傅里葉變換和系統(tǒng)的頻譜分析第四章

傅里葉變換和系統(tǒng)的頻譜分析第四章4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)4.2 傅里葉級(jí)數(shù)4.3 周期信號(hào)的頻譜4.4 非周期信號(hào)的頻譜(傅里葉變換)4.5 傅里葉變換的性質(zhì)4.7 周期信號(hào)的傅里葉變換4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析4.9 取樣定理4/2/202424.1信號(hào)分解為正交函數(shù)矢量的分量和矢量的分解平面矢量分解圖空間中的矢量分解圖4/2/20243正交信號(hào)空間設(shè)n個(gè)函數(shù)構(gòu)成一函數(shù)集，如在區(qū)間內(nèi)滿(mǎn)足下列特性：——常數(shù)則稱(chēng)此函數(shù)集為正交函數(shù)集，這n個(gè)構(gòu)成一個(gè)n維正交信號(hào)空間。任意一個(gè)代表信號(hào)的函數(shù)f(t)，在區(qū)間內(nèi)可以用組成信號(hào)空間的這n個(gè)正交函數(shù)的線性組合來(lái)近似。4.1信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)的分量和信號(hào)的分解4/2/20244在使近似式的均方誤差最小條件下，可求得均方誤差4.1信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)的分量和信號(hào)的分解若令趨于無(wú)限大，的極限等于零則此正交函數(shù)集稱(chēng)為完備正交函數(shù)集。（定義1）——代表函數(shù)和間的相似程度或相關(guān)程度4/2/20245滿(mǎn)足等式i為任意整數(shù)則此函數(shù)集稱(chēng)為完備正交函數(shù)集。如果在正交函數(shù)集外,不存在函數(shù)，其中4.1信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)的分量和信號(hào)的分解完備正交函數(shù)集

（定義2）4/2/20246完備---有兩層意思：1.如果在區(qū)間內(nèi)與正交，則必屬于這個(gè)正交集。2.若與正交，但中不包含，則此集不完備。4.1信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)的分量和信號(hào)的分解即：函數(shù)f(t)在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)可展開(kāi)成完備正交函數(shù)空間中的無(wú)窮級(jí)數(shù)。4/2/20247如果在區(qū)間內(nèi)，復(fù)變函數(shù)集滿(mǎn)足則稱(chēng)為正交函數(shù)集。4.1信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)的分量和信號(hào)的分解復(fù)變函數(shù)的正交特性若復(fù)變函數(shù)集是完備的，則4/2/20248周期信號(hào)f(t)在區(qū)間(t0,t0+T)可以展開(kāi)成在完備正交信號(hào)空間中的無(wú)窮級(jí)數(shù)。如果完備的正交函數(shù)集是三角函數(shù)集或指數(shù)函數(shù)集，那么，周期信號(hào)所展開(kāi)的無(wú)窮級(jí)數(shù)就分別稱(chēng)為“三角型傅里葉級(jí)數(shù)”或“指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)”，統(tǒng)稱(chēng)傅立葉級(jí)數(shù)。

1822年法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉（1768－1830）在研究熱傳導(dǎo)理論時(shí)發(fā)表了“熱的分析理論”著作，提出并證明了將周期函數(shù)展開(kāi)為三角函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)的原理。4.2傅里葉級(jí)數(shù)4/2/202494.2傅里葉級(jí)數(shù)Dirichlet條件：(1)在一個(gè)周期內(nèi)絕對(duì)可積； (2)在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)有限值的不連續(xù)點(diǎn)；(3)在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極大值和極小值。1829年，Dirichlet給出了補(bǔ)充，只有當(dāng)周期信號(hào)f(t)滿(mǎn)足Dirichlet條件時(shí)，才能展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)。(電子技術(shù)中的周期信號(hào)大都滿(mǎn)足條件。)4/2/202410三角函數(shù)集是完備正交函數(shù)集4.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)Sin0=0不包含在三角函數(shù)集中!4/2/2024114.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉系數(shù)：4/2/2024124.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)4/2/2024134.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角形傅里葉級(jí)數(shù)4/2/202414例：將下圖所示方波信號(hào)f(t)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)解：4.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)4/2/2024154.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)4/2/202416所以，所示信號(hào)的傅里葉展開(kāi)式為：思考：取多少次諧波才能有效表示這個(gè)信號(hào)？？？均方誤差為考慮時(shí)，本例中：4.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)4/2/2024174.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)4/2/202418吉布斯（Gibbs）現(xiàn)象4.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)用有限次諧波分量來(lái)近似原信號(hào)，在不連續(xù)點(diǎn)附近出現(xiàn)起伏，起伏頻率隨諧波分量增加而增加，起伏峰值不隨諧波分量增加而減少，起伏峰值有9%的超量。4/2/202419吉伯斯現(xiàn)象產(chǎn)生原因

時(shí)間信號(hào)的跳變破壞了信號(hào)的收斂性，使得在間斷點(diǎn)處傅里葉級(jí)數(shù)出現(xiàn)非一致收斂。

4.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)N=5N=15N=50N=5004/2/202420若給定的函數(shù)f(t)具有某些特點(diǎn)，那么，有些傅里葉系數(shù)將等于零，從而使傅里葉系數(shù)的計(jì)算簡(jiǎn)化。f(t)為偶函數(shù)4.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)4/2/202421偶函數(shù)信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中只含有直流項(xiàng)與余弦項(xiàng)。4.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)4/2/202422f(t)為奇函數(shù)奇對(duì)稱(chēng)信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中只含有正弦項(xiàng)。4.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)4/2/202423f(t)為奇諧函數(shù)(半波鏡像信號(hào))f(t)為偶諧函數(shù)(半波重疊信號(hào))偶諧信號(hào)只含有正弦與余弦的偶次諧波分量和直流分量，而無(wú)奇次諧波分量。奇諧信號(hào)只含有正弦與余弦的奇次諧波分量，而無(wú)直流和偶次諧波分量。4.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)4/2/202424例：正弦交流信號(hào)經(jīng)全波或半波整流后的波形分別如圖所示，求其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)形式。解(1)全波整流信號(hào)信號(hào)為偶函數(shù)，又是偶諧函數(shù)4.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)4/2/2024254.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)4/2/2024264.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)4/2/202427解(2)半波整流信號(hào)4.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)4/2/202428周期信號(hào)的對(duì)稱(chēng)性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系4.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)4/2/202429復(fù)指數(shù)函數(shù)集是完備正交函數(shù)集4.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)4/2/2024304.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉系數(shù)：4/2/2024314.2傅里葉級(jí)數(shù)從三角型傅里葉級(jí)數(shù)推導(dǎo)出指數(shù)形式4/2/2024324.2傅里葉級(jí)數(shù)從三角型傅里葉級(jí)數(shù)推導(dǎo)出指數(shù)形式若f(t)為實(shí)函數(shù)4/2/2024334.2傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式4/2/202434例試計(jì)算圖示周期矩形脈沖信號(hào)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。解:因此，f

(t)的指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為4.2傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式4/2/202435例求Fn解:

根據(jù)指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)的定義可得4.2傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式4/2/2024364.2傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)總結(jié)4/2/202437從功率的角度來(lái)考察周期信號(hào)時(shí)域和頻域特性間的關(guān)系4.3周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的功率直流功率諧波功率

物理意義：任意周期信號(hào)的平均功率等于信號(hào)所包含的直流、基波以及各次諧波的平均功率之和。4/2/202438例

求f

(t)的功率。解：1)2)4.3周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的功率4/2/202439頻譜的概念或通過(guò)研究傅里葉系數(shù)An、Fn

和

來(lái)研究信號(hào)的特性，它們是頻率的函數(shù)，反映了組成信號(hào)各頻率分量的幅度、相位的分布情況，稱(chēng)為頻譜函數(shù)。4.3周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜4/2/202440單邊幅度譜和雙邊幅度譜4.3周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜4/2/2024414.3周期信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖的頻譜周期性矩形脈沖的頻譜是離散的，僅含有的分量，其相鄰兩譜線的間隔是，脈沖周期T越長(zhǎng)，譜線間隔越小。周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜()4/2/202442周期矩形脈沖信號(hào)的頻帶寬度(帶寬，)周期矩形信號(hào)的譜線幅度按的規(guī)律變化。在處，即處，包絡(luò)為零，其相應(yīng)的譜線亦等于零。周期矩形脈沖信號(hào)包含無(wú)限多條譜線，但其信號(hào)能量主要集中在第一個(gè)零點(diǎn)以?xún)?nèi)。在允許一定失真條件下，只需傳送頻率較低的那些分量就足夠表達(dá)原信號(hào)。4.3周期信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖的頻譜4/2/202443物理意義：在信號(hào)的有效帶寬內(nèi)，集中了信號(hào)絕大部分諧波分量。若信號(hào)丟失有效帶寬以外的諧波成分，不會(huì)對(duì)信號(hào)產(chǎn)生明顯影響。當(dāng)信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)時(shí)，信號(hào)與系統(tǒng)的有效帶寬必須“匹配”4.3周期信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖的頻譜通常把稱(chēng)為周期矩形脈沖信號(hào)的有效頻帶寬度或有效帶寬，簡(jiǎn)稱(chēng)帶寬。4/2/202444周期矩形脈沖信號(hào)的脈沖寬度與帶寬、幅度頻譜的關(guān)系結(jié)論：脈沖寬度越窄，有效帶寬越寬，高頻分量越多。即信號(hào)信息量大、傳輸速度快，傳送信號(hào)所占用的頻帶越寬。4.3周期信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖的頻譜4/2/202445周期矩形脈沖信號(hào)頻譜中周期與譜線密度的關(guān)系4.3周期信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖的頻譜4/2/202446非周期信號(hào)結(jié)論：當(dāng)不變，T增大，譜線間隔減小，譜線逐漸密集，幅度減小。

連續(xù)頻率，幅度4.3周期信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖的頻譜4/2/202447周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)離散性——譜線是離散的而不是連續(xù)的，譜線之間的間隔為。這種頻譜常稱(chēng)為離散頻譜。收斂性——各頻譜線的高度隨著諧波次數(shù)增高而逐漸減小，當(dāng)諧波次數(shù)無(wú)限增高時(shí)，譜線的高度也無(wú)限減小。諧波性——譜線在頻譜軸上的位置是基頻的整數(shù)倍。4.3周期信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖的頻譜若信號(hào)時(shí)域波形變化越平緩，高次諧波成分就越少，幅度頻譜衰減越快；若信號(hào)時(shí)域波形變化跳變?cè)蕉?，高次諧波成分就越多，幅度頻譜衰減越慢。4/2/202448例：計(jì)算圖示信號(hào)頻譜在第一個(gè)零點(diǎn)內(nèi)各分量的功率占總功率的百分比解：傅里葉系數(shù)：第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)在n=5第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)內(nèi)功率：有：4.3周期信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖的頻譜4/2/202449求其傅里葉級(jí)數(shù)。例：?jiǎn)挝粵_激函數(shù)的間隔為T(mén)，用符號(hào)

T(t)表示周期單位沖激序列：解：

T(t)是周期函數(shù)，求其傅里葉級(jí)數(shù)：4.3周期信號(hào)的頻譜周期單位沖激序列的頻譜4/2/202450FS4.3周期信號(hào)的頻譜周期單位沖激序列的頻譜可見(jiàn)，周期單位沖激序列的傅里葉級(jí)數(shù)中只包含位于

=0,Ω,2Ω,,nΩ,的頻率分量，且分量大小相等，均等于1/T。4/2/202451頻譜密度函數(shù)4.4非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換4/2/202452此時(shí)，為了表明幅度間的相對(duì)差別，有必要引入一個(gè)新的量——“頻譜密度函數(shù)”設(shè)周期信號(hào)4.4非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換則4/2/2024534.4非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換4/2/202454頻譜函數(shù)與頻譜密度函數(shù)的區(qū)別（1）周期信號(hào)的頻譜為離散的， 非周期信號(hào)的頻譜密度為連續(xù)的。（2）周期信號(hào)的頻譜為Fn的分布，表示每個(gè)諧波分量的復(fù)振幅；非周期信號(hào)的頻譜為T(mén)Fn的分布，表示每單位帶寬內(nèi)所有諧波分量合成的復(fù)振幅，即頻譜密度函數(shù)。

兩者關(guān)系：4.4非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換時(shí)域非周期<->頻域連續(xù)時(shí)域周期<->頻域離散4/2/2024554.4非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換傅里葉反變換4/2/2024564.4非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換模相位實(shí)部虛部非周期信號(hào)可以分解為無(wú)數(shù)個(gè)虛指數(shù)信號(hào)的線性組合，這些信號(hào)的頻率是連續(xù)的，幅度為無(wú)窮小。4/2/202457例試求圖示非周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜密度函數(shù)。解：非周期矩形脈沖信號(hào)f(t)的時(shí)域表示式為由傅里葉正變換定義式，可得

4.4非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換非常重要的公式！信號(hào)在時(shí)域有限，則在頻域?qū)o(wú)限延續(xù)4/2/2024581t0f(t)4.4非周期信號(hào)的頻譜常用信號(hào)的傅里葉變換單邊指數(shù)信號(hào)4/2/2024594.4非周期信號(hào)的頻譜常用信號(hào)的傅里葉變換001t0f(t)4/2/202460f(t)0t4.4非周期信號(hào)的頻譜常用信號(hào)的傅里葉變換0雙邊指數(shù)信號(hào)4/2/202461物理意義：在時(shí)域中變化異常劇烈的沖激函數(shù)包含幅度相等的所有頻率分量。因此，這種頻譜常稱(chēng)為“均勻譜”或“白色譜”

4.4非周期信號(hào)的頻譜奇異函數(shù)的傅里葉變換單位沖激函數(shù)時(shí)域內(nèi)的無(wú)限窄<->頻域內(nèi)的無(wú)限寬4/2/2024624.4非周期信號(hào)的頻譜奇異函數(shù)的傅里葉變換時(shí)域內(nèi)的無(wú)限寬<->頻域內(nèi)的無(wú)限窄4/2/2024634.4非周期信號(hào)的頻譜奇異函數(shù)的傅里葉變換單位沖激函數(shù)導(dǎo)數(shù)的頻譜4/2/2024644.4非周期信號(hào)的頻譜奇異函數(shù)的傅里葉變換符號(hào)函數(shù)的頻譜sgn函數(shù)不滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件，但它可以看作是奇雙邊指數(shù)函數(shù)f2(t)當(dāng)α→0時(shí)的極限。4/2/2024654.4非周期信號(hào)的頻譜奇異函數(shù)的傅里葉變換4/2/2024664.4非周期信號(hào)的頻譜奇異函數(shù)的傅里葉變換單位階躍信號(hào)4/2/202467傅里葉變換的性質(zhì)線性奇偶性對(duì)稱(chēng)性尺度變換時(shí)移特性卷積定理時(shí)域微分和積分頻域微分和積分4.5傅里葉變換的性質(zhì)4/2/202468說(shuō)明：和信號(hào)的頻譜等于各個(gè)單獨(dú)信號(hào)的頻譜之和。4.5傅里葉變換的性質(zhì) 線性線性例：4/2/202469奇偶性4.5傅里葉變換的性質(zhì) 奇偶性4/2/202470時(shí)域?qū)嵟?lt;->頻域?qū)嵟紩r(shí)域?qū)嵠?lt;->頻域虛奇4.5傅里葉變換的性質(zhì) 奇偶性4/2/202471例：求取樣函數(shù)Sa(t)的頻譜函數(shù).解：已知根據(jù)傅里葉變換的線性性質(zhì)即4.5傅里葉變換的性質(zhì) 對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性4/2/202472根據(jù)傅里葉變換的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，則有即4.5傅里葉變換的性質(zhì) 對(duì)稱(chēng)性4/2/202473例：求函數(shù)t-1

的頻譜函數(shù).解：已知可得則4.5傅里葉變換的性質(zhì) 對(duì)稱(chēng)性4/2/2024744.5傅里葉變換的性質(zhì) 對(duì)稱(chēng)性4/2/202475尺度變換4.5傅里葉變換的性質(zhì) 尺度變換4/2/2024764.5傅里葉變換的性質(zhì) 尺度變換4/2/202477時(shí)移特性4.5傅里葉變換的性質(zhì) 時(shí)移特性4/2/2024784.5傅里葉變換的性質(zhì) 時(shí)移加尺度變換4/2/202479例：求下列所示三脈沖信號(hào)的頻譜。解：令f0(t)表示矩形單脈沖信號(hào)4.5傅里葉變換的性質(zhì) 時(shí)移特性4/2/202480其頻譜如下：4.5傅里葉變換的性質(zhì) 時(shí)移特性4/2/202481頻移特性4.5傅里葉變換的性質(zhì) 頻移特性4/2/2024824.5傅里葉變換的性質(zhì) 頻移特性4/2/202483卷積定理4.5傅里葉變換的性質(zhì) 卷積定理

卷積特性是傅里葉變換性質(zhì)之一，在通信系統(tǒng)和信號(hào)處理中占有重要地位，應(yīng)用最廣。4/2/202484例:已知余弦脈沖信號(hào)解：利用卷積定理求其頻譜。把余弦脈沖信號(hào)看成是矩形脈沖信號(hào)Ｇ(t)與周期余弦信號(hào)相乘。4.5傅里葉變換的性質(zhì) 卷積定理4/2/202485時(shí)域頻域4.5傅里葉變換的性質(zhì) 卷積定理4/2/202486微分特性4.5傅里葉變換的性質(zhì) 微分特性4/2/202487積分特性4.5傅里葉變換的性質(zhì) 積分特性4/2/202488例：求下列截平斜變信號(hào)的頻譜解：利用積分特性求y(t)的頻譜Y(jω)已知：y(t)的導(dǎo)數(shù)是矩形脈沖信號(hào)f(t)求導(dǎo)數(shù)4.5傅里葉變換的性質(zhì) 積分特性4/2/202489根據(jù)積分特性求出y(t)的頻譜Y

(jω)時(shí)移時(shí)移4.5傅里葉變換的性質(zhì) 積分特性4/2/202490解(a)：(b)：例：求圖所示信號(hào)的傅里葉變換4.5傅里葉變換的性質(zhì) 積分特性4/2/2024914.5傅里葉變換的性質(zhì) 綜合運(yùn)用4/2/2024924.5傅里葉變換的性質(zhì) 綜合運(yùn)用4/2/202493小結(jié)：非周期信號(hào)和周期信號(hào)一樣，可以分解成許多不同頻率的虛指數(shù)分量。由于非周期信號(hào)的周期趨于無(wú)限大，基波頻率趨于無(wú)限小，于是它包含了從零到無(wú)限高的所有頻率分量。由于非周期信號(hào)的周期趨于無(wú)限大，因此它所包含的各頻率分量的幅度趨于零。非周期信號(hào)的頻譜用頻譜密度來(lái)表示。周期信號(hào)其頻譜為離散譜（傅里葉系數(shù)）,非周期信號(hào)其頻譜為連續(xù)譜（傅里葉變換）周期信號(hào)與非周期信號(hào)，傅里葉系數(shù)與傅里葉變換，離散譜與連續(xù)譜，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化并統(tǒng)一起來(lái)。4.5傅里葉變換的性質(zhì)4/2/202494一般非周期信號(hào)（能量信號(hào)）的Parseval定理4.7周期信號(hào)的傅里葉變換時(shí)域和頻域的能量關(guān)系4/2/202495Parseval定理：非周期信號(hào)在時(shí)域中求得的信號(hào)能量等于在頻域中求得的信號(hào)能量。4.7周期信號(hào)的傅里葉變換時(shí)域和頻域的能量關(guān)系4/2/202496周期信號(hào)非周期信號(hào)周期無(wú)窮大求和變求積分周期信號(hào)不滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件，但在允許沖激函數(shù)存在并認(rèn)為它有意義的前提下，絕對(duì)可積條件就成為不必要的限制，也就有周期信號(hào)的傅里葉變換。目的：把周期信號(hào)與非周期信號(hào)的分析方法統(tǒng)一起來(lái)，使傅里葉變換得到廣泛應(yīng)用。4.7周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的頻譜傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉變換FSFTFTFS4/2/2024974.7周期信號(hào)的傅里葉變換常見(jiàn)周期信號(hào)的傅里葉變換虛指數(shù)信號(hào)

同理:

虛指數(shù)信號(hào)的頻譜密度4/2/202498余弦信號(hào)及其頻譜密度4.7周期信號(hào)的傅里葉變換常見(jiàn)周期信號(hào)的傅里葉變換4/2/202499正弦信號(hào)及其頻譜密度4.7周期信號(hào)的傅里葉變換常見(jiàn)周期信號(hào)的傅里葉變換4/2/2024100令周期信號(hào)f(t)的周期為T(mén)，角頻率為Ω=2

f4.7周期信號(hào)的傅里葉變換一般周期信號(hào)的傅里葉變換表示在無(wú)窮小的頻帶范圍內(nèi)（即諧頻點(diǎn)）取得了無(wú)限大的頻譜密度值。4/2/20241014.7周期信號(hào)的傅里葉變換一般周期信號(hào)的傅里葉變換例：求周期為T(mén)，寬度為τ的矩形脈沖信號(hào)PT(t)的頻譜密度函數(shù)解：PT(t)的的傅里葉系數(shù)：4/2/2024102代入到上式中，得周期矩形脈沖的傅里葉變換由位于的沖激函數(shù)所組成。周期矩形脈沖的傅里葉變換是頻譜密度，其在的幅度是：4.7周期信號(hào)的傅里葉變換一般周期信號(hào)的傅里葉變換4/2/2024103求傅里葉變換。例：?jiǎn)挝粵_激函數(shù)的間隔為T(mén)，用符號(hào)

T(t)表示周期單位沖激序列：4.7周期信號(hào)的傅里葉變換一般周期信號(hào)的傅里葉變換解：可見(jiàn)，周期單位沖激序列的傅里葉級(jí)數(shù)中只包含位于

=0,Ω,2Ω,,nΩ,的頻率分量，且分量大小相等，均等于1/T

T(t)是周期函數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)：4/2/2024104求

T(t)的傅里葉變換?？梢?jiàn)，在周期單位沖激序列的傅里葉變換中只包含位于

=0,Ω,2Ω,，nΩ,頻率處的沖激函數(shù)，其強(qiáng)度大小相等，均等于Ω

。4.7周期信號(hào)的傅里葉變換一般周期信號(hào)的傅里葉變換4/2/2024105FTFS0t

-2T–T0T2Tt

0t4.7周期信號(hào)的傅里葉變換一般周期信號(hào)的傅里葉變換FT4/2/20241064.7周期信號(hào)的傅里葉變換一般周期信號(hào)的傅里葉變換4/2/2024107例4.7周期信號(hào)的傅里葉變換一般周期信號(hào)的傅里葉變換4/2/20241084.8LTI系統(tǒng)的頻域分析基本概念LTI系統(tǒng)的全響應(yīng)＝零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)本節(jié)只研究零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)域分析法即將分解為無(wú)限個(gè)之疊加。即零狀態(tài)響應(yīng)分解為所有被激勵(lì)加權(quán)的之疊加。時(shí)域方法缺點(diǎn)：計(jì)算復(fù)雜。4/2/2024109虛指數(shù)信號(hào)ejwt(-

<t<

)通過(guò)連續(xù)LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)其中4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析基本概念4/2/2024110任意非周期信號(hào)通過(guò)連續(xù)LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)若信號(hào)f(t)的傅里葉變換存在，則可由虛指數(shù)信號(hào)ejwt(-

<t<

)的線性組合表示，即由系統(tǒng)的線性時(shí)不變特性，可推出信號(hào)f(t)作用于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs

(t)。4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析基本概念4/2/2024111任意非周期信號(hào)通過(guò)連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)由積分特性由均勻性即Yzs

(jw)4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析基本概念4/2/2024112幅度響應(yīng)相位響應(yīng)LTI系統(tǒng)把頻譜為F(jw)

的輸入改變成頻譜為H(jw)F(jw)的響應(yīng)，改變的規(guī)律完全由H(jw)決定。Yzs

(jw)=H(jw)F(jw)4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析基本概念H(jw)反映了系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)不同頻率分量的傳輸特性

H(jw)稱(chēng)為該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，定義為4/2/2024113結(jié)論：(1)在線性時(shí)不變系統(tǒng)的分析中，無(wú)論時(shí)域、頻域的方法都可按信號(hào)分解、求響應(yīng)再疊加的原則來(lái)處理，實(shí)質(zhì)相同。(2)頻域分析法與時(shí)域分析法不同處在于信號(hào)分解的單元函數(shù)不同。Fourier變換的時(shí)域卷積定理是聯(lián)系兩者的橋梁。物理意義：4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析基本概念4/2/2024114解：利用Fourier變換的微分特性，微分方程的頻域表示式為由定義可求得例已知描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為y"(t)+3y'(t)+2y(t)=f(t)，求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

4/2/2024115例已知某LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)=(e-t-e-2t)ε(t)，求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)。解：利用H(jw)與h(t)的關(guān)系4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

4/2/2024116頻域電路模型時(shí)域電路模型（RC低通網(wǎng)絡(luò)）頻域阻抗4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

4/2/2024117例圖示RC電路系統(tǒng)，激勵(lì)電壓源為f(t)，輸出電壓y(t)為電容兩端的電壓，電路的起始狀態(tài)為零。求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)和沖激響應(yīng)h(t)。解：RC電路的頻域模型如圖，由Fourier反變換，得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)為由電路的基本原理有4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

4/2/2024118RC電路系統(tǒng)的幅度響應(yīng)隨著頻率的增加，系統(tǒng)的幅度響應(yīng)|H(jw)|不斷減小，說(shuō)明信號(hào)的頻率越高，信號(hào)通過(guò)該系統(tǒng)的損耗也就越大。由于|H(j(1/RC))|=0.707，所以把wc=1/RC稱(chēng)為該系統(tǒng)的3db截頻。低通濾波器4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

4/2/2024119利用傅里葉分析方法求解線性系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

4/2/2024120例

已知描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為y"(t)+3y'(t)+2y(t)=3f

'(t)+4

f(t)，系統(tǒng)的輸入激勵(lì)f(t)=e-3tε(t)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs

(t)。解：由于輸入激勵(lì)f(t)的頻譜函數(shù)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)由微分方程可得故系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs

(t)的頻譜函數(shù)Yzs(jw)為4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

4/2/2024121例：如圖所示系統(tǒng)，已知條件如下，求輸出響應(yīng)。解:(1)先求x(t)的傅里葉變換，已知4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

4/2/20241224.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

4/2/2024123連續(xù)周期信號(hào)通過(guò)LTI系統(tǒng)的響應(yīng)的頻域分析將周期為T(mén)的周期信號(hào)f(t)用Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)為利用虛指數(shù)信號(hào)ejnΩt作用在系統(tǒng)上響應(yīng)為4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

根據(jù)系統(tǒng)的線性特性，可得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為4/2/2024124例：某LTI系統(tǒng)頻率響應(yīng)如圖，求f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)。解法（1）：設(shè)輸出y(t)→Yn4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

4/2/2024125解法（2）：用傅里葉變換法4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

4/2/2024126直流基波二次諧波直流基波二次諧波4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

4/2/20241274.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

優(yōu)點(diǎn)：求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，可以直觀地體現(xiàn)信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后信號(hào)頻譜的改變，解釋激勵(lì)與響應(yīng)時(shí)域波形的差異，物理概念清楚。

不足： （1）只能求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)仍需按時(shí)域方法求解。（2）若激勵(lì)信號(hào)不存在傅里葉變換，則無(wú)法利用頻域分析法。（3）頻域分析法中，傅立葉反變換常較復(fù)雜。解決方法：采用拉普拉斯變換系統(tǒng)響應(yīng)頻域分析小結(jié)4/2/2024128無(wú)失真：系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵(lì)相比，波形無(wú)任何變化，即：僅在幅度因子或出現(xiàn)時(shí)間上有變化，稱(chēng)信號(hào)在傳輸過(guò)程中無(wú)失真。失真：系統(tǒng)的響應(yīng)波形與激勵(lì)波形不相同，稱(chēng)信號(hào)在傳輸過(guò)程中產(chǎn)生了失真。4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析無(wú)失真?zhèn)鬏?/2/2024129信號(hào)失真原因4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析無(wú)失真?zhèn)鬏?/2/2024130線性系統(tǒng)的幅度失真與相位失真都不產(chǎn)生新的頻率分量。非線性系統(tǒng)：由于非線性特性對(duì)所傳輸信號(hào)產(chǎn)生非線性失真。非線性失真可能產(chǎn)生新的頻率分量。4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析無(wú)失真?zhèn)鬏?/2/2024131信號(hào)的失真有正反兩方面：如果有意識(shí)地利用系統(tǒng)進(jìn)行波形變換，則要求信號(hào)經(jīng)系統(tǒng)必然產(chǎn)生失真。如果要進(jìn)行原信號(hào)的傳輸，則要求傳輸過(guò)程中信號(hào)失真最小，即要研究無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件。4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析無(wú)失真?zhèn)鬏?/2/2024132線性系統(tǒng)無(wú)失真條件波形無(wú)改變則稱(chēng)為無(wú)失真實(shí)現(xiàn)無(wú)失真?zhèn)鬏?，?yīng)滿(mǎn)足的條件4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析無(wú)失真?zhèn)鬏?/2/2024133信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)時(shí)，諧波的相移與其頻率成正比。4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析無(wú)失真?zhèn)鬏攷挓o(wú)限大4/2/2024134例：基波二次諧波為了使基波與二次諧波得到相同的延遲時(shí)間，以保證不產(chǎn)生相位失真，應(yīng)有4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析無(wú)失真?zhèn)鬏?/2/2024135群時(shí)延概念4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析無(wú)失真?zhèn)鬏?/2/2024136特定波形的形成實(shí)際應(yīng)用中，有意識(shí)地利用系統(tǒng)引起失真來(lái)形成某種特定波形。這時(shí)，系統(tǒng)傳輸函數(shù)則應(yīng)根據(jù)所需要求進(jìn)行設(shè)計(jì)。例：利用沖激信號(hào)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生某種特定的波形的方法。4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析無(wú)失真?zhèn)鬏?/2/2024137理想濾波器的頻率響應(yīng)濾波器是指能使信號(hào)的一部分頻率通過(guò)(無(wú)失真?zhèn)鬏?，而使另一部分頻率通過(guò)很少的系統(tǒng)。

理想低通

理想高通

理想帶通

理想帶阻4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析理想低通濾波器4/2/2024138理想低通濾波器的頻域特性為截止頻率(Cutofffrequency)4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析理想低通濾波器4/2/2024139理想低通濾波器的沖激響應(yīng)4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析理想低通濾波器4/2/2024140理想低通濾波器的沖激響應(yīng)

分析：1)h(t)的波形是一個(gè)取樣函數(shù)，不同于輸入信號(hào)d(t)的波形，有失真。

原因：理想低通濾波器是一個(gè)帶限系統(tǒng)，而沖激信號(hào)d(t)的頻帶寬度為無(wú)窮大。

減小失真方法：增加理想低通截頻wc。

h(t)的主瓣寬度為2p/wc，wc越小，失真越大。當(dāng)wc

時(shí)，理想低通變?yōu)闊o(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)，

h(t)也變?yōu)闆_激函數(shù)。4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析理想低通濾波器4/2/2024141理想低通濾波器的沖激響應(yīng)

分析：2)h(t)主峰出現(xiàn)時(shí)刻t=td

比輸入信號(hào)d(t)作用時(shí)刻t=0延遲了一段時(shí)間td

。td是理想低通濾波器相位響應(yīng)的斜率。3)h(t)在t<0的區(qū)間也存在輸出，可見(jiàn)理想低通濾波器是一個(gè)非因果系統(tǒng)，因而它是一個(gè)物理不可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析理想低通濾波器4/2/2024142取樣、取樣信號(hào)的概念取樣

利用取樣脈沖序列s(t)從連續(xù)信號(hào)f(t)中“抽取”一系列的離散樣值fs(t)=f(t)?s(t)的過(guò)程。經(jīng)抽取后的一系列的離散信號(hào)fs(t)

。取樣信號(hào)fs(t)與取樣函數(shù)Sa(t)=sint/t是完全不同的兩個(gè)含義。取樣也稱(chēng)為“采樣”或“抽樣”。取樣信號(hào)

4.9取樣定理基本概念4/2/2024143實(shí)現(xiàn)取樣的原理及框圖取樣原理：連續(xù)信號(hào)經(jīng)取樣成取樣信號(hào)，再經(jīng)量化、編碼變成數(shù)字信號(hào)。將這種數(shù)字信號(hào)經(jīng)傳輸，進(jìn)行上述逆過(guò)程，就可恢復(fù)出原連續(xù)信號(hào)。取樣量化編碼連續(xù)信號(hào)f(t)取樣信號(hào)數(shù)字信號(hào)fs(t)取樣脈沖s(t)4.9取樣定理基本概念4/2/2024144思考：1.取樣信號(hào)fs(t)的傅里葉變換什么樣？它和未經(jīng)取樣的原連續(xù)信號(hào)f(t)的傅里葉變換有什么聯(lián)系？2.連續(xù)信號(hào)被取樣后，它是否保留了原信號(hào)f(t)的全部信息？3.在什么條件下，可從取樣信號(hào)fs(t)中無(wú)失真地恢復(fù)出原連續(xù)信號(hào)f(t)？4.9取樣定理基本概念4/2/20241454.9取樣定理基本概念……沖激取樣(理想取樣）取樣脈沖s(t)是沖激序列……矩形脈沖取樣(自然取樣）取樣脈沖s(t)是矩形4/2/2024146設(shè)連續(xù)信號(hào)取樣脈沖信號(hào)取樣后信號(hào)采用均勻取樣，取樣周期為T(mén)s，取樣頻率為：取樣過(guò)程：取樣脈沖序列s(t)與連續(xù)信號(hào)f(t)相乘。即：4.9取樣定理取樣信號(hào)的傅里葉變換取樣信號(hào)的傅里葉變換4/2/2024147s(t)是周期信號(hào)，其傅里葉變換其中是s(t)的傅里葉系數(shù)根據(jù)頻域卷積定理：化簡(jiǎn)4.9取樣定理取樣信號(hào)的傅里葉變換4/2/2024148沖激取樣(理想取樣）若取樣脈沖s(t)是沖激序列頻譜頻譜…………4.9取樣定理取樣信號(hào)的傅里葉變換4/2/2024149得到?jīng)_激取樣信號(hào)的頻譜：頻譜……4.9取樣定理取樣信號(hào)的傅里葉變換4/2/2024150結(jié)論：信號(hào)在時(shí)域