數(shù)學(xué)講義：相似三角形判定和性質(zhì)

15、八年級(jí)數(shù)學(xué)培佳班：相似判定和性質(zhì)姓名一、知識(shí)梳理〔1〕本單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)的單元復(fù)習(xí)最重要就是梳理知識(shí)，穿線結(jié)網(wǎng)，形成清晰的知識(shí)鏈，就“相似三角形”這一單元而言，其知識(shí)網(wǎng)絡(luò)大致如下圖：相似三角形判定的根本模型認(rèn)識(shí)〔一〕A字型、反A字型〔斜A字型〕〔平行〕〔不平行〕 〔二〕8字型、反8字型〔蝴蝶型〕〔平行〕〔不平行〕〔三〕母子型〔四〕一線三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形〔等腰梯形〕或者等邊三角形為背景一線三等角的變形〔五〕一線三直角型：雙垂型：相似三角形判定的變化模型旋轉(zhuǎn)型：由A字型旋轉(zhuǎn)得到。8字型拓展【典型例題】1．在平行四邊形ABCD中，AC=AB；求證：∠ABD=∠DACAABCED2．：如圖，在△ABC中，∠ADE=∠B，∠BAC=∠DAE．〔1〕求證：；〔2〕當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，求證：EC⊥BC．3、在中,∠ACB=90°,,垂足為.、分別是、邊上一點(diǎn),且=,=.(1)求證∶=.(2)求的度數(shù).4、如圖，在中，，是邊上的高，點(diǎn)E在線段上，，，垂足分別為．求證：〔1〕；〔2〕⊥．QCABQCABP〔1〕如圖△ABC中，AB=AC,∠APQ=∠B，求證:△ABP∽△PCQ變式:等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E在AC上,AE=2,BE的中垂線交AB于點(diǎn)P,交BC于點(diǎn)FFCABFCABPE【重心問(wèn)題】〔重心問(wèn)題〕在ABC中，矩形DEFG的一邊FG在BC上，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，AH是BC邊上的高，BC=10，AH=6.〔1〕如圖4，假設(shè)DG=2DE，求DE的長(zhǎng)；BDACBDACGFEH圖4KHH圖5BACGFEDOK〔面積問(wèn)題〕在平行四邊形ABCD中，AB=5，AD=3，平行四邊形面積是10，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，〔點(diǎn)P不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合〕，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AD交BD于Q，連結(jié)CQ，設(shè)AP的長(zhǎng)為x，四邊形QPBC的面積為y。〔1〕寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出自變量x的取值范圍；〔2〕是否存在實(shí)數(shù)x，使得？如果存在，求出x的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。PPDQCBA【易錯(cuò)小綜合題測(cè)試】1．〔相似應(yīng)用〕如圖，是用手電來(lái)測(cè)量古城墻高度的示意圖,將水平的平面鏡放置在點(diǎn)P處,光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，假設(shè)AB⊥BD，CD⊥BD，且AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么該古城墻的高度約是米．2.〔相似性質(zhì)綜合〕如圖，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，如果∠B=∠ACD，AB=6cm，AC=4假設(shè)S△ABC=36cm2，那么△ACD的面積是cm23．〔多個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合〕如圖，在△ABC中，AC=BC=2，∠C=900，點(diǎn)D為腰BC中點(diǎn)，點(diǎn)E在底邊AB上，且DE⊥AD,那么BE的長(zhǎng)為.第1題第第1題第3題第2題第1第17題4、〔分類討論〕在中，，，，點(diǎn)D是射線BC上的一點(diǎn)〔不與端點(diǎn)B重合〕，聯(lián)結(jié)AD，如果△與△相似，那么BD＝．5、〔分類討論〕菱形ABCD邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在直線AD上，DE=3，聯(lián)結(jié)BE與對(duì)角線AC交點(diǎn)M，那么AM:MC的值是.6、〔相似性質(zhì)綜合〕如圖3，中，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AC、AB上，且DE∥AB，DF∥AC，假設(shè)，的面積為9，那么四邊形的面積為．7．如圖4，梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AD⊥BD，假設(shè)AB=3，CD=1，那么的正弦值為．AADBCE(圖5)ADBCFE(圖3)(圖4)ABCD8．如圖5，△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且，.假設(shè)設(shè)，，那么=．〔用向量、表示〕9．(圖形運(yùn)動(dòng))△ABC中，∠C=90°，AB=9，AC=6，把△ABC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)A’，點(diǎn)B落在點(diǎn)B’.假設(shè)點(diǎn)A’在邊AB上，那么點(diǎn)B、B’的距離為．10、〔相似性質(zhì)及重心〕是的重心，點(diǎn)分別是邊的點(diǎn)，∥，且經(jīng)過(guò)重心，如果的周長(zhǎng)是30厘米，那么的周長(zhǎng)是厘米．11．〔分類討論〕在中，，是的高，如果和相似，那么的度數(shù)為．圖512．〔圖形運(yùn)動(dòng)〕如圖5是一張直角三角形的紙片，直角邊AC＝6cm,AB=10圖5現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，那么DE的長(zhǎng)等于．13、〔圖形運(yùn)動(dòng)〕在△ABC中，AB=AC，把△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕交AB于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N．如果△CAN是等腰三角形，那么∠B的度數(shù)為___________．【回家作業(yè)】1．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且DE∥BC，ABCDABCDE〔A〕；〔B〕；(第1題圖)〔C〕；(D)．(第1題圖)2．以下命題中，假命題的是…………〔〕〔A〕兩個(gè)等邊三角形一定相似；〔B〕有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形一定相似；(C)有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)等腰三角形一定相似；(D)兩個(gè)全等三角形一定相似.3、如圖，△ABC中，高AD、BE相交于點(diǎn)F。在該圖形中，相似三角形共有〔〕A、3對(duì)； B、4對(duì)； C、5對(duì)； D、6對(duì)。ABCED4．如圖，△ABC中，D是邊BC的中點(diǎn)，，，那么等于…〔〕.〔A〕+；〔B〕〔+〕；〔C〕2〔+〕；〔D〕—〔+〕．ABCEDAADBC第4題(第5題圖)(第5題圖)5．如圖，在中，點(diǎn)、分別在、邊上，∥，假設(shè)，那么等于………………〔〕.〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕．6．如圖，設(shè)M，N分別是直角梯形ABCD兩腰AD，CB的中點(diǎn)，DEAB于點(diǎn)E，將△ADE沿DE翻折，點(diǎn)M與點(diǎn)N恰好重合，那么AE:BE等于………………〔〕(A)2:1；(B)1:2；(C)3:2；(D)2:3．7．如果，那么_________．9．線段2cm，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，且>，那么線段=．10．一個(gè)鋼球沿坡比為的斜坡向上滾動(dòng)了米，此時(shí)鋼球距地面的高度是_________米．GHDCBA第11題ABCDE21第12題11．如圖，點(diǎn)G是△GHDCBA第11題ABCDE21第12題12．如圖，D、E兩點(diǎn)分別在AC、AB上，且DE與BC不平行，請(qǐng)?zhí)钌弦粋€(gè)你認(rèn)為適宜的條件：，使得ADE∽ABC13．如圖，是矩形的邊上的點(diǎn)，，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn).如果，那么.ADECB〔第14題圖〕CABDADECB〔第14題圖〕CABDAABDCEF第13題(第1(第15題圖)15．如圖，中，，，，是邊的中點(diǎn)，是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)〔點(diǎn)不與、重合〕，假設(shè)以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，那么線段.16、如圖，矩形內(nèi)接于銳角，是邊上的高，=6，=12，〔1〕假設(shè)，求矩形的面積；〔2〕假設(shè)，求與的函數(shù)解析式，并寫出其定義域.17．如圖，在中，，于點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)．求證：．BBADECOF(第21題圖)(第21題圖)18．如圖：中，AB=5,BC=3,AC=4,PQ∥AB，點(diǎn)P在AC上，〔與點(diǎn)C不重合〕，點(diǎn)Q在BC上。〔1〕的面積與四邊形PABQ的面積相等時(shí)，求CP的長(zhǎng)〔2〕的周長(zhǎng)與四邊形PABQ的周長(zhǎng)相等時(shí)，求CP的長(zhǎng)(圖12)(圖12)ADEBFC19\如圖12，△ABC是等邊三角形，且．〔1〕求證：△ABD∽△CED；〔2〕假設(shè)AB＝6，AD＝2CD，求BE的長(zhǎng)．20、如圖，梯形ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝5，．E為射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥DC交射線BC于點(diǎn)F．聯(lián)結(jié)EC，設(shè)BE=x，．〔1〕求BD的長(zhǎng)；〔2〕當(dāng)點(diǎn)E在線段BD上時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；〔3〕聯(lián)結(jié)DF，假設(shè)△BDF與△BDA相似，試求BF的長(zhǎng)．BCBCAD備用圖BCEF第25題圖AD【四邊形復(fù)習(xí)】1．一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都是140度，那么它是_______邊形．2.菱形ABCD中，邊長(zhǎng)AB=4，∠B=30°，那么該菱形的面積等于_________．3.梯形的中位線長(zhǎng)8cm，高10cm，那么這個(gè)梯形的面積為________cm2．4.如圖，在直角梯形中，∥,，，,,那么cm.5.“順次聯(lián)結(jié)四邊形四條邊中點(diǎn)的四邊形是矩形”是事件〔填“必然”或“隨機(jī)”〕．6.如圖，等腰梯形ABCD中，AD//BC，對(duì)角線AC⊥BD，假設(shè)AD=2cm，BC=4cm，那么該梯形的面積為cm2．7如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，正方形OABC，假設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔3，4〕，ABCD(第7題)題)AABCD(第7題)題)ADBC(第4題)(第(第6題)8．菱形的邊長(zhǎng)為10，一條對(duì)角線長(zhǎng)為16，那么另一條對(duì)角線長(zhǎng)為．9．將兩個(gè)形狀相同的三角板放置在一張矩形紙片上，按圖示畫線得到四邊形ABCD，那么四邊形ABCD的形狀是．10．如圖，有甲乙兩張紙條，甲紙條對(duì)折后與乙紙條寬度相等，將這兩張紙條隨意交叉重疊放在一起，重合的局部構(gòu)成一個(gè)四邊形ABCD，那么AB與BC的數(shù)量關(guān)系是.11．正方形，以為邊作等邊△，那么的度數(shù)是．〔第10〔第10題圖〕〔第9題圖〕11．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠A＝45°，將菱形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)45°，得到菱形，其中B、C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是，那么點(diǎn)的距離為．AABCD〔第11題圖〕12.以下命題中，判斷正確的個(gè)數(shù)為…………〔〕〔1〕對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；〔2〕對(duì)角線相等的四邊形是矩形；〔3〕對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形是菱形；〔4〕對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形．〔A〕4個(gè)；(B)3個(gè)；(C)2個(gè)；(D)1個(gè)．13.如圖，在周長(zhǎng)為20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于點(diǎn)O，OE⊥BD交AD于E，那么△ABE的周長(zhǎng)為……………〔〕(A)10cm；(B)20cm(C)5cm；(D)15cmABMN〔第14題圖〕DC14：如圖，在△ABC中，MABMN〔第14題圖〕DCDN∥CM，交邊AC于點(diǎn)N．〔1〕求證：MN∥BC；〔2〕當(dāng)∠ACB為何值時(shí)，四邊形BDNM是等腰梯形？并證明你的猜測(cè)．〔第〔第15題圖〕15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖像分別交軸、軸于、兩點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)的直線交軸正半軸于點(diǎn)，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．〔1〕求直線的表達(dá)式；〔2〕如果四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【二次函數(shù)】1．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；2．二次函數(shù)的圖像在對(duì)稱軸左側(cè)局部是；〔填“上升”或“下降”〕3.寫出一個(gè)對(duì)稱軸為直線的拋物線解析式是；4、如果拋物線的開口向上，那么的取值范圍為．5、拋物線的對(duì)稱軸是直線．6．一個(gè)邊長(zhǎng)為3厘米的正方形，假設(shè)它的邊長(zhǎng)增加厘米，面積隨之增加平方厘米，那么關(guān)于的函數(shù)解析式是．〔不寫定義域〕7.假設(shè)將拋物線向下平移2個(gè)單位，那么所得拋物線的表達(dá)式是.8.如果拋物線的開口向上，那么a的取值范圍是.OxyAx

=

1B9OxyAx

=

1Bx=110.如圖，拋物線的對(duì)稱軸為直線，x=1點(diǎn)A，B均在拋物線上，且AB與x軸平行，假設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔0，〕，那么點(diǎn)B的坐標(biāo)為.11.拋物線的對(duì)稱軸是.12.拋物線的圖像一定經(jīng)過(guò)第象限13．把拋物線向下平移2個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位后得到的拋物線是14．以下二次函數(shù)的圖像中經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的是〔〕A．；B．；C．；D．；Oxx

=

1Oxx

=

1OxxOxx

=

1Oxx

=

1Oxx

=

1Oxx

=

1〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕 16．〔此題總分值10分，第〔1〕小題總分值4分，第〔2〕小題總分值4分，第〔3〕小題總分值2分〕：拋物線經(jīng)過(guò)A〔，0〕、B〔5，0〕兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為P．求：〔1〕求b，c的值；〔2〕求△ABP的面積；〔3〕假設(shè)點(diǎn)C〔，〕和點(diǎn)D〔，〕在該拋物線上，那么當(dāng)時(shí)，請(qǐng)寫出與的大小關(guān)系．BAC圖12Oxy17〔此題總分值1BAC圖12Oxy：如圖12，拋物線與軸交于點(diǎn)C，與軸交于點(diǎn)A、B，〔點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)〕且滿足OC=4OA．設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M：〔1〕求拋物線的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；〔2〕聯(lián)接CM，點(diǎn)Q是射線CM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△QMB與△COM相似時(shí)，求直線AQ的解析式．24．〔此題總分值12分，第〔1〕小題總分值6分，第〔2〕小題總分值6分〕解：〔1〕根據(jù)題意：C〔0，4〕……………〔1分〕∵OC=4OA∴A〔，0〕………………〔1分〕把點(diǎn)A代入得0=……………