中考數(shù)學(xué)實數(shù)復(fù)習(xí)

中考復(fù)習(xí)一一實數(shù)

課前檢;則

1.下列說法中，不無聊的個數(shù)有：

①所有的正數(shù)都是整數(shù)；②14一定是正數(shù)；③無限小數(shù)一定是無理數(shù)；④(-2)8沒有平方根；⑤不是正

數(shù)的數(shù)一定是負(fù)數(shù)；⑥帶根號的一定是無理數(shù)

A.3個B.4個C.5個D.6個

2.下列各數(shù)中，能化為無限不循環(huán)小數(shù)的是

11-1兀

A.—B.—C.-D.一

3572

3.下列四個數(shù)：一3,一百，V5,-1,其中最小的數(shù)是

A.y/5B.-3C.-1D.—>/3

4.把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里：

,-4,0,—,2013,-2012,it,0.050050005.....(每兩個5之間多一個0),

37

(1)負(fù)有理數(shù)集合：{}:

(2)無理數(shù)集合：{}

5.J(-5)2-12-百|(zhì)+V-64

6.化簡求值：己知|。一［=2,求正2一4.+4-J4a2-4a+l的值.

-知識梳理

一、實數(shù)的概念及分類

1.實數(shù)的概念

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).

2.實數(shù)的分類.

1

(1)按照定義分類

'正整數(shù)

整數(shù)，零

有理數(shù)負(fù)整數(shù)

實數(shù)‘正分?jǐn)?shù)'

分?jǐn)?shù)?有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)

‘正無理數(shù)'

無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)

負(fù)無理數(shù)

(2)按照正負(fù)分類

'正整數(shù)

正有理數(shù)

正實數(shù)正分?jǐn)?shù)

正無理數(shù)

實數(shù)零

'負(fù)整數(shù)

負(fù)有理數(shù)

負(fù)實數(shù)4負(fù)分?jǐn)?shù)

負(fù)無理數(shù)

注意：0既不屬于正數(shù)，也不屬于負(fù)數(shù).另外，在理解無理數(shù)時，要注意“無限不循環(huán)“，歸納起來

有四類:

(1)開方開不盡的數(shù)，如g,次等;

TT

(2)有特定意義的數(shù)，如圓周率7T,或化簡后含有兀的數(shù)，如一+2等；

3

(3)有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…等;

(4)某些三角函數(shù)，如sin60。等.

二、近似數(shù)和科學(xué)記數(shù)法

1.科學(xué)記數(shù)法

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為“xlO"的形式，其中修同＜10,〃為整數(shù).當(dāng)原數(shù)絕對值大于10時，寫成axIO”

的形式.，其中上同＜10,〃等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1；當(dāng)原數(shù)絕對值小于1時，寫成axl(T"的形式，其

中仁同V10,"等于原數(shù)左邊第一個非零的數(shù)字前的所有零的個數(shù)(包括小數(shù)點前面的零).

2.精確度與近似數(shù)

近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度通常用精確度來表示，近似數(shù)一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就

說這個近似數(shù)精確到哪一位.

2

三、平方根及立方根

1.平方根

(1)算術(shù)平方根的概念：若d=a(x>0),則正數(shù)x叫做”的算術(shù)平方根.

(2)平方根的概念：若/="，則x叫做。的平方根.

(3)表示：。的平方根表示為士右,〃的算術(shù)平方根表示為

只有非負(fù)數(shù)才有平方根,0的平方根和算術(shù)平方根都是0

(4)意義<(&)2=a(aNO)

a(a>0)

=\a\=

-a(a<0)

2.立方根

(1)定義：若爐=m則x叫做。的立方根.

(2)表示：。的立方根表示為媯.

(3)意乂(廣

(W)3=a

四、實數(shù)?大小的比較

實數(shù)大小的比較可以利用數(shù)軸上的點，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；以及絕對值比較法等比較實數(shù)大小的

方法.除此之外，常用的方法有“差值比較法”.適用于比較任何兩數(shù)的大小；“商值比較法”只適用于比較兩

個正數(shù)的大小；“平方法”、"倒數(shù)法'’常用于比較二次根式的大?。弧暗讛?shù)比較法”、”指數(shù)比較法“常用于

比較幕的大小.

五、實數(shù)的運算法則

(1)實數(shù)的加減法則.注意異號兩數(shù)相加時，取“絕對值較大”的數(shù)的“符號”.

(2)實數(shù)的乘除法則.注意“異號”得“負(fù)”，除法中的除數(shù)不等于0.兩數(shù)的積為。，則兩數(shù)中至少有一個為0.

(3)實數(shù)的乘方開方運算中，乘方時,注意底數(shù)相同，開平方時,被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).

(4)實數(shù)的混合運算中，在同一個式子里，先乘方、開方，然后乘、除，最后加、減.有括號時，先算括號

里面.

(5)實數(shù)的運算律:加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律、結(jié)合律、分配律.

(6)熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)暴、零指數(shù)幕、二次根式、絕對值等的運算.注意運算

順序，分清先算什么，再算什么.

3

六、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)

1.常見的非負(fù)數(shù)

任何一個實數(shù)a的絕對值是非負(fù)數(shù)，即同K）；任何一個實數(shù)a的平方是非負(fù)數(shù)，即?2>0；若a為非負(fù)數(shù)，

則也為非負(fù)數(shù)，即，?對；

2.非負(fù)數(shù)具有的性質(zhì)

非負(fù)數(shù)有最小值，最小值為0;有限個非負(fù)數(shù)的和仍是非負(fù)數(shù)；幾個非負(fù)數(shù)之和等于0,則每個非負(fù)數(shù)都

等于0.在解決非負(fù)性為0的問題上通過運用方程思想方法來求相關(guān)實數(shù)的值.

考點突破

考向一實數(shù)的分類

此類問題一般以填空題、選擇題的形式出現(xiàn)，題型逐漸走向開放.區(qū)分有理數(shù)和無理數(shù)的關(guān)鍵有兩點：一

是正確理解無限循環(huán)小數(shù)與無限不循環(huán)小數(shù)的意義；二是能寫成分?jǐn)?shù)形式的都是有理數(shù)，但三，Y一等不

25

是分?jǐn)?shù).

典例引領(lǐng)

典例1下列各數(shù)：1?；?百，其中無理數(shù)的個數(shù)是

3

A.1個B.2個C.3個D.4個

典例2把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi)：

4-―若0.67（125寸一125V27-0.01001000100001

33V49

（1）有理數(shù)集合｛｝：

（2）無理數(shù)集合｛）；

（3）負(fù)實數(shù)集合｛）.

變式拓展

1.下列實數(shù)中，屬于無理數(shù)的是

4

A.-B.3.14159C.A/36D.々

3

2.把下列各數(shù)填入表示它所在的數(shù)集的大括號：

10

-2.3,兀，2.08,-.3,-0.15,。，-9,-1.1010010001-

整數(shù)集合：{};

正數(shù)集合：{};

無理數(shù)集合：{}.

考向二近似數(shù)和科學(xué)記數(shù)法

在用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)時，一定要正確確定〃的值.

典例引領(lǐng)

典例3（2015）地球表面積約為510000000km2,將510000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.51X109B.5.1X10!，C.5.IX10sD.5.1X10，

典例4下列說法錯誤的是

A.近似數(shù)0.8與0.80表示的意義不同B.近似數(shù)0.2000有四個有效數(shù)字

C.3.450x1（）4是精確到十位的近似數(shù)D.49554精確到萬位是4.9x104

1、（2012）已知一粒米的質(zhì)量是0.000021千克，這個數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.21X10'千克B.2.1X106千克c.2.1X10s千克D.21X10'千克

2、（2013泰安）2012年我國國民生產(chǎn)總值約52萬億元人民幣，用科學(xué)記數(shù)法表示2012年我國國民生產(chǎn)

總值為（）

A.5.2X10“元B.52X10'2元C.0.52X10“元D.5.2X10”元

3、（2014年山東泰安）PM2.5是指大氣中直徑W0.0000025米的顆粒物，將0.0000025用科學(xué)記數(shù)法表示

為（）

A.2.5X107B.2.5X10-6C.25X107D.0.25X10-5

4、

5.（2016）國家統(tǒng)計局的相關(guān)數(shù)據(jù)顯示，2015年我國國民生產(chǎn)總值（GDP）約為67.67萬億元，將這個數(shù)據(jù)

用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.6.767X10”元B.6.767X109元C.6.767X1（/2元口.6.767X1（/'元

6.（2017,3分）“2014年至2016年，中國同‘一帶一路'沿線國家貿(mào)易總額超過3萬億美元”，將數(shù)

據(jù)3萬億美元用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.3X10"美元B.3X1013美元&3X10'2美元D.3X10"美元

變式拓展

5

3.（2018）一個鐵原子的質(zhì)量是0.000000000000000000000000093依，將這個數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示

為kg。

4.3184900精確到十萬位的近似值為

A.3.18X106B.3.19X106

C.3.1X106D.3.2X106

考向三平方根及立方根

解答此類問題主要注意以下幾點：一是開平方和開立方的區(qū)別；二是熟悉計算器的使用；三是看題目要求,

弄清被開方數(shù).

要明確只有非負(fù)數(shù)才有平方根，而立方根任何數(shù)都有，且只有一個；正數(shù)的平方根有兩個且互為相反數(shù)，

正數(shù)的立方根是一個正數(shù)；。的立方根與平方根都是0.

典例引領(lǐng)

典例5已知實數(shù)尤,y滿足y=G5+J=+3.

（1）求J語的平方根；（2）求一，=----，=的值.

x+Jyx-yjy

典例6已知一個正方體的體積是1000cn?,現(xiàn)在要在它的8個角上分別截去8個大小相同的小正方體，使

得截去后余下的體積是488cn?,問截得的每個小正方體的棱長是多少？

變式拓展

5.求下列各式中的x的值:

6

(1)16^=81；(2)⑵+10)3=-64.

6.已知2a-1的平方根是±3,3“+%-9的立方根是2,。是血的整數(shù)部分，求a+〃+c的平方根.

考向四實數(shù)的運算

實數(shù)的運算關(guān)鍵是依據(jù)正確運算順序解答，另外還要熟記有關(guān)的運算性質(zhì)，即：(1)ap=—(a^Q^

a1

(2)?！?1(。工0)；(3)—1的奇次基為—1,偶次累為1.

典例引領(lǐng)

典例7計算：

(1)(--)-2-V3+(1-)。-|yfi~2\；(2)(J18-x^2+.

1、(2011泰安)下列運算正確的是()

A、V25=±5B、4V3-V27=1C、718-^72=9I)、V24?

3、(2013)化簡：—J5)-J55T—3卜.

典例8定義一種新運算：a?b=b2-ab,如：102=22-1x2=2,則(一1③2)?3=

變式拓展

I—21-I

7.計算：V12+(一?2014)°-2cos30°-(-)=.

7

8.計算:（一；1-（7i-5）°-|V3-2|+2sin60o.

考向五實數(shù)的大小比較

比較實數(shù)的大小時，選擇正確的方法比較大小是解題的關(guān)鍵.常用的有：

（1）平方法：當(dāng)a>0,b>0時，a>bo4a>4b.

（2）移動因數(shù)法：利用。=必（叱0）,將根號外的因數(shù)移到根號內(nèi)，再比較被開方數(shù)的大小.

（3）作差法：當(dāng)。一。=0時，可知。=6；當(dāng)。一匕>0時，可知。>匕；當(dāng)。一匕<0時，可知”<瓦

AAA

（4）作商法：若一=1,則A=&若一>1,則A>&若一VI,則AV5（A,3>0且3*0）.

BBB

典例引領(lǐng)

典例9比較大?。涸臁?______.--（填?！被颉?lt;”）.

23

典例10已知-4,卜2|,-2,-（-3.5）,0,-1-.

2

（1）在如圖所示的數(shù)軸上表示出以上各數(shù)；

---------1------1--------1-------1-------1-------1-------1------1-------1---------1-------1-------1-------1——>

-6-1016

（2）比較以上各數(shù)的大小，用“V”號連接起來；

（3）在以上各數(shù)中選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)填在下面這兩個圈的重疊部分.

8

變式拓展

9.比較大小，填“〉”或號，72018_____72017,3及_____2卮

io.比較生5和JTT的大小.

3

考向六非負(fù)數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用

解決有關(guān)非負(fù)數(shù)的問題的關(guān)鍵是靈活運用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，如：若幾個非負(fù)數(shù)之和為零，則這兒個非負(fù)數(shù)都

為零；若兩個非負(fù)數(shù)互為相反數(shù)，則這兩個非負(fù)數(shù)分別為零等.另外，還要熟悉一些常見的非負(fù)數(shù)的形式,

如偶次方、絕對值、算術(shù)平方根等.

典例引領(lǐng)

13

典例11若Ia~2I+(b+3)2=0,求(3a%+—〃力2.〃2力的值

44

變式拓展

11.如果J工萬與儀+1|互為相反數(shù)，求x-y的平方根.

9

達標(biāo)測評

1.下列語句中正確的是

A.正整數(shù)和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)B.有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)

C.開方開不盡的數(shù)和兀統(tǒng)稱為無理數(shù)D.正數(shù)、0、負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)

2.計算場的結(jié)果是

A.±3小B.3小C.±3D.3

3.下列說法中正確的是

A.近似數(shù)11.30是精確到個位的數(shù)；B.近似數(shù)41.3是.精確到十分位的數(shù)；

C.近似數(shù)五百和近似數(shù)500的精確度是相同的；D.近似數(shù)1.7和1.70是一樣的

131

4.在下列各數(shù)：3..1415926,J—,0.2,二木,11,V27,2.010010001...中，無理數(shù)的個數(shù)為

V100兀

A.2B.3C.4D.5

5.下列計算正確的是

A.一|一0|=近B.M=±7C.方=2D.±"=±2

6.正方體A的體積是正方體8的體積的27倍，那么正方體A的棱長是正方體8的棱長的

A.2倍B.3倍C.4倍D.5倍

7.已知JR+M+2|=0,則J(a+b)2的值為

A.0B.2018C.-1D.1

8.算，術(shù)平方根和立方根都等于本身的數(shù)有.

9.計算：1一

10.8100的算術(shù)平方根.的倒數(shù)是.

11.一個正數(shù)的平方根是2x和x-6,則這個正數(shù)是.

12.已知》是JI6的整數(shù)部分，y是的小數(shù)部分，則的平方根為

13.比較大小：2亞癇；25/3___372；避二!■

10

14.已知氏+1|+，5-y+(x+y-z)2=0,則x+y+z的立方根是

15.求下列各式中x的值：

(1)(X+2)2—36=0;(2)64(x+1)3=27.

16.計算:

17.（1）已知），=Jx-2017-j2017—x-2016,求x+y的平方根.

（2）已知一個正數(shù)x的兩個平方根分別是a+1和“+3,求這個數(shù)x.

~實戰(zhàn)演練

1.（2012泰安）下列各數(shù)比-3小的數(shù)是（）

A、0B、1C、-4I）、-1

2.（2014泰安）在工，0,-1,這四個數(shù)中，最小的數(shù)是（）

22

A、'B、0C、--I）、-1

22

11

3.（2016泰安）如圖，四個實數(shù)m,n,p,q在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別為M,N,P,Q,若n+q=0,則m,n,p,

q四個實數(shù)中，絕對值最大的一個是（）

PNMQ-XY

A、pB、qC>mD、n

4.（2017泰安）下列四個數(shù)：-3,-V3,-JI,-1,其中最小的數(shù)是（）

A.-JiB.-3C.-1D.-

5.下列各數(shù)中無理數(shù)為

A.V2B.0C.―!—D.-1

2017

6.近似數(shù)5.0x102精確到