數(shù)為乂?.

Q)求X】的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)求第71次操作后，甲袋子中恰有1個(gè)紅球的概率匕.

4.(2023?安徽亳州?蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)甲、乙、丙三個(gè)小學(xué)生相互拋沙包，

第一次由甲拋出，每次拋出時(shí)，拋沙包者等可能的將沙包拋給另外兩個(gè)人中的任何一個(gè)，設(shè)

第n(n6N*)次拋沙包后沙包在甲手中的方法數(shù)為M，在丙手中的方法數(shù)為始.

⑴求證：數(shù)列｛冊+1+心｝為等比數(shù)列，并求出｛即｝的通項(xiàng)；

(2)求證：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an>bn.

5.（2023?湖北武漢?華中師大一附中?？寄M預(yù)測）長江十年禁漁計(jì)劃全面施行，漁民老

張積極配合政府工作，如期收到政府的補(bǔ)償款.他決定拿出其中10萬元進(jìn)行投資，并看中了

兩種為期60天（視作2個(gè)月）的穩(wěn)健型（不會虧損）理財(cái)方案.

方案一：年化率2.4%,且有10%的可能只收回本金；

方案二：年化率3.0%,且有20%的可能只收回本金；

已知老張對每期的投資本金固定（都為10萬元），且第一次投資時(shí)選擇了方案一，在每期

結(jié)束后，老張不間斷地進(jìn)行下一期投資，并且他有40%的可能選擇另一種理財(cái)方案進(jìn)行投資.

⑴設(shè)第i次投資（i=1,2,3,-n）選擇方案一的概率為R,求P4；

（2）求一年后老張可獲得總利潤的期望（精確到1元）.

注：若拿1千元進(jìn)行5個(gè)月年化率為2.4%的投資，則該次投資獲利3=2.4%x裔x1000=

10元.

6.（2023?湖南永州?統(tǒng)考一模）某企業(yè)為提高競爭力，成功研發(fā)了三種新品4氏C,其

中4B、C能通過行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)檢測的概率分別為：卷,卷，且4B、C是否通過行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)檢測相

互獨(dú)立.

Q）設(shè)新品4B、C通過行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)檢測的品種數(shù)為X,求X的分布列；

（2）已知新品4中的一件產(chǎn)品經(jīng)檢測認(rèn)定為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率為0.025,現(xiàn)從足量的新品A中任

意抽取T牛進(jìn)行檢測若取到的不是優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品，則繼續(xù)抽取下一件，直至取到優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品為止，

但抽取的總次數(shù)不超過n?如果抽取次數(shù)的期望值不超過5,求n的最大值.

參考數(shù)據(jù)：0.9754?0.904,0.975s?0.881,0.9756=0.859,0.9757=0.838,0.9758=0.817

7.（2023?安徽?合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）2023年4月23日，是中國海軍成立74周年

74年向海圖強(qiáng)，74年劈波斬浪.74年，人民海軍新裝備不斷增加，新型作戰(zhàn)力量加速發(fā)

展，從"101南昌艦"到"108咸陽艦"，8艘055型驅(qū)逐艦列陣我國自主研制的075型

兩棲攻擊艦"31海南艦”"32廣西艦”"33安徽艦”也相繼正式入列.從小艇到大艦，

從近海防御到挺進(jìn)深藍(lán)大洋，人民海軍步履鏗鏘，捍衛(wèi)國家主權(quán)，維護(hù)世界和平.為了慶祝

中國海軍成立74周年，某公司設(shè)計(jì)生產(chǎn)了三款兩棲攻擊艦?zāi)ｗM分別為"31海南艦"、"32

廣西艦""33安徽艦”)，并限量發(fā)行若該公司每個(gè)月發(fā)行300件(三款各100件)，一共

持續(xù)12個(gè)月，采用搖號的方式進(jìn)行銷售.假設(shè)每個(gè)月都有3000人參與搖號,搖上號的將

等可能獲得三款中的一款.小周是個(gè)"戰(zhàn)艦狂熱粉"，聽到該公司發(fā)行兩棲攻擊艦?zāi)Ｐ停?/p>

喜若狂.

Q)若小周連續(xù)三個(gè)月參與搖號，求他在這三個(gè)月集齊三款模型的概率；

(2)若搖上號的人不再參加后面的搖號.已知小周從第一個(gè)月開始參與搖號，并且在12個(gè)月

的限量發(fā)行中成功搖到并獲得了模型.設(shè)他第X個(gè)月(X=1,2,…,12)搖到并獲得了模型，求

X的數(shù)學(xué)期望.

8.(2023?河北衡水?河北衡水中學(xué)校考模擬預(yù)測)某轄區(qū)組織居民接種新冠疫苗，現(xiàn)有

A,B,&D四種疫苗且每種都供應(yīng)充足.前來接種的居民接種與號碼機(jī)產(chǎn)生的號碼對應(yīng)的疫苗,

號碼機(jī)有4B,C,0四個(gè)號碼,每次可隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)號碼，后一次產(chǎn)生的號碼由前一次余下的

三個(gè)號碼中隨機(jī)產(chǎn)生，張醫(yī)生先接種與號碼機(jī)產(chǎn)生的號碼對應(yīng)的4種疫苗后，再為居民們接

種，記第n位居民(不包含張醫(yī)生)接種4B,C,D四種疫苗的概率分別為

&⑷同⑻,4(C),4(D).

⑴第2位居民接種哪種疫苗的概率最大；

⑵張醫(yī)生認(rèn)為，一段時(shí)間后接種4B,C,D四種疫苗的概率應(yīng)該相差無幾，請你通過計(jì)算第

10位居民接種A,四種的概率，解釋張醫(yī)生觀點(diǎn)的合理性.

參考數(shù)據(jù)：(J"a5.1x10-5,(1)10?1.7x10-5,(09?2.0x10-3,@)1°?9.8x10-4.

9.(2023?安徽合肥?合肥市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測)在上海舉辦的第五屆中國國際進(jìn)口博

覽會中，一款無導(dǎo)線心臟起搏器引起廣大參會者的關(guān)注，成為了進(jìn)博會的“明星展品".體

積僅有維生素膠囊大小，體積比傳統(tǒng)心臟起搏器減小93%,重量僅約2克，擁有強(qiáng)大的電

池續(xù)航能力，配合兼容1.5T/3.0T全身核磁共振掃描檢查等創(chuàng)新功能.在起搏器研發(fā)后期,

某企業(yè)快速啟動無線充電器主控芯片生產(chǎn)，試產(chǎn)期每天都需同步進(jìn)行產(chǎn)品檢測，檢測包括智

能檢測和人工檢測，選擇哪種檢測方式的規(guī)則如下：第一天選擇智能檢測，隨后每天由計(jì)算

機(jī)隨機(jī)等可能生成數(shù)字"0"和"1",連續(xù)生成4次，把4次的數(shù)字相力口，若和小于3,

則該天的檢測方式和前一天相同，否則選擇另一種檢測方式.

(1)求該企業(yè)前三天的產(chǎn)品檢測選擇智能檢測的天數(shù)X的分布列；

(2)當(dāng)?shù)卣疄榱藱z查該企業(yè)是否具有一定的智能化管理水平，采用如下方案：設(shè)P.5eN*)

表示事件"第天該企業(yè)產(chǎn)品檢測選擇的是智能檢測"的概率,若亙成立，認(rèn)為該企

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業(yè)具有一定的智能化管理水平將給予該企業(yè)一定的獎勵資金否則將沒有該項(xiàng)獎勵資金請

問該企業(yè)能拿到獎勵資金嗎？請說明理由.

10.(2023?浙江?模擬預(yù)測)全民健身是全體人民增強(qiáng)體魄、健康生活的基礎(chǔ)和保障，為了

研究杭州市民健身的情況,某調(diào)研小組在我市隨機(jī)抽取了100名市民進(jìn)行調(diào)研，得到如下

數(shù)據(jù)：

每周健身次數(shù)1次2次3次4次5次6次及6次以上

男4653428

女7587617

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(匕+d)

a0.100.050.010.0050.001

ka2.7063.8416.6357.87910.828

（1）如果認(rèn)為每周健身4次及以上的用戶為"喜歡健身"；請完成