古典概型與幾何概型講義 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第四章概率統(tǒng)計(jì)

第19講古典概型與幾何概型

D知識(shí)導(dǎo)航二

1.基本事件的特點(diǎn)

(1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的；

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

2.古典概型

(1)古典概型的特征：

①有限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的，即只有有限個(gè)不同的基本事件;

②等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的.

(2)古典概型的概率計(jì)算的基本步驟：

①判斷本次試驗(yàn)的結(jié)果是否是等可能的，設(shè)出所求的事件為4

②分別計(jì)算基本事件的總數(shù)n和所求的事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)

③利用古典概型的概率公式2(4)=々，求出事件A的概率.

(3)頻率的計(jì)算公式與古典概型的概率計(jì)算公式的異同

名稱不同點(diǎn)相同點(diǎn)

頻率計(jì)算中的〃均隨隨機(jī)試驗(yàn)的變化而

頻率計(jì)算公式變化，但隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，它們的比

值逐漸趨近于概率值都計(jì)算了一個(gè)比值彳

彳是一個(gè)定值，對(duì)同一個(gè)隨機(jī)事件而言，m,

古典概型的概率計(jì)算公式

〃都不會(huì)變化

3.幾何概型

(1)概念：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模

型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型.

(2)幾何概型的基本特點(diǎn)：

①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個(gè)；

②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.

(3)計(jì)算公式：

_構(gòu)成事件4的區(qū)域長度(面積或體積)

"A)一試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度(面積或體積)?

?課前自測」

1.連續(xù)拋擲一枚骰子2次，則第1次正面向上的數(shù)字比第2次正面向上的數(shù)字大的概率為（）

5?2〃3

A.—B.-C.-D.一

12556

答案.A

2.甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能的從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)

服的概率為（)

A.-

3

答案.A

3.如圖，在半徑為R的圓內(nèi)隨機(jī)撒一粒黃豆，它落在圓的內(nèi)接正三角形（陰影部分）內(nèi)的概率是

▲

I

A.在B.bH

C.更D.還

44點(diǎn)”4

答案.B

4.甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)

服的概率為

31

答案:9=5-

5.一個(gè)盒子里裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的4張卡片，隨機(jī)地抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為

奇數(shù)的概率是________________

4_2

答案：63

燒典例導(dǎo)學(xué)、

*題型一：古典概型

【例1】（2021?全國高考真題）將4個(gè)1和2個(gè)。隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

3535

【答案】C

【解析】將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可利用插空法,4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，若2個(gè)。相鄰，則有C；=5

inO

種排法，若2個(gè)0不相鄰，則有綾=10種排法，所以2個(gè)0不相鄰的概率為‘工二；，故選C。

5+103

【跟蹤訓(xùn)練1】：在某次測驗(yàn)中，有6位同學(xué)的平均成績?yōu)?5分.用心表示編號(hào)為"(〃=1,2,…，6)的同學(xué)

所得成績，且前5位同學(xué)的成績?nèi)缦拢?/p>

編號(hào)n12345

成績x?7076727072

(1)求第6位同學(xué)的成績?yōu)?，及這6位同學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差s.

⑵從前5位同學(xué)中，隨機(jī)地選2位同學(xué)，求恰有1位同學(xué)成績?cè)趨^(qū)間(68,75)中的概率

【解析】(1)因?yàn)檫@6位同學(xué)的平均成績?yōu)?5分，

所以/(70+76+72+70+72+居)=75,解得汽=90,

這6位同學(xué)成績的方差

/=*(70-75)2+(76-75)2+(72-75)2+(70-75)2+(72-75)2+(90-75)2]=49,

所以標(biāo)準(zhǔn)差5=7.

(2)從前5位同學(xué)中，隨機(jī)地選出2位同學(xué)的成績有(70,76),(70,72),(70,70),(70,72),(76,72),(76,70),

(76,72),(72,70),(72,72),(70,72),共10種結(jié)果，

恰有1位同學(xué)成績?cè)趨^(qū)間(68,75)中的有(70,76),(76,72),(76,70),(76,72),共4種結(jié)果,故所求的概率

?±2

產(chǎn)=一10=一5'

2

即恰有1位同學(xué)成績?cè)趨^(qū)間(68,75)中的概率為半

*題型二：幾何概型

類型1與長度有關(guān)的幾何概型

7

【例2】(2021?全國高考真題)在區(qū)間(0,1)與(1,2)中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于一的概率為(

4

【答案】B

【解析】如圖所示:

設(shè)從區(qū)間（0,1）,（1,2）中隨機(jī)取出的數(shù)分別為X,y,則實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域?yàn)?/p>

Q=｛（x，y）|o<x<i/<y<2｝,其面積為$=ixi=i.

設(shè)事件A表示兩數(shù)之和大于（，則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?=｛（》,曰|0<%<1,l<y（2,即圖中的

13323S23

陰影部分，其面積為所以P（A）=f=有.

故選：B.

【跟蹤訓(xùn)練2】在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)k,使直線y=Mx+3）與圓N+y=i相交的概率為（）

AoB.g

答案：C

類型2與面積有關(guān)的幾何概型

【例3].如圖所示，若在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，這一點(diǎn)落在小正方形內(nèi)（圖中陰影部分）的概率為（）

【答案】D

【分析】求出陰影部分的面積，大正方形的面積即可得概率.

【解析】由已知大正方形的邊長為+為=石,面積為S=（6「=5,

小正方形邊長為1,面積為8=『=1,

所以所求概率為尸=?■==.故選D.

S5

【跟蹤訓(xùn)練3】在正方形ABC。中，弧是以為直徑的半圓，若在正方形ABCD中任取一點(diǎn)，則該

點(diǎn)取自陰影部分內(nèi)的概率為()

【答案】D

【分析】設(shè)正方形A8CD的邊長為2,計(jì)算出陰影部分區(qū)域和正方形ABC。的面積，利用幾何概型的概率

公式可求得所求事件的概率.

【解析】設(shè)正方形ABC。的邊長為2,將圖中陰影部分中的弓形區(qū)域沿著圖中的虛線對(duì)稱，如下圖所示：

所以，陰影部分區(qū)域的面積為S'=1x2x1=1,正方形ABC。的面積為5=2z=4,

2

S'1

因此，所求概率為P=—=—.故選D.

S4

類型3與體積有關(guān)的幾何概型

[例4],一只小蜜蜂在一個(gè)棱長為30的正方體玻璃容器內(nèi)隨機(jī)飛行，若蜜蜂在飛行過程中與正方體玻璃容

器六個(gè)表面中至少有一個(gè)的距離不大于10,則就有可能撞到玻璃上而不安全，即始終保持與正方體玻璃容器

六個(gè)表面的距離均大于10,飛行才是安全的.假設(shè)蜜蜂在正方體玻璃容器內(nèi)飛行到任意位置的可能性相等，那

么蜜蜂飛行安全的概率是()

5214

A.—B.-C.—D.—

1232725

【答案】c