典中點《11.1-11.2 三角形角的關系的八種常見題型》素養(yǎng)練

2/2典中點《11.1~11.2三角形角的關系的八種常見題型》素養(yǎng)練名師點金三角形內角和定理與三角形外角的性質是解角的有關計算及推理論證問題時經常使用的理論依據，利用三角形內角和與外角的性質求角的度數時，要通過內角和外角相互轉化，溝通已知和未知，進而求出角的度數.題型一三角形內角和定理在求角度中的應用1.如圖，在△ABC中，∠A=46°，CE是∠ACB的平分線，點B，C，D在同一條直線上，FD∥EC，∠D=42°.求∠B的度數.題型二三角形內角和定理在疊放中的應用2.（1）如圖①，有一塊直角三角尺XYZ放置在△ABC上，恰好三角尺XYZ的兩條直角邊XY，XZ分別經過點B，C.△ABC中，∠A=30°，則∠ABC+∠ACB=，∠XBC+∠XCB=.（2）如圖②，改變直角三角尺XYZ的位置，使三角尺XYZ的兩條直角邊XY，XZ仍然分別經過點B，C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否變化？若變化，請舉例說明；若不變化，請求出∠ABX+∠ACX的大小.題型三三角形內角和定理在類比思想中的應用3.【教材P17習題T9拓展】如圖，在△ABC中，點P是∠ABC，∠ACB的平分線的交點.（1）若∠A=60°，求∠BPC的度數.（2）有一名同學在解答（1）后得出∠BPC=90°+∠A的規(guī)律，你認為正確嗎？請給出理由.題型四三角形內角和定理在轉化思想中的應用4.如圖，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度數.題型五三角形內、外角的關系在探究角的關系中的應用5.如圖，在△ABC中，點O是外角∠DBC的平分線與外角∠ECB的平分線的交點.判斷∠BOC與∠A的數量關系，并說明理由.題型六三角形內、外角的關系在折角中的應用6.【原創(chuàng)題】探索歸納：（1）如圖①，已知△ABC為直角三角形，∠A=90°，若沿圖中虛線剪去∠A，則∠1+∠2等于（）A.90°B.135°C.270°D.315°（2）如圖②，已知在△ABC中，剪去∠A后得到四邊形BCEF，試探究∠1+∠2與∠A的關系，并說明理由.（3）若沒有將∠A剪掉，而是把它折成如圖③的形狀，試探究∠1+∠2與∠A的關系，并說明理由.題型七三角形內、外角的關系在方程思想中的應用7.如圖，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA.（1）求證∠EAC=∠B.（2）若∠B=50°，∠CAD：∠E=1：3，求∠E的度數.題型八三角形內、外角的關系在整體思想中的應用8.【2021·衡水第五中學月考】如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點O，點D是外角∠ACH與內角∠ABC平分線的交點，∠BOC=120°.（1）求∠A的度數；（2）求∠D的度數.

參考答案1.解：FD∥EC，∠D=42°，∴∠BCE=∠D=42°.CE是∠ACB的平分線，∴∠ACB=2∠BCE=84°.又∠A=46°，∴∠B=180°-∠ACB-∠A=180°-84°-46°=50°.點拔：本題運用了轉化思想，借助平行線把與△ABC無關的已知角轉化成△ABC中的∠BCE，再結合角平分線的定義就能進一步運用三角形內角和定理解決問題.2.解：（1）150°；90°（2）不變化.∵∠A=30°，∴∠ABC+∠ACB=150°.∵∠X=90°，∴∠XBC+∠XCB=90°.∴∠ABX+∠ACX=（∠ABC-∠XBC）+（∠ACB-∠XCB）=（∠ABC+∠ACB）-（∠XBC+∠XCB）=150°-90°=60°.3.解：（1）∵BP，CP分別為∠ABC，∠ACB的平分線，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=(180°-60°)=60°.∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-60°=120°.（2）正確.理由如下：∵BP，CP分別為∠ABC，∠ACB的平分線，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A.∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（90°-∠A）=90°+∠A.4.解：連接CG，DF.在△COG和△AOB中，∠COG=∠AOB，∴∠6+∠7=∠OCG+∠OGC.在四邊形CDFG中，∠OCG+∠2+∠CDF+∠DFG+∠3+∠OGC=360°，即∠2+∠3+∠6+∠7+∠CDF+∠DFG=360°.在△DEF中，∠EDF+∠EFD+∠5=180°，∴∠EDF+∠CDF+∠EFD+∠DFG+∠2+∠3+∠5+∠6+∠7=540°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°.點拔：連接CG，DF，利用轉化思想，將求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的和轉化為求四邊形CDFG的內角和與△DEF的內角和之和.5.解：∠BOC=90°-∠A.理由如下：由題意得∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A.∵BO，CO分別是∠DBC，∠ECB的平分線，∴∠OBC+∠OCB=（∠DBC+∠ECB)=(180°+∠A)=90°+∠A.∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(90°+∠A)=90°-∠A.6.解：（1）C（2）∠1+∠2=∠A+180°.理由如下：∵∠1，∠2為△AEF的外角，∴∠1=∠A+∠AEF，∠2=∠A+∠AFE.∴∠1+∠2=∠A+∠A+∠AEF+∠AFE.又∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°，∴∠1+∠2=∠A+180°.（3）∠1+∠2=2∠A.理由如下：∵△EFP是由△EFA折疊得到的，∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF.∴∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF.∴∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF）.又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A，∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A.7.（1）證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.又∵∠EAD=∠EDA，∴∠EAC=∠EAD-∠CAD=∠EDA-∠BAD=∠B.（2）解：設∠CAD=x，則∠E=3x.由（1）知∠EAC=∠B=50°，∴∠EAD=∠EDA=x+50°.在△EAD中，∵∠E+∠EAD+∠EDA=180°，∴3x+2（x+50°）=180°，解得x=16°.∴3x=48°，即∠E=48°.8.解：（1）∵∠BOC=120°，∴∠OBC+∠OCB=60°.∵∠ABC，∠AC