專題03 利用向量法求線線角、線面角、二面角及距離問題（解析版）

專題03利用向量法求線線角、線面角、二面角及距離問題【考點預測】知識點1、設(shè)異面直線，的夾角為，方向向量為，，其夾角為，則有．知識點2、設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，與所成的角為，與的夾角為，則有．知識點3、設(shè)，是二面角的兩個面，的法向量，則向量，的夾角（或其補角）就是二面角的平面角的大?。舳娼堑钠矫娼菫椋瑒t．知識點4、點與點之間的距離可以轉(zhuǎn)化為兩點對應(yīng)向量的模計算．知識點5、在直線上找一點，過定點且垂直于直線的向量為，則定點到直線的距離為．知識點6、點是平面外一點，是平面內(nèi)的一定點，為平面的一個法向量，則點到平面的距離為．【典型例題】例1．（2023秋·天津·高二校聯(lián)考期末）已知空間內(nèi)三點，，，則點A到直線的距離是（

）．A． B．1 C． D．【答案】A【解析】空間內(nèi)三點，，，所以，，，，由，所以，所以點A到直線的距離.故選：A.例2．（2023·江蘇·高二專題練習）長方體中，，，為的中點，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，設(shè)與的公垂線的一個方向向量為，則，取，得，，即，又，所以異面直線與之間的距離為．故選：D．例3．（2023春·貴州黔東南·高二?？茧A段練習）如圖，在棱長為3的正方體中，點是棱上的一點，且，點是棱上的一點，且．(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求直線到平面的距離．【解析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為；（2）連接，顯然，因為，．所以，于是，因為平面，平面，所以平面，因此直線到平面的距離就是點到平面的距離，設(shè)平面的法向量為，，則有，，點到平面的距離為：.例4．（2023春·湖南岳陽·高二校聯(lián)考階段練習）已知三棱柱各棱長均為2，且在底面內(nèi)的射影為中點．(1)求與所成角的余弦；(2)線段上是否存在一點，使與平面所成角的余弦值為？若存在，給出點的位置，若不存在，請說明理由．【解析】（1）以為原點，以射線為非負軸建立空間直角坐標系．則．又所以所以所以．（2）設(shè)，所以，又，設(shè)平面的法向量，則由，得．設(shè)與平面所成角為，由已知則，解得所以存在這樣的點，且為線段上靠近的三等分點．例5．（2023春·福建漳州·高二漳州三中?？茧A段練習）如圖,四棱錐中,底面是邊長為2的正方形,,,且,為的中點．(1)求證:⊥平面;(2)求與平面所成角的正弦值;(3)在線段上是否存在點,使得點到平面的距離為？若存在,確定點的位置;若不存在,請說明理由．【解析】（1）因為四邊形為正方形,則,,因為,,,且兩直線在平面內(nèi)，∴⊥平面,∵平面,∴,因為,,,且兩直線在平面內(nèi)∴⊥平面,∵平面,∴,∵,且兩直線在平面內(nèi)∴⊥平面.（2）因為⊥平面,,不妨以點為坐標原點,、、所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,則、、、,設(shè)平面的法向量為,則,,,由,取,可得,,所以,與平面所成角的正弦值為;（3）設(shè)點,設(shè)平面的法向量為,,,由,取,則,所以,點到平面的距離為,∵,∴．因此,當點為線段的中點時,點到平面的距離為．例6．（2023春·四川德陽·高二四川省廣漢中學?？茧A段練習）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，四邊形ADPQ是梯形，，平面ABCD，且，.(1)求證：平面PDC.(2)求平面PBC與平面PBQ所成角的正弦值.【解析】（1）證明：已知四邊形ABCD是正方形，所以，又，且，，平面，平面，所以平面平面PDC，而平面，所以平面PDC.（2）因為四邊形ABCD是正方形，所以，又平面ABCD，所以PD，AD，CD兩兩互相垂直，以D為原點，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，，，設(shè)是平面的一個法向量，則，取，得，設(shè)是平面的一個法向量，則，取，得，，則，平面PBC與平面PBQ所成角的正弦值為.例7．（2023春·湖南長沙·高二長郡中學?？茧A段練習）如圖，在四棱錐中，側(cè)棱矩形，且，過棱的中點，作交于點，連接(1)證明：；(2)若，平面與平面所成二面角的大小為，求的值．【解析】（1）證明：因為平面，平面，所以，由底面為矩形，有，而，平面，所以平面，又平面，所以．又因為，點是的中點，所以．而，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所以得證．（2）如圖，以為原點，射線分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標系．因為，設(shè)，（），則，，點是的中點，所以，由，所以是平面的一個法向量；由（1）知，，所以是平面的一個法向量．因為平面與平面所成二面角的大小為，則，解得（負值舍去）．所以，．例8．（2023春·湖北荊州·高二校考階段練習）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，∠DAB=60°，AB=PA=PD=2，O為AD的中點.(1)證明：BC⊥平面POB；(2)若，M為棱BC上一點，，二面角M－PA－B的余弦值為，求的值.【解析】（1）因為，O為的中點，所以，連接，因為，，所以，所以，又，且，平面，所以平面，又，所以平面.（2）由題易得，因為，所以，所以，所以，易得平面，故可以為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，所以，，，設(shè)，則，由可得，即，所以.設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則.設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則.故，解得或，因為點在棱上，所以.例9．（2023春·江蘇常州·高二校聯(lián)考階段練習）如圖，正方體的棱長為2，點為的中點．(1)求點到平面的距離為；(2)求到平面的距離．【解析】（1）以為原點，所在的直線分別為軸如圖建立空間直角坐標系，則，所以，

設(shè)平面的一個法向量為，則，令，所以平面所的法向量為，又所以點到平面的距離.（2）由（1）可得平面的法向量為，∵，∴，，，∴平面，

所以到平面的距離可以轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，由，所以到平面的距離為.例10．（2023秋·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯(lián)考期末）如圖①菱形，．沿著將折起到，使得，如圖②所示．(1)求異面直線與所成的角的余弦值；(2)求異面直線與之間的距離．【解析】（1）圖①菱形，，由余弦定理得，所以，所以，即，又，所以，在圖②中，，即，又平面所以平面，即平面，又平面，所以，如圖，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，則，所以，故，則異面直線與所成的角的余弦值為；（2）由（1）得，設(shè)是異面直線與公垂線的方向向量，所以，令，則所以異面直線與之間的距離為.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023春·四川涼山·高二校考階段練習）如圖所示，在直四棱柱中，底面為平行四邊形，，，點在上，且，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，則.所以，設(shè)平面的法向量為則.所以點B到平面的距離.故選：C2．（2023春·江蘇常州·高二華羅庚中學校考階段練習）如圖，已知是側(cè)棱長和底面邊長均等于的直三棱柱，是側(cè)棱的中點.則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】取的中點，連接，因為為等邊三角形，為的中點，則，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，，所以，點到平面的距離為.故選：A.3．（2023春·江蘇鹽城·高二校考階段練習）在正方體中，是的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】以點D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè)正方體的邊長為2.則.由題得.設(shè)平面的法向量為.所以，取.設(shè)直線與平面所成角為，則.故選：A4．（2023·河北·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）如圖所示的八面體的表面是由2個全等的等邊三角形和6個全等的等腰梯形組成，設(shè)，，有以下四個結(jié)論：①平面；

②平面；③直線與成角的余弦值為

④直線與平面所成角的正弦值為．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】對于①.如圖所示，連接,取中點取中點.連接.由等邊三角形的性質(zhì)得，由等腰梯形的性質(zhì)得.又平面,所以平面.所以.同理又平面,所以平面，所以該結(jié)論正確；對于②，首先計算等腰梯形的高，再計算幾何體的高.取AB中點O,建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)是的中心，是的中心.過作,過作...所以幾何體的高為.所以.所以，設(shè)平面的法向量為，則，所以,所以平面不正確；對于③，由題得.所以直線與成角的余弦值為，所以該結(jié)論正確；對于④，由題得..設(shè)平面的法向量為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．所以該結(jié)論正確.故選：C5．（2023春·江蘇常州·高二華羅庚中學?？茧A段練習）已知點，則點到直線的距離是（

）A． B． C． D．5【答案】B【解析】設(shè)，可求得，所以．故選：B6．（2023春·安徽合肥·高二校考開學考試）如圖，過邊長為的正方形的頂點A作線段平面，若，則平面與平面所成的二面角的大小是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】以A為原點，分別以，，所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即，∵平面的法向量為，則，故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，即二面角的大小是．故選：B．7．（2023秋·江西新余·高二統(tǒng)考期末）閱讀材料：空間直角坐標系中，過點且一個法向量為的平面的方程為；過點且一個方向向量為的直線l的方程為.利用上面的材料，解決下面的問題：已知平面的方程為，直線l是平面與的交線，則直線l與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于，可以整理為，由題意可得：平面過點，且法向量，聯(lián)立方程，整理可得，由題意可得：直線l過點，且方向向量為，∵，∴故直線l與平面所成角的正弦值為.故選：A.8．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習）布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的空間幾何體．若圖3中每個正方體的棱長為1，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．點到直線CQ的距離是B．C．平面ECG與平面的夾角余弦值為D．異面直線CQ與BD所成角的正切值為【答案】A【解析】，所以選項B正確；如圖，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，,對于A,，，設(shè)，則點到直線CQ的距離，所以選項A錯誤；對于B,,；設(shè)平面ECG的法向量的一個法向量為，則，令可得為，同理可求平面的法向量為，，所以選項C正確；對于D，因為，，所以，所以，所以選項D正確．故選：A.二、多選題9．（2023春·湖南長沙·高二瀏陽一中?？奸_學考試）如圖所示，在棱長為2的正方形中，點，分別是，的中點，則（）A．B．與平面所成角的正弦值為C．二面角的余弦值為D．平面截正方體所得的截面周長為【答案】BD【解析】以D為原點建立如圖所示空間直角坐標系，則，對A，，，故與不垂直，A錯；對B，，設(shè)平面AEF的法向量為，則，令，則有，設(shè)與平面AEF所成角為，則，B對；對C，平面EFC的一個法向量為，則，∴二面角的余弦值為，C錯；對D，由，，可得，平面AEF截正方體所得的截面為四邊形，則有，故平面AEF截正方體所得的截面周長為，D對.故選：BD.10．（2023春·江蘇常州·高二校聯(lián)考階段練習）在棱長為1的正方體中，點P滿足，，，則（

）A．當時，有且僅有一點P滿足；B．若與平面所成角的大小為，則的最大值為；C．當時，滿足到直線的距離與到平面ABCD的距離相等的點P有兩個；D．E、F分別為的中點，若存在，使成立，則點P的軌跡長度為．【答案】BD【解析】如圖所示，以A為原點建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，則，，，則，∴.選項A：當時，，，，則，即，即滿足條件的P點有無數(shù)個，故A錯誤；選項B：因為平面，所以為平面的一個法向量，又，因為與平面所成角的大小為，所以，化簡得，又，，令，，所以，其中，故時，取到最大值，即的最大值為，故B正確；選項C：當時，，則，從而，，，則在上的投影為，則點P到直線的距離；平面ABCD的一個法向量為，，則點P到平面ABCD的距離為；當點P到直線的距離與到平面ABCD的距離相等時，，即，∵，∴方程有一個解，則，即僅存在一個點P滿足條件，故C錯誤；D選項：因為E、F分別為的中點，所以，從而，所以，又，所以，得，又，，記，所以點P的軌跡為平面中的線段MN，其長度為，故D正確.故選：BD.11．（2023秋·廣東揭陽·高二統(tǒng)考期末）已知正方體的棱長為1，下列四個結(jié)論中正確的是（

）A．直線與直線所成的角為 B．平面C．點到平面的距離為 D．直線與平面所成角的余弦值為【答案】BD【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系：.A：，因為，所以，因此該選項不正確；B：，因為，所以，而平面ACD1，因此平面ACD1，所以該選項正確；C：因為平面ACD1，所以是平面ACD1的法向量，，所以點B1到平面ACD1的距離為，因此該選項不正確；D：設(shè)直線B1C與平面所成角為，則，所以直線B1C與平面所成角的余弦值，因此該選項正確.故選：BD.12．（2023春·湖北黃岡·高二浠水縣第一中學校考階段練習）已知正方體的棱長為1，是線段上的動點，則下列說法正確的是,（

）A．存在點使 B．點到平面的距離為C．的最小值是 D．三棱錐的體積為定值【答案】AD【解析】以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，，設(shè)，，當時，，此時與重合，所以A選項正確.設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，所以點到平面的距離為，B選項錯誤.，，，所以當時，取得最小值為，C選項錯誤.，為定值，D選項正確.故選：AD三、填空題13．（2023春·江蘇常州·高二校聯(lián)考階段練習）已知向量為平面的法向量，點在內(nèi)，則點到平面的距離為__________．【答案】【解析】由題意可得，所以，設(shè)點到平面的距離為，則.故答案為：.14．（2023秋·遼寧丹東·高二統(tǒng)考期末）已知異面直線和的方向向量分別為，則異面直線和所成角的余弦值為______．【答案】【解析】設(shè)異面直線和所成角為，則.故答案為：.15．（2023秋·浙江金華·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知平行四邊形，，，，、分別是、的中點．現(xiàn)將四邊形沿著直線向上翻折，則在翻折過程中，當點到直線的距離為時，二面角的余弦值為____________．【答案】【解析】連接、，取的中點，連接、，易知，且，則四邊形為菱形，易知，則四邊形為等邊三角形，所以，，同理可知，所以，二面角的平面角為，因為，、平面，所以，平面，且，以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸，平面內(nèi)過點且與平面的垂直的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則、、、，，，所以點到直線的距離為，解得.故答案為：.16．（2023春·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學?？奸_學考試）如圖，在棱長為2的正方體中，M，N分別是棱，的中點，點P在線段CM上運動，給出下列四個結(jié)論：①平面CMN截正方體所得的截面圖形是五邊形；②直線到平面CMN的距離是；③存在點P，使得；④直線與平面CMN所成角的正弦值為．其中所有正確結(jié)論的序號是______．【答案】①③④【解析】對于，如圖直線與的延長線分別交于，連接分別交于，連接，則五邊形即為所求的截面圖形，故正確；對于，由題知，平面，平面，所以平面，所以點到平面的距離即為直線到平面的距離，設(shè)點到平面的距離為，由正方體的棱長為可得，，，所以，，所以由，可得，所以直線到平面的距離是，故錯誤；對于，建立如圖所示的空間直角坐標系，,設(shè)，得,所以因為，所以，即解得滿足題意，所以存在點P，使得，故正確；對于，,設(shè)平面的法向量為，所以令，則，，所以直線與平面所成角的正弦值為，故正確；故答案為：.四、解答題17．（2023春·上海黃浦·高二上海市大同中學?？茧A段練習）如圖，在四棱錐中，已知底面，底面是正方形，.(1)求證：；(2)求直線PC與平面PBD所成的角的大小.【解析】（1）因為底面，面，所以,又底面是正方形，所以，，面，面，所以面，又面，所以.（2）如圖，以為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系.設(shè)，則，所以.設(shè)平面的法向量為，由，得到，令，則，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線PC與平面PBD所成的角的大小為.18．（2023秋·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）如圖，在空間幾何體中，均為正三角形，且平面平面，平面平面.(1)求證：平面；(2)是棱上的一點，當與平面所成角為時，求二面角的余弦值.【解析】（1）證明：分別取之中點，連，為正三角形，；又平面平面，平面平面，平面,平面，同理為正三角形，；平面平面，平面平面,平面，故平面，于是.由均為正三角形可知，四邊形為平行四邊形，從而有∥，平面，平面，于是∥平面.（2）不妨設(shè)，連，則由（1）平面知，與平面所成角就是，則，又,，即，又M為的中點，P在上，故為的中點，過點作，垂足為，過作，垂足為，連，又平面平面，平面平面，平面,平面，平面，故,又平面，故平面,則為二面角的平面角，

連接，則，則，,則，于是，故.19．（2023春·江蘇·高二階段練習）如圖，在四棱錐中，滿足底面．(1)求證：平面平面；(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，求B到平面的距離．【解析】（1）連接交于E點，由于在平面內(nèi)，，所以,則,由于，故,,又，故,所以,則，故,又平面，平面，故，平面，故平面,平面，故平面平面.（2）因為平面，平面，故，又，故以A為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，設(shè)，則，故,設(shè)平面的法向量為，則,即，令，則，即，平面的法向量可取為，因為平面與平面的夾角的余弦值為，故，解得，則,，所以，由于，故，故,設(shè)B到平面的距離，故由得：，解得.20．（2023春·四川樂山·高二四川省樂山沫若中學校考階段練習）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD與ABEF均為直角梯形，平面平面ABEF，．(1)已知點G為AF上一點，且AG=1，求證：平面DCE；(2)已知直線BF與平面DCE所成角的正弦值為，求平面DCE與平面BDF所成銳二面角的余弦值．【解析】（1）連接AE,交BG于點,取DE的中點,連接HO,HC,GE，四邊形ABEG為平行