河北省衡水市賈城西中學2023-2024學年高三數(shù)學理學情調(diào)研試題含解析

河北省衡水市賈城西中學2023年高二數(shù)學理學情調(diào)研

試題含解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.平面上動點P到定點下與定直線I的距離相等，且點F與直線I的距離為1.某同學建立

直角坐標系后，得到點尸的軌跡方程為爐=2廣1,則它的建系方式是

參考答案:

C

2.設尸為橢圓的左焦點，A為橢圓的右頂點，3為橢圓短軸上的一個頂點，當

\AB\=—\FS\-

2?時，該橢圓的離心率為2,將此結(jié)論類比到雙曲線，得到的正確結(jié)論為

A.設尸為雙曲線的左焦點，A為雙曲線的右頂點，8為雙曲線虛軸上的一個頂點，當

網(wǎng)=4網(wǎng)

時，該雙曲線的離心率為2

B.設P為雙曲線的左焦點，A為雙曲線的右頂點，8為雙曲線虛軸上的一個頂點，當

時，該雙曲線的離心率為4

C.設廠為雙曲線的左焦點，A為雙曲線的右頂點，8為雙曲線虛軸上的一個頂點，當

2rl時，該雙曲線的離心率為2

D.設尸為雙曲線的左焦點，A為雙曲線的右頂點，8為雙曲線虛軸上的一個頂點，當

I網(wǎng)=也.|

2『?時，該雙曲線的離心率為4

參考答案：

C

【分析】

|/s|=—Lul

先排除A,B,再根據(jù)?2?求出雙曲線的離心率得解.

【詳解】對于雙曲線而言，?網(wǎng)＞網(wǎng)，排除A,B.

|AS|=^^L4^|jS+t?="^~cn??-W=-cln/=[=4n.=2

由L2?，得丫24?,

故選：C.

【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)和雙曲線離心率的計算，考查類比推理，意

在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.

3.在棱長都為2的直三棱柱，心C-，431cl中，線段與側(cè)面工UG4所成角的正弦

值為

72皂立

A.2B.2C.4

R

D.4

參考答案：

D

略

4.函數(shù)=21?1+bg2x的零點所在區(qū)間是

A.4》B,4》C.4°D,0.2)

參考答案：

C

略

5.在3和9之間插入兩個實數(shù)，使前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，則

二數(shù)之和為（)

1J或o

A用B.4c.嗎

D.4

參考答案:

B

6.若*工是兩個非零向量，且口=W=F4，則G與1+3的夾角為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

參考答案：

A

【分析】

畫出圖像：根據(jù)同=國叩一可計算器夾角為至，再通過夾角公式計算G與）?否的夾角.

【詳解】

同一斷口一4形成-個等邊三角形，如圖形成-個菱形.

a與a?豆的夾角為30。

故答案選A

【點睛】本題考查了向量的加減和夾角，通過圖形可以簡化運算.

7.在空間四邊形OABC中，0A=a.OB=b.OC=cA.」且OM=2MA,點

N為BC中點，則而等于

2-,lr,1-1-2r.1-1-lr1-2-2r1

.一a-a—-6+-c-a?--4+-b?一

A、322B、232C、222D、332

參考答案：

A

略

8.在平面直角坐標系中，正三角形A3C的邊BC所在直線的斜率是0,則邊A8,AC所在

直線的斜率之和為

A.-2J3B.-1C.OD.2?行

參考答案：

C

9.如圖是函數(shù)＞=/（?的導函數(shù)y=/1x）的圖象，給出下列命題：

①-2是函數(shù)/=/（?的極值點；

②1是函數(shù)尸=八?的極值點；

③y二人工）的圖象在＜=。處切線的斜率小于零；

①函數(shù)y二/（2在區(qū)間（一2,2）上單調(diào)遞增.

則正確命題的序號是（）

A.①③B.②④C.②③D.①④

參考答案：

D

根據(jù)導函數(shù)圖像可知，-2是導函數(shù)得零點且-2的左右兩側(cè)導函數(shù)值符號異號，故-2是極值

點，1不是極值點，因為1的左右兩側(cè)導函數(shù)符號不一致，0處的導函數(shù)值即為此點的切

線斜率顯然為正值，導函數(shù)在(一2,2)恒大等于零，故為函數(shù)的增區(qū)間，所以選D

10.函數(shù)f(Z)=x+x-2(x〉2)在x=。時取得最小值，則。=()

(A)1+/(B)1+5^(C)

3(D)4

參考答案：

C

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

士+士-1

11.若橢圓行.正一的左焦點在拋物線/=2不。＞0)的準線上，則°的值為

參考答案：

6

【分析】

本題可根據(jù)橢圓方程求出橢圓的左焦點的坐標，然后結(jié)合拋物線的準線方程，即可列出方

程，然后求解p即可。

【詳解】由橢圓的相關性質(zhì)可知，橢圓石+n一的左焦點為(-3.0),

橢圓工石++丫正-一1的左焦點在拋物線的準線上，

=_3

可得2,解得，—6.故答案為6。

【點睛】本題考查圓錐曲線的相關性質(zhì)，主要考查橢圓的簡單性質(zhì)以及拋物線的簡單性質(zhì)

的應用，是基本知識的考查，是簡單題。

12.函數(shù)/(x)=2|x2|X-5的最小值為.

參考答案：

3

13.如下圖所示，A403是平面圖形AT的直觀圖，則M的面積是

參考答案:

4

14.某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增添了兩個新節(jié)目，如果將

兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，則不同的插入種數(shù)為

參考答案：

42

15.下列各數(shù)25⑼、3口：6)、1。叫，)、I"”1⑵中最小的數(shù)是—

參考答案：

11111%)

16.若不等式I"+21<6的解集為「，則實數(shù)U的值為

參考答案：

或

17.給出下列結(jié)論：

16

動點M(x,y)分別到兩定點(-3,0)、(3,0)連線的斜率之乘積為9,設M(x,

y)的軌跡為曲線C,Fi、F2分別為曲線C的左、右焦點，則下列命題中：

(1)曲線C的焦點坐標為Fi(-5,0)、莊(5,0)；

(2)若NFIMF2=90。，則S△F1MFZ=32.

(3)當x<0時，△FMF?的內(nèi)切圓圓心在直線x=-3上;

(4)設A(6,1),則|MA|+|MF門的最小值為2后;

其中正確命題的序號是：—.

參考答案：

(1)(3)

【考點】命題的真假判斷與應用.

【分析】由題意可得：x+3x-39,化為916(xr土3).

(1)由曲線C的標準方程可得CR^=5,即可得出曲線C的焦點坐標；

<(m2,+n2-_1沙02]

(2)設|FM|=m,|FiM|=n,m>n,由于/FMF2=90°,可得.m-n=2X3,2mn=16；

(3)設A為內(nèi)切圓與x軸的切點,由于|F2Mb|FiM閶F?A|-|BA|=2a=6,

|F2A|+|FIA|=2C=10,可得|F2AlM8,|FJA|=2,解得XA,即可判斷出；

(4)不妨設點M在雙曲線的右支上，根據(jù)定義可得IMF」-MF2|=2a=6,可得

、

|MA|+|MF2|=|MA|+|MF,|-6,當A、MFI三點共線時，+的最小值為|AF1-6.

【解答】解：由題意可得：x+3x-39,化為916(xw±3).

(1)由曲線C的標準方程可得cR^=5,.?.曲線C的焦點坐標為Fi(-5,0)、Fz

(5,0),正確;

2,27rt2

<in+n-10

(2)設|FM|=m,|FiM|=n,m>n,VZFIMF2=90°,A[m-n=2X3,

ASAFiMF2=2mn=16；

(3)設A為內(nèi)切圓與x軸的切點，：|RM|-|FM=HA|-|RA|=2a=6,

|F2A|+]F1A|=2C=10,；.|F2Al=8,|F1A=2,A5-xA=8,解得x.=-3.設圓心P,則POLx

軸，從而可得圓心在直線x=-3上，因此正確；

(4)不妨設點M在雙曲線的右支上，：|MFj-|MF/=2a=6,；.|MA|+|MF/=|MA|+|MFj-

6,當A、M、Fi三點共線時，|MA|+|MFj的最小值為|AF』-6=丁運-6.因此不正確.

綜上可得：正確命題的序號是(1)(3).

故答案為：(1)(3).

【點評】本題考查了雙曲線的定義標準方程及其性質(zhì)、三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)、斜率計算

公式，考查了轉(zhuǎn)化能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.用綜合法或分析法證明以下命題：設a,b均為正實數(shù)，且aWb,求證：a3+b3>

a2b+ab2.

參考答案：

【考點】綜合法與分析法(選修).

【分析】法一，分析法：證明使a'+b3>a2b+ab?成立的充分條件成立.

法二，綜合法：由條件aWb推出：a2-2ab+b2>0,通過變形，應用不等式的性質(zhì)可證出

結(jié)論.

【解答】證明：法一：(分析法)要證a'b'AaZb+ab?成立，

只需證(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立.

又因為a、b均為正實數(shù)，故只需證a2-ab+b?>ab成立，

而依題設aWb,則(a-b)2>0顯然成立，由此命題得證.

法二：(綜合法)；aWb,...a-bWO,Aa2-2ab+b2>0,Z.a2-ab+b2>ab(*).

而a,b均為正數(shù)，a+b>0,(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),

a3+b3>a2b+ab"成立.

19.設圓滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長之比為3：1；③

或

圓心到直線/X-2了二°的距離為5,求該圓的方程.

參考答案：

解：設圓心為<4與，半徑為r,

由條件①：/

由條件②：戶=26’，

一早拽平一處I

從而有：26-a=1.由條件③：.55,

解方程組一徹.1

a=Ia=-1

可得：1占=1或9=7,所以/=如=2.

故所求圓的方程是(x-D'+CvT)'=2或(x+l/+(_y+D)=2

略

20.已知a>°，aw】，命題，函數(shù)了=108式工+1)在(0,m)上單調(diào)遞減，命題q曲線

y=j+2?-5工+1與刀軸交于不同的兩點，若「八9為假命題，Pvg為真命題，

求實數(shù)”的取值范圍.

參考答案：