2023年中考數(shù)學(xué)二輪訓(xùn)練-幾何探究壓軸題

2023年中考數(shù)學(xué)二輪專題訓(xùn)練:幾何探究壓軸題

1.已知AD是43c的中線，點(diǎn)E是線段AO上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作AC的平行線，過(guò)點(diǎn)8作

AO的平行線，兩平行線交于點(diǎn)尸，連結(jié)AF.

BD(￡)Cff~~DCBDC

fflCO圖②ffl(3)

【方法感知】如圖①,當(dāng)點(diǎn)￡與點(diǎn)o重合時(shí)，易證：△AECSFBE.(不需證明)

【探究應(yīng)用】如圖②，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)。不重合時(shí)，求證：四邊形ACM是平行四邊形.

【拓展延伸】如圖③，記AB與EF的交點(diǎn)為G,CE的延長(zhǎng)線與AB的交點(diǎn)為N,且N

為4B的中點(diǎn).

(2)若。，AB,BC=5時(shí)，則M的長(zhǎng)為

2.已知：如圖，正方形與正方形的'G.

C,-----------------、DJ----------\DJ----------\D

⑵如圖②，求)的值；

⑶如圖③，分別取b、8E的中點(diǎn)M、N，試探究：MN與8E的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

3.在ABC中，AB=AC,點(diǎn)。是射線C8上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8、C重合），以AO為

一邊在AD的右側(cè)作VADE，使4）=隹，ZDAE=ZBAC,連接CE.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段CB上,且N84C=90。時(shí)，那么ZDCE=_______度;

（2）設(shè)N8AC=a,^DCE=p.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段CB上,N8ACW90。時(shí),請(qǐng)你探究a與夕之間的數(shù)量關(guān)系，并

證明你的結(jié)論；

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在線段CB的延長(zhǎng)線上，N8ACW90。時(shí)，請(qǐng)將圖3補(bǔ)充完整；寫(xiě)出此

時(shí)。與夕之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

4.已知，43C為等邊三角形，點(diǎn)。在邊8c上.

圖1圖2圖3

【基本圖形】如圖1,以AE＞為一邊作等邊三角形VAZJE，連結(jié)CE.可得C￡+CD=AC

（不需證明）.

【遷移運(yùn)用】如圖2，點(diǎn)F是AC邊上一點(diǎn)，以O(shè)F為一邊作等邊三角JDEF.求證：

試卷第2頁(yè)，共12頁(yè)

CE+CD=CF.

【類比探究】如圖3，點(diǎn)尸是AC邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以。尸為一邊作等邊三角一DEF.試

探究線段CE,CD,CF三條線段之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論并說(shuō)明理

由.

5.綜合與實(shí)踐

二輪復(fù)習(xí)中，劉老師以“最值問(wèn)題”為專題引導(dǎo)同學(xué)們進(jìn)行復(fù)習(xí)探究.

問(wèn)題模型：等腰三角形ABC,ZMC=120。，AB=AC^2,

⑴探究1:如圖1,點(diǎn)。為等腰三角形A8C底邊8c上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD,則AO的最

小值為判斷依據(jù)為；

⑵探究2:在探究1的結(jié)論下，繼續(xù)探究，作“BAD的平分線AE交8c于點(diǎn)E,點(diǎn)尸，

G分別為AE,A。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求。尸+所的最小值；

(3)探究3:在探究1的結(jié)論下，繼續(xù)探究，點(diǎn)M為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AM，將AM

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段AN，連接ND,求線段ON的最小值.

6.問(wèn)題提出

D、

A

B'

E

H

圖1圖2圖3

(1)如圖1,在Rt^ABC中，ZACB=90°,4=50°,將其折疊，使點(diǎn)B落在AC邊

上的8,處，折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)。，則的度數(shù)為；

問(wèn)題探究

(2)如圖2,正方形A3。的。對(duì)稱軸1交CD于點(diǎn)”，點(diǎn)￡在/上，連接

AE、BE、CE、DE.若正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,BE=BC,求線段E4的長(zhǎng).

問(wèn)題解決

(3)如圖3,有一塊三角形空地ABC經(jīng)測(cè)量，AC=8c=45米，ZACB=90。.現(xiàn)要過(guò)

點(diǎn)C邊修建一條小路PC,滿足45。</4(7/<90。，點(diǎn)4關(guān)于「。的對(duì)稱點(diǎn)為。，連接

DA,DB,DB交PC于點(diǎn)E.若BE=35米,請(qǐng)利用所學(xué)知識(shí)，求DE的長(zhǎng).

7.已知A4CB是等腰直角三角形，CA=CB,

(1)如圖1,COE是等腰直角三角形，點(diǎn)。在AB的延長(zhǎng)線上,CD=CE,連接BD,

求證：BELAB；

⑵如圖2,點(diǎn)尸是斜邊上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是A8延長(zhǎng)線上動(dòng)點(diǎn)，總、有NFCB=NCGF,

探究AEGF,8G的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

⑶如圖3點(diǎn)，是AC一點(diǎn)，連接FH若NHFC=45。，AF=m,BF=n直接寫(xiě)出CHF

的面積為(用機(jī)，〃表示).

試卷第4頁(yè)，共12頁(yè)

8.課本再現(xiàn)

如圖1,在等邊3ABe中，E為邊AC上一點(diǎn)，D為BC上一點(diǎn),且A￡=CD,連接AD

與的相交于點(diǎn)F.

⑴與的的數(shù)量關(guān)系是_______與BE構(gòu)成的銳角夾角NB/會(huì)的度數(shù)是

深入探究

⑵將圖1中的4。延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使FG=B尸，連接8G,CG,如圖2所示.求證：GA

平分/BGC.（第一問(wèn)的結(jié)論，本問(wèn)可直接使用）

遷移應(yīng)用

⑶如圖3,在等腰ABC^,AB=AC,D,E分別是邊8C,AC上的點(diǎn)，AO與比相

交于點(diǎn)尸.若％AC=ZBFD,S.BF=3AF,求黑的值.

9.四邊形A3。中，AD//BC,M為AB上一點(diǎn)，連DM、BD.

1.

圖1圖2圖3

⑴DM平分NAD8,ZBDC=NBCD,

①如圖1,求證：MDA.DC;

②如圖2，若CN平分NACB，交BD于F,交AB于N,AC，BD,ZADO+ZBCO=_；

(2)在(1)的條件下求ZDEO+NCFO的值；

⑶如圖3,當(dāng)/。DE=2NA￡>E,NOCF=2N8Cr時(shí)，試探究NAAQ+4NC與NDOC的

數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論.

10.綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖①,在YABC。中，BEA.AD,

垂足為E,F為CD的中點(diǎn)，連接EF,BF，試猜想打與BF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

(1)獨(dú)立思考：請(qǐng)解答老師提出的問(wèn)題；

⑵實(shí)踐探究：希望小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將YABC。沿著防(F為CO的中點(diǎn))所在直

線折疊，如圖②,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C,連接DC并延長(zhǎng)交A8于點(diǎn)G,請(qǐng)判斷AG與BG

的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

(3)問(wèn)題解決：智慧小組突發(fā)奇想，將Y4BC。沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)為A,使48_LCO于點(diǎn)H,折痕交AD于點(diǎn)M,連接AM，交CD于點(diǎn)N.該小組

提出一個(gè)問(wèn)題：若此YA3CZ)的面積為20,邊長(zhǎng)AB=5,BC=2m,求圖中陰影部分

(四邊形BHNM)的面積.請(qǐng)你思考此問(wèn)題，直接寫(xiě)出結(jié)果.

試卷第6頁(yè)，共12頁(yè)

11問(wèn)題提出:已知矩形A8C￡>點(diǎn)E為AB上的一點(diǎn),EFLAB交于點(diǎn)F將AEBF

繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90。)得到EBF',則A￡'與。尸有怎樣的數(shù)量關(guān)系.

【問(wèn)題探究】

探究一：如圖，已知正方形A8C。,點(diǎn)E為A8上的一點(diǎn)，EFYAB,交BD于點(diǎn)F.

(1)如圖1,直接寫(xiě)出D筆F的值」

AE

(2)將AEBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接AE、DF,猜想DF^AE

的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

探究二：如圖，已知矩形ABCD,點(diǎn)E為AB上的一點(diǎn)，EFYAB,交BD于點(diǎn)F.

如圖3，若四邊形ABCD為矩形，黑="，將/XEBF繞點(diǎn)R順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0。<a<90。)

BC2

得至UE'BF'(E、F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為E'、F點(diǎn))，連接AE'、DF：則差的值是否隨

Dr

著a的變化而變化.若變化，請(qǐng)說(shuō)明變化情況；若不變，請(qǐng)求出黑的值.

DF

【TS規(guī)律】

如圖3,若四邊形A8CO為矩形，BC=mAB,其它條件都不變，將△￡?尸繞點(diǎn)8順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°)得至IjE'BF',連接AE,DF',請(qǐng)直接寫(xiě)出A￡與Z)廠的數(shù)量

關(guān)系.

12.定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.

DA

G/

EEE

圖2圖3圖4

(1)根據(jù)定義判矩形

已知：如圖1,在平行四邊形488中，AC8。是它的兩條對(duì)角線,AC=BD.求證：

平行四邊形A8Q9是矩形.

(2)動(dòng)手操作有發(fā)現(xiàn)

如圖2,在矩形A8CQ中，E是BC的中點(diǎn)，將一AfiE沿AE折疊后得到，點(diǎn)尸在

矩形A8C。內(nèi)部，延長(zhǎng)所交CD于點(diǎn)G.猜想線段GR與GC有何數(shù)量關(guān)系?并證明你

的結(jié)論.

⑶類比探究到一般

如圖3,將⑵中的矩形A8CZ)改為平行四邊形，其它條件不變，⑵中的結(jié)論是否仍然成

立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(4)解決問(wèn)題巧應(yīng)用

如圖4,保持⑵中的條件不變，若G點(diǎn)是的中點(diǎn),S.AB=2，請(qǐng)直接寫(xiě)出矩形A8CD

的面積.

13.在ABC中，CA=CB,ZACB=a,點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A,C重合的任意一點(diǎn)，

連接心，將線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)〃得到線段OP,連接AO,BD,CP.

試卷第8頁(yè)，共12頁(yè)

D

D

圖①圖②

⑴觀察猜想

RD

如圖①，當(dāng)。=60。時(shí)，而的值是，直線8。與直線CP相交所成的較小角的度

數(shù)是

(2)類比探究

RD

如圖②，當(dāng)。=90。時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出方的值及直線8D與直線CP相交所成的較小角的度數(shù),

并就圖②的情形說(shuō)明理由.

14.(I)(問(wèn)題背景)如圖1,在等邊中，點(diǎn)M是BC邊上一點(diǎn)，連接AM，以A例

為邊作等邊AMN(A,M,N按逆時(shí)針?lè)较蚺帕?，連接CN,求證：AC=CM+CN

(2)(變式探究)如圖2,已知,指出圖中的另外一對(duì)相似三角形并進(jìn)

行證明；

(3)(拓展應(yīng)用)如圖3,在ABC和VA0E中，ZBAC=ZDAE=90°,

NABC=NAL>E=30°,點(diǎn)力在BC邊上,求空的值.

15（1X操作發(fā)現(xiàn)】如圖1,四邊形ABC。、CEGF都是矩形，2=:,AB=9,">=12,

AG2

小明將矩形CEG/繞點(diǎn)C順時(shí)針轉(zhuǎn)。。（0414360）,如圖2所示.

①若右4G的值不變，請(qǐng)求出AG會(huì)的值，若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

BEBE

②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)民E、F在同一條直線上時(shí)，畫(huà)出圖形并求出AG的長(zhǎng)度.

（2）【類比探究】如圖3,ABC中，AB=AC=2右，ZBAC=a°,tanZABC=^,

G為BC中點(diǎn)，力為平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DG=W,將線段8。繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得

到,則四邊形BAC3'面積的最大值為一.（直接寫(xiě)出結(jié)果）

16.如圖1,在矩形ABC。中，BC=3,動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿

射線8c方向移動(dòng)，作一.PAB關(guān)于直線期的對(duì)稱,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,⑸.

試卷第10頁(yè)，共12頁(yè)

⑴若AB=2G.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)9落在AC上時(shí)，求證：PCB'sACB,

②是否存在異于圖2的時(shí)刻，使得△PCB'是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符

合題意的,的值？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)當(dāng)P點(diǎn)不與C點(diǎn)重合時(shí)，若直線與直線8相交于點(diǎn)M,且當(dāng)，<3時(shí)存在某一時(shí)

刻有結(jié)論NPA"=45。成立，試探究：對(duì)于f>3的任意時(shí)刻，結(jié)論=45。”是否

總是成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

17.在正方形ABCD中，E是邊。上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)C、。重合)，連結(jié)8E.

感知：如圖①，過(guò)點(diǎn)A作好;1班;交BC于點(diǎn)尸.求證ABF=BCE.

探究：如圖②，取8E的中點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)用作交BC于點(diǎn)F,交AD于點(diǎn)G.

(1)求證：BE=FG.

(2)連結(jié)CM,若CM=1,求尸G的長(zhǎng).

應(yīng)用如圖③，取8E的中點(diǎn)M，連結(jié)CM.過(guò)點(diǎn)C作CGL3E交于點(diǎn)G，連結(jié)EG、

MG.若CM=3,求四邊形GMCE的面積.

18點(diǎn)P在四邊形ABC。的對(duì)角線AC上，直角三角板P所繞直角頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，其邊PE、

P尸分別交BC、CD邊于點(diǎn)M、N.

操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，若四邊形"8是正方形，當(dāng)時(shí)，可知四邊形/WCN是

正方形，顯然PM=PN.當(dāng)PM與8c不垂直時(shí)，判斷確定PM、PN之間的數(shù)量關(guān)系；

.（直接寫(xiě)出結(jié)論即可）

類比探究：如圖②，若四邊形A8CZ）是矩形，試說(shuō)明翳=篇

拓展應(yīng)用：如圖③，改變四邊形ABCD^ABC的形狀，其他條件不變，且滿足A8=8,

圖①圖②圖③