平面解析幾何的基本公式

平面解析幾何的基本公式目錄contents直線與方程圓與方程橢圓與方程雙曲線與方程拋物線與方程直線與方程01直線與x軸正方向所成的角叫做直線的傾斜角，記作α，取值范圍為[0,π)。傾斜角傾斜角的正切值叫做直線的斜率，記作k，即k=tanα。當(dāng)α=90°時，斜率不存在。斜率直線的傾斜角和斜率0102直線的點斜式方程特別地，當(dāng)直線過原點時，方程可簡化為y=kx。已知直線上一點P(x0,y0)和斜率k，則直線的方程為y-y0=k(x-x0)。直線的兩點式方程已知直線上兩點P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，則直線的方程為(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)。當(dāng)x1=x2或y1=y2時，方程需要特別處理。直線的一般式方程為Ax+By+C=0，其中A、B不同時為0。A、B、C的值可以通過已知條件確定，如兩點坐標(biāo)或點斜式等。直線的斜率k=-A/B，截距b=-C/B（當(dāng)B≠0時）。直線的一般式方程圓與方程02圓心在原點的標(biāo)準(zhǔn)方程$x^2+y^2=r^2$，其中$r$為圓的半徑。圓心不在原點的標(biāo)準(zhǔn)方程$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$為圓心的坐標(biāo)，$r$為圓的半徑。圓的標(biāo)準(zhǔn)方程$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，其中$D,E,F$為常數(shù)。圓心坐標(biāo)為$(-D/2,-E/2)$，半徑$r=sqrt{(D^2+E^2-4F)/4}$。圓的一般方程圓心坐標(biāo)和半徑的求法一般方程形式直線與圓沒有交點，即圓心到直線的距離大于圓的半徑。相離相切相交直線與圓有一個交點，即圓心到直線的距離等于圓的半徑。直線與圓有兩個交點，即圓心到直線的距離小于圓的半徑。030201直線與圓的位置關(guān)系相交兩圓有兩個交點，兩圓圓心連線與兩圓分別有兩個交點。外離兩圓沒有交點，且一個圓在另一個圓的外部。外切兩圓有一個交點，且一個圓在另一個圓的外部，兩圓圓心連線經(jīng)過該交點。內(nèi)切兩圓有一個交點，且一個圓在另一個圓的內(nèi)部，兩圓圓心連線經(jīng)過該交點。內(nèi)含兩圓沒有交點，且一個圓在另一個圓的內(nèi)部。圓與圓的位置關(guān)系橢圓與方程03橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>b>0$，表示橢圓中心在原點，焦點在$x$軸上。若橢圓中心不在原點，或焦點不在坐標(biāo)軸上，則需要通過平移和旋轉(zhuǎn)得到一般方程。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

橢圓的簡單性質(zhì)橢圓的對稱性橢圓關(guān)于$x$軸、$y$軸和原點對稱。橢圓的焦點性質(zhì)對于橢圓上任意一點$P$，有$|PF_1|+|PF_2|=2a$，其中$F_1$和$F_2$是橢圓的兩個焦點。橢圓的離心率橢圓的離心率$e=frac{c}{a}$，其中$c=sqrt{a^2-b^2}$，滿足$0<e<1$。直線與橢圓有兩個不同的交點。此時直線的斜率$k$滿足一定條件，可以通過解方程組得到交點坐標(biāo)。相交直線與橢圓有且僅有一個交點。此時直線的斜率$k$滿足特定條件，可以通過求判別式為零的方程得到切線方程。相切直線與橢圓沒有交點。此時直線的斜率$k$不滿足相交或相切的條件。相離直線與橢圓的位置關(guān)系雙曲線與方程04$frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1$焦點在x軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程$frac{y^2}{a^2}-frac{x^2}{b^2}=1$焦點在y軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點到中心的距離$c=sqrt{a^2+b^2}$頂點到中心的距離$a$漸近線方程$y=pmfrac{a}x$離心率$e=frac{c}{a}$01020304雙曲線的簡單性質(zhì)直線與雙曲線有兩個不同的交點。相交直線與雙曲線有且僅有一個交點，即直線為雙曲線的切線。相切直線與雙曲線沒有交點。相離當(dāng)直線經(jīng)過雙曲線的一個焦點時，直線與雙曲線相交于兩個點，且這兩點與另一個焦點構(gòu)成等腰三角形。特殊情況直線與雙曲線的位置關(guān)系拋物線與方程0503焦點和準(zhǔn)線對于形如$y=ax^2$的向上開口拋物線，焦點為$(0,frac{1}{4a})$，準(zhǔn)線為$y=-frac{1}{4a}$01一般形式$y=ax^2+bx+c$（$aneq0$）02標(biāo)準(zhǔn)形式$y=a(x-h)^2+k$或$x=a(y-k)^2+h$拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線關(guān)于其對稱軸對稱對稱性拋物線的頂點為其最值點，對于向上開口的拋物線，頂點為最小值點；對于向下開口的拋物線，頂點為最大值點頂點拋物線離心率$e=1$離心率拋物線的簡單性質(zhì)相切相交相離特殊情況直線與拋物線的位置關(guān)系01020304直線與拋物線有且僅有一個交點，