上海中考數(shù)學重難點專練重難點01 新定義問題（解析版）

年中考數(shù)學【熱點·重點·難點】專練重難點01新定義問題新定義問題是上海中考數(shù)學的新趨勢之一，近三年的中考題中均有出現(xiàn)，主要是以幾何為主，包括平行四邊形、圓、正方形的概念、性質的運用；此類題型分值占比不大，卻是往后考查的熱點，也是重難點；新定義問題解決方法：一、新定義問題介紹新定義的題目大概可分為兩個問題的綜合：模型化問題&變量問題大部分問題都是兩者兼有之的，不過總會偏向某一方面。二、新定義的結構：“新定義”=定義條件+名稱與表述題干——新定義——頂點選點/求值——單變量——多變量解決這類問題的核心就是提取模型提取模型就是把定義條件用我們已知的幾何基本模型（有一些特殊的題提取出的模型可能是代數(shù)模型）運用所給的內(nèi)容聯(lián)系學過的內(nèi)容。進行提取分析。而這就是所謂“提取模型”的含義三、新定義的類型與作用第一問：簡單，一般是給出點并選點，用于發(fā)現(xiàn)模型第二問：偏難，一般是單變量問題（即只有一個變化圖形），用于驗證模型/初步實踐模型第三問：很難，一般是多變量問題（很多圖形同時變化），用于應用/實踐模型或者題干：得到模型，第一問：檢驗模型，第二問：實踐模型，第三問：進一步實踐模型或者：題干：，第一問：發(fā)現(xiàn)模型，第二問：驗證模型，第三問：實踐模型四、解決思路：第一問：題目一般會給出幾個特殊點，通過這些特殊點將能夠發(fā)現(xiàn)某些關系（點的軌跡是個圓？可行的點在圓內(nèi)還是圓上還是圓外？），幫助構建模型。第二問：運用第一問構建出來的模型，進行關系間的操作以求得范圍邊界（例如相切相交之類），并且以此來驗證模型是否正確且完善（例如圓上能不能取，線段端點能不能取等等），用訂正后的模型再次訂正這道題。第三問：運用第二問完善得到的模型，通過對變量的處理以及幾何圖形的關系得到結果。五、核心與主旨核心：將題干中復雜的語言翻譯學生的便于操作的語言主旨：沒有無緣無故的第一問，三問聯(lián)動處理，逐漸遞進，相互依存【中考鏈接】1．（2020·上海·統(tǒng)考中考真題）如果存在一條線把一個圖形分割成兩個部分，使其中一個部分沿某個方向平移后能與另一個部分重合，那么我們把這個圖形叫做平移重合圖形．下列圖形中，平移重合圖形是()A．平行四邊形 B．等腰梯形 C．正六邊形 D．圓【答案】A【分析】證明平行四邊形是平移重合圖形即可．【詳解】如圖，平行四邊形ABCD中，取BC，AD的中點E，F(xiàn)，連接EF．則有：AF=FD，BE=EC，AB=EF=CD，∴四邊形ABEF向右平移可以與四邊形EFCD重合，∴平行四邊形ABCD是平移重合圖形．故選：A．【點睛】本題考查平移的性質，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．2．（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）定義：有一個圓分別和一個三角形的三條邊各有兩個交點，截得的三條弦相等，我們把這個圓叫作“等弦圓”，現(xiàn)在有一個斜邊長為2的等腰直角三角形，當?shù)认覉A最大時，這個圓的半徑為_____．【答案】##【分析】如圖，當?shù)认覉AO最大時，則經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點C，連接CO交AB于F，連接OE，DK，再證明經(jīng)過圓心，，分別求解AC，BC，CF，設的半徑為再分別表示再利用勾股定理求解半徑r即可．【詳解】解：如圖，當?shù)认覉AO最大時，則經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點C，連接CO交AB于F，連接OE，DK，過圓心O，，設的半徑為∴整理得：解得：不符合題意，舍去，∴當?shù)认覉A最大時，這個圓的半徑為故答案為：【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線的性質，弦，弧，圓心角之間的關系，圓周角定理的應用，勾股定理的應用，一元二次方程的解法，掌握以上知識是解本題的關鍵．3．（2021·上?！そy(tǒng)考中考真題）定義：在平面內(nèi)，一個點到圖形的距離是這個點到這個圖上所有點的最短距離，在平面內(nèi)有一個正方形，邊長為2，中心為O，在正方形外有一點，當正方形繞著點O旋轉時，則點P到正方形的最短距離d的取值范圍為__________．【答案】【分析】先確定正方形的中心O與各邊的所有點的連線中的最大值與最小值，然后結合旋轉的條件即可求解．【詳解】解：如圖1，設的中點為E，連接OA，OE，則AE=OE=1，∠AEO=90°，．∴點O與正方形邊上的所有點的連線中，最小，等于1，最大，等于．∵，∴點P與正方形邊上的所有點的連線中，如圖2所示，當點E落在上時，最大值PE=PO-EO=2-1=1；如圖3所示，當點A落在上時，最小值．∴當正方形ABCD繞中心O旋轉時，點P到正方形的距離d的取值范圍是．故答案為：【點睛】本題考查了新定義、正方形的性質、勾股定理等知識點，準確理解新定義的含義和熟知正方形的性質是解題的關鍵．限時檢測01：上海各地區(qū)最新模擬試題（60分鐘）1．（2023·上海徐匯·校聯(lián)考一模）閱讀理解：我們知道，引進了無理數(shù)后，有理數(shù)集就擴展到實數(shù)集.同樣，如果引進“虛數(shù)”，實數(shù)集就擴展到“復數(shù)集”.現(xiàn)在我們定義：“虛數(shù)單位”，其運算規(guī)則是：，，，，，，，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)運算法則可知個運算一循環(huán)，進而即可求解．【詳解】，，，，，，，，根據(jù)運算法則可知個運算一循環(huán)，，∴，故選：A．【點睛】本題考查了規(guī)律性問題，解題的關鍵是通過所給的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)其中的變化規(guī)律，利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行解題.2．（2021·上海徐匯·一模）定義：表示不超過實數(shù)的最大整數(shù).例如：，，根據(jù)你學習函數(shù)的經(jīng)驗，下列關于函數(shù)的判斷中，正確的是（

）A．函數(shù)的定義域是一切整數(shù)B．函數(shù)的圖像是經(jīng)過原點的一條直線C．點在函數(shù)圖像上D．函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而增大【答案】C【分析】根據(jù)題意描述的概念逐項分析即可．【詳解】A、對于原函數(shù)，自變量顯然可取一切實數(shù)，則其定義域為一切實數(shù)，故錯誤；B、因為原函數(shù)的函數(shù)值是一些整數(shù)，則圖象不會是一條過原點的直線，故錯誤；C、由題意可知，則點在函數(shù)圖像上，故正確；D、例如，，即當，時，函數(shù)值均為，不是隨的增大而增大，故錯誤；故選：C．【點睛】本題考查函數(shù)的概念以及新定義問題，仔細審題，理解材料介紹的的概念是解題關鍵．3．（2023·上海青浦·校考一模）新定義：有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形，如圖，已知在對余四邊形中，，，，，那么邊的長為______．【答案】【分析】連接，過點A作于點E，過點C作于點F，根據(jù)求出和的長度，進而求出的長度，根據(jù)對余四邊形的定義得出，則，即可求出的長度，再根據(jù)勾股定理求出的長度，最后根據(jù)即可求解．【詳解】解：連接，過點A作于點E，過點C作于點F，∵，，∴，設，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：，∴，∵，∴，∴，∵四邊形為對余四邊形，∴，∵，∴，∴∵，∴，設，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：，∴，在中，根據(jù)勾股定理得：，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了四邊形的綜合問題，解直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握解直角三角形的方法和步驟，勾股定理的內(nèi)容，正確作出輔助線，構建直角三角形．4．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考一模）在一塊底邊長為20厘米的等腰直角三角形鐵皮上截一塊矩形鐵皮，如果矩形的一邊與等腰三角形的底邊重合且長度為厘米，矩形另兩個頂點分別在等腰直角三角形的兩腰上，設矩形面積為平方厘米，那么關于的函數(shù)解析式是______．（不必寫定義域）【答案】【分析】根據(jù)幾何關系先把矩形的另一邊用x表示出來，再利用矩形面積公式得到y(tǒng)與x的表達式．【詳解】解：如圖所示，由題意，,，∴和都是等腰直角三角形，∴，由矩形可知，，∴，∴，∴矩形面積為，故答案為∶．【點睛】本題考查等腰直角三角形、矩形的性質和函數(shù)表達式，解題關鍵是熟知等腰直角三角形和矩形的性質．5．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）定義：把二次函數(shù)與（a≠0，m、n是常數(shù)）稱作互為“旋轉函數(shù)”．如果二次函數(shù)與（b、c是常數(shù)）互為“旋轉函數(shù)”，寫出點的坐標_________．【答案】【分析】根據(jù)題意，把所給的兩個二次函數(shù)轉化成旋轉函數(shù)即可．【詳解】∴∴解得：故答案為：【點睛】本題考查的是學生對二次函數(shù)解析式的變形能力，解題的關鍵是根據(jù)題意去變換形式，細心謹慎．6．（2022·上海楊浦·統(tǒng)考二模）新定義：在中，點D、E分別是邊的中點，如果上的所有點都在的內(nèi)部或邊上，那么稱為的中內(nèi)?。阎谥校?，，點D、E分別是邊的中點，如果是的中內(nèi)弧，那么長度的最大值等于_________．【答案】【分析】首先根據(jù)題意可知：當DE為直徑時，長度取最大值，再根據(jù)圓的周長公式，即可求得【詳解】解：由題知，在△ABC內(nèi)部以DE為直徑的半圓弧，就是△ABC的最長中內(nèi)弧，∵點D、E分別是邊的中點，∴DE是△ABC的中位線，∵∠A=90°，，∴，∴長度，故答案為：π．【點睛】本題主要考查了勾股定理，三角形中位線定理，弧長的計算，理解題意，得到當DE為直徑時，長度取最大值是解題的關鍵．7．（2022·上海松江·統(tǒng)考二模）定義：在平面直角坐標系中，為坐標原點，對于任意兩點、稱的值為、兩點的“直角距離”．直線與坐標軸交于A、兩點，為線段上與點A、不重合的一點，那么、兩點的“直角距離”是___________．【答案】5【分析】根據(jù)“直角距離”的概念，設，判斷出Q點橫坐標和縱坐標的正負性，計算即得結果；【詳解】解：由題意知，設，∴、兩點的“直角距離”是：，將代入得，，故；將代入得，，解得：，故；∵為線段上與點A、不重合的一點，∴∴故答案為：5．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的應用，掌握題目中的“直角距離”的概念，結合一次函數(shù)知識進行解題是關鍵．8．（2021·上海楊浦·統(tǒng)考一模）新定義：有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形.如圖，已知在對余四邊形中，，，，，那么邊的長為______．【答案】9【分析】連接AC，作交BC于E點，由，，可得AE=6，BE=8，并求出AC的長，作交AD于F點，可證，最后求得AF和DF的長，可解出最終結果．【詳解】解：如圖，連接AC，作交BC于E點，，，，設AE=3x，BE=4x，，則，解得x=2，則AE=6，BE=8，又，CE=BC-BE=4，，作交AD于F點，，，，==，又，同理可得DF=3，CF=4，，AD=AF+DF=9．故答案為：9．【點睛】本題考查四邊形綜合問題，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定難度，熟練掌握直角三角形和勾股定理知識點，根據(jù)題意做出正確的輔助線是解決本題的關鍵．9．（2022·上?！そy(tǒng)考模擬預測）定義：給定關于x的函數(shù)y，對于該函數(shù)圖象上任意兩點（x1，y1），（x2，y2），當x1＝﹣x2時，都有y1＝y(tǒng)2，稱該函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)以上定義，可以判斷下面所給的函數(shù)中，是偶函數(shù)的有__（填上所有正確答案的序號）．①y＝2x；②y＝﹣x+1；③y＝x2；④y＝﹣；【答案】③．【分析】根據(jù)所給的定義，把x1和x2分別代入函數(shù)解析式進行判斷即可．【詳解】在①中，y1＝2x1，y2＝2x2＝﹣2x1，此時y1≠y2，∴y＝2x不是偶函數(shù)，在②中，y1＝﹣x1+1，y2＝﹣x2+1＝x1+1，此時y1≠y2，∴y＝﹣x+1不是偶函數(shù)，在③中，y1＝x12，y2＝x22＝（﹣x1）2＝x12，此時y1＝y(tǒng)2，∴y＝x2是偶函數(shù)，在④中，y1＝﹣，y2＝﹣＝﹣＝，此時y1≠y2，∴y＝﹣不是偶函數(shù)，∴是偶函數(shù)的為③，故答案為：③．【點睛】本題為新定義題目，理解題目中偶函數(shù)的定義是解題的關鍵．10．（2020·上海嘉定·統(tǒng)考二模）定義：如果三角形的兩個內(nèi)角∠α與∠β滿足∠α=2∠β，那么，我們將這樣的三角形稱為“倍角三角形”．如果一個等腰三角形是“倍角三角形”，那么這個等腰三角形的腰長與底邊長的比值為____．【答案】或．【分析】若等腰三角形的三個內(nèi)角、，，利用和得，此“倍角三角形”為等腰直角三角形，從而得到腰長與底邊長的比值；若等腰三角形的三個內(nèi)角、，，利用和得，如圖，，，作的平分線，則，易得，再證明，利用相似比得到，等量代換得到，然后解關于的方程得與的比值即可．【詳解】解：若等腰三角形的三個內(nèi)角、，，，，，解得，此“倍角三角形”為等腰直角三角形，腰長與底邊長的比值為；若等腰三角形的三個內(nèi)角、，，，，，解得，如圖，，，作的平分線，則，，，，，即，，，，，即，整理得，解得，即，此時腰長與底邊長的比值為，綜上所述，這個等腰三角形的腰長與底邊長的比值為或．故答案為或．【點睛】本題考查了三角形的相似判定和性質，等腰三角形的性質，熟悉相關性質是解題的關鍵．11．（2020·上海楊浦·統(tǒng)考二模）定義：對于函數(shù)y＝f（x），如果當a≤x≤b時，m≤y≤n，且滿足n﹣m＝k（b﹣a）（k是常數(shù)），那么稱此函數(shù)為“k級函數(shù)”．如：正比例函數(shù)y＝﹣3x，當1≤x≤3時，﹣9≤y≤﹣3，則﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得k＝3，所以函數(shù)y＝﹣3x為“3級函數(shù)”．如果一次函數(shù)y＝2x﹣1（1≤x≤5）為“k級函數(shù)”，那么k的值是_____．【答案】2【分析】先根據(jù)一次函數(shù)的性質求出對應的y的取值范圍，再根據(jù)k級函數(shù)的定義解答即可．【詳解】解：∵一次函數(shù)y＝2x﹣1，1≤x≤5，∴1≤y≤9，∵一次函數(shù)y＝2x﹣1（1≤x≤5）為“k級函數(shù)”，∴9－1=k（5－1），解得：k＝2；故答案為：2．【點睛】本題是新定義試題，主要考查了對“k級函數(shù)”的理解和一次函數(shù)的性質，正確理解“k級函數(shù)”的概念、熟練掌握一次函數(shù)的性質是解題關鍵．12．（2020·上海楊浦·統(tǒng)考一模）定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個四邊形分成兩個三角形，如果這兩個三角形相似但不全等，我們就把這條對角線叫做這個四邊形的相似對角線，在四邊形ABCD中，對角線BD是它的相似對角線，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度【答案】145【分析】先畫出示意圖，由相似三角形的判定可知，在△ABD和△DBC中，已知∠ABD=∠CBD，所以需另一組對應角相等，若∠A=∠C，則△ABD與△DBC全等不符合題意，所以必定有∠A=∠BDC,再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°列式求解.【詳解】解：根據(jù)題意畫出示意圖，已知∠ABD=∠CBD，△ABD與△DBC相似，但不全等，∴∠A=∠BDC，∠ADB=∠C.又∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∴2∠ADB+2∠BDC+∠ABC=360°，∴∠ADB+∠BDC=145°，即∠ADC=145°.【點睛】對于新定義問題，讀懂題意是關鍵.13．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）新定義：由邊長為1的小正方形構成的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點．如圖，已知在的網(wǎng)格圖形中，的頂點A、B、C都在格點上．請按要求完成下列問題：(1)___________；___________；(2)請僅用無刻度的直尺在線段AB上求作一點P，使．（不要求寫作法，但保留作圖痕跡，寫出結論）【答案】(1)4，(2)作圖見解析【分析】（1）由正方形面積減去三個小三角形面積即可求出；過點A作于點D．根據(jù)勾股定理可求出．再根據(jù)三角形面積公式可求出，最后由正弦的定義求解即可；（2）如圖，取格點M和N，連接交于點P，連接，則，即可證，得出．再根據(jù)和同高，即得出，進而得出，即說明點P即為所作．【詳解】（1）；如圖，過點A作于點D．由圖可知．∵，∴∴，∴．故答案為：4，；（2）如圖，點P即為所作．【點睛】本題考查利用網(wǎng)格求三角形的面積，求角的正弦值，三角形相似的判定和性質等知識．利用數(shù)形結合的思想是解題關鍵．14．（2022·上海閔行·統(tǒng)考二模）直角三角形中一個銳角的大小與兩條邊的長度的比值之間有明確的聯(lián)系，我們用銳角三角比來表示.類似的，在等腰三角形中也可以建立邊角之間的聯(lián)系，我們定義：等腰三角形中底邊與腰的長度的比值叫做頂角的正對.如圖，在中，，頂角A的正對記作，這時.仔細閱讀上述關于頂角的正對的定義，解決下列問題：(1)的值為（

）.A．；

B．1；

C．；

D．2.(2)對于，的正對值的取值范圍是______.(3)如果，其中為銳角，試求的值.【答案】(1)B；(2)0<preA<2；(3)．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質，求出底角的度數(shù)，判斷出三角形為等邊三角形，再根據(jù)正對的定義解答進而得出pre60°的值；（2）求出0度和180度時等腰三角形底和腰的比即可；（3）過點B作BD⊥AC于點D，利用勾股定理即可解答．（1）解：根據(jù)正對定義，當頂角為60°時，等腰三角形底角為60°，則三角形為等邊三角形，則pre60°==l故選：B；（2）解：當∠A接近0°時，preA接近0，當∠A接近180°時，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故preA接近2．于是preA的取值范圍是0<preA<2．故答案為：0<preA<2；（3）解：如下圖，過點B作BD⊥AC于點D，BD⊥AC，∠ADB=∠CDB=90°．在中，，設BD=8k，則AB=17k．，CD=AC-AD=2k，，在等腰△ABC中，preA=．【點睛】本題考查了解直角三角形，利用三角函數(shù)的定義，根據(jù)題意得出BC與CD的關系是解題關鍵．15．（2020·上海嘉定·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系xOy中，將點定義為點的“關聯(lián)點”．已知點在函數(shù)的圖像上，將點A的“關聯(lián)點”記為點．（1）請在如圖基礎上畫出函數(shù)的圖像，簡要說明畫圖方法；（2）如果點在函數(shù)的圖像上，求點的坐標；（3）將點稱為點的“待定關聯(lián)點”（其中），如果點的“待定關聯(lián)點”在函數(shù)的圖像上，試用含的代數(shù)式表示點的坐標．【答案】（1）見解析，將圖中的拋物線向下平移2個單位長，可得拋物線；（2）（2，2）；（3）【分析】（1）利用圖像的平移規(guī)律，將向下平移2個單位長度即可得到-2．（2）先根據(jù)題意求出，再代入到中，將A點坐標代入到即可求出答案．（3）將代入解出x的值，點的坐標即可用含n的代數(shù)式表示．【詳解】如圖將圖中的拋物線向下平移2個單位長，可得拋物線，畫法：①列表；②描點（五點畫圖法）；③用光滑的曲線連接這五個點．（2）由題意，得點的“關聯(lián)點”為，由點在拋物線上，可得，，

又∵在拋物線上，∴，解得x=2．將x=2代入，得（2，2），（3）點的“待定關聯(lián)點”為，∵在拋物線的圖像上，∴．∴n-nx=0，n（1-x）=0．又∵n≠0，∴x=1．當x=1時，，故可得（1，1-n）．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質，讀懂題意，理解關聯(lián)點的意義是解題的關鍵．限時檢測02：全國各地最新模擬試題（80分鐘）1．（2023·河南周口·校考一模）定義運算：．例如：，則方程的根的情況是（）A．無實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．有兩個相等的實數(shù)根 D．無法確定【答案】B【分析】根據(jù)新定義得出關于x的方程，然后根據(jù)根的判別式得出，得出方程有兩個不相等的實數(shù)根．【詳解】解：根據(jù)題中的新定義得：，∵，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了一元二次方程，根的判別式，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程，當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．2．（2023·四川宜賓·校考模擬預測）新定義：，，為二次函數(shù)，，，為實數(shù)）的“圖像數(shù)”，如：的“圖像數(shù)”為，，，若“圖像數(shù)”是，，的二次函數(shù)的圖像與軸只有一個交點，則的值為（

）A． B． C．或2 D．2【答案】C【分析】根據(jù)新定義得到二次函數(shù)的解析式為，然后根據(jù)判別式的意義得到，從而解的方程即可．【詳解】解：由“圖像數(shù)”的定義可知：該二次函數(shù)的解析式為，根據(jù)題意得，解得，，故選：C．【點睛】本題考查了拋物線與軸的交點：把求二次函數(shù)，，是常數(shù)，與軸的交點坐標問題轉化為解關于的一元二次方程．3．（2023·山東濟南·校聯(lián)考模擬預測）在平面直角坐標系中，對于點和點，給出如下新定義，若，則稱點是點的限變點，例如：點的限變點是，點的限變點是，若點在二次函數(shù)的圖象上，則當時，其限變點的縱坐標的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出當和時n的取值范圍即可．【詳解】解：∵點在二次函數(shù)的圖象上，∴，由題意知：當時，，∴，對稱軸為，∴拋物線上的點離對稱軸越遠，函數(shù)值越小，當時，，∴當時，取得最小值：，當時，取得最大值：，∴，當時，，∴當時，，當時，又∵∴，綜上：當時，其限變點的縱坐標的取值范圍是．故選D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質．解題的關鍵是理解題意，利用二次函數(shù)的性質和分類討論的思想進行求解．4．（2022·河北保定·保定十三中?？级＃┒x運算：※，例如：4※．若關于的方程※有實數(shù)根，則的取值范圍為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】根據(jù)新定義運算法則列出關于的方程，根據(jù)根的判別式進行判斷即可．【詳解】解：由題意可知：※，當時，原來方程變形為，方程無解；當時，關于的方程※有實數(shù)根，△，解得或．故選：D．【點睛】本題考查了根的判別式，解題的關鍵是正確理解新定義運算法則，難度不大．5．（2022·山東濟寧·?？级＃┒x運算：，例如：．則方程的根的情況為（

）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．無實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法確定【答案】B【分析】根據(jù)定義的運算得到一元二次方程，利用判別式即可判斷根的情況．【詳解】解：∵，∴，?，∴方程沒有實數(shù)根，故選：B．【點睛】此題考查了一元二次方程根的判別式，正確掌握一元二次方程的根的判別式的計算方法及根的情況是解題的關鍵．6．（2022·重慶璧山·統(tǒng)考一模）定義：如果代數(shù)式（，、、是常數(shù)）與（，、、是常數(shù)），滿足，，，則稱這兩個代數(shù)式A與B互為“同心式”，下列四個結論：（1）代數(shù)式：的“同心式”為；（2）若與互為“同心式”，則的值為1；（3）當時，無論x取何值，“同心式”A與B的值始終互為相反數(shù)；（4）若A、B互為“同心式”，有兩個相等的實數(shù)根，則．其中，正確的結論有（

）個．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)同心式的定義結合代數(shù)式和方程求解即可【詳解】根據(jù)同心式的定義：（1）∵，∴代數(shù)式：的“同心式”不是；故（1）是錯誤的；（2）∵與互為“同心式”，∴，解得：，∴，故（2）是正確的；（3）當時，且，，∴，，即A與B的值始終互為相反數(shù)，故（3）是正確的；（4）∵A、B互為“同心式”，∴，，∵有兩個相等的實數(shù)根，∴有兩個相等的實數(shù)根，∴，即，故（4）是正確的；故選：C【點睛】本題根據(jù)新定義和題目的要求構建方程，考查了數(shù)學建模和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)，解題的關鍵是理解題目中的新定義．7．（2022·廣東深圳·深圳市寶安中學（集團）校考三模）將4個數(shù)排成2行2列，兩邊各加一條豎直線記成，定義＝．則方程＝－4的根的情況為（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．只有一個實數(shù)根【答案】B【分析】先根據(jù)題意，將方程轉化為一元二次方程，再根據(jù)根的判別式進行判斷即可．【詳解】∵方程，∴，即，∵，∴方程有兩個相等的實數(shù)根，故選：B．【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是明確題意，將方程轉化為一元二次方程的一般形式．8．（2022·重慶·重慶八中?？既＃、y定義一種新運算T，規(guī)定：（其中a、b均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則運算，例如：，若，，則結論正確的個數(shù)為（

）（1）a＝1，b＝2；（2）若，則；（3）若，m、n均取整數(shù)，則或或；（4）若，當n取s、t時，m對應的值為c、d，當時，；（5）若對任意有理數(shù)x、y都成立（這里T（x、y）和T（y、x）均有意義），則A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】（1）結合給出的新運算T，T（2，1）=2，T（-1，2）=-8建立關于a和b的二元一次方程組，解之可得；（2）把m，n代入新運算即可；（3）若m為整數(shù)，則分別必須是分子的約數(shù)，一一列出并求解即可；（4）可利用作差法比較式子大小進行比較；（5）根據(jù)新運算列出等式，整理可求出．【詳解】由題意可知，T（2，1）=2a+2b-4=2，T（-1，2）=-2a-b-4=-8，即，解得，故（1）正確；a＝1，b＝2；T（x，y）=xy+2x-4，∴T（m，n）=mn+2m-4=0（n≠-2），則；故（2）正確∵m、n均取整數(shù)，，∴n+2的取值為-4，-2，-1，1，2，4；當n+2=-4，即n=-6時，m=-1；當n+2=-2，即n=-4時，m=-2；當n+2=-1，即n=-3時，m=-4；當n+2=1，即n=-1時，m=4；當n+2=2，即n=0時，m=2；當n+2=4，即n=2時，m=1；故（3）不正確，，當時c-d＜0，；故（4）正確；，，，，，，對任意有理數(shù)x、y都成立（這里T（x、y）和T（y、x）均有意義），則故（5）正確故選C【點睛】本題考查了新定義運算，解二元一次方程組，作差法比較分式大小等內(nèi)容，理解題意是解題的關鍵．9．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考一模）定義新運算：，如，則{___________}．【答案】2，15【分析】根據(jù)新定義即可解答．【詳解】解：根據(jù)題意，得．故答案為：．【點睛】本題考查了新定義運算，讀懂題意，理解新定義是解題的關鍵．10．（2023·湖南婁底·校考一模）定義：a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)．如：2的差倒數(shù)是，的差倒數(shù)是．已知．是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，…，以此類推，則_______．【答案】【分析】根據(jù)題目中給出的信息，依次算出、、，然后找出規(guī)律，進行解答即可．【詳解】解：∵，∴，，，……，∴每3次運算結果循環(huán)出現(xiàn)一次，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了新定義運算，找數(shù)字規(guī)律，解題的關鍵是理解題意，算出、、，找出規(guī)律．11．（2023·四川成都·模擬預測）定義為不大于x的最大整數(shù)，如，，，則滿足，則的最大整數(shù)為__________．【答案】35【分析】根據(jù)題意可知，然后利用平方運算進行計算即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴，∴的最大整數(shù)為35．故答案為：35．【點睛】本題主要考查了算術平方根，根據(jù)題目得出是解此題的關鍵．12．（2022·四川成都·統(tǒng)考二模）已知，定義，，，則______．【答案】【分析】根據(jù)題目要求分別求出、、等數(shù)據(jù)的結果分別為從而發(fā)現(xiàn)，分母逐漸加2；分子逐漸加1；從而得到數(shù)字規(guī)律，再把代入式子進行計算即可．【詳解】解：∵，，，，，，，從中發(fā)現(xiàn)：分子部分，第個式子的；式子中的分母，，當時，．故答案為：．【點睛】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究．認真算出每個式子的結果，找出分子分母與n之間的關系是解答的關鍵．13．（2022·湖南湘潭·校考模擬預測）定義：如果一個數(shù)的平方等于，記為，這個數(shù)叫做虛數(shù)單位，把形如的數(shù)叫做復數(shù)，其中叫做這個復數(shù)的實部，叫做這個復數(shù)的虛部．它的加、減、乘法運算與整數(shù)的加、減、乘法運算類似．例如計算：根據(jù)以上信息計算_____．【答案】【分析】認真讀懂題意，掌握新定義，利用新定義計算．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題考查新定義運算，解題的關鍵是掌握新定義，利用新定義計算．也考查了合并同類項．14．（2023·四川巴中·?？家荒＃?shù)的定義：一般地，若（且），那么叫做以為底的對數(shù)，記作，比如指數(shù)式可以轉化為對數(shù)式，對數(shù)式，可以轉化為指數(shù)式．計算_____．【答案】【分析】根據(jù)題意可以發(fā)現(xiàn)對數(shù)式的值等于相應指數(shù)式的指數(shù)，因為，所以，根據(jù)次可以求解．【詳解】解：故答案為：0．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方運算的新定義，解題的關鍵是讀懂題意掌握新定義，利用新定義計算．15．（2023·江蘇無錫·江蘇省錫山高級中學實驗學校?？家荒＃┒x：有一組對邊相等且這一組對邊所在直線互相垂直的凸四邊形叫做“等垂四邊形”．如圖①，四邊形ABCD與四邊形AEFG都是正方形，，則圖中的“等垂四邊形”是______；如圖②，四邊形ABCD是“等垂四邊形”，，，則邊AB長的最小值為______．【答案】

【分析】如圖：延長交于點H，先證可得，．結合可得，即，從而得到四邊形是“等垂四邊形”；如圖②，延長交于點H，分別取的中點E、F、G，連接，然后根據(jù)中位線的定義可得，再，根據(jù)平行線的性質可得，由角的和差可得，由勾股定理可得；如圖③：延長交于點H，分別取的中點E，F(xiàn)．連接，由,由勾股定理可得即可解答．【詳解】解：如圖①，延長交于點H，∵四邊形與四邊形都為正方形，∴．∴．∴．∴．∵，∴，即，∴．∴．又∵，∴四邊形是“等垂四邊形”；如圖②，延長交于點H，分別取的中點E、F、G，連接∴∴．∴∴,∴．延長交于點H，分別取的中點E，F(xiàn)．連接，則，∴故答案為：，．【點睛】本題屬于四邊形的綜合問題，主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形中位線定理、等腰直角三角形的性質等知識點，靈活運用相關性質定理是解題的關鍵．16．（2022·河北保定·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，對于點M（x，y），可以用以下方式定義M到O的“原點距離”：若|x|≥|y|，則M到O的“原點距離”為|x|；若|x|＜|y|，則M到O的“原點距離”為|y|．例如，（5，7）到O的“原點距離”為7．（1）點A（4，3）、B（3，﹣2）、C（﹣3，5）、D（﹣3，﹣3）四點中，到O的“原點距離”為3的點有_____個．（2）經(jīng)過點（1，3）的一次函數(shù)y＝kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0）的圖象上存在唯一的點P，到O的“原點距離”為2，則k＝_____．【答案】

2

或或或【分析】（1）根據(jù)新定義直接可得答案；（2）先求解一次函數(shù)的解析式為再設點根據(jù)一次函數(shù)y＝kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0）的圖象上存在唯一的點P，到O的“原點距離”為2，可得再列絕對值方程，解方程即可．【詳解】解：（1）根據(jù)新定義可得：點A（4，3）、B（3，﹣2）、C（﹣3，5）、D（﹣3，﹣3）四點，到O的“原點距離”分別為：所以到O的“原點距離”為3的點有B（3，﹣2）、D（﹣3，﹣3），共2個．故答案為：2（2）一次函數(shù)y＝kx+b經(jīng)過點（1，3），即所以一次函數(shù)的解析式為：設點而一次函數(shù)y＝kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0）的圖象上存在唯一的點P，到O的“原點距離”為2，解得：當時，則解得：或當時，解得：或綜上：或或或故答案為：或或或【點睛】本題考查的是點的坐標的含義，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，新定義的理解，清晰的分類討論是解本題的關鍵．17．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）新定義：如果a，b都是非零整數(shù)，且，那么就稱a是“4倍數(shù)”．(1)驗證：嘉嘉說：是“4倍數(shù)”，琪琪說：也是“4倍數(shù)”，判斷他們誰說得對？(2)證明：設三個連續(xù)偶數(shù)的中間一個數(shù)是（n是整數(shù)），寫出它們的平方和，并說明它們的平方和是“4倍數(shù)”．【答案】(1)嘉嘉說的對(2)，說明見解析【分析】（1）通過計算結合“4倍數(shù)”的概念求解即可；（2）設三個連續(xù)偶數(shù)分別為，，，然后通過計算結合“4倍數(shù)”的概念求解即可．【詳解】（1）嘉嘉：，是“4倍數(shù)”，琪琪：，不是“4倍數(shù)”．所以嘉嘉說的對．（2）證明：設三個連續(xù)偶數(shù)分別為，，，，∵n為整數(shù)，∴是“4倍數(shù)”．【點睛】此題考查了整式的混合運算，完全平方公式和平方差公式，解題的關鍵是熟練掌握乘法公式．18．（2022·寧夏固原·?？家荒＃╅喿x以下材料，并解決相應問題：在學習了直角三角形的邊角關系后，我們可以繼續(xù)探究任意銳角三角形的邊角關系，在銳角中，的對邊分別是．如圖1，過點作于點，則根據(jù)定義得，于是，也就是，即．同理有，，即最終得到．即在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等．在銳角三角形中，若已知三個元素（至少有一條邊），運用上述結論就可以求出其余三個未知元素．(1)在銳角△ABC中，若，，，求．(2)仿照證明過程，借助圖2或圖3，證明和中的其中一個．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等列出式子，即可求解；（2）證明，借助圖2，過點B作于點E，根據(jù)正弦的定義證明即可；證明，借助圖3，過點C作于點F，根據(jù)正弦的定義證明即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，∵，，，∴，即，解得：；（2）解：證明如下：過點B作于點E，∴，∴，∴，∴；證明如下：過點C作于點F，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了解直角三角形，銳角三角函數(shù)，學生的閱讀理解能力以及知識的遷移能力，準確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．19．（2022·河南信陽·統(tǒng)考模擬預測）（1）新定義：若拋物線和拋物線的對稱軸為同一條直線，我們稱和互為“同枝”拋物線．如圖，拋物線：與坐標軸交于，，三點，請任意寫出一個與拋物線互為“同枝”拋物線的解析式；（2）拋物線與互為“同枝”拋物線，且與的形狀相同，若與坐標軸僅有兩個交點，請求出的解析式；（3）若拋物線與互為“同枝”拋物線，且與的形狀相同，與軸的兩個交點的坐標為和，且，設：，請直接寫出的取值范圍．【答案】（1）答案不唯一，如：；（2）或或或；（3）當時，；當時，【分析】（1）求出拋物線M的對稱軸，即可得；（2）由拋物線的解析式可知其對稱軸為，二次項系數(shù)為1，由拋物線與互為“同枝”拋物線，且與的形狀相同，可知的解析式中的，根據(jù)與坐標軸僅有兩個交點，分類討論，①的圖像的頂點位于軸上，②的圖像的經(jīng)過點（0，0），進行計算即可得；（3）分情況討論，當時，將向下平移3個單位長度，使圖像與軸交于點，，即可得c，將向下平移8個單位長度，使圖像與軸交于點，，即可得c；當時，沿軸翻折，使圖像與軸交于點，，即可得c，沿軸翻折，使圖像與軸交于點，，即可得c．【詳解】解：（1）拋物線M：的對稱軸為：，則與拋物線M互為“同枝”拋物線的解析式為：；（2）由拋物線的解析式可知其對稱軸為，二次項系數(shù)為1，若與坐標軸僅有兩個交點，①的圖像的頂點位于軸上，由拋物線與互為“同枝”拋物線，且與的形狀相同，可知的頂點為且的二項系數(shù)，則的解析式為或，展開得到一般形式為：或；②的圖像的經(jīng)過點（0，0），由拋物線與互為“同枝”拋物線，且與的形狀相同，可知還經(jīng)過點（4，0），且的二項系數(shù)，則的解析式為：，展開得到一般形式為：或，綜上，的解析式為或或或；（3）當時，如圖所示：將向下平移3個單位長度，使圖像與軸交于點，，此時，如圖所示：將向下平移8個單位長度，使圖像與軸交于點，，此時，即當a>0時，?5<c<0；當時，如圖所示：沿軸翻折，使圖像與軸交于點，，此時，如圖所示：沿軸翻折，使圖像與軸交于點，，此時，即當a<0時，0<c<5，綜上，當a>0時，?5<c<0；當a<0時，0<c<5．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，解題的關鍵是掌握二次函數(shù)的性質．20．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）由教科書知道，相似三角形的定義：如果兩個三角形各角分別相等，且各邊對應成比例，那么這兩個三角形相似；由教科書中實踐操作可得基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．(1)請依據(jù)上面定義和事實，完成下列問題：①已知，如圖甲，中，點、分別在、上，且．問：與相似嗎？試證明．②你得到的結論是：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形________．(2)依據(jù)（1）中②的結論完成下列問題：已知，如圖乙，在和中，，．①問：與相似嗎？試證明．②你得到的結論是：________________的兩個三角形相似．【答案】(1)①相似；證明見解析；②相似(2)①相似；證明見解析；②兩邊對應成比例，夾角相等【分析】（1）①過點D作DF∥AC，利用三角形相似的定義證明即可；②由①可知平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似；（2）①根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似即可證明；②由①中可知兩邊成比例且夾角相等，可以判定三角形相似進而可得答案．【詳解】（1）①相似．證明如下：如圖，過點D作交BC于點F易得：四邊形DECF是平行四邊形，即DE=FC由已知得，，∵DE∥BC∴又∵DF∥AC∴∴∴由相似三角形定義得：∽．②