等比數(shù)列及其性質(zhì)

§6.3等比數(shù)列課程目標(biāo)理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式；能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題；了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.知識梳理1.等比數(shù)列的概念(1)如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示.數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q為非零常數(shù))，或eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q為非零常數(shù)).(2)如果三個數(shù)a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，其中G＝±eq\r(ab).2.等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式(1)若等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝a1qn－1；通項公式的推廣：an＝amqn－m.(2)等比數(shù)列的前n項和公式：當(dāng)q＝1時，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比數(shù)列的性質(zhì)已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有ak·al＝am·an.(2)數(shù)列（是等比數(shù)列），，等也是等比數(shù)列。(3)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm.(4)當(dāng)q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.(5)等比數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0時，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0時，數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)q＝1時，數(shù)列{an}是常數(shù)列.當(dāng)是偶數(shù)時，;當(dāng)為奇數(shù)時，考點梳理等比數(shù)列的概念及運算例1.在單調(diào)遞減的等比數(shù)列中，若，，則＝()A.2 B.4 C.eq\r(2) D.2eq\r(2)例2.公比不為1的等比數(shù)列滿足，若，則的值為()A.8 B.9 C.10 D.11例3.(2015·全國Ⅰ卷)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項和.若Sn＝126，則n＝________.2.等比數(shù)列的性質(zhì)例1.(2016·全國Ⅰ卷)設(shè)等比數(shù)列滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為________.例2.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若eq\f(S6,S3)＝3，則eq\f(S9,S6)＝()A.2 B.eq\f(7,3) C.eq\f(8,3) D.3例3.(2015·全國Ⅱ卷)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，則a3＋a5＋a7＝()A.21 B.42 C.63 D.84例4.設(shè)各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}，Sn為前n項和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于()A.150 B.－200C.150或－200 D.400或－50例5.在正項等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，則n等于()A.12 B.13 C.14 D.15例6.數(shù)列{an}中，已知對任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，則aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3)＋…＋aeq\o\al(2,n)等于()A.(3n－1)2B.eq\f(1,2)(9n－1)C.9n－1 D.eq\f(1,4)(3n－1)例7.在等比數(shù)列{an}中，a2＝1，則其前3項的和S3的取值范圍是________.例8.已知數(shù)列{an}滿足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，則的值是()－5B．－eq\f(1,5)C．5 D．eq\f(1,5)例9.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，，則=（）A.8B．6