2023屆高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)卷：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（含解析）

2023屆高考數(shù)學(xué)三輪沖刺卷：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

一、選擇題(共20小題；)

1.函數(shù)y=l+3x-χ3有()

A.極小值-1,極大值1B.極小值-2,極大值3

C.極小值-2,極大值2D.極小值-1,極大值3

2.已知x=l是函數(shù)f(x)=Inx+三的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)ɑ的值是()

A.1B.-1C.2D.-2

3.已知X=I是函數(shù)/(x)=lnκ+7的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)ɑ的值是()

A.1B.-1C.2D.-2

4.已知函數(shù)/(x)和g(x)的導(dǎo)函數(shù)r(x),g'M圖象分別如圖所示，則關(guān)于函數(shù)y=gM-fM

的判斷正確的是()

A.有3個(gè)極大值點(diǎn)B.有3個(gè)極小值點(diǎn)

C.有1個(gè)極大值點(diǎn)和2個(gè)極小值點(diǎn)D.有2個(gè)極大值點(diǎn)和1個(gè)極小值點(diǎn)

5.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為/'O),且函數(shù)y=(1-x)∕'(x)的圖象如圖所示，則下列

結(jié)論中一定成立的是()

A./(x)有極大值/(-2)BJ(X)有極小值/(-2)

C./(X)有極大值/(1)Dj(X)有極小值DI)

6.函數(shù)ya)的定義域?yàn)镽,導(dǎo)函數(shù)r0)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x))

A.無極大值點(diǎn)、有四個(gè)極小值點(diǎn)B.有三個(gè)極大值點(diǎn)、一個(gè)極小值點(diǎn)

C.有兩個(gè)極大值點(diǎn)、兩個(gè)極小值點(diǎn)D.有四個(gè)極大值點(diǎn)、無極小值點(diǎn)

7.函數(shù)/"(x)=2X-XInX的極值是()

A.?B.-C.eD.e2

ee

8.已知函數(shù)/(%)=%3+αx2+(α÷6)x+1有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)Q的取值范圍是()

A.(—1,2)B.(—8,—3)U(6,+8)

C.(—3,6)D.(―8,—1)u(2,+8)

9.已知Q為函數(shù)/(%)=%3-12x的極小值點(diǎn)，則Q等于()

A.-4B.-2C.4D.2

10.函數(shù)/(%)=α%3+b/+c%-34(α,b,c∈R)的導(dǎo)函數(shù)為/'O),若不等式/(%)≤0的解集為

{x∣-2≤x≤3),/(x)的極小值等于一115,則Q的值是()

A.--B.iC.2D.5

223

11.已知函數(shù)f(x)=/+αχ2+取+ct2在X=I處有極值io,則，(2)等于()

A.11或18B.11C.18D.17或18

12.設(shè)函數(shù)/(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為r(x),且函數(shù)f(x)在x=-2處取得極大值，則函數(shù)

丫=》(0)的圖象可能是()

13.若X=-2是函數(shù)/(x)=(x2+ax-l)ex^1的極值點(diǎn)，則/(x)的極小值為()

A.-1B.-2e-3C.5e^3D.1

14.已知函數(shù)f(x)="3—4χ,則f(χ)的極大值點(diǎn)為()

A.%=-4B.X=4C.%=-2D.%=2

15.若函數(shù)f(x)=爐一2cχ2+%有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)C的取值范圍為()

A-[T>+∞)B.(一8,一冬U特+8)

c?(τ(+°0)D,(-∞<-y)u(τ-+°0)

16.已知函數(shù)∕3)=(χ2+α2χ+l)eX,則“α=√Σ”是“函數(shù)〃久)在x=-1處取得極小值”的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

17.若Q>0,h>0,且函數(shù)f(x)=4%3-ax2—2bx+2在％=1處有極值，則ab的最大值等于

()

A.2B.3C.6D.9

18.若函數(shù)/(%)=e"-α%-M在R上有小于0的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)Q的取值范圍是()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(-∞,-l)D.(1,÷∞)

19.已知/(%)=X3+ax2÷(α+6)x+1有極大值和極小值，則a的取值范圍為()

A.-1VaV2B.-3VQV2

CaV-I或Q>2D.aV-3或a>6

20.設(shè)函數(shù)f(x)=：+InX,則()

A.%=T為/(x)的極大值點(diǎn)B.X=；為/(x)的極小值點(diǎn)

C.X=2為/(x)的極大值點(diǎn)D.X=2為/(x)的極小值點(diǎn)

二、填空題(共5小題；)

21.函數(shù)/(x)=%3-3%的極小值為.

22.函數(shù)/(x)=X2-3x÷Inx在處取到極大值.

23.函數(shù)/(x)=X3+ax2+%+b在％=1時(shí)取得極值，則實(shí)數(shù)a=.

24.已知函數(shù)f(x)=代r/，有極大值且有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______

(xz-2ax,X>0------------

(-X2+2ax,X<1

25.已知函數(shù)/(%)=?a?nx、1.

-x≥1

①當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)極大值是；

②當(dāng)X<1時(shí)，若函數(shù)/(%)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

三、解答題(共5小題；)

26.已知函數(shù)f(x)=(+lnx,求函數(shù)f(x)的極值.

27.已知函數(shù)f(x)=x—alnx(a∈R).

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)4(l,f(l))處的切線方程.

(2)求函數(shù)f(x)的極值.

28.已知函數(shù)/(x)=x2-1-2alnx(a≠0),求函數(shù)/(x)的極值.

29.設(shè)函數(shù)/(x)=9-∕dn%,∕c>0,求/(%)的單調(diào)區(qū)間和極值.

30.已知/(x)=2x+3-ln(2x+1).

J'2x+l

(1)求證：當(dāng)％=0時(shí)/(x)取得極小值；

(2)是否存在滿足n>n?≥0的實(shí)數(shù)n,當(dāng)％6［血,用時(shí).，/(%)的值域?yàn)椋鄯笌祝?若存在,

求m,n的值；若不存在，請說明理由.

答案

1.D【解析】提示：y'=3-3x2,令y'=O可得X=I或X=-1,于是可得函數(shù)在(-∞,-l)單

調(diào)遞減，(一1,1)單調(diào)遞增，(1,+8)單調(diào)遞減，所以當(dāng)工=一1時(shí)，函數(shù)取得極小值f(-1)=一1；當(dāng)

X=I時(shí)，函數(shù)取得極大值/(1)=3.

2.A【解析】r(x)=：-爰=*(X-α),X=α為f(x)的極值點(diǎn)，因此a=l.

3.A【解析】==X=a為f(x)的極值點(diǎn)，因此a=1.

故選A.

4.D

5.A

6.C

7.C【解析】因?yàn)?'(X)=2-(InX+1)=1-InX,當(dāng)尸(%)>。時(shí)，解得O<%<e；當(dāng)

f'(x)<O時(shí)，解得%>e,所以X=e時(shí)，f(x)取到極大值，f(x)極大值=f(e)=e.

故選C.

8.B【解析】提示：/'(X)=0有兩相異實(shí)根.

9.D【解析】因?yàn)閒(x)=x3-12x,所以f'(x)=3X2-12,

令f'(x)=。，得Xl=-2,X2=2.

當(dāng)Xe(-∞,-2),(2,+8)時(shí)，「(X)>0,則f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(-2,2)時(shí)，f'(x)<O,則f(x)單調(diào)遞減，

所以f(x)的極小值點(diǎn)為a=2.

10.C

【解析】由已知可得r(x)=3a∕+2bx+c,

由3aM+2bx+c≤0的解集為｛x∣-2≤x≤3｝可知a>0,

且一2,3是方程3ax2+2bx+c=0的兩根，

則由根與系數(shù)的關(guān)系知==一1,5=-6,

3a3a

所以b=-：,c=-18a,此時(shí)f(x)=a/一-18aχ-34,

當(dāng)X6(-8,-2)時(shí)，f'(x)>O,f(x)為增函數(shù)；

當(dāng)X∈(—2,3)時(shí)，f(x)<0,f(x)為減函數(shù)；

當(dāng)X∈(3,+8)時(shí)，r(x)>O,f(x)為增函數(shù)，

所以f(3)為/(x)的極小值，且f(3)=27a-等一54a-34=-115,

解得a=2.

11.C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=X3+ax2+bx+a2在X=1處有極值10,

所以/(1)=10,且/'(1)=0,

即已曹+J7ɑn?1°,解得仁=”或｛廣/

而當(dāng)R=時(shí)，函數(shù)在X=I處無極值，故舍去.

3=3

所以f(x)=X3÷4x2-Ilx+16,所以/(2)=18.

12.D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(%)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)r(%),且函數(shù)/(%)在％=-2處取得極大值,

所以當(dāng)%>—2時(shí)，∕,(x)<0；當(dāng)％=—2時(shí)，∕,(x)=0；當(dāng)％V-2時(shí)，∕,(x)>0.

所以當(dāng)%>—2時(shí)，，x∕,(x)>0；當(dāng)％=—2時(shí),，x∕,(x)=0；當(dāng)％<—2時(shí)，x∕,(x)<0.

13.A【解析】函數(shù)f(%)=(/+α%—l)e%τ,

可得r(x)=(2x+a)ex~1+(x2+ax—l)ex^1,

%=-2是函數(shù)/(x)=(x2+αx-l)ex^1的極值點(diǎn)，

可得：—4+α+(3-2α)=0.

解得a=-1.

可得

∕,(x)=(2%—l)ex-1÷(%2—%—l)ex^1

=(x2+%—2)yex~1,

函數(shù)的極值點(diǎn)為：％ι=—2,%2=L

當(dāng)％V-2或%>1時(shí)，r(x)>0,函數(shù)是增函數(shù)；

當(dāng)一2V%<1時(shí)，∕,(x)<0,函數(shù)是減函數(shù)，

當(dāng)％=1時(shí)，函數(shù)取得極小值：/(1)=(I2-1-l)e1-1=-1.

14.C【解析】由f(%)=13-4%,

得：∕,(x)=X2-4.

由/'(%)=/—4>0,得XV-2,或%>2.

由「(%)=X2—4<0,得：—2V%V2.

所以，函數(shù)/(函的增區(qū)間為(-8,-2),(2,+8).函數(shù)f(%)的減區(qū)間為(一2,2).

所以，％=-2是函數(shù)的極大值點(diǎn)，％=2是函數(shù)的極小值點(diǎn).

故選：C.

15.D

16.A【解析】若/(%)在％=-1處取得極小值，∕,(x)=[x2+(a2+2)x+α2+l]ex=

(x+1)(%+α2÷l)ex.

令「(%)=0，得%=—1或％=—a2—1.

①若α=0,∕,(x)=(x+l)2ex≥0.

故/Q)在R上單調(diào)遞增，f(%)無極小值;

②若ɑ≠0,-M—IV—1,

故當(dāng)X<-a2-1時(shí)，∕,(%)>0,f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)-a2-1V%V-I時(shí)，∕,(χ)<0,/(%)單調(diào)遞減，

當(dāng)%>—1時(shí)，∕,(x)>0,/(%)單調(diào)遞增.

故f(x)在％=-1處取得極小值.

綜上，函數(shù)/Q)在％=-1處取得極小值OaH0.

所以“a=√Σ”是"函數(shù)/(x)在％=-1處取得極小值”的充分不必要條件.

17.D【解析】/'(%)=12X2—2ax—2b,∕,(1)=12—2α—2h=0,即ɑ+b=6,又Q>0,b>

0,所以Qb≤(“+")=9,當(dāng)且僅當(dāng)Q=b=3時(shí)等號成立.

4

18.B

19.D【解析】函數(shù)f(x)=/+α/+(α+6)x+1,

所以∕l(x)=3x2+2ax+(α+6),

因?yàn)楹瘮?shù)有極大值和極小值，

所以方程f'M=O有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即3/+2αx+(α+6)=O有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

所以4>0,即(2a)2-4×3×(a+6)>0,

解得a<-3或a>6.

20.D

【解析】因?yàn)閒(x)=：+Inx,所以，'(久)=一展+：=詈，X>0?

當(dāng)X>2時(shí)，f'(x)>O,f(x)為增函數(shù);

當(dāng)0<x<2時(shí)，r(x)<0,f(x)為減函數(shù)，

所以X=2為f(x)的極小值點(diǎn)，故選D.

21.-2

【解析】求導(dǎo)得：f(x)=3x2-3=0,得x=±l,當(dāng)X=I時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值-2.

22.-

2

23.-2

24.Q>0

25.e-,a<l

26.因?yàn)閒(x)=}+Inx,

所以/3=-妥+；裳,

令f(x)=O,得x=l，列表：

%(0,1)1a,+∞)

f`w-0+

f(χ)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以X=I是f(x)的極小值點(diǎn)，f(x)的極小值為1,無極大值.

27.(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+8),/'(%)=1-；.

當(dāng)a=2時(shí)，/(x)=x-21nx,/'(x)=1-1(x>0),

所以“1)=1,/'(I)=-I,

所以y=/(χ)在點(diǎn)71(1,/(1))處的切線方程為y-1=一魚一1),即X+y-2=0.

(2)由f'(x)=l-7=?,x>0可知：

①當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)>O,函數(shù)/G)為(0,+8)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值；

②當(dāng)a>0時(shí)，由f'(x)=0,解得X=a；

因?yàn)閄∈(0,a)時(shí)?，f'(x)<0,X∈(a,+∞)時(shí):f'(x)>0.

所以f(x)在X=a處取得極小值，且極小值為f(a)=a-alna,無極大值.

綜上：當(dāng)Q≤0時(shí)，函數(shù)/(%)無極值，當(dāng)α>0時(shí)，函數(shù)f(x)在％=α處取得極小值Q-QInα,無極

大值.

28.因?yàn)?(x)=X2-1—2αlnx(x>0),

所以∕?(χ)=2x-半=丐包.

①當(dāng)QVO時(shí)，因?yàn)椋?gt;0,且％2-Q>0,

所以rco>o對％>。恒成立，

所以/(%)在(0z÷∞)上單調(diào)遞增，/(x)無極值.

,

②當(dāng)Q>O時(shí)，令∕(x)=0,解得x1=√α,X2=-√α(舍去).

所以當(dāng)工變化時(shí)，/'(%),f(%)的變化情況如表：

X(θ,√α)√α(√α,÷∞)

f,ω-O+

f(χ)、極小值/

所以當(dāng)％=VH時(shí)，/(%)取得極小值，且f(√H)=(√Ξ)-1-2αln√α=α-1-ɑ?nɑ,無極大值.

綜上，當(dāng)QVOFl寸，函數(shù)/(x)在(O,+∞)上無極值.

當(dāng)Q>0時(shí),，函數(shù)/(%)在％=√H處取得極小值Q-I-QInα,無極大值.

29.由f(x)=J-∕dnx(k>0),得x>O且f'(x)=x由f'(x)=O,解得x=?(負(fù)值

舍去).

/(x)與∕,(x)在區(qū)間(0,+∞)上的情況如下:

X(o,Vfc)Vfc(Vfc,+∞)

ro)-O+

,、∕c(l—Infc)

fM、工^