土力學第4章地基中應力計算課件

Warming-up變形deformation變形模量modulusofdeformation泊松比Poisson’sratio殘余變形residualdeformation

布西涅斯克解Boussinnesq’ssolution超靜孔隙水壓力excessporewaterpressure沉降settlement次固結系數(shù)coefficientofsecondaryconsolidation地基沉降的彈性力學公式elasticformulaforsettlementcalculation分層總和法layerwisesummationmethod附加應力superimposedstress割線模量secantmodulus

固結沉降consolidationsettlement規(guī)范沉降計算法settlementcalculationbyspecification回彈變形rebounddeformation回彈模量modulusofresilience回彈系數(shù)coefficientofresilience回彈指數(shù)swellingindex建筑物的地基變形允許值allowablesettlementofbuilding角點法corner-pointsmethod明德林解Mindlin’ssolution紐馬克感應圖Newmarkchart切線模量tangentmodulus1.Warming-up變形deformation變第4章地基中應力計算

4.1概述4.2地基中自重應力4.3荷載作用下地基中附加應力計算2.第4章地基中應力計算4.1概述2.4.1概述建筑物建造→地基應力改變→地基變形→基礎沉降建筑地基基礎設計時必須計算地基變形，且必須將其控制在允許范圍內(nèi)。為此，首先要計算地基應力。地基應力包括：

1、自重應力——土本身自重引起。在建筑物建造前即存在，故又稱為初始應力。

2、附加應力——建筑物荷載引起。一般采用彈性理論計算。地基應力改變是引起建筑物基礎沉降的主要原因，地基的穩(wěn)定也與應力密切相關。因此必須重視應力的計算。3.4.1概述建筑物建造→地基應力改變→地基變形4.2地基中自重應力計算

假設天然地面為一無限大的水平面，地基土質均勻，則由對稱性（任一豎直面均為對稱面）可知，在任一豎直面和水平面上，均無剪應力存在，且在地面下任意深度z處a-a水平面上的豎向自重應力即為該水平面上任一單位面積的土柱體自重，即：理由：由于側面無剪應力，則任一底面積為s

的土柱在a—a面上產(chǎn)生的豎向應力為：這表明沿水平面均勻分布，沿深度直線分布。4.4.2地基中自重應力計算假設天然地面為一無限大的水平面均質地基自重應力除豎向自重應力外，地基中還有側向自重應力。由于在任一水平面上都均勻地無限分布，故地基土在自重應力作用下只能產(chǎn)生豎向變形，而不能發(fā)生側向變形和剪切變形，即有，。則由彈性力學中的廣義虎克定律有：式中，E0為土的變形模量；為土的泊松比。因此，均質地基中的任意一點自重應力為：其中，稱為土的側壓力系數(shù)或靜止土壓力系數(shù)。5.均質地基自重應力除豎向自重應力外，地基中還有側向自重應力。由成層地基自重應力只有有效應力，才能使土粒彼此擠緊，從而引起土體變形。而自重應力作用下的土體變形一般均已完成（欠固結土除外），故自重應力通常均指自重有效應力，計算自重有效應力時對地下水位以下土層必須以有效重度代替天然重度。出于簡化和習慣，除非特別說明，以后將最常用的豎向自重有效應力簡稱為自重應力。對于成層地基（具有成層土的地基），自重應力計算式為：n—從地面到深度z處的土層總數(shù)；

—深度處的自重應力，kPa；

—第i層土的天然重度，地下水位以下的土層取，kN/m3；hi—第i層土的厚度，m。6.成層地基自重應力只有有效應力，才能使土粒彼此擠緊，從而引起土注意點（1）地下水位面應作為分界面；（2）地下水位以下如有不透水層（巖層或硬粘土層），由于不存在水的浮力，故層面及層面以下的自重應力按上覆土層和水總重計算。自重(有效)應力也可由有效應力原理計算。例如，先計算自重總應力(此時對地下水位以下土層必須采用飽和重度)，然后計算靜止水壓力u,則自重(有效)應力。7.注意點（1）地下水位面應作為分界面；7.【例題4.1】

地基土層分布如下圖示，土層1厚度為3.0m，土體重度kN/m3，飽和重度kN/m3，土層2厚度為4.0m，土體重度，飽和重度，地下水位離地面2.0m。計算土中自重總應力和有效應力沿深度分別情況。圖4-2[例題4.1]圖示8.【例題4.1】地基土層分布如下圖示，土層1厚度為3.0m，解答【解】先計算圖中A、B、C和D四點處的總應力和有效應力，然后畫出分布圖。A點：z=0.0m，kPa,u=0kPa,=0kPaB點：z=2.0m，kPa,u=0,=37.0kPaC點：z=3.0m，kPa,u=10.0

1=10kPa,55.8

10=45.8kPaD點：z=7.0m，kPa,u=10.0

5=50kPa,130.2

50=80.2kPa

地基中自重總應力、自重(有效)應力和靜止孔隙水壓力沿深度分布如上圖所示。9.解答【解】先計算圖中A、B、C和D四點處的總應力和有效地下水位的影響地基土形成至今一般已很長時間，故如前所述，自重應力所引起的地基變形早已發(fā)生并已穩(wěn)定，可不再考慮。但對于新近沉積土，應考慮它在自重應力作用下的變形。此外，地下水位的升降會引起土中自重應力的變化,并導致地基變形：（1）水位下降（抽地下水），將使自重應力增大，從而引起大面積地面下沉。（2）水位上升（下雨，筑壩蓄水），將使自重應力減少。對濕陷性土應注意由此引起的地面下沉。10.地下水位的影響地基土形成至今一般已很長時間，故如前所述，自重補充：基底壓力和基底附加壓力基底壓力:

建筑物基礎底面與地基之間的接觸應力。它既是基礎作用于基底地基土的壓力，同時又是地基土反作用于基底的反力。（作用力與反作用力）要計算地基中由建筑物荷載產(chǎn)生的應力，首先須知道基底壓力?；讐毫εc基礎大小、剛度、荷載大小和分布有關，這些因素使得基底壓力的分布非常復雜,精確計算也十分困難。出于簡化和實用的目的，一般將基底壓力近似為直線分布，并按材料力學中的公式計算。11.補充：基底壓力和基底附加壓力基底壓力:建筑物基礎底面與地基一、基底壓力的簡化計算（一）中心荷載下的基底壓力（kPa）式中：F=作用于基礎上的豎向力設計值（kN）；G=基礎及其上回填土總重（kN），即，其中kN/m3，地下水位以下取有效重度;d=基礎埋深(m)，從室內(nèi)外平均設計地面(即±0.00標高)算起；A=基底面積(m2)，對矩形：A=lb(長×寬)；對于條形基礎：沿長度方向取1單位長度計算(即取l=1)，故A=b×1=b。12.一、基底壓力的簡化計算（一）中心荷載下的基底壓力F=作用（二）偏心荷載下矩形基礎的基底壓力1、單向偏心荷載下一般取基底長邊方向與偏心一致。短邊邊緣最大和最小壓力設計值：（材料力學中的短柱偏心受壓公式）

式中:M=(F＋G)e，作用于基底的力矩設計值；e=偏心距；，基礎底面的抵抗矩。將M=(F+G)e代入有：13.（二）偏心荷載下矩形基礎的基底壓力1、單向偏心荷載下13.討論(a)當e<l/6，pmin>0，基底壓力呈梯形分布(b)當e=l/6，pmin=0，基底壓力呈三角形分布(c)當e>l/6，pmin<0，局部壓力為負，如虛線所示。但由于地基土不能承受拉力（即負壓力，此時，地基土將與基礎脫開），基底壓力將重新分布。根據(jù)偏心荷載應與基底反力相平衡的條件，荷載(F+G)應通過三角形反力分布的形心（實線，k=l/2–e），由此有：單向偏心荷載下矩形基礎的基底壓力分布14.討論(a)當e<l/6，pmin>0，基底壓力呈梯形分布2．雙向偏心荷載下基礎四個角點處壓力：式中，Mx，My=荷載合力分別對x和y軸的力矩設計值，即：Mx

=ey

(F+G)，My

=ex

(F+G)；；。15.2．雙向偏心荷載下基礎四個角點處壓力：15.二、基底附加壓力基底附加壓力：基礎及上部結構在基底平面處產(chǎn)生的新（凈）壓力。因為地基土中存在自重應力。因此，基底平面處的土體在建筑物建造前即已經(jīng)受了該處自重應力（或即該平面以上上覆土重）的作用，而前面所述的基底壓力顯然包含著這部分應力。因此，在基底壓力中扣除基底平面處原有的自重應力，才是新增加于基底平面處的附加壓力（即凈壓力）。此即基底附加壓力p0，故有：其中p=基底的平均壓力設計值；=基底處的自重應力；=基礎底面以上天然土層的厚度加權重度，地下水位以下取有效重度；d=基礎埋深，一般從天然地面算起（當d=0，p0=p），但對新填土場地則應從老天然地面算起。16.二、基底附加壓力基底附加壓力：基礎及上部結構在基底平面處產(chǎn)生4.3荷載作用下地基中附加應力計算已知基底附加應力，利用彈性半空間理論計算表面局部荷載作用下地基的附加應力。這雖然是近似的，但誤差可略（對一般淺基礎而言）。地基附加應力：建筑物荷重在土體中引起的附加于原有應力之上的應力。即基底附加壓力在地基土中引起的應力。計算方法：假定地基為均質的線彈性半空間體、不考慮基礎剛度（即將基底壓力視為柔性荷載）、直接利用彈性力學中的彈性半空間理論解。實際問題按彈性力學可分為三類：17.4.3荷載作用下地基中附加應力計算已知基底附加應力，利用彈性半空間理論解1、三維問題（集中力、矩形荷載、圓形荷載作用下）變形：u、v、w（沿x、y、z方向的位移）空間問題應力：

2、二維問題（線荷載、條形荷載、梯形荷載作用下）變形：u、v=0、w（設y軸為荷載長度方向）平面問題應力：墻基、路堤下地基的應力和變形計算問題即屬于平面問題。

3、一維問題（荷載均布于無限大面積上，變形僅發(fā)生在一個方向）變形：u

＝v=0、w（設荷載分布于x、y平面）一維問題應力：

x=y=K0

z

、z

、xy=yz=zx=0

地基中自重應力的計算問題即屬于一維問題。下面介紹地基附加應力計算方法。已知18.彈性半空間理論解1、三維問題（集中力、矩形荷4.3.1地表集中力下地基中附加應力雖然理論上的集中力實際上是不存在的，但集中力作用下彈性半空間地基理論解（即布辛涅斯克解）是求解其他形式荷載作用下地基中附加應力分布的基礎。（一）布辛涅斯克解（法國Boussinesq，1885）圖4-3集中荷載作用下地基中應力19.4.3.1地表集中力下地基中附加應力雖然理論上的集中力實際解答（應力）集中力P作用下半空間內(nèi)任一點M（x，y，z）處的應力分量（６個）和位移分量（３個）解答：(4.3.1)(4.3.2)(4.3.3)(4.3.4)(4.3.5)(4.3.6)20.解答（應力）集中力P作用下半空間內(nèi)任一點M（x，y，z）處的解答（位移）式中：,土體剪切模量；E=土體彈性模量(即變形模量)；μ＝土體泊松比；，M點距荷載作用點（坐標原點）距離；。從式（4.3.3）可見，與土的參數(shù)E、μ無關，因此應用很方便，在地基應力與變形計算中應用最廣。注意：當R=0，所有應力和位移分量均為∞，故不合理，因此選擇計算點不應過于接近集中力作用點。(4.3.7)(4.3.8)(4.3.9)21.解答（位移）(4.3.7)(4.3.8)(4.3.9)21.4.3.2地面均布荷載下地基中附加應力本節(jié)介紹線均布荷載、條形均布荷載、矩形均布荷載和圓形均布荷載作用下地基中附加應力計算。線荷載和條形荷載：荷載長度l→∞且沿l方向（即y方向）不變的荷載。屬平面問題：位移：u，v＝0，w；應力:，，。例如：墻基、擋土墻基礎、路基、壩基等對地基施加的荷載。計算表明：，即當l

10b，矩形荷載就可視為條形荷載。22.4.3.2地面均布荷載下地基中附加應力本節(jié)介紹線均布荷載、1、線均布荷載作用下地基中附加應力計算—

弗拉曼（Flamant）解線均布荷載（kN/m）即為半空間平面上均布于無限長直線上的荷載，圖4-4。沿y軸某微段dy上的分布荷載以集中力P＝pdy代替，利用布氏解式（4.3.3）可得P在任一點M引起的應力：則(4.3.10)式中，。同理利用布氏解有：

可見解與y無關，即在與y軸垂直的任意平面上的應力狀態(tài)均相同。圖4-4均布線荷載作用下地基中應力23.1、線均布荷載作用下地基中附加應力計算—弗拉曼（Flam2、條形均布荷載作用下地基中附加應力計算條形均布荷載（kPa）如圖4-5所示。沿x軸某微分段上的荷載可用線荷載代之，則由式（4.3.10）可得該線荷載在M點產(chǎn)生的應力即：整個條形荷載在M點產(chǎn)生的附加應力由積分法得:R1圖4-5均布條形荷載作用下地基中附加應力24.2、條形均布荷載作用下地基中附加應力計算條形均布荷載（kPa附加應力計算（續(xù)）類似可得:

為便于工程設計時應用，常將地基中附加應力分量采用應力系數(shù)與p的乘積表示，即式中Kz，Kx，Kxz=應力系數(shù)，由和值（B=2b）查表4-1確定。（4.3.17）（4.3.18）（4.3.19）25.附加應力計算（續(xù)）類似可得:（4.3.17）25.表4-1條形均布荷載作用下地基中附加應力系數(shù)

26.表4-1條形均布荷載作用下地基中附加應力系數(shù)26.【例題4.2】地基上作用有寬度為1.0m的條形均布荷載，荷載密度為200kPa，求（1）條形荷載中心下豎向附加應力沿深度分布；（2）深度為1.0m和2.0m處土層中豎向附加應力分布；（3）距條形荷載中心線1.5m處土層中豎向附加應力分布?！窘狻肯惹髨D4-6中0~17點的x/B和z/B值，然后查條形均布荷載作用下地基中附加應力系數(shù)表4-1可得應力系數(shù)Kz值，再由p=200kPa及式(4.3.11),即計算附加應力值，計算結果如表4-2和圖4-6所示。圖4-6[例題4.2]圖示27.【例題4.2】地基上作用有寬度為1.0m的條形均布荷載，荷載表4-2[例題4.2]計算結果表

28.表4-2[例題4.2]計算結果表28.小結從該例題計算結果可以看出：（1）以基礎中軸線為對稱軸沿水平方向對稱分布、擴散，分布、擴散范圍遠超出荷載寬度。（2）在水平方向上,附加應力在基礎中軸線上最大，向外逐漸減小。（3）在荷載范圍內(nèi)任一垂線上，隨深度的增大而減小。z=0處。（4）在荷載范圍外任一垂線上，先隨深度增大而后隨深度減小。z=0處。（5）在荷載邊緣點（z=0，x＝±B/2），不連續(xù)。29.小結從該例題計算結果可以看出：29.應力泡

地基附加應力等值線圖即附加應力相等的點的連線，可清楚表達荷載的影響范圍。從圖4-7所示的應力泡可見，若認為可不計，則條形均布荷載的影響寬度為荷載寬度的4倍、影響深度為荷載寬度的6倍。此外計算還表明：的影響范圍較淺；的最大值出現(xiàn)于荷載邊緣，表明基礎邊緣最易發(fā)生破壞。圖4-7條形荷載作用下地基中豎向附加應力等值線30.應力泡地基附加應力等值線圖即附加應力相等的點的連線，可3、矩形均布荷載作用下地基中附加應力計算1）荷載角點下的地基附加應力在荷載面內(nèi)取微元dxdy，微元上的分布荷載以集中力P=pdxdy來代替，則由布辛涅斯克解可得角點O（圖4-8）下深度為z的M點處由該集中力引起的豎向附加應力。由式（4.3.3）可得：整個矩形荷載在M點產(chǎn)生的由積分法得，即：其中角點附加應力系數(shù)，由m=l/b,n=z/b

查表4-4得。圖4-8均布矩形荷載作用下地基中豎向附加應力31.3、矩形均布荷載作用下地基中附加應力計算1）荷載角點下的地基表4-4矩形均布荷載角點下豎向附加應力系數(shù)Kz1

32.表4-4矩形均布荷載角點下豎向附加應力系數(shù)Kz132.表4-4矩形均布荷載角點下豎向附加應力系數(shù)Kz1（續(xù)）

33.表4-4矩形均布荷載角點下豎向附加應力系數(shù)Kz1（續(xù)）2）其他點下地基附加應力采用角點法計算：即通過計算點o將原矩形荷載分成若干個新矩形荷載，從而使O成為劃分出的各個新矩形的公共角點，然后再根據(jù)迭加原理計算。共有以下四種情況：

(a)O點在荷載面的邊緣：其中KzI

、KzII

為相應于面積Ⅰ和Ⅱ的角點附加應力系數(shù)。

(b)O點在荷載面內(nèi)：

當O位于荷載中心，則有：(故表4-3可有可無)。其中KzI

、KzII、KzIII

、KzIV

為相應于面積I、II、III、IV的角點附加應力系數(shù)。ⅡⅠOⅠⅡⅣⅢO34.2）其他點下地基附加應力采用角點法計算：即通過計算點o將原2）其他點下地基附加應力（續(xù)）

(c)O點在荷載面的邊緣外側：荷載面（abcd）＝面積Ⅰ（ofbg）－面積Ⅱ（ofah）

+面積Ⅲ（oecg）－面積Ⅳ（oedh）則：(d)O點在荷載面的角點外側荷載面（abcd）＝面積Ⅰ（ohce）－面積Ⅱ（ohbf）－面積Ⅲ（ogde）+面積Ⅳ（ogaf）則：必須注意:在角點法中，查附加應力系數(shù)時所用的l和b均指劃分后的新矩形（如ofbg、ohce等）的長和寬。hbgcfoeadahbcofegd35.2）其他點下地基附加應力（續(xù)）(c)O點在荷載面的邊緣外4．圓形均布荷載作用下地基中附加應力計算設圓形均布荷載作用面半徑為R，荷載密度為p，采用圓柱坐標，如圖4-11所示。地基中任意點M（θ，r，z）處的應力分量表達式如下：式中Kz=圓形均布荷載作用下的附加應力系數(shù)，由r/R

和z/R值查表4-5確定。特別當r=0(即在圓形荷載作用面中心點以下)，地基中豎向應力可表為：圖4-11均布圓形荷載作用下地基中附加應力36.4．圓形均布荷載作用下地基中附加應力計算設圓形均布荷載作用面表4-5圓形均布荷載作用下的應力系數(shù)

37.表4-5圓形均布荷載作用下的應力系數(shù)37.4.3.3地面上作用有三角形和梯形分布荷載地基中附加應力計算1、地面上作用有三角形分布荷載地基中附加應力計算三角形分布（矩形）荷載（kPa）如圖4-12所示，荷載密度p沿x方向線性變化，即，則微面積dxdy上的微集中荷載。它在角點1（即x=0,p=0處）引起的附加應力為：圖4-12三角形分布矩形荷載作用下地基附加應力38.4.3.3地面上作用有三角形和梯形分布荷載地基中附加應力計附加應力表達式整個三角形分布荷載在角點1引起的附加應力為：同理可得，角點2（即x=B,p=p0處）附加應力：式中Kz1和Kz2為三角形分布荷載角點1和2下的附加應力系數(shù)，由L/B和z/B查表4-6得到。注意：B=沿三角形荷載分布方向的邊長，而不一定是矩形的短邊。對于三角形分布條形荷載，附加應力系數(shù)Kz1和Kz2可查表4-6中L/B=10所對應的值。39.附加應力表達式整個三角形分布荷載在角點1引起的附加應力為表4-6三角形分布的矩形荷載角點下的豎向附加應力系數(shù)Kz1和Kz240.表4-6三角形分布的矩形荷載角點下的豎向附加應力系數(shù)Kz表4-6三角形分布的矩形荷載角點下的豎向附加