課時1 等比數(shù)列的前n項和公式

.3.3課時1等比數(shù)列的前n項和公式【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握等比數(shù)列的前n項和公式及公式的證明思路.(邏輯推理)2.會用等比數(shù)列的前n項和公式解決有關(guān)等比數(shù)列的一些簡單問題.(數(shù)學(xué)運算)【自主預(yù)習(xí)】預(yù)學(xué)憶思1.如何計算公比為1的等比數(shù)列的前n項和Sn?【答案】當(dāng)q=1時,a1=a2=…=an,故Sn=a1+a2+…+an=a1+a1+…+a1=na1.2.當(dāng)q≠1時,如何計算等比數(shù)列的前n項和Sn?【答案】利用公式Sn=a1(1-3.當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比為字母時,求{an}的前n項和要注意什么?【答案】若等比數(shù)列的公比為字母,應(yīng)用公式求其前n項和時要注意討論公比是否為1,分情況選取合適的公式來解答.自學(xué)檢1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)求等比數(shù)列{an}的前n項和時可直接套用公式Sn=a1(1-qn)1-(2)若首項為a的數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列,則其前n項和為Sn=na.()【答案】(1)×(2)√2.在等比數(shù)列{an}中,其前n項和為Sn,若q=-12,S5=11,則a1=【答案】16【解析】∵S5=a11--1251--∴a1=16.3.在等比數(shù)列{an}中,已知a1=3,an=96,Sn=189,則n=.

【答案】6【解析】由Sn=a1-anq1-q=3-96q1-q=189,得q=2.又an=a1qn-1=3×2n-4.已知某廠去年的產(chǎn)值為a,計劃在5年內(nèi)每年比上一年的產(chǎn)值增長10%,則從今年起5年內(nèi),該廠的總產(chǎn)值為.

【答案】11a(1.15-1)【解析】因為去年的產(chǎn)值為a,從今年起5年內(nèi)各年的產(chǎn)值分別為1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a,所以1.1a+1.12a+1.13a+1.14a+1.15a=a·1.1-1.161-1.1=11a(1.15【合作探究】探究1：等比數(shù)列的前n項和公式情境設(shè)置問題1:等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)除了教材中用的方法,還有其他的方法嗎?【答案】有.根據(jù)等比數(shù)列的定義,有a2a1=a3a2=a4a所以a2=a1q,a3=a2q,…,an=an-1q,即a2+a3+…+an=(a1+a2+…+an-1)q,所以a2+a3+a4+…+ana1問題2:能否根據(jù)首項、公比與項數(shù)求出等比數(shù)列的前n項和?【答案】能.將an=a1qn-1,代入Sn=a1-anq1-q中,新知生成公比為q的等比數(shù)列{an}的前n項和公式(1)Sn=a1(1-qn(2)Sn=a1-an新知運用例1求下列等比數(shù)列前8項的和.(1)12,14,(2)a1=27,a9=1243,q<0【解析】(1)因為a1=12,q=1所以S8=12[1-(1(2)由a1=27,a9=1243,可得1243=27·q又由q<0,可得q=-13所以S8=a1-a8q1-q=例2在等比數(shù)列{an}中,Sn為其前n項和,q為其公比.(1)若S2=30,S3=155,求Sn;(2)若a1+a3=10,a4+a6=54,求S5(3)若a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求q.【解析】(1)由題意知a1(1+q)=30,a1所以Sn=14×5n+1-54或Sn=(2)(法一)由題意知a1+a1q2=10,a1q(法二)由(a1+a3)q3=a4+a6,得q3=18,所以q=1又a1+a3=a1(1+q2)=10,所以a1=8,所以S5=a1(1-q(3)因為a2an-1=a1an=128,a1+an=66,所以a1,an是方程x2-66x+128=0的兩根,得a1=2,又Sn=a1-anq1-q=126,所以【方法總結(jié)】1.在等比數(shù)列{an}的五個量a1,q,an,n,Sn中,已知其中的三個量,通過列方程組,就能求出另外兩個量,這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用.2.在解決與前n項和有關(guān)的問題時,首先要對公比q=1或q≠1進(jìn)行判斷,若兩種情況都有可能,則要分類討論.鞏固訓(xùn)練在等比數(shù)列{an}中,(1)若a1=2,an=162,Sn=112,求n和q;(2)已知S4=1,S8=17,求an.【解析】(1)由Sn=a1-anq1-q得112=2-162q1-q,解得q=-2,又由an=a1qn-1得162=2(2)若q=1,則S8=2S4,不符合題意,所以q≠1,所以S4=a1(1-q4)1-q=1,兩式相除得1-q81-q4=1+q4=17,解得q=2或q=-2,所以a1=115所以an=115·2n-1或an=-15·(-2)n-探究2：等比數(shù)列前n項和公式的實際應(yīng)用例3小華準(zhǔn)備購買一臺售價為5000元的電腦,采用分期付款方式,并在一年內(nèi)將款項全部付清.商場提出的付款方式:購買2個月后第1次付款,再過2個月后第2次付款,…,購買12個月后第6次付款,每次付款金額相同,約定月利率為0.8%,每月利息按復(fù)利計算,求小華每期付款金額是多少.【解析】(法一)設(shè)小華每期付款為x元,第k個月末付款后的欠款本利為Ak元,則A2=5000×(1+0.008)2-x=5000×1.0082-x,A4=A2(1+0.008)2-x=5000×1.0084-1.0082x-x,…A12=5000×1.00812-(1.00810+1.0088+…+1.0082+1)x=0,解得x=5000×1.00=5000×1.008121-(1.008故小華每期付款金額約為880.81元.(法二)設(shè)小華每期付款為x元,到第k個月時已付款及利息為Ak元,則A2=x,A4=A2(1+0.008)2+x=x(1+1.0082),A6=A4(1+0.008)2+x=x(1+1.0082+1.0084),…A12=x(1+1.0082+1.0084+1.0086+1.0088+1.00810).∵年底付清欠款,∴A12=5000×1.00812,即5000×1.00812=x(1+1.0082+1.0084+…+1.00810),∴x=5000×1.008121+1.008故小華每期付款金額約為880.81元.【方法總結(jié)】解決數(shù)列應(yīng)用題時,一是明確問題屬于哪類應(yīng)用問題,即明確是等差數(shù)列或等比數(shù)列問題,還是含有遞推關(guān)系的數(shù)列問題;二是明確是求an,還是求Sn.細(xì)胞繁殖、利率、增長率等問題一般為等比數(shù)列問題.鞏固訓(xùn)練某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè),并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).據(jù)規(guī)劃,本年度投入800萬元,以后每年投入將比上一年減少15,本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元.由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用,預(yù)計今后的旅游業(yè)收入每年會比上一年增長14.求n年內(nèi)的總投入與n【解析】由題意知,第1年投入800萬元,第2年投入800×1-15萬元,…第n年投入800×1-15n-1萬元,所以每年的投入資金數(shù)構(gòu)成首項為800,公比為1-15的等比數(shù)列.所以n年內(nèi)的總投入Sn=800+800×1-15+…+800×1-15n-1=4000×1-45n萬元.由題意知,第1年旅游業(yè)的收入為400萬元,第2年旅游業(yè)的收入為400×1+14萬元,…第n年旅游業(yè)的收入為400×1+14n-1萬元,所以每年的旅游業(yè)收入資金數(shù)構(gòu)成首項為400,公比為1+14的等比數(shù)列.所以n年內(nèi)旅游業(yè)的總收入Tn=400+400×1+14+…+400×1+14n-1=1600×54n-1萬元.故n年內(nèi)旅游業(yè)的總投入為4000×1-45n萬元,總收入為1600×54n-1萬元.【隨堂檢測】1.設(shè)數(shù)列{(-1)n}的前n項和為Sn,則Sn=().A.n[(-1)nC.(-1)n+1【答案】D【解析】Sn=(-1)[1-(-1)n]2.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S3=a2+10a1,a5=9,則a1=().A.13 B.-13 C.19【答案】C【解析】由題意知公比q≠1,則S3=a1(1-q3)1-q=a1q+10a1,化簡得q2=9,又a5=a1q4=9,所以a13.某人在2022年元旦存入a元,若按年利率為x計算(不計利息稅),則到2027年元旦可取()元.A.a(1+x)5 B.a(1+x)6C.a(1+x)4 D.a(1+x5)【答案】A【解析】一年后,可取回a(1+x)元,兩年后,可取回a(1+x)2元,三年后,可取回a(1+x)3元,四年后,可取回a(1+x)4元,五年后,可取回a(1+x)