平面向量的定義與基本運(yùn)算

平面向量的定義與基本運(yùn)算REPORTING目錄向量概念及表示方法向量的線性運(yùn)算向量的點(diǎn)積與叉積向量的模與方向角平面向量基本定理與坐標(biāo)表示PART01向量概念及表示方法REPORTING向量是具有大小和方向的量，通常用帶箭頭的線段表示，線段的長度表示向量的大小，箭頭的指向表示向量的方向。向量具有加法和數(shù)乘兩種基本運(yùn)算，滿足交換律、結(jié)合律、分配律等性質(zhì)。向量的定義與性質(zhì)性質(zhì)定義向量的表示方法幾何表示法用帶箭頭的線段表示向量，線段的起點(diǎn)表示向量的始點(diǎn)，終點(diǎn)表示向量的終點(diǎn)。坐標(biāo)表示法在平面直角坐標(biāo)系中，向量可以用有序數(shù)對表示，如向量a=(x,y)，其中x表示向量在x軸上的投影，y表示向量在y軸上的投影。零向量、單位向量和共線向量長度為0的向量稱為零向量，記作0。零向量沒有方向，與任何向量平行。單位向量長度為1的向量稱為單位向量。單位向量可以表示方向，但沒有固定的大小。共線向量方向相同或相反的兩個(gè)非零向量稱為共線向量。共線向量滿足數(shù)乘關(guān)系，即存在一個(gè)實(shí)數(shù)k，使得a=kb或b=ka。零向量PART02向量的線性運(yùn)算REPORTING03坐標(biāo)運(yùn)算對于平面直角坐標(biāo)系中的向量，可以通過坐標(biāo)進(jìn)行加法運(yùn)算，即對應(yīng)坐標(biāo)相加。01平行四邊形法則將兩個(gè)向量平移至同一起點(diǎn)，以這兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，從該起點(diǎn)出發(fā)的對角線向量即為這兩個(gè)向量的和。02三角形法則將兩個(gè)向量平移至首尾相接，從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)的向量即為這兩個(gè)向量的和。向量的加法運(yùn)算VS將兩個(gè)向量平移至同一起點(diǎn)，從被減向量的終點(diǎn)指向減向量的終點(diǎn)的向量即為這兩個(gè)向量的差。坐標(biāo)運(yùn)算對于平面直角坐標(biāo)系中的向量，可以通過坐標(biāo)進(jìn)行減法運(yùn)算，即對應(yīng)坐標(biāo)相減。三角形法則向量的減法運(yùn)算010203定義數(shù)與向量的乘法運(yùn)算，結(jié)果是一個(gè)與原向量共線的向量，其長度和方向由原向量的長度、數(shù)與原向量的夾角共同決定。幾何意義數(shù)乘運(yùn)算可以改變向量的長度和方向，當(dāng)數(shù)與向量同向時(shí)，結(jié)果向量與原向量同向；當(dāng)數(shù)與向量反向時(shí)，結(jié)果向量與原向量反向；當(dāng)數(shù)的絕對值為1時(shí)，結(jié)果向量的長度與原向量相同；當(dāng)數(shù)的絕對值為0時(shí)，結(jié)果向量為零向量。坐標(biāo)運(yùn)算對于平面直角坐標(biāo)系中的向量，可以通過坐標(biāo)進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，即各坐標(biāo)分量與數(shù)相乘。向量的數(shù)乘運(yùn)算PART03向量的點(diǎn)積與叉積REPORTING定義兩個(gè)向量a和b的點(diǎn)積定義為a·b=|a|*|b|*cosθ，其中|a|和|b|分別是向量a和b的模長，θ是a和b之間的夾角。性質(zhì)點(diǎn)積滿足交換律、分配律和結(jié)合律，同時(shí)與零向量的點(diǎn)積為零，與非零向量的點(diǎn)積為正數(shù)、負(fù)數(shù)或零，取決于兩向量的夾角。幾何意義點(diǎn)積可以表示兩個(gè)向量的相似度，當(dāng)兩向量同向時(shí)，點(diǎn)積最大；當(dāng)兩向量垂直時(shí)，點(diǎn)積為零；當(dāng)兩向量反向時(shí)，點(diǎn)積最小。010203向量的點(diǎn)積定義及性質(zhì)定義兩個(gè)向量a和b的叉積定義為a×b，結(jié)果是一個(gè)向量，其模長等于以a和b為鄰邊的平行四邊形的面積，方向垂直于a和b所在的平面，符合右手定則。性質(zhì)叉積不滿足交換律，但滿足反交換律，即a×b=-b×a；同時(shí)滿足分配律和結(jié)合律的類似性質(zhì)。叉積與零向量的叉積為零向量。幾何意義叉積可以表示兩個(gè)向量的相對位置關(guān)系，當(dāng)兩向量平行時(shí)，叉積為零向量；當(dāng)兩向量不平行時(shí)，叉積的方向表示了兩向量的相對方向。向量的叉積定義及性質(zhì)點(diǎn)積的應(yīng)用計(jì)算兩向量的夾角、判斷兩向量是否同向或反向、計(jì)算向量的投影等。叉積的應(yīng)用判斷兩向量的相對位置關(guān)系、計(jì)算向量的外積以得到法向量、計(jì)算平行四邊形的面積等。綜合應(yīng)用在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，點(diǎn)積和叉積常用于光照計(jì)算、碰撞檢測、物體旋轉(zhuǎn)等操作。點(diǎn)積與叉積的應(yīng)用舉例030201PART04向量的模與方向角REPORTING定義向量的大?。ɑ蜷L度）叫做向量的模。記作|A|或||A||。非負(fù)性向量的模都是非負(fù)數(shù)，即|A|≥0。正定性只有零向量的模為零，即|0|=0。三角不等式對于任意兩個(gè)向量A和B，有|A+B|≤|A|+|B|。向量的模的定義及性質(zhì)互補(bǔ)性若向量A與x軸的夾角為α，則向量-A（即A的反向量）與x軸的夾角為π-α。定義非零向量與坐標(biāo)軸的夾角稱為向量的方向角。設(shè)向量A=(x,y)，則向量A與x軸的夾角α和y軸的夾角β分別稱為向量A的x方向角和y方向角。范圍方向角的取值范圍是[0,π]。唯一性除了零向量外，每個(gè)非零向量都有唯一的方向角。向量的方向角的定義及性質(zhì)計(jì)算向量的模給定向量A=(3,4)，則|A|=√(3^2+4^2)=5。計(jì)算向量的方向角對于向量A=(3,4)，其x方向角α滿足cosα=3/5，y方向角β滿足sinβ=4/5。判斷兩向量的夾角若向量A和B的夾角為θ，則cosθ=(A·B)/(|A||B|)。通過計(jì)算兩向量的點(diǎn)積和模，可以判斷兩向量的夾角大小。例如，若A·B=0，則θ=π/2，即A與B垂直。模與方向角的應(yīng)用舉例PART05平面向量基本定理與坐標(biāo)表示REPORTING平面向量基本定理如果$vec{e_1}$和$vec{e_2}$是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量$vec{a}$，有且僅有一對實(shí)數(shù)$x$和$y$，使得$vec{a}=xvec{e_1}+yvec{e_2}$。意義該定理表明，平面內(nèi)的任意向量都可以用兩個(gè)不共線的向量線性表示。這兩個(gè)不共線的向量被稱為這一平面內(nèi)的一組基底。平面向量基本定理坐標(biāo)表示法在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與$x$軸、$y$軸方向相同的兩個(gè)單位向量$vec{i}$和$vec{j}$作為基底。對于平面內(nèi)的任意向量$vec{a}$，如果存在唯一的一對實(shí)數(shù)$x$和$y$，使得$vec{a}=xvec{i}+yvec{j}$，那么有序數(shù)對$(x,y)$稱為向量$vec{a}$的坐標(biāo)，記作$vec{a}=(x,y)$。特殊向量的坐標(biāo)零向量的坐標(biāo)為$(0,0)$；點(diǎn)$P(x,y)$到原點(diǎn)$O$的向量$vec{OP}$的坐標(biāo)為$(x,y)$。平面向量的坐標(biāo)表示方法坐標(biāo)運(yùn)算舉例滿足交換律、結(jié)合律、分配律等。向量的坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)若$vec{a}=(x_1,y_1)$，$vec=(x_2,y_2)$，則$vec{a}+vec=(x_1+x_2,y_1+y_2)$，$vec{a}-vec=