專題5.2 平面向量的數(shù)量積及其應用【七大題型】（舉一反三）（新高考專用）（解析版）2024年高考數(shù)學二輪復習

第第頁專題5.2平面向量的數(shù)量積及其應用【七大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1平面向量的數(shù)量積】 2【題型2平面向量夾角問題】 5【題型3平面向量的?！?7【題型4平面向量的垂直問題】 9【題型5向量數(shù)量積的坐標運算】 11【題型6向量數(shù)量積的綜合應用】 12【題型7向量數(shù)量積與解三角形綜合】 171、平面向量的數(shù)量積及其應用平面向量是高考的必考內容之一.從近幾年的高考情況來分析，試題主要以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，其中平面向量的數(shù)量積、夾角、模與垂直條件等知識是高考的重點、熱點內容，難度中等.學生在高考復習中應注意加強對向量的數(shù)量積、數(shù)量積的坐標表示的掌握，能靈活運用定義法、坐標法和基底法解決常見的數(shù)量積有關問題.【知識點1平面向量數(shù)量積的解題方法】1.平面向量數(shù)量積的兩種運算方法(1)基底法：當已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關計算問題；(2)坐標法：當平面圖形易建系求出各點坐標時，可利用坐標法求解.【知識點2數(shù)量積的兩大應用】1.夾角與垂直根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質：若，為非零向量，則(夾角公式)，等，可知平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關角度、垂直問題.2.向量的模的求解思路：(1)坐標法：當向量有坐標或適合建坐標系時，可用模的計算公式；(2)公式法：利用及，把向量的模的運算轉化為數(shù)量積運算；(3)幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.【知識點3向量數(shù)量積綜合應用的方法和思想】1.向量數(shù)量積綜合應用的三大解題方法(1)坐標法：把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵校唾x予了有關點與向量具體的坐標，這樣就能進行相應的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決.(2)基向量法：適當選取一組基底，寫出向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構造關于設定未知量的方程來進行求解.(3)利用向量運算進行轉化，化歸為三角函數(shù)的問題或三角恒等變換問題是常規(guī)的解題思路和方法，以向量為載體考查三角形問題時，要注意正弦定理、余弦定理等知識的應用.【知識點4極化恒等式】1.極化恒等式的證明過程與幾何意義(1)平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：.證明：不妨設，則，，①，②，①②兩式相加得：.(2)極化恒等式：上面兩式相減，得：————極化恒等式平行四邊形模式：.(3)幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的．【題型1平面向量的數(shù)量積】【例1】（2023·廣東東莞·東莞市東華高級中學?？家荒＃┰凇鰽BC中，AB=4，AC=3，AB+AC=BC，則AC?BC=（

）A．?16 B．16 C．?9 D．9【解題思路】由BC=AC?AB得AB+【解答過程】由題意得在△ABC中，BC=故由AB=4，AC=3，得AB+AC2即16+9+2AB即AB?故AC?故選：D.【變式1-1】（2023·天津紅橋·統(tǒng)考二模）已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=120°，點E在邊BC上，BC=3BE，若G為線段DC上的動點，則AG?A．2 B．8C．103 【解題思路】利用向量的數(shù)量積的定義及數(shù)量積的運算，結合向量的線性運算即可求解.【解答過程】由題意可知，如圖所示

因為菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=120所以AB=AD=2設DG=λAG=因為BC=3BE，所以BE=AE=AG=1當λ=1時，AG?AE的最大值為故選：B.【變式1-2】（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預測）已知平面向量a與b的夾角為45°,a?b=2，且A．?22 B．-2 C．2 D．【解題思路】首先根據(jù)已知條件結合數(shù)量積的定義運算求出b，然后再根據(jù)向量的運算法則進行求解即可.【解答過程】a?b=因此可得：a→故選：C.【變式1-3】（2023下·廣東揭陽·高三?？茧A段練習）如圖所示，邊長為2的正△ABC，以BC的中點O為圓心，BC為直徑在點A的另一側作半圓弧BC，點P在圓弧上運動，則AB?AP的取值范圍為（A．2,23 B．2,5 C．2,4 D．【解題思路】根據(jù)給定條件，可得AP=AO+【解答過程】過點O作OD//AB交半圓弧于點D，連接AO,OP，如圖，而△ABC是正三角形，則∠BOD=π3，令OP,當點P在弧BD上時，0≤θ≤π3，當點P在弧CD上時，0≤θ≤2π顯然AO=3,OP=1,∠OAB=π所以AB=2×3故選：B.【題型2平面向量夾角問題】【例2】（2023·四川資陽·統(tǒng)考模擬預測）已知向量a，b，c滿足a=b=c=3，且aA．?223 B．?13 【解題思路】根據(jù)題意，結合向量的夾角公式，代入計算，即可得到結果.【解答過程】因為a=b=c=3a2+b2+2且a?則cos<故選：A.【變式2-1】（2023·全國·模擬預測）已知單位向量e1，e2的夾角為60°，向量a=?2e1+3e2，b=2me1?2eA．1 B．?4 C．2 D．?5【解題思路】根據(jù)題意，由平面向量的夾角公式代入計算，列出方程，即可得到結果.【解答過程】由題意，得e1所以a2b2而a?所以cos?整理，得11m2?20m?4=0，解得m=2故選：C．【變式2-2】（2023·全國·學軍中學校聯(lián)考二模）O為平行四邊形ABCD外一點，OA=3,OB=3,OC=2,∠AOB=π6,∠BOC=π3A．5π6 B．2π3 C．π3【解題思路】由平面向量數(shù)量積的運算律與夾角公式求解，【解答過程】由向量運算可知OD=則OB?而OD2OD2=4+3+9+0?6?9=1，得所以：cos所以向量OD與向量OB的夾角為2π故選：B.【變式2-3】（2023·全國·高三專題練習）已知平面向量a=OA，b=OB，c=OC，滿足4OC?ACA．π6 B．π3 C．2π3【解題思路】由向量線性運算和數(shù)量積的定義和運算律可化簡已知等式得到4c2?4a?c=1?a2【解答過程】∵4OC即4c2?4∵4OB即4b2?4設向量a?4b與c?2∴cosθ=a?4b?c又θ∈0,π，故選：A.【題型3平面向量的?！俊纠?】（2023·云南昭通·?？寄M預測）已知|AB|=3,|BC|=2,|ABA．4 B．10 C．10 D．16【解題思路】根據(jù)條件，利用模的平方可求出AB?BC的值，再將【解答過程】由|AB可得|AB即9+36?6|AB所以|AB故|AB故選：B.【變式3-1】（2023·河北張家口·統(tǒng)考一模）已知向量a，b，c都是單位向量，若(a?c)2A．154 B．2 C．152 【解題思路】根據(jù)數(shù)量積的運算律得到(a+b)?c=12，設【解答過程】由(a?c)2設a+b,c=θ所以a+又(a+b所以a?b≤152故選：C．【變式3-2】（2023·浙江·模擬預測）已知平面向量a,b的夾角為π3,|a→|=2,|A．3 B．23 C．2 D．【解題思路】由a+λb⊥b，利用向量數(shù)量積運算可得λ=?1，即求【解答過程】∵a+λ∴a+λb∴λ=?a∴=2故選：A.【變式3-3】（2023下·浙江·高二學業(yè)考試）已知平面向量a、b滿足|a|=2|aA．410 B．12 C．82 【解題思路】由題意可得a?b=3|a|2+36【解答過程】由a=2a?bb∴|3a?2b|a?2b∴|3a令m=則m?n≤當且僅當12|a所以|3a?2b故選：A.【題型4

平面向量的垂直問題】【例4】（2023·新疆·校聯(lián)考二模）平面內三個單位向量a，b，c，滿足a+b+λc=0，若A．?2 B．±2 C．2 D．±【解題思路】由a+b+λc=0，可得【解答過程】由a+b+λc=即a2+2a?b+b2=λ2c2故選：D．【變式4-1】（2023·天津和平·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABC中，AB=3,AC=2,AD=23ABA．66 B．306 C．63【解題思路】將MN,BC用AB,AC表示，利用【解答過程】依題意MN==1又BC=由于MN⊥BC，所以即16即?1即?1即?16×3+故選：A.【變式4-2】（2023·全國·模擬預測）已知向量a=?1,?2，b=4,?2，若A．4λμ=1 B．4λμ=?1C．4λ+μ=1 【解題思路】用坐標表示向量a?λ【解答過程】法一：用坐標表示向量a由題意可知，a?λ由a?λ?1?4λ?1+4μ整理得，5?20λμ=0，所以4λμ=1．則A對；法二：因為向量a=所以a=又a?λ所以a?λ所以4λμ=1.故選：A．【變式4-3】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知向量a,b的夾角為120°，且a,b是函數(shù)fx=A．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】由題知a=2,b=3【解答過程】解：因為函數(shù)fx所以a=2,b=3又a+λ所以a+λb?a=0當a=2,b=3時，4+λ×2×3×當a=3,b=2時，9+λ×3×2×?1綜上，λ=3故選：A.【題型5向量數(shù)量積的坐標運算】【例5】（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）已知向量a=1,3,b=A．10 B．18 C．?7,8 D．?4,14【解題思路】根據(jù)平面向量的坐標運算法則進行運算即可.【解答過程】因為向量a=所以a+故選:A.【變式5-1】（2023·河南·統(tǒng)考三模）已知a=(?2,6)，b=(4,λ)，若a⊥(a?A．?22 B．22 C．?【解題思路】根據(jù)向量垂直及數(shù)量積的運算律有a?b=【解答過程】由題意a?(a?所以6λ?8=40，故λ=8，由cosa故選：B.【變式5-2】（2023·江蘇南京·南京市第九中學?？寄M預測）已知平面向量a=255,55，b為單位向量，且(A．?255,?55 B．2【解題思路】根據(jù)向量垂直求得a?【解答過程】由題意a=1,∵(a+2b)⊥(a∴a?則向量b在向量a上的投影向量為a?故選：B.【變式5-3】（2023·全國·模擬預測）已知向量a=(x,1)，b=(2,y)，c=(x,y).若(a+b)⊥(A．2 B．3 C．5 D．6【解題思路】利用向量的數(shù)量積運算將向量垂直的條件轉化為(a+b)?(a【解答過程】因為a=(x,1)，b由(a+b即x2+1?又因為a∥b，所以聯(lián)立x2?y2=3故|c故選C.【題型6向量數(shù)量積的綜合應用】【例6】（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預測）已知邊長為2的菱形ABCD中，點F為BD上一動點，點E滿足BE=2EC，AE?BD=?A．?2 B．?4 C．?15225 【解題思路】根據(jù)AE?BD=?23，根據(jù)線性運算進行變換可求得∠DAB=【解答過程】由題意知：BE=23∴AE=4cosθ?4+8以AC與BD交點為原點，AC為x軸，BD為y軸建立如下圖所示的平面直角坐標系：∴A?3,0，E233,?∴AF?當t=?16時，AF故選：D.【變式6-1】（2023·全國·模擬預測）在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，AB=3，AD=CD=2，M是CD的中點，N在BC上，且BN=13A．?31010 B．?1010 【解題思路】解法一

建立平面直角坐標系，寫出相關點的坐標，從而求出BM，DN的坐標，最后利用向量的夾角公式即可得解；解法二

以AB，AD為基底，通過向量的線性運算用基底將BM，DN表示出來，再利用向量的夾角公式即可得解．【解答過程】解法一

如圖，建立平面直角坐標系，則B3,0，D0,2，M1,2∴BC=?1,2，BM=?2,2，∴則DN=83故選：A．

解法二

設AB=a，AD=b，則a=3，b=2=8∴BM=DN=89∴cosBM故選：A．【變式6-2】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）已知△ABC中，AB=AC=22，AB+λBCmin=2λ∈R，AM=1A．423,C．173,41【解題思路】根據(jù)已知可得A到BC的距離為2，△ABC為等腰直角三角形，若D,E為BC的兩個四等分點，N為BC中點，P在線段DE上運動，且AN=2，數(shù)形結合求MP的取值范圍.【解答過程】由AB+λBCmin=2λ∈又AB=AC=22，則BC=4，所以AB2由AP=sin2α?AB又α∈π6,π3，則sin2α,cos2

所以P在線段DE上運動，且AN=2，BD=1，BE=3，由圖：若MP⊥BC，則MP//AN，又AM=12故上述情況MPmin=23由圖知：P與E重合時，MPmax綜上，MP的取值范圍為43故選：D.【變式6-3】（2023·全國·模擬預測）如圖，在四邊形ABCD中，已知AB=AD=1，BC=DC=3，AC=2，點P在邊CD上，則AP?BPA．2116 B．218 C．2132【解題思路】方法一：利用已知條件及勾股定理判斷線段所在直線的關系，然后利用平面向量的線性運算及向量數(shù)量積的運算律將問題轉化為二次函數(shù)形式求向量數(shù)量積的最值；方法二：利用已知條件及勾股定理判斷線段所在直線的關系，然后建立平面直角坐標系，將問題轉化為向量數(shù)量積的坐標表示，得出二次函數(shù)，最后利用二次函數(shù)性質求出向量數(shù)量積的最值即可；方法三：同方法二一樣，但是選擇另外的邊所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系，將問題轉化為平面向量坐標形式求解即可；【解答過程】解法一

由AB=AD=1，BC=DC=3，AC=2得AC2=A所以AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAC=∠BAC=60°．設DP=x，則0≤x≤3AP==1×1×=x當且僅當x=34時，AP?解法二：由AB=AD=1，BC=DC=3，AC=2得AC2=A所以AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAC=∠BAC=60°，∠ACB=∠ACD=30°，連接BD，交AC于點O，則易知BD⊥AC，建立如圖所示的平面直角坐標系xOy，則A?12,0，B0,?所以DC=設DP=λ則DP=所以P3AP=12則AP=3λ當且僅當λ=14時，AP?解法三

由AB=AD=1，BC=DC=3，AC=2得AC2=A所以AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAC=∠BAC=60°，∠ACB=∠ACD=30°，如圖，分別以DA,DC所在的直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系，所以A1,0，B因為點P在邊CD上，所以設P0,y所以AP=?1,y，所以AP=y當且僅當y=34時，AP?故選：A.【題型7向量數(shù)量積與解三角形綜合】【例7】（2023·全國·模擬預測）在△ABC，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若AC=3DC,bsinA+3aA．2 B．2 C．26 D．【解題思路】已知bsinA+3acosB=0，由正弦定理邊化角，化簡可得B=2π3，設CD=m,BD=n【解答過程】由bsinA+3由A∈0,π，sinA>0可得tan通解

設CD=m,BD=n，由AC=3DC可得由余弦定理可得b2=a所以9m2=在△ADB和△CDB中，由余弦定理得cos∠ADB=4m由∠ADB+∠CDB=π可得4m故3n當a=3時，3n2取得最小值12，即3n2≥12優(yōu)解

由題意知BD=兩邊同時平方得BD2又2a+c=12，所以當且僅當c2=4a則BD2≥2故選：B.【變式7-1】（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）在△ABC中，AC=2BC,AB?BC=?3ACA．14 B．64 C．144【解題思路】根據(jù)向量數(shù)量積的運算律化簡得到c=322【解答過程】記BC=a,AC=b,AB=c，由已知，b=2a，因為(AB+BC即c2+2AB因為(AC+CB即b2?2AC因為AB?所以b2?a所以cosB=因為B∈0,π，所以故選：C.【變式7-2】（2023·河北滄州·?？既＃┰凇鰽BC中，若OA=OB=OC=OP，AB=A．?2,8 B．?2,6 C．?4,6 D．?4,8【解題思路】根據(jù)三角形外心的性質，結合正弦定理、平面向量數(shù)量積的定義、圓的幾何性質進行求解即可.【解答過程】因為OA=所以O為△ABC的外心，且P為△ABC外接圓上一動點，又AB=AC=2所以△ABC外接圓的半徑r=BC如圖，作PD⊥AB，垂足為D，則AP?所以，當PD與圓相切時，AP?AB取最值，即P在在P2處取最小值?2故選：B.【變式7-3】（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預測）在△ABC中，AB=AC，點D在線段BC上，AB⊥AD,BD=3,CD=1，點M是△ABC外接圓上任意一點，則AB?AM最大值為（A．33+1 B．33?1 C．【解題思路】先根據(jù)余弦定理求出線段AD,AC,AB的長度，再根據(jù)正弦定理求出△ABC外接圓的半徑，最后將AM寫成AM=AO+OM后再求AB?AM，當【解答過程】在△ABD中，AB2=B在△ADC中，由余弦定理得，AC2=AD2+CD又因為AB=AC，所以9?AD2=5從而AB=AC=BD2設△ABC外接圓的半徑為R，由正弦定理得2R=AC故R=3所以AB?AM=AB?(當AB與OM同向時，AB?AM取得最大值為故選：A.1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知向量a,b,c滿足a=b=1,A．?45 B．?25 C．【解題思路】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.【解答過程】因為a+b+即a2+b2+2如圖,設OA=由題知,OA=OB=1,OC=2AB邊上的高OD=2所以CD=CO+OD=2tan∠ACD=cos=2×3故選:D.2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知向量a,b滿足|a|=1,|bA．?2 B．?1 C．1 D．2【解題思路】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運算求解即可.【解答過程】解：∵|a又∵|∴9=1?4a∴a故選：C.3．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知向量a，b滿足a+b=(2,3),A．?2 B．?1 C．0 D．1【解題思路】利用平面向量數(shù)量積的運算律，數(shù)量積的坐標表示求解作答.【解答過程】向量a,b滿足所以|a故選：B.4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知⊙O的半徑為1，直線PA與⊙O相切于點A，直線PB與⊙O交于B，C兩點，D為BC的中點，若PO=2，則PA?A．1+22 C．1+2 D．【解題思路】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得PA?PD=12?22【解答過程】如圖所示，OA=1,OP=由勾股定理可得PA

當點A,D位于直線PO異側時或PB為直徑時，設∠OPC=則：PA?PD=1×====0≤α<π4∴當2α?π4=?π4

當點A,D位于直線PO同側時，設∠OPCα,0則：PA?PD=1×====10≤α<π4∴當2α+π4=π2綜上可得，PA?PD的最