中考數(shù)學(xué)不等式（組）專項(xiàng)練習(xí)

不等式與不等式組

y課前檢測(cè)

1.“。與3的差是非負(fù)數(shù)”用不等式表示為

A.?！?>0B.a-3<0

C.ci—320D.a-3<0

2.下列各式中，屬于一元一次不等式的是

A.31一2>0B.2>-5

C.3x-2>y+lD.3cy+5u<-1

y

3.如果。>人，那么下列各式中正確的是

cab

A.ci—3Vb—3B.-<-

33

C.-a>-bD.3—a<3—b

4.明明準(zhǔn)備用自己節(jié)省的零花錢充值共享單車“摩拜”，他現(xiàn)在己存有45元，計(jì)劃從現(xiàn)在起

以后每個(gè)月節(jié)省30元，直到他至少有300元.設(shè)N個(gè)月后他至少有300元，則可以用于計(jì)

算所需要的月數(shù)x的不等式是

A.30x-45>300B.30x+45>300

C.30x-45<300D.30x+45<300

5.不等式2x-1W5的解集在數(shù)軸上表示為

0123012301230123

ABCD

▼知識(shí)梳理

一、不等式的概念、性質(zhì)及解集表示

1.不等式

一般地，用符號(hào)“V"（或"W”）、“>”（或“2”）連接的式子叫做不等式.能使不

等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.

2.不等式的基本性質(zhì)

理論依據(jù)式子表示

不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一

性質(zhì)1若則a±±c

個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變

不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)、ah

性質(zhì)2若a>b,c>0,則或一>—

正數(shù)，不等號(hào)的方向不變cc

不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)若a>b,c<0,則?；蛟?lt;2

性質(zhì)3

負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變cc

溫馨提示：不等式的性質(zhì)是解不等式的重要依據(jù)，在解不等式時(shí)，應(yīng)注意：在不等式的兩

邊同時(shí)乘以（或除以）一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向一定要改變.

3.不等式的解集及表示法

（1）不等式的解集：一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式有無數(shù)個(gè)解，其解是一個(gè)范圍，這

個(gè)范圍就是不等式的解集.

（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數(shù)軸表示：不等式的解集可以在數(shù)

軸上直觀地表示出來，形象地表明不等式有無限個(gè)解.

二、一元一次不等式及其解法

1.一元一次不等式

不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1,這樣的不等

式叫一元一次不等式.

2.解一元一次不等式的一般步驟

解一元一次不等式的一般步驟為：①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤系數(shù)

化為1（注意不等號(hào)方向是否改變）.

三、一元一次不等式組及其解法

1.一元一次不等式組

一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成一元一次不等式組.

2.一元一次不等式組的解集

一元一次不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分，叫做這個(gè)一元一次不等式組的解集，

求不等式組解集的過程，叫做解不等式組.

2

3.一元一次不等式組的解法

先分別求出每個(gè)不等式的解集，再利用數(shù)軸求出這些一元一次不等式的的解集的公共部分

即可，如果沒有公共部分，則該不等式組無解.

4.幾種常見的不等式組的解集

設(shè)。，〃是常數(shù)，關(guān)于x的不等式組的解集的四種情況如下表所示（等號(hào)取不到時(shí)在

數(shù)軸上用空心圓點(diǎn)表示）：

不等式組

數(shù)軸表示解集口訣

（其中"6）

x>a

_dx>b同大取大

x>baZ

x<a

<Lx<a同小取小

x<bab

x>a

1a<x<b大小、小大中間找

x<hzb

x<a

V無解大大、小小取不了

x>bzb

考情總結(jié)：一元一次不等式（組）的解法及其解集表示的考查形式如下：

（1）一元一次不等式（組）的解法及其解集在數(shù)軸上的表示；

（2）利用一次函數(shù)圖象解一元一次不等式；

（3）求一元一次不等式組的最小整數(shù)解；

（4）求一元一次不等式組的所有整數(shù)解的和.

四、列不等式（組）解決實(shí)際問題

列不等式（組）解應(yīng)用題的基本步驟如下：

①審題；②設(shè)未知數(shù)；③列不等式（組）；④解不等式（組）；⑤檢驗(yàn)并寫出答案.

考情總結(jié)：列不等式（組）解決實(shí)際問題常與一元一次方程、一次函數(shù)等綜合考查，涉及的題

型常與方案設(shè)計(jì)型問題相聯(lián)系，如最大利潤(rùn)、最優(yōu)方案等.列不等式時(shí)，要抓住關(guān)鍵詞，如不

大于、不超過、至多用“W”連接，不少于、不低于、至少用“2”連接.

Q考點(diǎn)突破

考向一不等式的定義及性質(zhì)

3

(1)含有不等號(hào)的式子叫做不等式.

(2)不等式兩邊同乘以或除以一個(gè)相同的負(fù)數(shù)，不等號(hào)要改變方向，在運(yùn)用中，往往會(huì)因?yàn)?/p>

忘記改變不等號(hào)方向而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

典例引領(lǐng)

典例1數(shù)學(xué)表達(dá)式：①—5<7；②3y-6>0；③。=6；④x—2x；⑤⑥7y-6>5y+2

中，是不等式的有

A.2個(gè)B.3個(gè)

C.4個(gè)D.5個(gè)

典例2四個(gè)小朋友玩蹺蹺板，他們的體重分別為P、Q、R、S,如圖所示，則他們的體重大

小關(guān)系是

A.P>R>S>QB.Q>S>P>R

C.S>P>Q>RD.S>P>R>Q

變式拓展

1.“數(shù)x不小于2”是指

A.x<2B.x>2

C.x<2D.x>2

2.利用不等式的基本性質(zhì)求下列不等式的解集，并說出變形的依據(jù)：

(1)若x+2012>2013,貝Ijx；(2)若2尤〉一；，貝ijx

1Y

(3)若一2x>一貝!jx；(4)若一,>一1,則x,

考向二一元一次不等式的解集及數(shù)軸表示

(1)一元一次不等式的求解步驟：去分母一去括號(hào)一移項(xiàng)一合并同類項(xiàng)一系數(shù)化為1.

4

（2）進(jìn)行“去分母”和“系數(shù)化為1”時(shí)，要根據(jù)不等號(hào)兩邊同乘以（或除以）的數(shù)的正負(fù),

決定是否改變不等號(hào)的方向，若不能確定該數(shù)的正負(fù)，則要分正、負(fù)兩種情況討論.

典例引領(lǐng)

典例3不等式X-學(xué)24-7-x的解集為.

典例4某不等式的解集在數(shù)軸上表示如下圖所示，則該不等式的解集是

■J??111

-3-210123

A.x>2B.x>-2

C.x—2D.xW—2

變式拓展

3.不等式2%-1>-5的解集為

A.x>2B.x>l

C.x>—2D.x<2

4.不等式3x+2<2x+3的解集在數(shù)軸上表示正確的是

A.::“B.-1---'---

-101-I0I

c.~:D.■■

-101.)0I

考向三一元一次不等式組的解集及數(shù)軸表示

不等式解集的確定有兩種方法：

（1）數(shù)軸法：在數(shù)軸上把各個(gè)不等式解集表示出來，尋找公共部分并用不等式表示出來;

（2）口訣法：“大大取大小小取小，大小小大中間找，大大小小取不了.”

典例引領(lǐng)

5

典例5不等式組c的解集為

2x-5<1

A.x<—2B.x-1

C.x<lD.x<3

>X—2<0

典例6一元一次不等式組，1八的解集在數(shù)軸上表示出來，正確的是

l+-x>0

3

【名師點(diǎn)睛】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，把每個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來

（>,2向右畫；V,W向左畫），數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表

示解集的線的條數(shù)與不等式的個(gè)數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集.在表示解集時(shí)“2”，

“忘”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“V”，“>”要用空心圓點(diǎn)表示.

變式拓展

5.不等式組,的解集是

A.x>3B.x<l

C.1<x<3D.無解

X4-l>0

6.將不等式組一,°的解集在數(shù)軸上表示，下列表示中正確的是

A，46

考向四一元一次不等式（組）的整數(shù)解問題

6

此類問題的實(shí)質(zhì)是解不等式（組），通過不等式（組）的解集，然后寫出符合題意的整數(shù)解即

可.

典例引領(lǐng)

典例7若實(shí)數(shù)3是不等式2x-a-2<（）的一個(gè)解，則?？扇〉淖钚≌麛?shù)為

A.2B.3

C.4D.5

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的整數(shù)解，熟練掌握不等式解的定義及解不等式的能力是解

題的關(guān)鍵.

x-l>0

典例8不等式組，1，、的最小整數(shù)解是

1——x<0

I2

A.1B.2

C.3D.4

變式拓展

7.不等式3（x-2）3+4的非負(fù)整數(shù)解有個(gè).

-x-3>0

8.不等式組1。的所有整數(shù)解之和為________________.

—x>-3

I2

考向五求參數(shù)的值或取值范圍

求解此類題目的難點(diǎn)是根據(jù)不等式（組）的解的情況得到關(guān)于參數(shù)的等式或不等式，然后求解

即可.

典例引領(lǐng)

典例9若關(guān)于x的不等式組廠>：的解集是為-l<x<2,則。=

x<2

A.1B.2

7

C.—D.—2

2

x-3(x-2)<a

典例10已知不等式組<l+2x,僅有2個(gè)整數(shù)解，那么。的取值范圍是

------->x-l

3

A.a>2B.a<4

C.2<tz<4D.2<?<4

【名師點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解.已知解集（整數(shù)解）求字母的取值或取

值范圍的一般思路：先把題目中除了未知數(shù)以外的字母當(dāng)做常數(shù)看待，解不等式組，然后再根

據(jù)題目中對(duì)結(jié)果的限制條件得到有關(guān)字母的式子，求解即可.學(xué)科@網(wǎng)

變式拓展

x-2m<0

9.若關(guān)于X的一元一次不等式組.有解，則小的取值范圍為

x+m>2

22

A.m>——B.m<—

33

22

C.m>—D.m<——

33

x—m<0

10.若關(guān)于X的不等式rc，的整數(shù)解共有2個(gè)，則加的取值范圍為_______________

7-2x<1

考向六一元一次不等式（組）的應(yīng)用

求解此類題目的難點(diǎn)是建立“不等式（組）模型”，通過求解不等式（組）的解集并與實(shí)際相

結(jié)合即可.

典例引領(lǐng)

典例11某市天然氣公司在一些居民小區(qū)安裝天然氣管道時(shí)，采用一種鼓勵(lì)居民使用天然氣

的收費(fèi)辦法.若整個(gè)小區(qū)每戶都安裝，收整體初裝費(fèi)10000元，再對(duì)每戶收費(fèi)500元.某小區(qū)

住戶按這種收費(fèi)方法全部安裝天然氣后，每戶平均支付不足1000元，則這個(gè)小區(qū)的住戶數(shù)為

A.至少20戶B.至多20戶

C.至少21戶D.至多21戶

典例12某校為了獎(jiǎng)勵(lì)在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中獲獎(jiǎng)的學(xué)生，買了若干本課外讀物準(zhǔn)備送給他們，如果

8

每人送3本，則剩余8本；如果前面每人送5本，則最后一人得到的課外讀物不足3本，設(shè)該

校買了根本課外讀物，有％名學(xué)生獲獎(jiǎng)，請(qǐng)解答下列問題：

(1)用含x的代數(shù)式表示〃?；

(2)求出該校的獲獎(jiǎng)人數(shù)及所買課外讀物的本數(shù).

變式拓展

11.某大型快遞公司使用機(jī)器人進(jìn)行包裹分揀，若甲機(jī)器人工作2h,乙機(jī)器人工作4h,一共

可以分揀700件包裹；若甲機(jī)器人工作3h,乙機(jī)器人工作2h,一共可以分揀650件包裹.

(1)求甲、乙兩機(jī)器人每小時(shí)各分揀多少件包裹；

(2)“雙十一”期間，快遞公司的業(yè)務(wù)量猛增，要讓甲、乙兩機(jī)器人每天分揀包裹的總數(shù)

量不低于2250件，它們每天至少要一起工作多少小時(shí)？

12.在創(chuàng)建“全國文明城市”和“省級(jí)文明城區(qū)”過程中，欒城區(qū)污水處理廠決定先購買A、

B兩型污水處理設(shè)備共20臺(tái)，對(duì)城區(qū)周邊污水進(jìn)行處理.已知每臺(tái)A型設(shè)備價(jià)格為12

萬元,每臺(tái)B型設(shè)備價(jià)格為10萬元；1臺(tái)A型設(shè)備和2臺(tái)B型設(shè)備每周可以處理污水640

噸，2臺(tái)A型設(shè)備和3臺(tái)B型設(shè)備每周可以處理污水1080噸.

(1)求A、B兩型污水處理設(shè)備每周每臺(tái)分別可以處理污水多少噸？

(2)要想使污水處理廠購買設(shè)備的資金不超過230萬元，但每周處理污水的量又不低于

4500噸，請(qǐng)你列舉出所有的購買方案，并指出哪種方案所需資金最少？最少資金是多少萬

元？

9

達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)

1.（3分）不等式組卜-3（x-l）<7的解集為（）

2x+4>3x

A.-2<x<4B.xV4或xN-2C.-2<x<4D.-2<x<4

2.（3分）若不等式組.x+9|i>x+i_］有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.a<-36B.a<-36C.a>-36D.a>-36

4x―3>2x-6

3.3分）不等式組、3的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為（）

『2白一石

A.1B.2C.3D.4

’2x<4x-4

4.（3分）當(dāng)x滿足八、1,「、時(shí)，方程x2-2x-5=0的根是（）

〃（x-6）>.x-6）

A.1土B.-1C.1-D.1

5.3分）當(dāng)l<x<4時(shí)，mx-4<0,則m的取值范圍是（）

A.m>1B.m<1C.m>4D.m<4

2丫+g>6丫+1

6.不等式組，的解集為x<2.則2的取值范圍為（）

x-k<1

A.k>\B.k<lC.k>\D.k<\

7.某經(jīng)銷商銷售一批電子手表，第一個(gè)月以600元/塊的價(jià)格售出60塊，從第二個(gè)月起降價(jià),

以550元/塊的價(jià)格將這批電子手表全部售出，銷售總額超過了5.8萬元，這批手表至少有

A.100塊B.101塊

C.103塊D.105塊

8.若不等式?+x>l+a的解集是x<l,則。必須滿足的條件是

A.a<\B.a<—1

10

C.a>—1D.a>\

x-3>0

9.已知不等式組NN。，其解集在數(shù)軸上表示正確的是

A-1,,,<,__,AB.,|__!__|___j__],A

-101234-101234

C.—1---1-----1-----1-----<>---->—>.D.],,，<i，?

-101234-101234

10.某大型超市從生產(chǎn)基地購進(jìn)一批水果，運(yùn)輸過程中質(zhì)量損失10%,假設(shè)不計(jì)超市其他費(fèi)用,

如果超市要想至少獲得20%的利潤(rùn)，那么這種水果的售價(jià)在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上應(yīng)至少提高

A.40%B.33.4%

C.33.3%D.30%

x-h<0

11.已知關(guān)于x的不等式組c1的整數(shù)解有4個(gè)，則。的取值范圍是

x-2>3

A.7“<8B.7</?<8

C.S<b<9D.8<Z?<9

12.如圖表示下列四個(gè)不等式組中其中一個(gè)的解集，這個(gè)不等式組是

x>2x<2

A.cB.《

x>-3x<—3

x>2x<2

C.<D.

x<-3x>-3

5x—1>3x-4

13.適合不等式組21的全部整數(shù)解的和是

A.-1B.0

C.1D.2

11

心實(shí)戰(zhàn)演練

1.已知實(shí)數(shù)。，b滿足Q+l>b+l,則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的為

A.a>hB.。+2>/?+2

C.-a<-bD.2a>3b

2.不等式-2x〉1的解集是

2

A.x<—B.x<—1

4

C.x>—D.x>—1

4

3.不等式3x+629的解集在數(shù)軸上表示正確的是

—?—>—j>>—A—.—?—>—>—■—1>1—>—>-

-101-I01