2023年陜西省咸陽(yáng)市高考理科數(shù)學(xué)一模試卷及答案解析

2023年陜西省咸陽(yáng)市高考理科數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）設(shè)集合A={-2,0,1,2},B={x∣x<-2或x>l},則Arl（QRB）=（）

A.{-2}B.{1}C.{-2,0,1)D.{0,1,2}

2

2.（5分）已知復(fù)數(shù)Z=?1-2/的共軌復(fù)數(shù)為H則h-=()

Z-I

A.1-iB.2+iC.1+ZD.-1+i

港是單位向量，且日

3.（5分）已知向量；，B—h∣=1,則IQ+b∣=()

A.1B.√2C.2D.√3

4.（5分）古希臘大哲學(xué)家芝諾提出一個(gè)有名的悖論，其大意是：“阿喀琉斯是古希臘神話

中善跑的英雄，在他和烏龜?shù)馁惻苤?，他的速度是烏龜速度?0倍，烏龜在他前面100

米爬行，他在后而追，但他不可能追上烏龜，原因是在競(jìng)賽中，追者首先必須到達(dá)被追

者的出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)阿喀琉斯追了100米時(shí)，烏龜已在他前面爬行了10米，而當(dāng)他追到烏龜

爬行的10米時(shí)，烏龜又向前爬行了1米，就這樣，烏龜會(huì)制造出無(wú)窮個(gè)起點(diǎn)，它總能在

起點(diǎn)與自己之間制造出一個(gè)距離，不管這個(gè)距離有多小，只要烏龜不停地向前爬行，阿

喀琉斯就永遠(yuǎn)追不上烏龜.“試問(wèn)在阿喀琉斯與烏龜?shù)母?jìng)賽中，當(dāng)阿喀斯與烏龜相距0.01

米時(shí)，烏龜共爬行了（）

A.11.1米B.10.1米C.11.11米D.11米

5.（5分）設(shè)尸為拋物線C：,=2px（p>0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，且A到C焦點(diǎn)的距離

為3,到y(tǒng)軸的距離為2,則P=（）

A.1B.2C.3D.4

6.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入α=白，則輸出S=（)

/輸入α/

7.（5分）已知α,β是兩個(gè)不同平面，a,b是兩條不同直線，則下列命題正確的是（）

A.若aJ_a,a±?,則〃〃a

B.若a“β,a∩β=?,a±b,則a,β

C.若a_l_p,〃J_a,h.Lβf則Lb

D.若。邛，a∩β=?,aJ_b,貝∣JUβ

b+c2\^3

8.（5分）在AABC中，角A,8,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若A=60°,?=1,------：—=—，

SinB+sιnC3

則AABC的面積為（）

√31

A.一C.一D.-

2424

9.（5分）如圖，Z?A8C中，ZBAC=90o,AB=AC=√2,。為BC的中點(diǎn)，將AABC沿

AO折疊成三棱錐A-8CZλ則當(dāng)該三棱錐體積最大時(shí)它的外接球的表面積為（）

A.πB.2πC.3πD.4π

4

10.（5分）某家族有X,y兩種遺傳性狀，該家族某成員出現(xiàn)X性狀的概率為:，出現(xiàn)Y

15

27

性狀的概率為二，X,y兩種性狀都不出現(xiàn)的概率為三，則該成員X,y兩種性狀都出現(xiàn)

的概率為（）

%y

H.(5分)直線/過(guò)雙曲線C：--77=1(α>0,?>O)的右焦點(diǎn)尸，與雙曲線C的兩

a2bi

條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn),O為原點(diǎn)，且=0,3AF=FB,則雙曲線C的離

心率為()

--VsVe

A.Vz2B.?r/?C.—D.—

22

12.(5分)已知定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足：當(dāng)OWXWl時(shí)，/(x)=-x3+3x-1,且

f(Λ+1)—f(x-1).若關(guān)于X的方程/(x)=Iogfl(M+1)(a>l)有8個(gè)實(shí)根，則a的

取值范圍為()

A.(1,6)B.(4,6)C.(8,10)D.(10,12)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)受新冠病毒肺炎影響，某學(xué)校按照上級(jí)文件精神，要求錯(cuò)峰放學(xué)去食堂吃飯，

高三年級(jí)一層樓有四個(gè)班排隊(duì)，甲班不能排在最后，且乙、丙班必須排在一起，則這四

個(gè)班排隊(duì)吃飯不同方案有種(用數(shù)字作答).

14.(5分)己知半徑為1的圓過(guò)點(diǎn)(1,√3),則該圓圓心到原點(diǎn)距離的最大值為.

Tr

15.(5分)設(shè)函數(shù)/(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為5,

IfG)I=4則∣φ∣的最小值為.

(2團(tuán)，%V0C

16.(5分)已知函數(shù)/(X)=一，則函數(shù)g(x)=/(x)-3∕(x)+2零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

｛?lnx?,x>0

是.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，第17-21題為必考題，

每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.(12分)己知數(shù)列｛即｝的前"項(xiàng)之積為Sri=2嗎④何∈N*).

(1)求數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)公差不為0的等差數(shù)列｛為｝中,歷=1,,求數(shù)列｛“”?公｝的前“項(xiàng)和ηt?請(qǐng)

從①必=∕；②歷+加=8這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)條件，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中并作答注：

如果選擇多個(gè)條件分別作答，則按照第一個(gè)解答計(jì)分.

18.(12分)某學(xué)校為研究高三學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系，對(duì)該校400名高三

學(xué)生（其中女生220名）平均每天體育鍛煉時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，得到如表:

平均每天鍛[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]

煉時(shí)間（分

鐘）

人數(shù)407288IOO8020

將日平均體育鍛煉時(shí)間在40分鐘以上的學(xué)生稱為“鍛煉達(dá)標(biāo)生”，調(diào)查知女生有40人為

“鍛煉達(dá)標(biāo)生”.

（1）完成下面2義2列聯(lián)表，試問(wèn)：能否有99.9%以上的把握認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)生”與性

別有關(guān)？

鍛煉達(dá)標(biāo)生鍛煉不達(dá)標(biāo)合計(jì)

男

女

合計(jì)400

2

附：H=團(tuán)晨穩(wěn)溫E，其中“="+b+c÷d?

P(K2>Ko)0.1000.0500.0100.001

Ko2.7063.8416.63510.828

（2）在“鍛煉達(dá)標(biāo)生”中用分層抽樣方法抽取10人進(jìn)行體育鍛煉體會(huì)交流，再?gòu)倪@10

人中選2人作重點(diǎn)發(fā)言，記這2人中女生的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

19.（12分）如圖，直三棱柱ABC-AiBiCi中，AC=BC=AA?,。為Ccl上一點(diǎn).

（1）證明：當(dāng)。為CCl的中點(diǎn)時(shí)，平面AiBOJ_平面ABBIA1；

√io

（2）若∕ACB=90°,異面直線AB和Alo所成角的余弦值為一^-時(shí)，求二面角B-AiO

-A的余弦值.

Λ?_______c1

\卜'，

A1

B

20.(12分)已知橢圓C：今+，=l(α>b>O)的離心率為手，它的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊

形的面積為4.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)M(∕n,0)的直線/與圓/+/=1相切且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),求

的最大值.

21.(12分)已知函數(shù)/。)=警(XeR).

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對(duì)于任意的x∈[0,J],f(x)》AX恒成立，求證:k<^.

(二)選考題：共10分，考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一

題計(jì)分.

=1+√2

22.(10分)在直角坐標(biāo)系Xoy中，直線/的參數(shù)方程為?τt(/為參數(shù))，以坐標(biāo)

=2÷√22

原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為p=4sinθ.

(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)直線/與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，若P(l,2),求解∣+∣P8∣的值.

【選修4-5：不等式選講】

23.已知函數(shù)/(x)=?2χ-I∣+∣2x+2∣.

(1)解不等式/(x)W4；

Ill

(2)設(shè)/(x)的最小值為m,且—+—4-----m(a,b,c∈(O,+∞)),求證a+2b+3c

a2b3c

23.

2023年陜西省咸陽(yáng)市高考理科數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.(5分)設(shè)集合4={-2,0,1,2},B={x∣x<-2或x>l},貝∣JA∩(CRB)=()

A.{-2}B.{1}C.{-2,0,1}D.{0,1,2}

【解答］解:B=WXV-2或x>l},則CR8={X-2WXW1},

A={-2,0,1,2},

則A∩(CRB)={-2,0,1).

故選：C.

2

2.(5分)已知復(fù)數(shù)z=l-2i的共規(guī)復(fù)數(shù)為2,則==()

Z-I

A.1-iB.2+iC.1+/D.-1+z

22

【解答】解：由題知2=1+2i,所以=二=—:=l-i.

z-ιl+ι

故選：A.

3.(5分)已知向量α,b都是單位向量，且Ia—b|=l,則∣α+b∣=()

A.1B.√2C.2D.√3

【解答】解：向量次力都是單位向量，

?,?a-b?=1,

兩邊同時(shí)平方可得，(α—b)2=a2+b2—2a?b=2—2a-b=1,即2α?b=1,

Λ(a+b)2=a2+b2+2a-b=1+1+1=3,解得日+h∣=√3.

故選：D.

4.(5分)古希臘大哲學(xué)家芝諾提出一個(gè)有名的悖論，其大意是：“阿喀琉斯是古希臘神話

中善跑的英雄，在他和烏龜?shù)馁惻苤?，他的速度是烏龜速度?0倍，烏龜在他前面100

米爬行，他在后而追，但他不可能追上烏龜，原因是在競(jìng)賽中，追者首先必須到達(dá)被追

者的出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)阿喀琉斯追了100米時(shí)，烏龜已在他前面爬行了10米，而當(dāng)他追到烏龜

爬行的10米時(shí)，烏龜又向前爬行了1米，就這樣，烏龜會(huì)制造出無(wú)窮個(gè)起點(diǎn)，它總能在

起點(diǎn)與自己之間制造出一個(gè)距離，不管這個(gè)距離有多小，只要烏龜不停地向前爬行，阿

喀琉斯就永遠(yuǎn)追不上烏龜.“試問(wèn)在阿喀琉斯與烏龜?shù)母?jìng)賽中，當(dāng)阿喀斯與烏龜相距0.01

米時(shí)，烏龜共爬行了()

A.11.1米B.10.1米C.ILll米D.11米

【解答】解：依題意，烏龜爬行的距離依次排成一列構(gòu)成等比數(shù)列{〃”},?1=10,公比q

=0.1,‰=0.01,

O(U

所以當(dāng)阿喀斯與烏龜相距0.01米時(shí)，烏龜共爬行的距離Sn=號(hào)等=1°；^)=

11.11.

故選：C.

5.(5分)設(shè)尸為拋物線C：y1=2px(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，且A到C焦點(diǎn)的距離

為3,到y(tǒng)軸的距離為2,則P=()

A.?B.2C.3D.4

【解答】解：；拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)尸啰，0),準(zhǔn)線方程X=—1

顯然點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2,

根據(jù)拋物線定義得MFl=2+g=3,.?.p=2.

故選:B.

6.(5分)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入α=白，則輸出S=()

【解答】解：執(zhí)行程序，第一次循環(huán)：b=4，s=y∣≥?;

第二次循環(huán)：b=∕,s=*,∣>?;

第三次循環(huán)：b=*,S=（，*≥轉(zhuǎn)；

第四次循環(huán)：b=/s=∣f,?<?,退出循環(huán)，輸出s=∣∣,

所以S=磊

故選：A.

7.（5分）已知α,β是兩個(gè)不同平面，a,b是兩條不同直線，則下列命題正確的是（）

A.若〃_La,a?.by則匕〃α

B.若α“β,α∩β=?,aYb,則α,β

C.若CIJ_p,6z±α,?±β,則a_L〃

D.若a_Lβ,a∩β=?,aLb,則〃_Lp

【解答】解：對(duì)于A,若a_La,〃_Lb,則b〃a或。ua,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,若a“β,a∩β=b,a_Lb時(shí)，可能B與a相交，但不垂直，即不一定a_Lp,故

8錯(cuò)誤；

對(duì)于。，由平面與平面垂直的性質(zhì)定理可知，

若a_Lp,a∩β=b,〃_Lb,qua時(shí)，則a_Lp,若oUa時(shí)，直線a與平面β不垂直，故

。錯(cuò)誤，

對(duì)于C若a,β,則兩平面的法向量互相垂直，因?yàn)?。_La,?±β,所以,C選

項(xiàng)正確.

故選：C.

匕+c2-^3

8.（5分）在AABC中，角48,。的對(duì)邊分別是小。,如若4=60°方=1,-----：—=—，

SinB+sιnC3

則AABC的面積為（）

√3√311

A.—B.—C.一D.一

2424

abcab+c

【解答】解:在AABC中，由正弦定理得：==—-=-因此「=.—.二=

SinASinBSinCSinAsιnB+sιnC

2√3

3

則。=竽5譏4=竽5出60°=竽*坐=1,而b=l,即有BC是正三角形，

1/O

所以aABC的面積SMBC=2absin60°=芋

故選：B.

9.(5分)如圖，AABC中，NBAC=90°,AB=AC=√2,。為Be的中點(diǎn)，將aABC沿

AO折疊成三棱錐A-BC￡>,則當(dāng)該三棱錐體積最大時(shí)它的外接球的表面積為()

【解答】解：在AABC中，∕8AC=90°,AB=AC=?,。為BC的中點(diǎn),

所以：BD=CD=AD=I,

將AABC沿AD折疊成三棱錐A-BCD,

當(dāng)80,CQ時(shí)，三棱錐的體積最大；

且三棱錐的外接球的半徑滿足(2r)2≈12+12+12,

解得r=G

所以S跌=4?7Γ?ξ=3π.

故選：C.

4

io.(5分)某家族有X,y兩種遺傳性狀，該家族某成員出現(xiàn)X性狀的概率為:，出現(xiàn)丫

15

27

性狀的概率為：，X,丫兩種性狀都不出現(xiàn)的概率為一，則該成員X,丫兩種性狀都出現(xiàn)

1510

的概率為()

1124

A.—B.—C.—D.—

15101515

【解答】解：設(shè)該家族某成員出現(xiàn)X性狀為事件A,出現(xiàn)y性狀為事件3,

則X,Y兩種性狀都不出現(xiàn)為事件彳n萬(wàn)，兩種性狀都出現(xiàn)為事件A∩-

47__7

所以，P(A)=亮，P(B)=gP(AnB)=W

所以PQ4UB)=I-P(AnB)=擊，

又因?yàn)槭?AUB)=P(A)+P(B)-P(AC8),

1

所以P(ACB)=P(A)+P(B)-P(AUB)=言.

故選：B.

%y

11?(5分)直線/過(guò)雙曲線C二一三=1(α>0,6>0)的右焦點(diǎn)R與雙曲線C的兩

a2bz

條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且&=0,3AF=FB,則雙曲線C的離

心率為()

-E√5V6

A.y/r2B.*?∕3C.—D.—

22

【解答】解：如圖所示，設(shè)漸近線/1：y=%,即汝-αy=0,

設(shè)漸近線線/1的傾斜角為θ,貝IJtane=IZAOF=ZBOF=Θ,

be

???雙曲線的焦點(diǎn)/(c,0)到漸近線小bx-ay=O的距離為萬(wàn)=b,

'√α2+h2

V0M?AF=0,：.OAl.AFf

.??AF]=b,又IOFl=c,J.?OA?=a,

又3成=∕?,：.\FB\=3\AF\=3b,

?/4八C∣4B∣4bCC2tanθCb

..tanZAOB=77∏r∣=—=tan2θ=--------六，τ又7tanθ=一,

?0A?al-tan2θQ

2b

4bQ

a尸IN'

匕21

化簡(jiǎn)可得d=2鞏.?.我=1

雙曲線C的離心率為Jil=a2+b2,2771_/6

1+-,

~u~1+滔=2τ

12.(5分)已知定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足：當(dāng)OWXWI時(shí)，f(x)=-X3+3Λ-1,且

f(Λ+1)—f(x-1).若關(guān)于X的方程f(x)=IogO(M+1)(α>1)有8個(gè)實(shí)根，則a的

取值范圍為()

A.(1,6)B.(4,6)C.(8,10)D.(10,12)

【解答】解：當(dāng)0≤x≤l時(shí)，f(x)=-X3+3X-1,求導(dǎo)得：f(x)=-3X2+3,顯然當(dāng)0

VXVl時(shí),f(x)>0,

即函數(shù)f(X)在［0,1］上單調(diào)遞增，而fG)是R上的偶函數(shù)，則f(%)在［7,0］上單

調(diào)遞減，

又/(x+l)=/(x-1),即/(x+2)=f(x),因此函數(shù)/(x)是周期函數(shù)，周期為2,且

f(X)min~~1,?(X)max=1?

函數(shù)y=k)g”(IAi+1),a>?是R上的偶函數(shù)，在(-8,0］上單調(diào)遞減，在［0,+8)上

單調(diào)遞增，

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=f(χ)與y=］ogq(∣χ∣+l)(fl>l)的部分圖象，如圖，

姆y=∣ogβ(lx∣+iχ0>l)

關(guān)于X的方程F(X)=logɑ(M+1)(α>l)的根，即是函數(shù)y=∕(x)與y=logα(Ixl+1)

(?>1)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

依題意，函數(shù)y=∕(x)與y=log∏(∣Λ∣+1)(a>l)的圖象有8交點(diǎn)，則在x>0時(shí)，有4

個(gè)交點(diǎn)，

觀察圖象知，log“4<l<log“6,解得4<α<6,

所以4的取值范圍為(4,6).

故選：B.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)受新冠病毒肺炎影響，某學(xué)校按照上級(jí)文件精神，要求錯(cuò)峰放學(xué)去食堂吃飯，

高三年級(jí)一層樓有四個(gè)班排隊(duì)，甲班不能排在最后，且乙、丙班必須排在一起，則這四

個(gè)班排隊(duì)吃飯不同方案有8種(用數(shù)字作答).

【解答】解：先將乙、丙班排序，并綁在一起，看成一個(gè)元素，有的種方案，

此時(shí)考慮將甲，丁及乙、丙的整體3個(gè)元素排序，

由于甲班不能排在最后，故將甲班選取1個(gè)位置安排，有心種方案，

最后再將丁及乙、丙的整體安排在剩下的兩個(gè)位置上，有朗種方案，

所以根據(jù)乘法原理，共有朗膽掰=8種方案.

故答案為：8.

14.(5分)已知半徑為1的圓過(guò)點(diǎn)(1,√3),則該圓圓心到原點(diǎn)距離的最大值為

【解答】解：設(shè)該圓圓心為(X,>),

因?yàn)榘霃綖?的圓過(guò)點(diǎn)(1,√3),

所以(X-I)2+(y-√3)2=1,

所以該圓圓心的軌跡是以點(diǎn)(1,√5)為圓心，1為半徑的圓，

因?yàn)?1,再)到原點(diǎn)的距離為2,

所以該圓圓心到原點(diǎn)的距離的最大值為2+1=3.

故答案為：3.

15.(5分)設(shè)函數(shù)f(x)=ASin(ωx+φ)(A>0,ω>0)相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為泉

筋)|=4則叫的最小值為—

【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)/(χ)=ASin(ωx+φ)(A>0,ω>0)相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距

、一,π

離為；，

2

則函數(shù)/(x)的周期r=π,3=竿=2,又IfG)I=4，

因此2X與+夕=kτr+芻，∕c∈Z,即口=Mr-3kEZ9

所以當(dāng)k=O時(shí),?φ?min=親

Tr

故答案為：

6

(7%V0C

16.(5分)已知函數(shù)/(%)=1一，則函數(shù)g(x)=/(x)-3/(x)+2零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

{?lnx?,x>0

是6

【解答】解：令g(X)=0,即/(x)-3/(X)+2=0,解得f(x)=1或/(X)=2,

作出函數(shù)/(x)的圖象如圖，

由圖可知，方程F(X)=1有3個(gè)實(shí)數(shù)解，/(x)=2有3個(gè)實(shí)數(shù)解，且均互不相同，

所以g(x)=O的實(shí)數(shù)解有6個(gè)，

所以函數(shù)g(X)=/(X)-3/(?)+2零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6個(gè).

故答案為：6.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，第17-21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

n(n-1)

17.(12分)已知數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)之積為Sn=2J-(n∈N*).

(1)求數(shù)列｛“"｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)公差不為0的等差數(shù)列｛為｝中，加=1,,求數(shù)列｛”,,?d｝的前〃項(xiàng)和7；.請(qǐng)

從①用="；②/+左=8這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)條件，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中并作答注:

如果選擇多個(gè)條件分別作答，則按照第一個(gè)解答計(jì)分.

n(n—1)

-

【解答】解：(I)：數(shù)列僅”｝的前〃項(xiàng)之積為S71=2J(neN*),

S?n(n-l)(n-l)(n-2)

則當(dāng)時(shí),斯=話=2「-一一L=2n-1,

而當(dāng)”=1時(shí)，ηι=Sι=l滿足上式,

數(shù)列｛蜘｝的通項(xiàng)公式是即=2n^1.

(2)選條件①：b1=b4,設(shè)等差數(shù)列｛b｝的公差為d,加=1,則(l+d)2=1+3/又d

W0，解得"=1,

n1

.".hn=n,an-bn=n-2~,

則〃=1×20+2×21+3×22+-+(n-1)×2n-2+n×2n-1,

27；=1×21+2×22+3×23+-+(n-1)×2n-1+n×2n,

1—2n

F=1+2+???+2n-1-n?2n=??-n?27l=(l-n)?2n-l,

Λ7;=(n-l)?2n+l;

選條件②：?3+?=8,數(shù)列｛為｝是等差數(shù)列，則2b4=8,即加=4,又加=1,則公差d=

f,4-bι_

4-1一1i,

n1

.*.bn-n,an?bn=n?2~,

則7；=1×20+2×21+3×22+-+(n-1)×2n-2+n×2n~1,

27；=1×21+2×22+3×23+???+(n-1)×2π-1+π×2n,

n1nnn

：.-Tn=l+2+???+2--n-2=??-n?2=(l-n)?2-l,

n

：.Tn=(n-1)-2+1.

18?(12分)某學(xué)校為研究高三學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系，對(duì)該校400名高三

學(xué)生(其中女生220名)平均每天體育鍛煉時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，得到如表：

平均每天鍛[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]

煉時(shí)間（分

鐘）

人數(shù)4072881008020

將日平均體育鍛煉時(shí)間在40分鐘以上的學(xué)生稱為“鍛煉達(dá)標(biāo)生”，調(diào)查知女生有40人為

“鍛煉達(dá)標(biāo)生”.

（1）完成下面2X2列聯(lián)表，試問(wèn)：能否有99.9%以上的把握認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)生”與性

別有關(guān)？

鍛煉達(dá)標(biāo)生鍛煉不達(dá)標(biāo)合計(jì)

男

女

合計(jì)400

2

附.K2=--------"(αd-"C)----------其中“=α+b+c+d

叩?K(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)'央中〃a+D+c+a.

P(∕C2≥?)0.1000.0500.0100.001

Ko2.7063.8416.63510.828

（2）在“鍛煉達(dá)標(biāo)生”中用分層抽樣方法抽取10人進(jìn)行體育鍛煉體會(huì)交流，再?gòu)倪@IO

人中選2人作重點(diǎn)發(fā)言，記這2人中女生的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【解答】解：（1）補(bǔ)充完整的2X2列聯(lián)表如下：

鍛煉達(dá)標(biāo)生鍛煉不達(dá)標(biāo)合計(jì)

男60120180

女40180220

合計(jì)100300400

4100x(60x180-40x120)2_400_>I∩Q

`:K2ιzιziυbz7,

180×220×100×300~^33~

，有99.9%以上的把握認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)生”與性別有關(guān);

(2)“鍛煉達(dá)標(biāo)生”中男女人數(shù)之比為60：40=3：2,抽取的男生有6,女生有4人，

易知X=0,I,2,P(X=O)=單=與，P(X=I)=孥=Lp(χ=2)=與=余

CIoClOClO

X的分布列為:

X012

P182

31515

1824

fW=0×3+1×l5+2×T5=5?

19.(12分)如圖，直三棱柱48C-AlBICl中，AC=BC=AAi,。為CCl上一點(diǎn).

(1)證明：當(dāng)。為CCI的中點(diǎn)時(shí)，平面AlB。，平面AB8∣4;

√Tδ

(2)若N4C8=90°,異面直線AB和AIO所成角的余弦值為《一時(shí)，求二面角8-4。

-A的余弦值.

【解答】解：(1)證明：如圖，分別取48、AlBl的中點(diǎn)E,F,連接OE,EF,FC?,

由題意知FE=C1。，且FE〃Ci￡>,.?.CiQEF是平行四邊形,

J.C?F∕∕DE,

VAiCi=BICI,=為AIBl的中點(diǎn),：.C\FLA\B\,

?.?平面421ClI平面ABBiAi,平面AIBlem平面ABBiAi=AiBi,

ClFU平面Aι8ιCι,.?.C∣F"L平面A8B∣Aι,

?'C?F∕/DE,二OEJ_平面ABB∣4，

VDE?jFEAIBD,二。為CCl的中點(diǎn)時(shí),平面AlBDj_平面ABBjAi；

(2)設(shè)AC=BC=AAl=2,C?D=m,

'：AB//A\B\,.?.∕8ιAιZ)是異面直線AB和4。所成角(或所成角的補(bǔ)角)，

√io

?.,ZACB=90o,異面直線AB和4。所成角的余弦值為《一,

2

在AAIBIQ中，A∣Bι=2√2,A1D=√4+m,

.√10…八(j4W)2+(2√2)z-(j4W)2

..-----=COSZBIAID=--------------/-----------------,

52×j4+m2×2√2

解得〃?=1,；.。為CCl的中點(diǎn)，

如圖，延長(zhǎng)40交AC的延長(zhǎng)線于尸，連接BF,過(guò)C作CE'LDF1于點(diǎn)E',連

接BE',

VAC,CiCc5FffiAiAF,BCLAC,BClCiC,AC∩CC=C,

.?.BCJL平面AIA尸，：.BCVDF1,

'JCE1LDF,,：.DF'1.平面BCE',J.DF'LBE',

?ZBE1C為二面角B-4。-A的平面角，

2

在RtA1BCE中，BC=2,CE'=下，

.,.tan?BE'C=^7=V5,

ΛcosZBE,C=乎,

√6

二二面角8-4Q-A的余弦值為一.

6

B

20.(12分)已知橢圓C：各，=I(Q>b>0)的離心率為奉它的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊

形的面積為4.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)M(M0)的直線/與圓/+夕=1相切且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),求IABl

的最大值.

1

【解答】解：(1)橢圓。的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為］×2a×2b=2ab=4,

a2=b2+C2

由題意可得<U=與，解得α=2,b=?.

a~2

?b=2

χ2

所以，桶圓C的方程為丁+y2=1.

4

(2)若直線/與X軸重合，此時(shí)直線/與圓f+y2=l相交，不合乎題意,

設(shè)直線/的方程為％=>，〃，由題意可得嗜9=1,即∕w2=ι+a.

聯(lián)立｛；2+“蒙T4消去x得(9+M2+4)2=4,即(尸+4)/+2?！?H-4=O,?=(2∕∕n)

2tm

2-4(∕2+4)(∕W2-4)=16(∕2+4-∕ZZ2)=3>0.設(shè)AaI,yi)、Ba2,”),則以+y=—

2t2+4)

τn2-4

%%=H

722

所以?AB?=√TTt∣y1-y2?=√1+t√(yι+y2)-4y1y2=

J16(“一吟=龔

√1+t2Vrm

t2+4產(chǎn)+4

≥1,則P=M-1,則MBl=雀^=茅≤fft=2,

令7?+t2=n

2Jn,l

當(dāng)且僅當(dāng)九=V5時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)￡=±&,m=±√3.

故HBl的最大值為2.

21.(12分)己知函數(shù)/(X)=袈(XeR).

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對(duì)于任意的xe[O,芻，f(%)》丘恒成立，求證：fc<^.

【解答】解：(1)/，(X)=紗學(xué)竺=立巴”，

令f(X)>0,貝∣Jcos(X+4)〉0,即2∕cττ—VX+.≤2fcττ+工(kGZ),

解得了(X)的遞增區(qū)間為(2/OT—苧，2∕m+*)(keZ);

令/(X)<0,貝IJCoS(X+勺<0,即2kττ+?VX+A≤2fcτr+-^?(JC∈Z),

解得了(x)的遞減區(qū)1可為(2∕cττ+/，2kττ+?^)(keZ).

所以，/(Λ)的遞增區(qū)間為(2時(shí)一手，2∕σr+軟keZ),遞減區(qū)間為(2"+92k