第07講 拋物線 高頻考點精講（解析版）備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學一輪復習精講精練（藝考生基礎版）

第第頁第07講拋物線(精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：典型例題剖析題型一：拋物線的定義及其應用題型二：拋物線的標準方程題型三：拋物線的簡單幾何性質(zhì)題型四：與拋物線有關的最值問題第一部分：知第一部分：知識點精準記憶知識點一：拋物線的定義1、拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點和一條定直線（其中定點不在定直線上）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線．2、拋物線的數(shù)學表達式：(為點到準線的距離).知識點二：拋物線的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程（）（）（）（）圖形范圍，，，，對稱軸軸軸軸軸焦點坐標準線方程頂點坐標離心率通徑長知識點三：拋物線的焦半徑公式如下：（為焦準距）（1）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；（2）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則；（3）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；（4）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則.第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析題型一：拋物線的定義及其應用典型例題例題1．（2022·貴州·高二期中）設拋物線：的焦點為，點在上，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可知，，所以.因為拋物線的通徑長，所以軸，所以故選：D.例題2．（2022·全國·高三專題練習）在平面上，到點的距離等于到直線的距離的動點的軌跡是（

）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．拋物線【答案】D【詳解】解：因為點不在直線上，則到點的距離等于到直線的距離的動點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線；故選：D例題3．（2022·四川省綿陽江油中學高二期中（文））已知拋物線：的焦點為，準線為，點在上，于，若，則（

）A．4 B．12 C． D．【答案】B【詳解】由題知拋物線：，開口向右，，記準線與軸交于點，因為，根據(jù)拋物線定義有：，因為，所以為正三角形，所以，所以因為焦點到準線的距離為，所以，所以，故選：B同類題型歸類練1．（2022·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為，若拋物線上的點與點間的距離為3，則（

）.A． B． C．或 D．4或【答案】C【詳解】拋物線開口向左，依題意，拋物線上的點與點間的距離為3，所以，拋物線方程為，令，得，解得，故選：C2．（2022·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學高二期中）已知拋物線：上一點到其焦點的距離等于，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】依題意可知，，故選：C3．（2022·北京市十一學校高二期中）在平面直角坐標系xOy中，拋物線上點到焦點的距離為3，則焦點到y(tǒng)軸的距離為（

）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】C【詳解】拋物線的準線方程為：，由拋物線的性質(zhì)可知：點到焦點的距離等于到準線的距離，即，得，拋物線方程為，則焦點坐標為，焦點到y(tǒng)軸的距離為2.故選：C題型二：拋物線的標準方程典型例題例題1．（2022·江蘇省灌南高級中學高二階段練習）以橢圓的左焦點為焦點的拋物線的標準方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由橢圓可得，所以左焦點坐標為，所以以為焦點的拋物線的標準方程為，故選：C.例題2．（2022·四川省綿陽南山中學高二期中（理））在平面坐標系中，動點和點滿足，則動點的軌跡方程為_____________．【答案】【詳解】由題意，由得，化簡得．故答案為：．例題3．（2022·全國·高二課時練習）若拋物線的頂點在原點，準線與其平行線的距離為，則拋物線的方程為______．【答案】或【詳解】解：因為拋物線的準線與其平行線的距離為，所以拋物線的準線為或，當準線為時拋物線方程為，當準線為時拋物線方程為.故答案為：或例題4．（2022·全國·高二課時練習）已知拋物線：的焦點為，為坐標原點，的準線與軸相交于點，為上的一點，直線與直線相交于點，若，，則的標準方程為______．【答案】【詳解】如圖所示：，，∴，∴，即，∴，∴，不妨令點在第一象限，則直線的方程為，聯(lián)立，得，即，所以，解得，所以的標準方程為．故答案為：同類題型歸類練1．（2022·全國·高三專題練習）已知拋物線C與雙曲線有相同的焦點，且頂點在原點，則拋物線C的方程是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【詳解】由已知可知雙曲線的焦點為,故設拋物線方程為，則，故，所以拋物線方程為,故選:D.2．（2022·天津一中高二期中）已知直線與拋物線：的準線相交于點A，O為坐標原點，若則拋物線的方程為___________.【答案】【詳解】對拋物線：，其準線方程為：，又其與直線交于點，故可得點的坐標為，因為，則，解得，則拋物線方程為：.故答案為：.3．（2022·全國·高二課時練習）已知拋物線過點，則拋物線的標準方程為______．【答案】或【詳解】∵拋物線過點，且點在第四象限，∴拋物線的開口向右或向下．若開口向右，則設方程為，∵過點，∴，∴拋物線的標準方程為；若開口向下，則設方程為，∵過點，∴，∴拋物線的標準方程為．綜上，拋物線的標準方程為或．4．（2022·全國·高二課時練習）已知拋物線上一點的縱坐標為，該點到準線的距離為6，則該拋物線的標準方程為______．【答案】或【詳解】由于拋物線的準線方程是，而點到準線的距離為6，所以點的橫坐標是，于是，代入，得，解得或，故該拋物線的標準方程為或．故答案為：或．題型三：拋物線的簡單幾何性質(zhì)典型例題例題1．（2022·廣東·深圳市羅湖外語學校高二階段練習）已知圓與拋物線相交于，，且，則（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【詳解】因為圓與拋物線相交于M，N，且，由對稱性，不妨設，代入拋物線方程，則，解得，所以，故故選：B例題2．（2022·江蘇·寶應中學高二期中）已知拋物線上一點到其準線及對稱軸的距離分別為3和，則（

）A．2 B．2或4 C．1或2 D．1【答案】B【詳解】因為拋物線上一點到其準線及對稱軸的距離分別為3和，所以，即，代入拋物線方程可得，整理得，解得或.故選：B.例題3．（2022·全國·高二單元測試）已知，，是拋物線：上一點，則的最小值是______．【答案】5【詳解】設，則，，從而．因為點在拋物線上，所以，所以，當且僅當時取等號．故答案為：5同類題型歸類練1．（2022·全國·高二課時練習）拋物線的對稱軸是直線A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為拋物線：，所以其關于軸對稱，即對稱軸為直線．故選：D．2．（多選）（2022·全國·高三專題練習）關于拋物線，下列說法正確的是（

）A．開口向左 B．焦點坐標為 C．準線為 D．對稱軸為軸【答案】AD【詳解】對選項A，，開口向左，故A正確；對選項B，，焦點為，故B錯誤；對選項C，，準線方程為，故C錯誤；對選項D，，對稱軸為軸，故D正確.故選：AD3．（多選）（2022·全國·高二單元測試）下列四個方程所表示的曲線中既關于軸對稱，又關于軸對稱的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】解：對于A選項，對于曲線上的任意點，其關于軸對稱的點滿足方程，關于軸對稱的點也滿足方程，故滿足條件；對于B選項，即為，表示焦點在軸正半軸的拋物線，關于軸對稱，但不關于軸對稱，故不滿足；對于C選項，即為，表示焦點在軸上的橢圓，滿足既關于軸對稱，又關于軸對稱，故滿足條件；對于D選項，即為，表示圓心為，半徑為的圓，其關于軸對稱，不關于軸對稱，故不滿足條件.故選：AC題型四：與拋物線有關的最值問題典型例題例題1．（2022·全國·高二單元測試）已知拋物線焦點的坐標為，為拋物線上的任意一點，，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．【答案】A【詳解】因為拋物線焦點的坐標為，所以，解得．記拋物線的準線為l，作于，作于，則由拋物線的定義得，當且僅當P為BA與拋物線的交點時，等號成立．故選：A.例題2．（2022·江西撫州·高二期中）已知拋物線：的焦點為，點在上，若點，則的最小值為______.【答案】##3.5【詳解】記拋物線的準線為，則：，記點到的距離為，點到的距離為，則.故答案為：.例題3．（2022·北京市十一學校高二期中）已知拋物線的焦點為，點為該拋物線上一個動點，點，則的最小值為______．【答案】##4.5【詳解】如圖所示，設拋物線準線交于點，由拋物線第一定義可知，，要使最小，即最小，當三點共線時，取到最小值，,故答案為：同類題型歸類練1．（2022·全國·高三專題練習）已知為拋物線上的一個動點，為圓上的一個動點，那么點到點的距離與點到拋物線準線的距離之和的最小值是______.【答案】##【詳解】解：由題可知，拋物線的準線方程為，焦點坐標為，圓的圓心坐標為，半徑為，設點到拋物線準線的距離為，則，故，所以當動點位于線段上時，點到點的距離與點到拋物線準線的距離之和最小，此時.故答案為：.2．（2022·重慶長壽·高二期末）已知P為拋物線上任意一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，為平面內(nèi)一定點，則的最小值為__________．【答案】5【詳解】由題意，拋物線的準線為，焦點坐標為，過點向準線作垂線，垂足為，則，當共線時，和最?。贿^點向準