專題01 空間向量及其應(yīng)用常考題型歸納（十二大考點）（解析版）

專題01空間向量及其應(yīng)用?？碱}型歸納思維導(dǎo)圖核心考點聚焦考點一、空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算考點二、空間共線向量與共面定理的應(yīng)用考點三、空間向量的數(shù)量積、夾角、模長運算考點四、利用空間向量證明平行問題考點五、利用空間向量證明垂直問題考點六、求兩異面直線所成角考點七、求直線與平面所成角考點八、求平面與平面所成角考點九、求點到直線距離、異面直線的距離、點面距、線面距、面面距考點十、立體幾何中的存在問題考點十一、立體幾何中的折疊問題考點十二、利用空間向量解決常見壓軸小題知識點一：空間向量及其加減運算（1）空間向量在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或模．空間向量也可用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模，若向量的起點是，終點是，則向量也可以記作，其模記為或．（2）零向量與單位向量規(guī)定長度為0的向量叫做零向量，記作．當有向線段的起點與終點重合時，．模為1的向量稱為單位向量．（3）相等向量與相反向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量．在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量．空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面，成為同一平面內(nèi)的兩個向量．與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為．（4）空間向量的加法和減法運算①，．如圖所示．②空間向量的加法運算滿足交換律及結(jié)合律，知識點二：空間向量的數(shù)乘運算（1）數(shù)乘運算實數(shù)與空間向量的乘積稱為向量的數(shù)乘運算．當時，與向量方向相同；當時，向量與向量方向相反．的長度是的長度的倍．（2）空間向量的數(shù)乘運算滿足分配律及結(jié)合律，．（3）共線向量與平行向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，平行于，記作．（4）共線向量定理對空間中任意兩個向量，，的充要條件是存在實數(shù)，使．（5）直線的方向向量如圖8-153所示，為經(jīng)過已知點且平行于已知非零向量的直線．對空間任意一點，點在直線上的充要條件是存在實數(shù)，使①，其中向量叫做直線的方向向量，在上取，則式①可化為②①和②都稱為空間直線的向量表達式，當，即點是線段的中點時，，此式叫做線段的中點公式．（6）共面向量如圖8-154所示，已知平面與向量，作，如果直線平行于平面或在平面內(nèi)，則說明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．（7）共面向量定理如果兩個向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使．推論：①空間一點位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使；或?qū)臻g任意一點，有，該式稱為空間平面的向量表達式．②已知空間任意一點和不共線的三點，，，滿足向量關(guān)系式（其中）的點與點，，共面；反之也成立．知識點三：空間向量的數(shù)量積運算（1）兩向量夾角已知兩個非零向量，，在空間任取一點，作，，則叫做向量，的夾角，記作，通常規(guī)定，如果，那么向量，互相垂直，記作．（2）數(shù)量積定義已知兩個非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作，即．零向量與任何向量的數(shù)量積為0，特別地，．（3）空間向量的數(shù)量積滿足的運算律：，（交換律）；（分配律）．知識點四：空間向量的坐標運算及應(yīng)用（1）設(shè)，，則；；；；；．（2）設(shè)，，則．這就是說，一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示該向量的有向線段的終點的坐標減起點的坐標．（3）兩個向量的夾角及兩點間的距離公式．①已知，，則；；；；②已知，，則，或者．其中表示與兩點間的距離，這就是空間兩點的距離公式．（4）向量在向量上的投影為．知識點五：法向量的求解與簡單應(yīng)用（1）平面的法向量：如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量．幾點注意：=1\*GB3①法向量一定是非零向量；=2\*GB3②一個平面的所有法向量都互相平行；=3\*GB3③向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有．第一步：寫出平面內(nèi)兩個不平行的向；第二步：那么平面法向量，滿足．（2）判定直線、平面間的位置關(guān)系=1\*GB3①直線與直線的位置關(guān)系：不重合的兩條直線，的方向向量分別為，．若∥，即，則；若，即，則．=2\*GB3②直線與平面的位置關(guān)系：直線的方向向量為，平面的法向量為，且．若∥，即，則；若，即，則．（3）平面與平面的位置關(guān)系平面的法向量為，平面的法向量為．若∥，即，則；若⊥，即，則⊥．知識點六：空間角公式．（1）異面直線所成角公式：設(shè)，分別為異面直線，上的方向向量，為異面直線所成角的大小，則．（2）線面角公式：設(shè)為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則．（3）二面角公式：設(shè)，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補），其中．知識點七：空間中的距離求解空間中的距離（1）異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計算．如圖，設(shè)兩條異面直線的公垂線的方向向量為，這時分別在上任取兩點，則向量在上的正射影長就是兩條異面直線的距離．則即兩異面直線間的距離，等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值．（2）點到平面的距離為平面外一點（如圖），為平面的法向量，過作平面的斜線及垂線．用向量法可以證點共線、線共點、線（或點）共面、兩直線（或線與面、面與面）垂直的問題，也可以求空間角和距離．因此，凡涉及上述類型的問題，都可以考慮利用向量法求解，且其解法一般都比較簡單．用向量法解題的途徑有兩種：一種是坐標法，即通過建立空間直角坐標系，確定出一些點的坐標，進而求出向量的坐標，再進行坐標運算；另一種是基底法，即先選擇基向量（除要求不共面外，還要能夠便于表示所求的目標向量，并優(yōu)先選擇相互夾角已知的向量作為基底，如常選擇幾何體上共點而不共面的三條棱所在的向量為基底），然后將有關(guān)向量用基底向量表示，并進行向量運算．考點剖析考點一、空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算例1．（2023·貴州·高二統(tǒng)考階段練習）如圖，在四面體中，分別為的中點，為的重心，則（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為分別為的中點，所以.因為為的重心，所以，所以.故選：B.例2．（2023·山東青島·高二統(tǒng)考期中）如圖，在三棱錐中，點，分別是，的中點，點在棱上，且滿足，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖，連接因點，分別是，的中點，點在棱上，且滿足則即：故選：C.例3．（2023·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）如圖，空間四邊形中，，，，點在上，且，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，，得故選：C.考點二、空間共線向量與共面定理的應(yīng)用例4．（2023·遼寧·高二本溪高中校聯(lián)考期中）設(shè)向量不共面，已知，，若三點共線，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】因為，，所以，因為三點共線，所以存在唯一的，使得,即，即，解得：.故選：A.例5．（2023·山東·高二統(tǒng)考期中）已知空間向量，，，下列命題中正確的（

）A．若向量，共線，則向量，所在的直線平行B．若向量，所在的直線為異面直線，則向量，一定不共面C．若存在不全為0的實數(shù)使得，則，，共面D．對于空間的任意一個向量，總存在實數(shù)使得【答案】C【解析】對于A選項：由于與共線，則，所在的直線也可能重合，故A不正確；對于B選項：根據(jù)自由向量的意義知，空間任意兩向量，都共面，故B不正確；對于C選項：因為存在不全為0的實數(shù)，使得,不妨設(shè)，則，由共面向量定理知，，一定共面，故C正確；對于D選項：只有當，，不共面時,空間中任意向量才能表示為.故D不正確.故選：C例6．（2023·湖南岳陽·高二統(tǒng)考期末）向量，，若，則（

）A．， B．，C．， D．【答案】B【解析】由題設(shè)，故.故選：B例7．（2023·湖北黃岡·高二校聯(lián)考期中）對空間任意一點和不共線三點，，，能得到，，，四點共面的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】A選項：，故A錯；B選項：，故B正確；C選項：，故C錯；D選項：，故D錯.故選：B.例8．（2023·全國·高二專題練習）八十年代初期，空間向量解決立體幾何問題的思路得到了長足的發(fā)展，已知A，B，C三點不共線，對空間任意一點O，若，則P，A，B，C四點（）A．不共面 B．不一定共面C．無法判斷是否共面 D．共面【答案】D【解析】對于空間任意一點和不共線三點、、，若點滿足：，且，則、、、四點共面.而，其中，所以四點共面.故選：D考點三、空間向量的數(shù)量積、夾角、模長運算例9．（2023·四川南充·高二四川省南充高級中學校考期中）如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為．記，，．

(1)求的長；(2)求與夾角的余弦值．【解析】（1）由題意知：，，∴，又∵，∴，∴，即的長為，（2）∵，∴，∴，，∴，即與夾角的余弦值為．例10．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·高二統(tǒng)考期中）如圖，在三棱錐中，，，，，，，分別是，的中點，點在上，且，記，，．(1)試用基底表示向量，，；(2)求和的值．【解析】（1）因為，分別是，的中點，所以，，，又，所以，則.（2）因為，，，，，所以，又，所以.例11．（2023·安徽黃山·高二校聯(lián)考期中）如圖，三棱錐中，點D、E分別為和的中點，設(shè)，，．(1)試用，，表示向量；(2)若，，求異面直線AE與CD所成角的余弦值．【解析】（1）；（2）由題意可知：，，故，，故，，，則，，由于異面直線和所成角范圍大于小于等于，∴異面直線和所成角的余弦值為．例12．（2023·貴州·高二校聯(lián)考期中）如圖，在三棱柱中，分別為和的中點，設(shè)．

(1)用表示向量；(2)若，，，求．【解析】（1）由向量的線性運算法則，可得：．（2）由向量的數(shù)量積的運算法則，可得：．考點四、利用空間向量證明平行問題例13．（2023·全國·高三專題練習）在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架的邊長都是1，且它們所在的平面互相垂直．活動彈子M，N分別在正方形對角線和上移動，且和的長度保持相等，記．求證：平面【解析】如圖建立空間直角坐標系，則，，，．顯然平面的一個法向量為，而，∵，平面，∴MN//平面BCE．例14．（2023·全國·高二隨堂練習）已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，用向量法證明：(1)E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)平面EFGH．【解析】（1）如圖，連接EG，BG．因為＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由向量共面的充要條件可知，向量，，共面，又，，過同一點E，從而E，F(xiàn)，G，H四點共面．（2）因為＝－＝－＝(－)＝，又E，H，B，D四點不共線，所以EH//BD，又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD//平面EFGH．例15．（2023·湖南株洲·高二?？计谥校┤鐖D，已知在正方體中，，，分別是，，的中點．證明：

(1)平面；(2)平面平面．【解析】（1）證明：以D為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系.設(shè)正方體的棱長為2，則，，，，，．由正方體的性質(zhì)，知平面，所以為平面的一個法向量．由于，則，所以．又平面，所以平面．（2）證明：因為為平面的一個法向量，由于，，則，即也是平面MNP的一個法向量，所以平面平面．例16．（2023·高二課時練習）在正方體中，若為中點，為中點.

求證：(1)；(2)平面；(3)平面平面．【解析】（1）以D為坐標原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為1．依題意知：，，，，∴，，∴，∴，即.（2）設(shè)平面ACD1的法向量為，∵，，，∴，，由可得，，即，令，則，∴，又，∴，∴，又平面，∴平面．（3）證法一

∵，∴，又，∴，∴，又平面，平面，∴平面，又由（2）知平面，而，且平面，平面,∴平面平面.證法二

設(shè)平面的法向量為則即∴令，得，∴，由（2）知平面ACD1的一個法向量，∴，∴，∴平面平面.考點五、利用空間向量證明垂直問題例17．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·高二?？茧A段練習）如圖，在直三棱柱中，，，，，是的中點.

(1)試建立適當?shù)目臻g直角坐標系，并寫出點，的坐標；(2)求的長(3)求證：.【解析】（1）以為坐標原點，以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.所以，（2），，，.（3），.，，，所以.例18．（2023·廣東廣州·高二廣州市第一中學?？茧A段練習）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點．(1)求證：；(2)求證：平面【解析】（1）如圖所示，以D為原點建立空間直角坐標系，設(shè)正方體邊長為2，則，所以，有；（2）由（1）知，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，即，又，顯然，故平面.例19．（2023·天津·高二校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，E是的中點，已知，．

(1)求證：；(2)求證：平面平面．【解析】（1）以A為原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，，所以，，所以，所以．（2）連接，，如圖所示，因為面，面，所以，又因為四邊形為正方形，所以，又因為，、面，所以面，又因為面，所以平面平面．考點六、求兩異面直線所成角例20．（2023·湖南衡陽·高二?？计谥校┤鐖D，圓錐的底面直徑，高，D為底面圓周上的一點，，則直線AD與BC所成角的大小為.【答案】【解析】取的中點E，連接OE，以O(shè)為原點，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖，依題意，，則，設(shè)直線AD與BC所成的角為，則，解得，所以直線AD與BC所成的角為.故答案為：例21．（2023·安徽合肥·高二校聯(lián)考期中）如圖，三棱柱的所有棱長均相等，，分別為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為.【答案】【解析】設(shè)三棱柱的所有棱長均為1，記，由，得，得，，，又，，所以.，又，，所以，故異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：.例22．（2023·上海浦東新·高二上海市實驗學校校考期中）如圖，已知四邊形是矩形，平面且，的中點，則異面直線與所成角的余弦值為.【答案】【解析】根據(jù)題意，以為坐標原點，以分別為軸，建立空間直角坐標系，則，，所以.所以異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：.例23．（2023·浙江嘉興·高二校聯(lián)考期中）在正方體中，動點在線段上，，分別為，的中點．若異面直線與所成角為，則的取值范圍為．【答案】【解析】以為坐標原點，建立空間直角坐標系，設(shè)，，，，，，設(shè)，則，則．當時，取到最大值，此時；當時，取到最小值，此時．所以的取值范圍為．故答案為：考點七、求直線與平面所成角例24．（2023·遼寧·高二本溪高中校聯(lián)考期中）如圖①，在等腰直角三角形中，分別是上的點，且滿足.將沿折起，得到如圖②所示的四棱錐.(1)設(shè)平面平面，證明：；(2)若垂直于點，求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）因為平面平面，平面因為平面，平面平面，（2）由圖①，得，又，所以以為坐標原點，的方向分別為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系則，.設(shè)平面的一個法向量為.則，令，得，故設(shè)與平面所成角為..直線與平面所成角的正弦值為例25．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知空間幾何體，底面為菱形，，，，，，平面平面，，.(1)求證：；(2)若直線與平面所成角為，求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）證明：平面平面，平面平面，，平面，平面，又平面，.（2）平面，與平面所成角為，又，所以為正三角形，故.，，為等邊三角形，，以為坐標原點，分別以為，，軸的正半軸建立空間直角坐標系，，，，，，，故可得點坐標為

所以，設(shè)平面得法向量為，又，，，令，則，可得，設(shè)直線與平面所成角為，例26．（2023·廣東廣州·高二廣州四十七中?？计谥校┰谌鐖D所示的試驗裝置中，兩個正方形框架，的邊長都是1，且它們所在平面互相垂直，活動彈子分別在正方形對角線和上移動，且和的長度保持相等，記，活動彈子在上移動.(1)求證：直線平面；(2)a為何值時，的長最小?(3)為上的點，求與平面所成角的正弦值的最大值.【解析】（1）如圖1，在平面內(nèi)，過點作，交于點，連接，因為，所以.由已知可得，，，所以，，，所以，，所以，.又，所以.因為平面，，平面，所以，平面.同理可得，平面.因為平面，平面，，所以，平面平面.因為平面，所以直線平面.（2）由（1）可知，，，所以，，所以，.同理可得，.又平面平面，平面平面，，平面，所以，平面.因為平面，所以.因為，，所以.所以，是直角三角形，所以，.又，所以，即為線段中點時，有最小值，所以，當時，的長度最小，最小值為.（3）由（2）知，平面.又，如圖2，以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，，，，設(shè)，，所以，，，.設(shè)是平面的一個法向量，則，取，則是平面的一個法向量.因為.設(shè)與平面所成的角為，則.當時，；當時，有.因為，當且僅當，即時等號成立，所以，，，所以，.因為，所以.綜上所述，與平面所成角的正弦值的最大值為.例27．（2023·四川達州·高二四川省萬源中學?？计谥校┤鐖D，在棱長為2的正方體中，為的中點．

(1)求直線到平面的距離；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（1）為正方體，,平面,平面,平面,則到平面的距離即為點B到平面的距離，以點為坐標原點，所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，，則，，,設(shè)平面的法向量為，由,得，令，則，，則，則到平面的距離，則到平面的距離為；（2）,,直線與平面所成角的正弦值為.考點八、求平面與平面所成角例28．（2023·河南·高二校聯(lián)考期中）如圖，已知與都是邊長為2的正三角形，平面平面，平面，.

(1)求點到平面的距離；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.【解析】（1）作中點，因為與都是正三角形，所以，又因為平面平面，且平面平面，所以平面，所以分別以為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，

，則，且，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，所以點到平面的距離；（2）設(shè)平面的法向量為，因為，所以，即，令，則，所以，由（1）知面的法向量為，令平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.例29．（2023·安徽宿州·高二校聯(lián)考期中）如圖所示，四棱錐的底面為直角梯形，，，平面平面為的中點．

(1)求點到平面的距離；(2)求平面和平面所成銳二面角大小的余弦值．【解析】（1）如圖所示，平面平面，即，又平面平面，平面，所以平面，設(shè)軸，軸平面，又平面，所以軸，，分別以方向為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，所以由題意，又因為，平面，，所以，又因為，所以，即，又為的中點，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得，即取平面的法向量為，所以點到平面的距離為.（2）如圖所示：由（1）可知平面的法向量為，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得，即取平面的法向量為，不妨設(shè)平面和平面所成銳二面角大小為，則，即平面和平面所成銳二面角大小的余弦值為.例30．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）如圖所示，在三棱錐中，平面，是的中點，直線與平面所成角的正切值為2，且.

(1)求直線與平面所成的角；(2)求二面角的正弦值.【解析】（1）因為平面，所以直線與平面所成角為.即，，又平面，所以.即，解得.因為，所以.又平面，所以，平面.所以平面.以點為坐標原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系，，.設(shè)直線與平面所成的角為，.則，則，即直線與平面所成的角.（2）設(shè)平面的法向量為..，取，則.設(shè)平面的法向量為，取，則.，所以二面角的正弦值為例31．（2023·廣東江門·高二校考期中）如圖，已知三棱錐的側(cè)棱，，兩兩垂直，且，，點是的中點．(1)求點到面的距離；(2)求二面角的平面角的余弦值．【解析】（1）建立如下圖所示空間直角坐標系，設(shè)點到面的距離為，則，所以，設(shè)平面的一個法向量，所以，所以，令，所以，所以，所以點到面的距離為；（2）設(shè)平面的一個法向量為，且，所以，所以，令，所以，所以，由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二面角的平面角的余弦值為.考點九、求點到直線距離、異面直線的距離、點面距、線面距、面面距例32．（2023·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）如圖，在直三棱柱中，．

(1)求證：；(2)求點到直線的距離．【解析】（1）建立直角坐標系，其中為坐標原點，以邊所在直線為軸，以邊所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示依題意得，因為，所以．（2）例33．（2023·山東青島·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面，，．(1)求異面直線與所成角的大?。?2)求直線到平面的距離．【解析】（1）以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，因為底面為直角梯形，，，，所以，則，，，，，，設(shè)異面直線與所成角為，則，所以異面直線與所成角大小為．（2），平面，平面，平面，直線到平面的距離即為點到平面的距離．設(shè)平面的法向量為，，，則，取，得．，點到平面的距離．例34．（2023·全國·高二專題練習）設(shè)正方體的棱長為2，求：(1)求直線到平面的距離；(2)求平面與平面間的距離.【解析】（1）以D為原點，為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則所以，所以，即，又平面，平面，所以平面，所以直線到平面的距離等于點到平面的距離．設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，又，所以點到平面的距離.（2）由（1）知平面，同理，平面，又，平面，所以平面平面，即平面與平面間的距離等于點到平面的距離．由（1）知，點到平面的距離.所以平面與平面間的距離為.例35．（2023·廣東佛山·高二佛山市順德區(qū)容山中學?？计谥校┤鐖D，在長方體中，，，求：(1)點到直線BD的距離；(2)點到平面的距離；(3)異面直線之間的距離.【解析】（1）以點為原點，，，為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，因為，，則，，，，，所以，，所以在上的投影向量的大小為，又，所以點到直線BD的距離；（2）由(1)，，，設(shè)平面的法向量，則，所以，取，可得，，所以是平面的一個法向量，向量在法向量上的投影為，所以點到平面的距離為；（3）由(1)，，所以，所以，又平面，平面，所以平面，所以異面直線之間的距離與點到平面的距離相等，設(shè)平面的法向量，因為，則，所以，取，可得，，所以是平面的一個法向量，向量在法向量上的投影為，所以點到平面的距離為；故異面直線之間的距離為.考點十、立體幾何中的存在問題例36．（2023·湖北黃岡·高二校聯(lián)考期中）如圖①，在直角梯形中，，，.將沿折起，使平面平面，連，得如圖②的幾何體.(1)求證：平面平面；(2)若，二面角的平面角的正切值為，在棱上是否存在點使二面角的平面角的余弦值為，若存在，請求出的值，若不存在，說明理由.【解析】（1）∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，∵平面，∴，∵，，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）由（1）知平面，，而平面，故.∴為二面角的平面角，又平面，平面，∴，，∴，.在①，∴，令，則，解得.即，.在①中作，垂足.則可得，.∵平面平面，平面，平面平面，∴平面，過作，以為原點，，，分別為軸軸軸建立如圖直角坐標系，則，，，.，，設(shè)，.設(shè)平面的法向量為，則，∴，取，，即，設(shè)平面的法向量為，則，取，，.即..解得（舍去），或.∴.例37．（2023·河南信陽·高二統(tǒng)考期中）正三棱柱中，，M是的中點，M到平面的距離為.(1)求；(2)在線段上是否存在點P，使平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）取邊的中點，記為O.由正三棱柱的性質(zhì)可得：,面.以O(shè)為原點，建立如圖所示空間直角坐標系：設(shè)因為所以，，，.則，，，設(shè)平面的法向量則，即取，得.所以點M到平面的距離，解得.所以.（2）假設(shè)在上存在點P，使平面與平面夾角的余弦值為，則令.由（1）知，則，.設(shè)平面的法向量則，即取，得.因為所以，解得或（舍去）.故在線段上存在點P，當時，可使平面與平面夾角的余弦值為.例38．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）如圖所示，在棱長都為4的正三棱柱中，點為的中點.(1)求點到平面的距離；(2)線段上是否存在一點，使得平面平面，若存在，請指出點的位置；若不存在，請說明理由.【解析】（1）在正三棱柱中點為的中點，，又面面，面面，面，面，以為原點，分別以直線為軸，軸，過點且與面垂直的直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，所以設(shè)面的法向量為，所以，取得，則點到平面的距離為；（2）假設(shè)線段上存在一點，使得平面平面，設(shè)，又，設(shè)面的法向量為，則，取，得，所以，解得.故存在點，且為線段中點時，平面平面.例39．（2023·福建三明·高二統(tǒng)考期中）如圖，正三角形與菱形所在的平面互相垂直，，，是的中點．(1)求平面與平面所成的角的余弦值；(2)在線段上是否存在點，使得直線與平面所成的角為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【解析】（1）連接，，是的中點，故，平面平面，平面平面，平面，故平面，平面，故，三角形為正三角形，故，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，則，，設(shè)是平面的一個法向量，則，令，則，所以，軸與平面垂直，故是平面的一個法向量，所以，故平面與平面所成的角的余弦值為.（2）假設(shè)在線段上存在點，使得直線與平面所成的角為，，，設(shè)，，則，直線與平面所成的角為，，則，由，解得，故在線段上存在點，使得直線與平面所成的角為，且.考點十一、立體幾何中的折疊問題例40．（2023·湖北省直轄縣級單位·高二校考期中）（如圖（1）平面五邊形是由邊長為2的正方形與上底為1，高為的直角梯形組合而成，將五邊形沿著折疊，得到圖（2）所示的空間幾何體，其中.(1)證明：平面；(2)求證：平面；(3)求二面角的余弦值.【解析】（1）在折疊的過程中，，由于平面，所以平面.（2），由于，，所以，由于，所以平面，由于平面，所以，則，設(shè)，連接，則，而，所以是的中點，所以，由于，平面，所以平面.（3）由于，是的中點，所以，由于，平面，由此以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，，平面的一個法向量為，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)二面角為，由圖可知為銳角，所以.例41．（2023·上海閔行·高二校考期中）如圖，在邊長為12的正方形中，點在線段上，且，作，分別交于點，作，分別交于點，將該正方形沿折疊，使得與重合，構(gòu)成如圖所示的三棱柱.(1)求四棱錐的體積；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【解析】（1）在正方形中，因為所以三棱柱的底面三角形的邊，因為，所以,所以，因為正方形，,所以又所以面.在直角梯形中,,所以,即四棱錐的體積為20.（2）如圖：以為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，則,,設(shè)平面的法向量為解得：，所以又平面的法向量設(shè)的夾角為由圖可知二面角平面與平面所成銳二面角的余弦值為銳角，所以二面角的余弦值為.例42．（2023·上海浦東新·高二上海南匯中學?？茧A段練習）在邊長為的正方形中，分別為、的中點，分別為、的中點，現(xiàn)沿、、折疊，使三點重合，重合后的點記為，構(gòu)成一個三棱錐.(1)請判斷與平面的位置關(guān)系，并給出證明；(2)求四棱錐的體積.【解析】（1）證明：因為翻折后三點重合，所以在翻折后的圖形中，分別為的中點，即是的一條中位線，，∵平面，平面，∴平面.（2），，平面，且，又，，，，，.例43．（2023·江西宜春·高二校考開學考試）如圖①梯形中，，，，且，將梯形沿折疊得到圖②，使平面平面，與相交于，點在上，且，是的中點，過三點的平面交于．

(1)證明：是的中點；(2)是上一點，己知二面角為，求的值．【解析】（1）在圖①中過C作，則，，圖②中，，又∵，∴，∴，∴且．∴，∴，在中，，，∴，又平面ACD，平面ACD，∴平面ACD，平面平面，∴，∴，又是的中點，∴是的中點；（2）如圖，過作交BE于H，過作于點，連結(jié)，且，因為平面平面，平面平面，所以平面，平面，所以，因為平面，所以，因為，平面，所以平面，平面，所以，則為二面角的平面角，∴，設(shè)，∴，又，∴，在中，，,由得，即，∴，∴．考點十二、利用空間向量解決常見壓軸小題例44．（多選題）（2023·河南開封·高二河南省蘭考縣第一高級中學校聯(lián)考期中）已知四面體的所有棱長均為2，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．點到平面的距離為C．四面體的外接球體積為D．動點在平面上，且與所成角為60°，則點的軌跡是橢圓【答案】AC【解析】取中點，連接，可得平面，則，故正確；在四面體中，過點作平面于點，則為底面正三角形的重心，因為所有棱長均為2，，即點到平面的距離為，故錯誤；設(shè)為正四面體的中心則為內(nèi)切球的半徑，為外接球的半徑，因為，所以，即，所以四面體的外接球體積，故正確；建系如圖：，設(shè)，則，，因為，所以，即，平方化簡可得：，可知點的軌跡不為橢圓，故錯誤.故選:．例45．（多選題）（2023·浙江·高二路橋中學?？计谥校┤鐖D，在棱長為2的正方體中，點是的中點，點是底面正方形內(nèi)的動點（包括邊界），則下列選項正確的是（

）A．存在點滿足B．滿足的點的軌跡長度是C．滿足平面的點的軌跡長度是1D．滿足的點的軌跡長度是【答案】ABD【解析】如圖建立空間直角坐標系，則有，,，，，，對于A選項，若，則，且，，故軌跡方程為，當時，，點既在軌跡上，也在底面內(nèi)，故存在這樣的點存在，A正確對于B選項，，的軌跡方程為，，在底面內(nèi)軌跡的長度是周長的故長度為，B正確對于C選項，，，設(shè)面的法向量故有，解得，故平面，，的軌跡方程為，在底面內(nèi)軌跡的長度為，C錯誤對于D選項，，，，的軌跡方程為，在底面內(nèi)軌跡的長度為，D正確故選：ABD例46．（多選題）（2023·湖北·高二校聯(lián)考期中）已知正方體的棱長為，點滿足,其中，為棱的中點，則下列說法正確的有（

）A．若平面，則點的軌跡的長度為B．當時，的面積為定值C．當時，三棱錐的體積為定值D．當時，存在點使得平面【答案】ABC【解析】如圖所示，取中點，中點，中點，由正方體的特征可得四邊形是平行四邊形，故，又中點，中點，所以，所以，同理四邊形也是平行四邊形，可知，又平面，平面，可得平面，同理可得平面，因為，、平面，平面平面，若平面，則點的軌跡為線段，已知正方體的棱長為，則點的軌跡的長度為，故A正確；當時，，則點在線段上運動，由題意易得，故點到的距離是定值，所以的面積為定值，故B正確；由正方體特征可知是邊長為的等邊三角形，面積為定值，又中點為，中點為，當時，，故共線，即點在線段上運動，且，平面，平面，所以平面，可得點到平面的距離是定值，可得三棱錐的體積為定值，故C正確；如下圖所示，以點A為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，所以，，，，，，則，若存在點使得平面，那么，而，故當時，不存在點使得平面，故D選項錯誤.故選：ABC例47．（多選題）（2023·山東臨沂·高二統(tǒng)考期中）如圖，在棱長為2的正方體中，E為邊AD的中點，點P為線段上的動點，設(shè)，則（

）A．當時，三棱錐A-PCE的體積B．當時，EP∥平面C．當，平面CEP時D．的最小值為【答案】BD【解析】對于A，當時，則，故點到平面的距離為,所以,故A錯誤，對于B，在棱長為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，則,0,，,2,，,2,，,0,，,2,，,0,，所以，則點,,，，，，而，顯然，即是平面的一個法向量，而，因此平行于平面，即直線與平面平行，B正確；對于C，取的中點，連接，，，如圖，因為為邊的中點，則，當平面時，平面，連接，連接，連接，顯然平面平面，因此，，平面，平面，則平面，即有，而，所以，C錯誤．對于D，，于是，當且僅當時取等號，D正確；故選：BD過關(guān)檢測一、單選題1．（2023上·廣東中山·高二統(tǒng)考期末）在直三棱柱中，分別是的中點，，則與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】以點為原點，以為軸的正方向建立空間直角坐標系，設(shè)，則，，，，，，，所以，，所以，故選：A.2．（2023下·湖北黃岡·高二統(tǒng)考期中）在正三棱柱中，若，，則點A到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在正三棱柱中，若，，所以，由勾股定理可得，在等腰三角形中，底邊上的高長為，所以等腰三角形的面積為，設(shè)點A到平面的距離為，，故選：B3．已知，均為空間單位向量，它們的夾角為60°，那么等于（

）A． B． C． D．4【答案】C【解析】由題意可得，.故選：C4．（2023上·浙江杭州·高二統(tǒng)考期末）在平行六面體中，M為AC與BD的交點，若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】因為在平行六面體中，，所以.故選：A.5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】A【解析】在正方體中，且平面，又平面，所以，因為分別為的中點，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；選項BCD解法一：如圖，以點為原點，建立空間直角坐標系，設(shè)，則，，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，同理可得平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，則，所以平面與平面不垂直，故B錯誤；因為與不平行，所以平面與平面不平行，故C錯誤；因為與不平行，所以平面與平面不平行，故D錯誤，故選：A.選項BCD解法二：對于選項B，如圖所示，設(shè)，，則為平面與平面的交線，在內(nèi)，作于點，在內(nèi)，作，交于點，連結(jié)，則或其補角為平面與平面所成二面角的平面角，由勾股定理可知：，，底面正方形中，為中點，則，由勾股定理可得，從而有：，據(jù)此可得，即，據(jù)此可得平面平面不成立，選項B錯誤；對于選項C，取的中點，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項C錯誤；對于選項D，取的中點，很明顯四邊形為平行四邊形，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項D錯誤；故選：A.6．（2023上·貴州遵義·高二統(tǒng)考期末）如圖所示，空間四邊形中，，，，點在上，且，為中點，則等于（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，點為的中點，可得，又，．故選：B．7．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）在棱長為2的正方體中，分別取棱，的中點，，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，，設(shè)點到平面的距離為，因為，所以.故選：D二、多選題8．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則（

）A．當時，的周長為定值B．當時，三棱錐的體積為定值C．當時，有且僅有一個點，使得D．當時，有且僅有一個點，使得平面【答案】BD【解析】易知，點在矩形內(nèi)部（含邊界）．對于A，當時，，即此時線段，周長不是定值，故A錯誤；對于B，當時，，故此時點軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對于C，當時，，取，中點分別為，，則，所以點軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯誤；對于D，當時，，取，中點為．，所以點軌跡為線段．設(shè)，因為，所以，，所以，此時與重合，故D正確．故選：BD．9．（2023上·廣東廣州·高二?？茧A段練習）如圖，若長方體的面是邊長為2的正方形，高為．E是的中點，則（

）A．B．平面平面C．直線與平面所成角的余弦值為D．點C到平面的距離為【答案】ACD【解析】如圖，以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，則，則，所以，所以，故A正確；，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因為與不平行，所以平面與平面不平行，故B不正確；又設(shè)面的法向量為，則，令，則，所以，則直線與平面所成角的正弦值為故直線與平面所成角的余弦值為，故C正確；點C到平面的距離為，故D正確.故選：ACD.10．（2023上·浙江·高二校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，底面，點、分別為、的中點，若線段上存在點，使得，則線段的長度可能值為（

）A．3 B．4C．5 D．6【答案】BCD【解析】設(shè)，，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，則，因為，所以，則，當且僅當時，即時，等號成立，所以，即.故選：BCD三、填空題11．（2023上·海南·高二校聯(lián)考期中）如圖，在長方體中，，分別為，的中點，是線段上一點，滿足，若，則．【答案】/.【解析】建立如圖所示空間直角坐標系，設(shè)，因為，分別為，的中點，所以，所以，又因為，所以，所以，又因為，，所以，所以，解得，所以，故答案為：12．（2023上·四川內(nèi)江·高二四川省資中縣第二中學?？茧A段練習）如圖，兩個正方形，的邊長都是8，且二面角為，M為對角線AC靠近點A的四等分點，N為對角線DF的中點，則線段．【答案】【解析】由題意可知，，，所以為的平面角，所以，.因為，所以，所以，.因為，所以.所以，，所以，.因為，所以，所以，.故答案為：.13．（2023·全國·高二假期作業(yè)）已知是軸上的動點，當時，點的坐標為；當取最小值時，點的坐標為．【答案】【解析】因為點在軸上，設(shè)，由，則，解得．∴點的坐標